Hilfekarten - Schulentwicklung NRW

Hilfekarten
Gruppe 1
1.21
Ein Pyramidenstumpf setzt sich zusammen aus 4 Teilpyramiden, 4 Keilen und einer quadratischen
Säule.
Teilkörper
Quadratische Säule
Keil
Pyramide
Skizze
h
h
b
b
b
Anzahl
1
Volumenformel
𝑉𝑆 = 𝑏 ∙ 𝑏 ∙ ℎ
h
d
d
4
𝑉𝐾 =
d
4
1
∙𝑏∙𝑑∙ℎ
2
𝑉𝑃 =
1
∙𝑑∙𝑑∙ℎ
3
1.22
1
Gegeben: 𝑏 = 4 𝑐𝑚, 𝑑 = 2 (10 𝑐𝑚 − 4 𝑐𝑚) = 3 𝑐𝑚, ℎ = 8 𝑐𝑚
Rechnung: 𝑉 = 4 ∙ 𝑉𝑃 + 4 ∙ 𝑉𝐾 + 𝑉𝑆
1
1
𝑉 = ∙𝑑∙𝑑∙ℎ+ ∙𝑏∙𝑑∙ℎ+𝑏∙𝑏∙ℎ
3
𝑉 =4∙
1
(3
2
1
∙ 3 𝑐𝑚 ∙ 3 𝑐𝑚 ∙ 8 𝑐𝑚) + 4 ∙ (2 ∙ 4 𝑐𝑚 ∙ 3 𝑐𝑚 ∙ 8 𝑐𝑚) + 4 𝑐𝑚 ∙ 4 𝑐𝑚 ∙ 8𝑐𝑚
𝑉 = 96 𝑐𝑚3 + 192 𝑐𝑚3 + 128 𝑐𝑚3
𝑉 = 416 𝑐𝑚3
Antwort: Das Volumen des Pyramidenstumpfes mit den angegebenen Maßen beträgt 416 cm3.
1.31
Ein Pyramidenstumpf setzt sich zusammen aus 4 Teilpyramiden, 4 Keilen und einer quadratischen
Säule.
Teilkörper
Quadratische Säule
Keil
Pyramide
Skizze
h
h
b
b
Anzahl
1
Volumenformel
𝑉𝑆 = 𝑏 ∙ 𝑏 ∙ ℎ
h
b
d
d
4
𝑉𝐾 =
1
∙𝑏∙𝑑∙ℎ
2
d
4
𝑉𝑃 =
1
∙𝑑∙𝑑∙ℎ
3
1.32
Das Volumen des Pyramidenstumpfes ist gleich der Summe der Volumina der Teilkörper:
𝑉 = 4 ∙ 𝑉𝑃 + 4 ∙ 𝑉𝐾 + 𝑉𝑆
1
1
𝑉 = 4 ∙ ( ∙ 𝑑 ∙ 𝑑 ∙ ℎ) + 4 ∙ ( ∙ 𝑏 ∙ 𝑑 ∙ ℎ) + 𝑏 ∙ 𝑏 ∙ ℎ
3
2
4
V=3 ∙ 𝑑 ∙ 𝑑 ∙ ℎ + 2 ∙ 𝑏 ∙ 𝑑 ∙ ℎ + 𝑏 ∙ 𝑏 ∙ ℎ
4
𝑉 = ℎ ( ∙ 𝑑 ∙ 𝑑 + 2 ∙ 𝑏 ∙ 𝑑 + 𝑏 ∙ 𝑏)
3
Es wird mit den allgemeinen Größen weitergerechnet.
𝑎−𝑏
Es gilt: 2𝑑 = 𝑎 − 𝑏 𝑜𝑑𝑒𝑟 𝑑 =
2
4 𝑎−𝑏 𝑎−𝑏
𝑎−𝑏
𝑉 =ℎ∙( ∙
∙
+2∙𝑏∙
+ 𝑏 ∙ 𝑏)
3
2
2
2
4 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏 2
𝑉 =ℎ∙( ∙
+ 𝑎𝑏 − 𝑏 2 + 𝑏 2 )
3
4
1
2
1
𝑉 = ℎ ∙ ( 𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏 2 + 𝑎𝑏)
3
3
3
1 2 1
1
𝑉 = ℎ ∙ ( 𝑎 + 𝑎𝑏 + 𝑏 2 )
3
3
3
1
2
2)
𝑉 = ℎ(𝑎 + 𝑎𝑏 + 𝑏
3
1.33
Kontrolle
𝐺𝑒𝑔𝑒𝑏𝑒𝑛: 𝑎 = 10 𝑐𝑚, 𝑏 = 4 𝑐𝑚, ℎ = 8 𝑐𝑚
Rechnung:
1
𝑉 = ℎ(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏 2 )
3
1
𝑉 = ∙ 8 𝑐𝑚 ∙ (100 𝑐𝑚2 + 40 𝑐𝑚2 + 16 𝑐𝑚2 )
3
1
𝑉 = ∙ 8 𝑐𝑚 ∙ 156 𝑐𝑚2 = 416 𝑐𝑚3
3
Antwort: Das Volumen des Pyramidenstumpfes mit den angegebenen Maßen beträgt 416 cm3.
Gruppe 2:
Subtraktion des Volumens der Pyramidenspitze von der vollständigen Pyramide an
einem Beispiel
2.1
x
A2
b
b
h
A1
a
a
x
b/2
h
a/2
2.21
Bestimmung des Volumens des Pyramidenstumpfes mit den angegebenen Maßen
𝐺𝑒𝑔𝑒𝑏𝑒𝑛: 𝑎 = 10 𝑐𝑚, 𝑏 = 4 𝑐𝑚, ℎ = 8𝑐𝑚
Rechnung:
Bestimmung der Höhe von der Ergänzungspyramide durch Anwendung des Strahlensatzes:
𝑏
𝑥
2⇔ 𝑥 =𝑏
=𝑎
𝑥+ℎ
𝑥+ℎ 𝑎
2
ℎ𝑏
𝑥 ∙ 𝑎 = (𝑥 + ℎ) ∙ 𝑏 ⇔ 𝑥𝑎 = 𝑥𝑏 + ℎ𝑏 ⇔ 𝑥𝑎 − 𝑥𝑏 = ℎ𝑏 ⇔ 𝑥(𝑎 − 𝑏) = ℎ𝑏 ⇔ 𝑥 =
𝑎−𝑏
8 𝑐𝑚∙4𝑐𝑚
16
x kann jetzt berechnet werden: 𝑥 =
⇔𝑥 =
𝑐𝑚
10 𝑐𝑚−4𝑐𝑚
3
2.22
𝐺𝑒𝑔𝑒𝑏𝑒𝑛: 𝑎 = 10 𝑐𝑚, 𝑏 = 4 𝑐𝑚, ℎ = 8𝑐𝑚, 𝐻 =
40
𝑐𝑚
3
Rechnung:
Vg ist das Volumen der großen Pyramide, VE ist das Volumen der Ergänzungspyramide
𝑉 = 𝑉𝑔 − 𝑉𝐸
1
40
1
16
𝑉 = (10 𝑐𝑚)2 ∙
𝑐𝑚 − (4 𝑐𝑚)2 ∙
𝑐𝑚
3
3
3
3
𝑉 = 416 𝑐𝑚3
Antwort: Antwort: Das Volumen des Pyramidenstumpfes mit den angegebenen Maßen
beträgt 416 cm3.
Gruppe 3
Pyramidenstumpf
(Lösung und Folge der Arbeitskarten)
Herleitung der Formel zur Berechnung des Volumens
durch Subraktion von Pyramidenvolumina
Planfigur:
x
A2
b
b
h
A1
a
a
x
b/2
h
a/2
Berechnung
Tipps für Schüler
Schritt 1: Aufstellen einer Formel
V1 sei das Volumen der Vollpyramide
V2 sei das Volumen der
Ergänzungspyramide
V = V 1 – V2
Das gesuchte Volumen ist gleich der
Differenz aus dem
Volumen V1 der Vollpyramide
und dem
Volumen V2 der Ergänzungspyramide
Arbeitskarte 1.1
V=
1
3
A1 ( h + x ) –
1
3
Ersetze V1 und V2 mithilfe der
Pyramidenformel,
rechter Term enthält A1, A2, h und x
A2 x
Arbeitskarte 1.2
V=
1
3
V=
1
3
[ A1 h + A 1 x – A2 x ]
1
3
ausklammern und die runde Klammer
ausmultiplizieren
Arbeitskarte 1.3
[ A1 h + x ( A1 – A2 ) ]
x ausklammern
Schritt 2: x durch bekannte Größen des Pyramidenstumpfes ersetzen
𝒂 𝒙+𝒉
=
𝒃
𝒙
Wende den 2. Strahlensatz an und stelle
eine Gleichung mit a, b, h und x auf
Arbeitskarte 2.1
𝒂𝟐 (𝒉 + 𝒙)𝟐
=
𝒃𝟐
𝒙𝟐
Quadriere die Gleichung
Arbeitskarte 2.2
𝑨𝟏 (𝒉 + 𝒙)𝟐
=
𝑨𝟐
𝒙𝟐
Ersetze a2 durch A1 und b2 durch A2
Arbeitskarte 2.3
√𝑨𝟏
√𝑨𝟐
=
𝒙+𝒉
𝒙
Ziehe die Wurzel
Löse die Gleichung nach x auf
Arbeitskarte 2.4
𝑥√𝐴1 = (𝑥 + ℎ)√𝐴2
Löse die Gleichung nach x auf:
Multipliziere die Gleichung mit
dem Hauptnenner
Arbeitskarte 2.5
𝑥√𝐴1 = 𝑥√𝐴2 + ℎ√𝐴2
Löse die Gleichung nach x auf:
Löse die Klammern auf
(ausmultiplizieren)
Arbeitskarte 2.6
Löse die Gleichung nach x auf:
−𝑥√𝐴2
𝑥√𝐴1 − 𝑥√𝐴2 = ℎ√𝐴2
Arbeitskarte 2.7
x ausklammern
𝑥(√𝐴1 − √𝐴2 ) = ℎ√𝐴2
Arbeitskarte 2.8
𝑥=
ℎ√𝐴2
Teile die Gleichung durch (√𝐴1 − √𝐴2 ),
da 𝐴1 ≠ 𝐴2
√𝐴1 − √𝐴2
Schritt 3: x durch den neuen Term ersetzen und die Formel umformen
V=
1
3
[ A1 h +
ℎ √ 𝐴2
√𝐴1 −√𝐴2
( A1 – A2 ) ]
Für x den Term
G2  h
G1  G2
einsetzen
Arbeitskarte 3.1
1
ℎ√𝐴2
𝑉 = [𝐴1 ℎ +
(√A1 − √A2 )(√A1 + √A2 )]
3
√𝐴1 − √𝐴2
3. binomische Formel
anwenden um den Nenner zu
beseitigen
Arbeitskarte 3.2
1
𝑉 = [𝐴1 ℎ + ℎ√𝐴2 (√A1 + √A2 )]
3
Kürzen
Arbeitskarte 3.3
𝑉=
1
[𝐴 ℎ + ℎ√𝐴2 √𝐴1 + ℎ√𝐴2 √𝐴2 ]
3 1
Runde Klammer
ausmultiplizieren
Arbeitskarte 3.4
1
𝑉 = [𝐴1 ℎ + ℎ√𝐴2 √𝐴1 + ℎ𝐴2 ]
3
Zusammenfassen
Arbeitskarte 3.5
1
𝑉 = ℎ[𝐴1 + √𝐴2 √𝐴1 + 𝐴2 ]
3
1
𝑉 = ℎ[𝐴1 + √𝐴1 √𝐴2 + 𝐴2 ]
3
h ausklammern