Spieler

www.uni-graz.at/iufwww/EU
www.wiwi.uni-frankfurt.de/Professoren/Ewert/EU
 Wagenhofer/Ewert 2002.
Alle Rechte vorbehalten.
Einführung und
institutionelle
Grundlagen
1.1
Modelltheoretische Grundlagen

Spieltheoretische Grundlagen (1)
 Ein Spiel umfasst zwei oder mehrere Spieler, deren Aktionen
die eigenen sowie fremde Ergebnisse umfassen. Jeder Spieler
maximiert sein eigenes Ergebnis x = x(a)
 Der Spielverlauf hängt von der Struktur des Spiels ab:
 Zeitliche Abfolge der Aktionen
 Informationsstand der einzelnen Spieler
 Aktionsräume der Spieler
 Ergebnisfunktionen
 Die Struktur des Spiels ist allen Spielern bekannt
1.2
Spieltheoretische Grundlagen (2)

Strategien der einzelnen Spieler
 Da die Struktur des Spiels bekannt ist, kann jeder Spieler
bereits ex ante für jede mögliche Spielsituation seine Aktion
festlegen
 Die Summe dieser Aktionen nennt man die Strategie des
Spielers
 Die Summe der Strategien determiniert das Ergebnis des
Spiels
 Reine Strategien
 Gemischte Strategien
 Spiele mit vollständiger Information
 Spiele mit imperfekter Information
1.3
Spieltheoretische Grundlagen (3)

Gleichgewichte
 Standardlösungskonzept: Nash-Gleichgewicht
U i (i* , *i )  U i (i , *i ) für alle i und i
Statisches Gleichgewichtskonzept: Gleichgewicht sagt nicht,
wie man dazu kommt
 Dominante Strategien:

U i (i* ,  i )  U i (i ,  i ) für alle i ,  i
 Bayessches Nash-Gleichgewicht:
 Gleichgewichtskonzept für Spiele mit imperfekter
Information
 Spieler wählen optimale Strategien, wobei sie ihre
Erwartungen anhand der Bayesschen Regel bestimmen und
updaten
1.4
Spieltheoretische Grundlagen (4)

Verfeinerungen (Refinements)
 Problem: in vielen Spielen ergeben sich mehrere
Gleichgewichte
 Welches Gleichgewicht wird letztendlich gespielt ????
 Refinements dienen der Identifikation von „realistischeren“
Gleichgewichten
 Subgame perfect Equilibrium
 Sequential Equilibrium
 Trembling Hand Perfect Equilibrium
1.5
Spieltheoretische Grundlagen (5)

Kooperative und nicht kooperative Spiele
 Kooperative Spiele: Zusammenarbeit, Absprachen,
Seitenzahlungen zwischen den Spielern
 Nichtkooperative Spiele: keine Möglichkeit, sich zu einem
bestimmten Verhalten zu verpflichten (Precommitment)

„Stackelberg“-Spiele
 Leader-follower Spiele
 Möglichkeit des leaders, sich zu einem bestimmten Verhalten
zu verpflichten
 Vorteil für den leader
 Follower kann nur reagieren
1.6
Agency-Modelle (1)

Spieler: Prinzipal, Agent
 Prinzipal verpflichtet sich zu einer Strategie (schließt Vertrag
mit dem Agenten)
 Agent kann Vertrag annehmen oder ablehnen

Typische Anwendungsgebiete:
 Analyse hierarchischer Situationen
 Verhältnis Eigentümer - Manager
 Unternehmensleitung – Bereichsmanager
 Manager – Arbeitnehmer
 Kreditgeber – Kreditnehmer
1.7
Agency-Modelle (2)

Grundlegendes Agency-Modell:
 Prinzipal Eigentümer einer Produktionstechnologie
 Agent erbringt Arbeitsleistung a
 Ergebnis x fließt dem Prinzipal zu, ist abhängig von der
Arbeitsleistung des Agenten x =(a,)
 a ist für den Prinzipal nicht beobachtbar
  ist eine stochastische Größe, die verhindert, dass der
Prinzipal von x auf a rückschließen kann ( non-movingsupport)
 a verursacht dem Agenten privaten Disnutzen (Arbeitsleid)
 Asymmetrische Information in Kombination mit Zielkonflikt
führt zu einem personellen Koordinationsproblem
(Anreizproblem)
1.8
Agency-Modelle (3)
1.9
 Zur Lösung dieses Anreizproblems bietet der Prinzipal einen
Entlohnungsvertrag mit geeigneten Leistungsanreizen an
 Dieser Vertrag muss dem Agenten zumindest seinen
Reservationsnutzen zugestehen
 Darüber hinaus wird der Vertrag so konzipiert, dass der
Agent die aus Sicht des Prinzipals ergebnismaximale
Arbeitsleistung erbringt
max E  x(a, )  S ( x ) 
S ,a
u.d.B.: E[U(S(x), a)]  U für alle a‚
a  arg max E U  S ( x ), a ' 
a'
(TB)
(AB)
Das LEN-Modell (1)
 L = linear;




E = exponentiell; N = normalverteilt
Ergebnis x linear in Arbeitsleistung und
stochastischer Größe x = a+
Die Entlohnungsfunktion ist linear in x
S(x) = S0 + sx
Nutzenfunktion des Agenten exponentiell und
multiplikativ separierbar in S und a
U(S, a) = -exp[-r(S - K(a))]
stochastische Größe ist normalverteilt mit N(0,2)
1.10
Das LEN-Modell (2)

1.11
Darstellung des Sicherheitsäquivalents:
r


E U ( S , a )   U  S0  s  E ( x )  K (a )   s 2   2 
2


 Erwartungswert der Entlohnung
 -Disnutzen
 -Risikoprämie

(TB) ergibt sich mit U  U(u) und E(x) = a als
r
S0  s  a  K ( a )   s 2   2  u
2

(AB) ergibt sich als
a  arg max s  a   K (a )
a'
Das LEN-Modell (3)

Umformung Erwartungsnutzen des Prinzipals:
E ( x )   S0  s  E ( x ) 

1.12
= a  K(a) 
r 2 2
 s  – u
2
Eingesetzt ergibt sich:
r
max a  K (a )   s 2   2  u
s
2
u.d.B.
r
S0  u  s  a  K ( a )   s 2   2
2
a  arg max s  a   K (a )
a'
Das LEN-Modell (4)

1.13
2
a
Mit K (a ) 
lassen sich folgende explizite
2 Lösungen errechnen:
s* 
1
1  r  2
1  r  2
S0  u 
2  (1  r   2 ) 2

Erw. Nutzen Prinzipal:
1
u
2
2  (1  r   )
Ein binäres Modell (1)



Zwei mögliche Ergebnisse
Zwei mögliche Arbeitsleistungen des Agenten
xH
xL
aH
pH
(1-pH)
aL
(1-pL)
pL
Es gilt: pH > (1-pL)
1.14
Ein binäres Modell (2)


Prinzipal ist risikoneutral
Agent ist risikoscheu: U ( S , a) 
1.15
S  V (a )
 Ersetze V(aj) durch vj mit vH>vL0 und ui  S ( xi )
 Nutzenfunktion des Agenten: U(S,a) = ui-vj

Optimierungsproblem:
max (1  pH )  ( xL  uL2 )  pH  ( xH  uH2 )
uL ,uH
u.d.B. (1  pH )  uL  pH  uH  vH  U
(1  pH )  uL  pH  uH  vH  pL  uL  (1  pL )  uH  vL
(TB)
(AB)
Ein binäres Modell (3)

Beide Nebenbedingungen binden im Optimum

Man erhält zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten,
uL und uH

Auflösen der Gleichungen nach uL und uH ergibt:
uL  U  v H 
pH
 ( vH  vL )
pL  pH  1
1  pH
uH  U  v H 
 ( vH  vL )
pL  pH  1
 S*(xi) = ui2
1.16