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Qualität von Netzen • • • • Definition von Qualität Präzision Zuverlässigkeit Beispiel Datumsfestlegung – Qualität Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Was ist Qualität? Vier Bedingungen für Qualitätskriterien: – allgemein anerkannt – nachvollziehbar – objektiv – adäquat Qualität oft wertend: „gute Qualität“ Hängt oft von der Aufgabe ab Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Anerkannte Definition „Grad, in dem ein Satz inheränter Merkmale Anforderungen erfüllt“ (ISO 9000) Immer im Kontext mit Anforderungen Geographische Daten (Guptill & Morrison 1995): – – – – – – Vollständigkeit Positions- und Attributsgenauigkeit Aktualität Auflösung bzw. Maßstab Konsistenz (Abwesenheit von Widersprüchen) Herkunft Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Qualität in der Geodäsie? Gezielt gesetzt Schwerpunkte Unterscheidung zwischen – Präzision – Zuverlässigkeit Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Präzision Mit wie vielen signifikanten Stellen wurde ein Wert bestimmt? Statistische Verteilung der Realisierungen Nur korrekt, wenn funktionales Modell und a priori Annahmen über Standardabweichung und Korrelation korrekt Qualität des Entwurfes Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Zuverlässigkeit Kontrollmöglichkeiten im Ausgleichsmodell Kriterien für Kontrollierbarkeit von Beobachtungen Abschätzung des Einflusses nicht aufdeckbarer Fehler auf die Unbekannten Qualität der Realisierung Aussagen über den Schutz vor groben Fehlern Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Beurteilung der Präzision Beurteilung von erforderlicher bzw. erreichter Präzision notwendig Maße für die Präzision eines Punktes sollte geometrisch anschaulich sein Es gibt noch Maße für die Präzision von Funktionen und des gesamten Netzes (globale Kriterien für die Präzision) Maße für die Präzision sind meist datumsabhängig Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Präzision von Netzpunkten Maßgeblich ist die Kovarianzmatrix C xx s02Q xx mit 2 0 ist s02 v T Pv nf Zu beachten: s nur Schätzwert für die 2 Gewichtseinheit 0 - umso genauer je höher die Anzahl der Freiheitsgrade nf 2 Bei a-priori-Ausgleichung: xx 0 Q xx Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil q x1x1 q y1x1 q x 2 x1 q y 2 x1 q x 3 x1 q y 3 x1 q xpx1 q ypx1 q x1 y1 q y1 y1 q x 2 y1 q y 2 y1 q x 3 y1 q y 3 y1 q xpy1 q ypy1 q x1x 2 q y1 x 2 qx 2 x 2 qy2x2 qx3 x 2 qy3x2 q xpx 2 q ypx 2 q x1 y 2 q y1 y 2 qx 2 y 2 qy2 y2 qx3 y 2 q y3 y 2 q xpy 2 q ypy 2 q x1x 3 q y1x 3 qx 2 x3 q y 2 x3 qx3 x3 q y3 x3 q xpx3 q ypx3 q x1 y 3 q y1 y 3 qx 2 y 3 qy 2 y3 qx3 y 3 q y3 y3 q xpy 3 q ypy 3 q x1xp q y1xp q x1xp q y1xp q x1xp q y1xp q xpxp q ypxp q x1 yp q y1 yp q x1 yp q y1 yp q x1 yp q y1 yp q xpyp q ypyp Standardabweichung Konfidenzhyperellipsoid, FehlerRelative der undKoordinaten Eigenwertkriterien, Konfidenzellipse Fehler- und oder Konfidenzellipsen und mittlere Hauptkomponentenanalyse Punktlagefehler Präzision der Koordinaten etc. Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Lokale Kriterien für die Präzision • • • • • • • Präzision einzelner Beobachtungen Präzision einzelner Unbekannter Präzision von Funktionen der Unbekannten Helmertsche Fehlerellipse Präzision eines Koordinatenpaares relative Fehlerellipse (relative) Konfidenzellipse Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Präzision einzelner Beobachtungen A priori- Präzision der Beobachtungen in ll stochastisches Modell der Ausgleichung T • A posteri- Präzision : Q lˆlˆ AQ xx A • Kofaktoren/Kovarianzen der Qvv Qll Qlˆlˆ Verbesserungen: Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Präzision einzelner Unbekannter • Varianz x2, y2, z2 (h2) • Standardabweichung x, y, z (h) Direkt abgelesen aus Kofaktormatrix Qxx s xi s0 q xi xi bzw. s yi s0 q yi yi Abhängig von der Lage des Koordinatensystems eher selten verwendet • Konfidenzintervall (siehe A1) Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Präzision von Funktionen der Unbekannten Gegeben: Beliebige Funktion j=fTx und die Kovarianzmatrix xx der Unbekannten x Gesucht: Varianz der Funktion j Kovarianzfortpflanzungsgesetz (siehe A1): j2 f T xx f Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Helmert‘sche Fehlerellipse Gegeben: sx und sy Gesucht: Mittlerer Fehler des Punktes in einer beliebigen Richtung Ergebnis: Fußpunktskurve mit den Halbachsen A und B Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Herleitung (1) Konfiguration: – Punkt P mit Koordinaten x und y, Standardabweichungen sx und sy – Punkt P mit Koordinaten x und h ist fehlerfrei gegeben – Punkt P rotiert auf Kreisbahn um Punkt P Bestimmung des Streckenfehlers PP über Fehlerfortpflanzungsgesetz Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Herleitung (2) r x x y h 2 2 2 2r dr 2x x dx 2 y h dy Fehlerfortpflanzungsgesetz liefert x x 2 y h 2 sr2 sx sy r r x x cos , Einsetzen von r 2 2 sr2 sx2 cos 2 s y2 sin 2 y h sin r liefert Fußpunktskurve einer Ellipse mit sx, sy Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Fußpunktskurve Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Fehlerellipse Ellipse der Fußpunktskurve heißt mittlere Fehlerellipse nach Helmert oder Standard–Ellipse Bei P auf x- oder y-Achse: = 0 / = p/2, sr fällt mit Halbachsen sx bzw. sy der Ellipse zusammen Voraussetzung für diesen Weg: sx und sy unabhängig voneinander, also sxy = 0 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Allgemeine Lösung (1) Transformation t x cos j y sin j u x sin j y cos j Allgemeines Fehlerfortpflanzungsgesetz liefert aus der Kofaktorenmatrix Qxx die Kofaktorenmatrix im gedrehten System 2 2 qtt qxx cos j 2q xy sin j cos j q yy sin j quu q xx sin 2 j 2q xy sin j cos j q yy cos 2 j qtu cos j sin j q yy q xx q xy cos 2 j sin 2 j Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Allgemeine Lösung (2) Suche der Extremwerte und der zugehörigen Richtungen: Ableitung nach j dqtt 2qxx sin j cos j 2qxy cos j 2 sin j 2 2q yy sin j cos cos j dj Als Extremwertaufgabe gleich Null gesetzt 2 2 0 2sin j cos j q q 2 q cos j sin j xy xx yy sin 2j cos 2j Vergleich mit Kofaktoren im gedrehten System: Bei qtu=0 Drehwinkel j gleich Richtung der max. Varianz F Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Allgemeine Lösung (3) Wenn also j gleich der Richtung der max. Varianz, dann qtt und quu unabhängig mit extremen Werten tan 2j min, max sin 2j extr cos 2jextr 2q xy : tan 2 q xx q yy tan 2j 1 tan 2j 1 1 tan 2j Qtt ,min, max q 2q xy q yy 4q q xx q yy 2 xx q 1 qxx q yy 1 2 2 2 xy 2 q yy 4q xy 2 xx q 2 q yy 4q xy qxx , qhh 2 xx cos 2 j 1 1 cos 2j 2 sin 2 j 1 1 cos 2j 2 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Allgemeine Lösung (4) Netzbilder: Meist Ellipse gezeichnet 1 Beziehungen: AF2 s x2 s y2 w BF2 2 1 2 s x s y2 w 2 w s s 2 2 x 2 2 y 2 4 s xy Richtungswinkel der großen Halbachse: F 2 s xy 1 atan 2 s s2 2 y x Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Wahre Punktlage vs. Helmert‘sche Fehlerellipse Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Fehlerellipse die wahre Punktlage überdeckt: ~29-39% (abhängig vom Freiheitsgrad) Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Berechnung über Spektralzerlegung Zerlegung des entsprechenden Ausschnittes Qii der Kofaktormatrix Qxx in Spektralmatrix D mit Eigenwerten l1 und l2 Modalmatrix S mit Eigenvektoren s1 und s2 Qii Si Di STi s1 l1 0 s1T T s 2 0 l2 s 2 mit den Kenngrößen AF2 s02 l1 , tan F Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil s1x s1 y BF2 s02 l2 Genauigkeit eines Koordinatenpaares (1) • Punktlagefehler (siehe A1) • Helmertscher (mittlerer) Punktlagefehler 2 2 2 2 2 2 2 sH sx s y s0 tr Qii s0 l1 l2 AF BF Längenmaß, auch Spurkriterium Keine Wahrscheinlichkeitsaussage möglich • Werkmeisterscher Punktlagefehler 2 2 2 2 2 2 sW sx s y sxy s0 detQii s0 l1 l2 Flächenmaß, daher auch Flächenkriterium oder Volumenkriterium (bei 3D) Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Genauigkeit eines Koordinatenpaares (2) Punkte mit unterschiedlicher Fehlerellipse können denselben Punktlagefehler haben Werkmeisterschem Punktlagefehler: Extreme Achslängen der Fehlerellipse werden nicht erkannt! Tritt beim Helmertschen Punktlagefehler nicht auf Kleines Problem bei Helmert: Wert ist größer als große Halbachse der Fehlerellipse „totaler“ mittlerer Punktfehler nach Friedrich Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Relative Fehlerellipse (1) Relativpräzision zwischen zwei Punkten Pi und Pk Präzision des Mittelpunktes der Verbindungsgeraden Zunächst Kovarianzmatrix der Koordinatendifferenzen: ik ii kk ik ki 1 1 A s s w , B s s w 2 2 2 F 2 x 2 y 2 F R 2 sxy 1 R atan 2 s s2 2 y x mit 2 x 2 y wR s2x s2y Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil R 2 4 s2xy Relative Fehlerellipse (2) Graphische Darstellung der relativen Fehlerellipse meist in der Mitte der Verbindungsgeraden Existiert auch für zwei Punkte mit Abstand Null (z.B. mittlerer Durchschlagsfehler eines Tunnels) Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Konfidenzellipse (1) Bereich, der mit einer Wahrscheinlichkeit von 1-a die wahre Punktlage überdeckt Kenngrößen aus entsprechenden Elementen der Helmertschen Fehlerellipse durch Multiplikation mit 2 2 – 2,1a bei theoretischem Wert für 0 2 – 2 F2, f ,1a bei empirischem Wert für 0 90%: doppelte Achslänge 99%: über dreifache Achslänge Fläche: mehr als 10x so groß! Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Konfidenzellipse (2) AK2 22,1a AF2 , BK2 22,1a BF2 , K F bzw. A 2 F2, f ,1a A , B 2 F2, f ,1a B , K F 2 K 2 F 2 K 2 F Relative Konfidenzellipse entsprechend 2 2 ARK 2 F2, f ,1a AR2 , BRK 2 F2, f ,1a BR2 , RK R Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Globale Maße der Präzision Gesamte Kovarianzmatrix wird zur Berechnung herangezogen Insbesondere bei Netzoptimierung verwendet Arten – – – – – Konfidenzhyperellipsoid Rayleigh-Relation Homogenität/Isotropie Hauptkomponentenanalyse Kriteriummatrix Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Konfidenzhyperellipsoid Verallgemeinerung der Betrachtungen zur 0 s1T l1 Fehlerellipse führt zu T l1 s 2 Q xx s1 s 2 s u 0 l1 sTu Eigenwerte größenmäßig absteigend angeordnet Halbachsen des Konfidenzhyperellipsoides: Ai2 s02 li u2,1a Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Gütekriterien (1) Volumen des Konfidenzhyperellipsoides Das führt zu det s02Q xx s02 l1 s02 l2 s02 lu u s02 li min i 1 Ist eine Verallgemeinerung des Werkmeisterschen Punktfehlers Analogon zum Helmertschen Punktfehler: Spur- oder Varianzkriterium tr s02Q xx s02 l1 s02 l2 s02 lu u s02 li min i 1 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Gütekriterien (2) Durchschnittlicher Eigenwert oder mittlere Koordinatengenauigkeit trQ xx li 2 l s0 u u Durchschnittlicher (Helmertscher) Punktfehler s 2 2trQ xx 2s 2 li 2s 2 l H u 0 u 0 Auch Eigenwerte der Kofaktormatrix zur Berechnung verwendbar Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Rayleigh-Relation Beschränkung der resultierenden Präzision für beliebige Funktionen der Unbekannten Rayleigh-Quotient wird eingeschränkt: lmin f T xx f T f f lmax Sinnvolle Präzisionsforderung: Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil lmax lmin Homogenität/Isotropie • Homogen: Kein Punkt unterscheidet sich von einem anderen Punkt in irgendeiner Weise • Isotrop: Es gibt keine ausgezeichnete Richtung Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Homogenität/Isotropie bei geodätischen Netzen • Homogenes Netz: Die lokalen Kriterien der Präzision (z.B. Helmertsche Fehlerellipsen) zeigen in allen Punkten dieselbe Tendenz • Isotropes Netz: Die Präzision ist in allen Richtungen gleich groß (die Helmertschen Fehlerellipsen sind Kreise) Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Beurteilung von Homogenität Minimaler und maximaler Eigenwert lmax lmin bzw. lmax lmin Immer nur näherungsweise erfüllt! Homogenität und Isotropie nehmen zu je näher die Differenz bei Null bzw. der Quotient bei Eins liegt Homogene und isotrope Situationen sind nicht immer optimal (z.B. Tunnelvortrieb) Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Hauptkomponentenanalyse p1 s1 l1 Erste Hauptkomponente mit dem maximalen Eigenwert l1 und dem zugehörigen normierten Eigenvektor s1 Deckt Schwachstellen auf (Richtungen, die am schlechtesten bestimmt sind) Extreme Netzsituationen: größter EW bis zu 40-60% der Gesamtvarianz wesentlicher Eigenvektor Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Kriteriummatrix Auch Kriterion-Matrix Spiegelt die vollständige Struktur der Kovarianzmatrix wider, hat aber eine geänderte Struktur Hat sich noch nicht durchgesetzt Siehe Grafarend (1979) Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Optimierung • A-Optimalität: minimale Spur von xx r • D-Optimalität: minimale Determinante v. xx r xx ist die aus den nicht-verschwindenden Eigenwerten von xx gebildete Diagonalr l matrix, also i min • E-Optimalität: minimaler Wert von lmax • S-Optimalität: minimale Differenz lmax-lmin Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Beurteilung der Zuverlässigkeit Geodätische Arbeitsweise: Durchgreifende Kontrollen Einfache Kontrolle: Wiederholung der Messung – nicht immer durchgreifend – – – – Refraktion gleich Automatische Korrekturparameter falsch Gerät nicht genau aufgestellt … Notwendig daher: Geometrisch anders wirkende Kontrolle Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Beispiel Neupunktsbestimmung für Punkt N Mögliche Messgrößen: Strecken, Winkel Eindeutige Lösung: Beliebige Kombination zweier Beobachtungen – Genauigkeit möglicherweise erreicht aber: Keine Kontrolle! 3. Beobachtung: Kontrolle, bei Fehler Bestimmung von N immer noch möglich Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Definition Zuverlässigkeit Ein geodätisches Netz ist zuverlässig, wenn allfällige Modellfehler entdeckt und eliminiert werden können Zuverlässigkeitskriterien beantworten die Fragen – – – – Gibt es grobe Fehler? Ist eine Beobachtung genügend kontrolliert? Wo liegt die Grenze nicht erkennbarer Fehler? Welchen Einfluss auf das Ergebnis hat dieser Grenzwertfehler? Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Beantwortung? Statistische Testverfahren Oft genaue Berechnung nicht notwendig, da nur relative Angaben für Entscheidung zwischen Varianten nötig • Innere Zuverlässigkeit – Standardisierte Verbesserungen – Redundanzanteil – Maximal aufdeckbare Ausreißer • Äußere Zuverlässigkeit – Durchschnittl. Einfluss eines Beobachtungsfehlers Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Standardisierte Verbesserungen Verbesserungen aus Ausgleichung sind normal verteilt mit Mittelwert Null und Standardabweichung v s0 qvv(ii) Standardisierte Verbesserung: Division durch Standardabweichung (vgl. normierte v Normalverteilung), also w Beobachtungen mit großem wi werden näher untersucht und eventuell eliminiert (z.B. 3-Regel) i i i vi Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Redundanzanteil (1) Statistischer Test: Mit Redundanz nf=n-u (n-n0 bei bedingter Ausgleichung) wird die 2 Streuung der wahren Fehler E ( p ) geschätzt über 2 v T Pv s nf 2 2 T 2 s oder E v Pv | H s nf Nullhypothese: 0 0 Aussage: Stichprobe gehört der Grundgesamtheit an, also nur zufällige Fehler Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Redundanzanteil (2) Alternativhypothese E v T Pv | H a s 2 n f l oder v T Pv v T Pv l E 2 | H a E 2 | H 0 s s Einführung von v für die Differenz der Verbesserungen bei Null- und Alternativhypothese, also v=v|Ha-v|H0 Gemischte Glieder verschwinden l 1 2 E v T Pv 0 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Redundanzanteil (3) Parameter l hat also zwei Bedeutungen: – Fiktive Erweiterung der Redundanz – Normierte Differenz der quadratischen Form vTPv von Null- und Alternativhypothese Betrachten wir die Macht des Tests: Wahrscheinlichkeit für Annahme einer falschen Hypothese: 1-b und somit s2 1 b P 2 F1a ,m,n | H a Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Redundanzanteil (4) Testgröße F1-b,m,n ist Fisher-verteilt mit Redundanzen m und n bei Berechnung von s2 bzw. 2 l geht über in l=l(a,b,m=nf,n=∞) Parameter b kann ausgedrückt werden als b f ( Fm,n,l )dF (m, n, l ) mit m=nf und n=∞ F1a ,m ,n Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Redundanzanteil (5) Übergang von Erwartungswerten auf konkrete Werte liefert l 1 2 v Pv T 1 2 l T PQ vv Pl Prüfung dieser Beziehung benötigt Untersuchung des Zusammenhanges zwischen v und l Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Redundanzanteil (6) 1 x A PA A Pl 1 T x in v eingesetzt gibt v AN A P I l 1 Zusätzlich bekannt Q ll P v Ax l T Q xx N T 1 1 Q lˆlˆ AN A T Q vv Q ll Q lˆlˆ Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Redundanzanteil (7) Einsetzen für Qvv gibt AN Q vv Q ANAAP APPP P IQ P PI AN Q 1 Q vv Q ll AN A P I 1 ll 111 T11 T TT lˆlˆ 1 T 111 ll Multiplikation von rechts mit –l gibt 1 ll 1 Q vv Q l AN A P I l v Und somit T 1 ll v Q vv Q l Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Redundanzanteil (8) 1 1 T l v P v l PQ vv Pl Zum Ausdruck 2 2 T kommen wir, indem wir v=Ax-l in vTPv T T T T PAx l v Pv x A l einsetzen: T T T v Pv l PAx l Pl Herausheben von –lTP gibt vT Pv lT PAx l lT Pv Wir setzen nun den gerade berechneten Ausdruck für v ein und erhalten v Pv l PQ vv Pl T T Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Redundanzanteil (9) Übergang auf Differenzen liefert v Pv l PQ vv Pl T T Uns interessiert nun im Vektor l genau die Komponente li , welche die Verschiebung l bewirkt. Wir setzen also l 0 0 li T Und erhalten li 0 0 l PQ vv P ii Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Redundanzanteil (10) Der Nenner ergibt sich zu PQ vv P P PA A PA T 1 T A P Und mit P=I erhalten wir li l0 I AA A A T 1 T ii Nenner: Steigerung der Präzision der Beobachtung durch die Ausgleichung l0 bestimmt mit konkreten Werten für a0 (klein), b0 (groß), nf=1 (1 konkrete Beob.) und n=∞ Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Redundanzanteil (11) Je größer li, desto größer kann der entsprechende Fehler bei gleicher Auswirkung l sein. Grober Fehler fällt nur auf, wenn er größer als li ist. Normale Ausgleichsgeometrien: Grober Fehler schlägt sich hauptsächlich in Werte in Hauptdiagonale von Q vv Q ll1 sind größer als die übrigen Werte der Zeile Verbesserung dieser Beobachtung nieder einer Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Redundanzanteil (12) Grober Fehler li Auswirkung auf entsprechende Verbesserung: vi Q vv Q ll1 ii li ri li Verbesserung vorhanden, welche diesen Grenzwert überschreitet: Kann als grob falsch angesehen werden Parameter ri … Redundanzanteil der i-ten Beobachtung Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Aussage der Redundanzanteile Zunehmender Betrag von ri zunehmende Kontrolle • ri = 0: vollkommen unkontrolliert • ri < 0,3 : geringe Kontrolle – Aufdeckung grober Fehler kaum möglich • 0,3 < ri < 0,7 : gute Kontrollierbarkeit • ri > 0,7 : sehr gute Kontrolle, Notwendigkeit? • ri = 1 : vollständig kontrolliert überflüssig ri ist gleich der Gesamtredundanz Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Optimales Netz • Alle Beobachtungen kontrolliert • Alle Redundanzanteile etwa gleich groß Reduktion der Beobachtungen möglich, wenn häufig Redundanzanteile von 70% und mehr Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Lokale Zuverlässigkeit Bestimmt aus Quotient der entsprechenden ( ii ) Diagonalenglieder qvv zi qll( ii ) Summe im Allgemeinen größer als Gesamtredundanz außer unkorrelierte Beobachtungen Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Kleinster aufdeckbarer Ausreißer Innere Zuverlässigkeit beschreibt Kontrollierbarkeit der Beobachtungen innerhalb des Netzes Bisher: Angaben über die innere Zuverlässigkeit l 0li d0 Weiteres Maß: Grenzwert ri Grober Fehler gerade noch aufdeckbar Nichtzentralitätsparameter d0 üblicherweise gesetzt zu 4,13 (a0=0,1% und b0=80%) i Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Äußere Zuverlässigkeit Auswirkungen unentdeckter Beobachtungsfehler auf die Unbekannten Für Nutzer oft wesentlich wichtiger! Oft verwendetes Maß: Durchschnittlicher Einfluss eines Beobachtungsfehlers 1 ri d 0i d0 ri Möglichst klein ( 0) Ist datumsinvariant Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Bemerkungen • Optimieren von Netzen verlangt Fingerspitzengefühl (wie genau messe ich tatsächlich?) • Erforderliche Qualität variiert mit der Anwendung – Landesvermessung: möglichst homogen und isotrop – Tunnel: Querrichtung wichtiger als Längsrichtung • Unsere Qualitätsangaben sind in der Praxis oft problematisch: Juristen denken in absoluten Zahlen (Twaroch 2005), Baunormen verwenden maximal erlaubte Toleranzen (Peters 1974) • Projekte: Qualität oft vorgegeben (ENV 13005: Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement) Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Qualitätskriterien Präzision innere P. a-priori P. Zuverlässigkeit äußere P. lokale P. globale P. innere Z. äußere Z. Redundanz Einfluss eines Fehlers auf die Unbekannten Statistische Tests Nabla-Operator a-posteriori Präzision Punktfehler Fehlerellipse Konfidenzellipse relative Fehlerellipse relative Konfidenzellipse Konfidenzhyperellipsoid Hauptkomponentenanalyse Homogenität Isotropie Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Einfluss eines Messwertes auf die Punktlage Kap. 5: Beispiel Streckennetz • • • • • Zusammenhang Datum – Qualitätsmaße Langgestrecktes Netz (Trasse, Tunnel, …) A priori- Präzision 2mm+1ppm 22 Punkte, 45 Unbekannte, 102 Strecken Datumsdefekt d = 4 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Zwangsfreie Ausgleichung (1) • Datumsfestlegung: 4 Koordinaten (2 Punkte) festgehalten Redundanz 61 (102 - 41) • Bei jeder Datumsfestlegung andere Fehlerellipsen • Gerechnete Varianten: Festgehalten sind – Linke Eckpunkte – Obere Eckpunkte – Mittlere Punkte Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Zwangsfreie Ausgleichung (2) Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Zwangsfreie Ausgleichung (3) • Redundanzen für 1. Fall (Festhalten 1 und 12) zwischen 50 und 65% • Strecke 1 nach 12 (beides Festpunkte) hat nicht 100%! • Ursache: Maßstab! von nach ri [%] 1 2 56 2 13 61 1 12 56 2 14 63 1 13 63 3 2 56 2 1 56 3 4 56 2 3 56 3 13 63 2 12 63 3 14 61 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil von nach ri [%] Gezwängte Ausgleichung • 4 Eckpunkte für Datum 37 Unbekannte, Freiheitsgrad 65 • Kleinere Fehlerellipsen Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Teilspurminimierung • Eckpunkte als Passpunkte • Keine Festpunkte Fehlerellipsen für alle Punkte • Freiheitsgrad 61 = 102-45+4 (Lagerungsbedingungen) Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Gesamtspurminimierung • Alle Punkte als Passpunkte • Keine Festpunkte Fehlerellipsen für alle Punkte • Freiheitsgrad 61 • Beachte Lage der kleinsten Fehlerellipsen! Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil
