Lösungsverschläge Klausur Mikro B — Zweittermin

Mikrokonomik B, SoSe 2007
Wirtschaftstheorie II
Lennéstr. 37, 53113 Bonn
Gall, Moldovanu, Schweinzer
10.Okt.2007, 8:30–9:30
Hörsaal E
Lösungsverschläge Klausur Mikro B — Zweittermin
1. (a) (30%) Problem des Konsumenten:
√
max θi xi + y − pxi s.d. pxi + mi = y.
xi ,mi
Substituiere mi = y − pxi , dann ist BEO:
xi = θi2 /4p2 .
(b) (20%) Ableitung von xi nach y gleich Null.
(c) (30%) Nachfrage-Aggregation:
½
20 − p
D
x (p) =
24 − 2p
falls p > 4
sonst.
Das Optimierungsproblem von U ergibt sich vollständig zu:

falls p ≥ 20,
 0
D
D
2
22p − p − 43
falls 4 < p < 20,
max px (p) − c(x (p)) =
p

28p − 2p2 − 51 sonst.
(1)
(2)
(d) (10%) Sei p < 4, also ist xD > 16, dann ist der Grenzertrag 28 − 4p > 0 und
U profitiert von höherem p. Also kann p < 4 nicht gewinnmaximierend sein und
xB = 0.
(e) (10%) Im kompetitiven Gleichgewicht gilt Preisnehmerschaft und Preis ist
gleich Grenzkosten. D.h. Preis ist 2, Gewinn-maximale Ausbringungsmenge ist
0 wegen der Fixkosten. Also ist Angebot 0, damit sind auch Konsumenten- und
Produzentenrente 0.
1
2. (a) (30%) Unter beobachtbarer Arbeitsanstrengung wird der Prinzipal den optimalen Vertrag vom tatsächlich eingesetzten Arbeitsaufwand abhängig machen.
(Unter einem produktionsabhängigen Vertrag ist der Agent Risiko ausgesetzt für dessen Übernahme ihn der Prinzipal bezahlen muß.) Da der
Prinzipal keine Ursache hat dem Agenten eine Rente zu überlassen, wird
die individuelle Rationalitätsbedigung (IR) des Agenten binden, dh, da der
Reservationsnutzen des Agent Null ist,
√
w = e, bzw w∗ = e2
∗
und somit wH
= 36, wL∗ = 16 für e ∈ {eH = 6, eL = 4}. Dem Prinzipal gibt
die Implementierung von eH einen Profit von
oH − wH =
1
(600 + 600 + 300) − 36 = 464
3
und die Implementierung von eL einen Profit von
oL − wL =
1
(300 + 600 + 300) − 16 = 384
3
und deshalb wird der Prinzipal die Implementierung von eH bevorzugen.
(b) (50%) Unter unbeobachtbarer Arbeitsanstrengung muß der Prinzipal den
optimalen Vertrag von der beobachteten Produktion abhängig machen. Da
der Prinzipal risikoneutral aber der Agent risikoavers ist, ist es für den
Prinzipal billiger das gesamte Risiko zu übernehmen. Dh, daß das Optimierungproblem des Prinzipals zur Implementierung von eH zwei Nebenbedingungen erfüllen muss
√
√
IRH : 32 wH + 13 wL − 6 ≥ 0,
√
√
√
√
ICH,L : 23 wH + 13 wL − 6 ≥ 31 wH + 23 wL − 4.
Wie oben bindet (IRH ) und wir können den sich ergebenden Lohn in (ICH,L )
substituieren. Da der Prinzipal auch hier keine Ursache hat dem Agenten
eine Rente zu überlassen, wird auch (IC) binden, und wir erhalten wL =
4, wH = 64. Der nötige Lohn wH ist höher als unter (a), da der der Agent
für das Risiko eines niedrigen Produktionsertrages trotz hoher Anstrengung
versichert werden muss.
(c) (20%) Einsetzen der wL , wH aus (b) in die Zielfunktion des Prinzipals ergibt
π(eH ) =
2
1
(600 − 64) + (300 − 4) = 456.
3
3
Das nicht optimale Anstrengungsniveau eL kann der Prinzipal am billigsten
durch das Anbieten des first-best Vertrages wL = 16 unter (a) implementieren. Dies gibt dem Prinzipal einen Nutzen von 384. Daher wird der
Prinzipal auch unter unbeobachtbarer Arbeitsanstrengung eH implementieren.
2