Bohrsches Atommodell

Kernstruktur des Atoms
Wie ist Ladung und Masse im Atom verteilt?
Positive Ladung und Masse lokalisiert oder delokalisiert?
Kernstruktur des Atoms
Betrachte die STREUUNG geladener Teilchen
“Streuwinkel”

“Stoßparameter” b
Kernstruktur des Atoms
“Streuwinkel”

“Stoßparameter” b
Z1Z2 e2
b=
mv2 tan(/2)
für Coulomb Abstoßung zwischen Punktteilchen
Kernstruktur des Atoms
“Streuwinkel”

“Stoßparameter” b
Kann nicht “Zielen” d.h. kenne b nicht
 ist die einzige Messgröße
“Schrotgewehr”
Z1Z2 e2
b=
mv2 tan(/2)
d.h .für reine Coulombstreuung an Punktteilchen
erwartet man eine Wahrscheinlichkeitsverteilung
der Streuwinkel 1/sin4(/2)
Fläche =2  
 b db
Ringzone = Raumwinkel dR
für Streuung zwischen Θ und Θ+dΘ
dR  2   sin   d
d
j  2    b  db  j  dR 
j sei Stromdichte der einfallenden Teilchen
d
2
d
b db

Z

Z

e
1
2
mit b  a  cot und a 

2
m  v2
d sin  d
a2
d  a  cos / 2
1
a
4 
 sin
2
sin

/
2
2

cos

/
2

sin

/
2
2

sin

/
2
4
2
d
Energie fest,
detektiere Streuwinkel
Setzt reine Coulombstreuung
voraus.
d.h. wenn Kernberührung ->
Abweichungen!
Z1  Z 2  e 2  1  
rm 
 1  R1  R2  3 fm
 sin
2
mv 
2 
rm
“Coulomb Schwelle”
(einige MeV/u)
Winkel fest, variiere Energie
Setzt reine Coulombstreuung
voraus.
d.h. wenn Kernberührung ->
Abweichungen!
Rutherfords Erklärung
Weil einige der positiv geladenen Alpha Teilchen
beträchtlich abgelenkt wurden, schloss Rutherford
daraus, dass sich im Innern des Atoms ein
dichtes, positiv geladenes Objekt befindet, an
dem Alpha Teilchen zurückprallen können: der
Atomkern.
Spektralanalyse
Wasserstoff-Spektrallinien
Absorbtionsspektren
Wasserstoff
Gas
Wasserstoff
Absorbtionsspektrum
Helium Spektrallinien
Emissionsspektren
Helium
Wasserstoff Emissionsspektrum
Wellenlänge nm
H
Spektralanalyse
Kirchhoff und Bunsen:
Jedes Element hat charakteristische Emissionsbanden
Rydbergkonstante
109678 cm-1
infrarot
sichtbar
ganze Zahlen
ultaviolett
Lyman n1=1
Balmer n1=2
Paschen n1=3
Die Bohrschen Postulate
Wie Rutherford
Elektronen auf Kreisbahnen
Coulomb Anziehung Z=1, e-
Zentrifugalkraft:
mer2
Widerspruch zur klassichen
Mechanik & Maxwellgleichungen:
•Bewegte Ladung strahlt Energie ab,
Elektron stürzt in Kern!
•Strahlung ist nicht quantisiert
keine diskreten Linien!
Widerspruch zur klassichen
Mechanik & Maxwellgleichungen:
•Bewegte Ladung strahlt Energie ab,
Elektron stürzt in Kern!
•Strahlung ist nicht quantisiert
keine diskreten Linien!
Bohrsche Postulate (Niels Bohr 1913)
•Elektronen bewegen sich auf Kreisbahnen
•Die Bewegung ist strahlungsfrei
rn
•Der Drehimpuls der Bahnen ist quantisiert
L=m v r=n ħ
n
(Historisch nicht korrekt)
e2
v2
 m
2
4    0 r
r
1
• erlaubte Kreisbahnen
L  mv  r  n
 2  n2
rn  4     0
m  e2
e2
vn 
4    0 n  
1
Bohrsche Atomradius
2
2
rn  4     0
2 n
me
(n=1, 2, 3, …)
 Grundzustand des H-Atoms (n=1): a0=0,529*10-10 m
 n=1 K-Schale max. 2 Elektronen
 n=2 L-Schale max. 8 Elektronen
 n=3 M-Schale 2*n2 Elektronen
Gesamtenergie des Elektrons auf der Bahn:
Eges = Ekin + Epot
E ges
1
e2
2
 mv 
2
4    0  r
0
Energie
Epot
r
negativ
Energie die frei wird
wenn Elektron von unendlich
zum Radius r gebracht wird.
Gesamtenergie des Elektrons auf der Bahn:
Eges = Ekin + Epot
E ges
1
e2
2
 mv 
2
4    0  r
m  v2
e2

r
4    0  r 2
Eges
e2
e2


8    0  r 4    0  r
Eges
e2
m  e4
1


2
2  2
8    0  r
80  h n
Einige Zahlenwerte:
Radius des Wasserstoffatoms
rn=1= 0.59 10-10m
Ionisierungsenergie des
Wasserstoffatoms
En=1= 13.59 eV
Z2 !! dh. Uran 115 keV
Heisenbergsche Unschärfe x px  ħ
Elektronische Übergänge:
Die bei einem Bahnwechsel
erforderliche bzw. freiwerdende
Energiedifferenz kann in Form von
elektromagnetischer Strahlung
aufgenommen bzw. abgegeben
werden.
E  E2  E1  h 
mit
h    2    0,41 10
14
 eV 


 Hz 
m  e4  1 1 
1
18  1




E 


2
,
18

10

2  2
2 
2
2 

8   0  h  n1 n2 
 n1 n2 
E  h  
hc

1 1
 1,097 10 m  2  2 

 n1 n2 
1
7
Rydberg Konstante
Korrektur durch endliche Kernmasse
Folge: Isotope haben verschiedenen Spektrallinien
Korrektur:
Wasserstoff Energie
0.0545 %
mdeuteron / mproton = 2
Sommerfelds Korrekturen zum Bohr Modell
Ha ist aufgespalten
Sommerfelds Korrekturen zum Bohr Modell
Keplerellipsen statt Kreisbahnen
Nebenquantenzahl k (zu n)
beschreibt kleine
Halbachse
relativistische Bewegung in Kernnähe
-> E hängt auch von Elliptizität ab
Sommerfeldsche Feinstukturkonstante a
Geschwindigkeit auf n=1 Bahn = 1/137
c