Doku_final

Standortprobleme
gegeben:
Punkte in der Ebene
Zielfunktion
(verbotenes Gebiet in der Ebene)
gesucht:
Punkt Z in der Ebene, der die Zielfunktion
minimiert
Zielfunktionen
4
min2 max xi  y
yR
i 1,.. 4
- minimaler maximaler Weg
- arbeitnehmerfair
min2
yR
x y
i 1
i
- minimale Summe aller Wege
- Zielfunktion der minimalen Kosten
- arbeitgeberfreundlich
Erste Versuche
-
Schnittpunkte benachbarter
Mittelsenkrechten bilden ein neues
Vieleck.
-
wiederholtes Anwenden konvergiert
scheinbar gegen einen Punkt
-
Eigenschaften des Punktes sind unklar,
aber er ist nicht der gesuchte Punkt
-
Schwerpunkt
(Dominanz benachbarter Punkte)
Lösungen
Zweiter Versuch (graphische Lösung):
Dualer Ansatz
-
Zeichne um jeden Punkt einen Kreis mit
dem Radius r.
-
Vergrößere r bis es einen Punkt Z gibt,
der in allen Kreisen liegt.
-
Z ist der gesuchte Standort.
Lösungen
Algorithmus:
-
Ermittle die längste Strecke zwischen zwei Punkten. Zeichne um
den Mittelpunkt M dieser Strecke einen Kreis mit dem Radius der
halben Streckenlänge
(2-Punkt-Problem).
-
Befinden sich keine Punkte außerhalb des Kreises, dann ist M die
gesuchte Lösung Z.
-
Befinden sich Punkte außerhalb des Kreises, dann müssen für
alle möglichen Punkttripel die dazugehörenden Umkreise
ermittelt werden
(3-Punkt-Problem).
-
Der Mittelpunkt M des Umkreises mit dem kleinsten Radius, in
dem sich alle Punkte befinden, ist die gesuchte Lösung Z.
Verbotenes Gebiet
„Verbotene Gebiete“ (graphische Lösung):
Zeichne um jeden Punkt einen Kreis mit
dem Radius r.
Vergrößere r bis es einen Punkt Z gibt, der
in allen Kreisen liegt.
Z wäre der optimale Standort.
Falls Z in dem „verbotenen Gebiet“ liegt,
vergrößere die Kreise solange, bis zu
mindest ein gemeinsamer Punkt aller
Kreise außerhalb des Gebietes liegt.
Wähle einen dieser Punkte.
Verbotenes Gebiet
Algorithmus:
Bearbeite zuerst alle 2-Punkt Probleme.
Falls sich keine Lösung ergibt, bearbeite alle 3-Punkt Probleme.
2-Punkt Problem
Suche den größten Abstand zweier Punkte.
Z ist die Mitte dieser Strecke, falls Z nicht
im verbotenen Gebiet liegt.
oder
Z ist einer der Schnitt der Mittelsenkrechten
mit dem Rand oder eine der Projektionen der
Punkte auf den Rand.
3-Punkt Problem
Z ist der Umkreismittelpunkt, falls Z nicht
im verbotenen Gebiet liegt.
oder
Z ist einer der Schnitt der Mittelsenkrechten mit dem
Rand oder eine der Projektionen der Punkte auf den
Rand.
Zielfunktionen
4
min2 max xi  y
yR
i 1,.. 4
- minimaler maximaler Weg
- arbeitnehmerfair
min2
yR
x y
i 1
i
- minimale Summe aller Wege
- Zielfunktion der minimalen Kosten
- arbeitgeberfreundlich
Steiner Punkt
4
min2
yR
x y
i 1
i
- Versuch und Irrtum in Geogebra
- die Verbindungsstrecken von Z zu den Punkten
A, B, C bilden Winkel von 120°
- Z ist der Steiner Punkt
- Konstruktion über gleichseitige Dreiecke
Mannheim-Metrik
min2  Ai  Z  min2   ai1  z1  ai 2  z 2 
4
Z R
i 1
4
Z R
i 1
4
 1 z1  ai1 !
 4
Ai  Z   
0

z1  ai1
z1 i 1
i 1  1
- Zielfunktion ist stückweise differenzierbar
- Koordinaten von Z sind die Mediane der Koordinaten der Punkte
Euklidische-Metrik
4
4
min2  Ai  Z 2  min2 
Z R
Z R
i 1
i 1
ai1  z1 2  ai 2  z2 2
Approximation durch:
4
min2  ai1  z1   ai 2  z 2 
Z R
2
2
i 1
4
!

2
2
ai1  z1   ai 2  z 2    2ai1  z1   0

z1 i 1
i 1
4
4

z1 
a
i 1
4
i1
Z ist der Schwerpunkt der Punkte
Unterricht
Problem 1:
Problem 2:
8. Klasse, frei stellbar
LK 12, angeleitet
Vorwissen:
Vorwissen:
Mittelsenkrechte
Euklidische Norm
Thaleskreis
Ableitung
Umkreis, Umkreismittelpunkt
Extremwertprobleme
Winkel
Geometriesoftware