Wer war Euklid und was hat er geschaffen?

Wer war Euklid und
was hat er geschaffen?
Lehrkräftefortbildung im
„Jahr der Mathematik“
8. November 2008
Prof. David E. Rowe
Wer war Euklid?
• Lebte in Alexandrien ca. 300
v. Chr., also bald nach
Gründung der Stadt
• Autor von mehreren
mathematischen Werke, von
denen die meisten verloren
gegangen sind
• Zählt mit Archimedes und
Apollonius zu den drei
wichtigsten Verfasser
griechischer Texte
Alexander Jones über
Euklid und Archimedes
Notices of the AMS, May 2005
„Ancient Greek mathematics is associated
in most peoples’ minds with two names:
Euclid and Archimedes. The lasting fame
of these two men does not rest on the
same basis. We remember Euclid as the
author of a famous book, the Elements,
which for more than two millennia served
as the fundamental introduction to rulerand-compass geometry and number
theory.”
„About Euclid the man we know practically
nothing, except that he lived before about
200 B.C. and may have worked in
Alexandria. He wrote works on more
advanced mathematics than the Elements,
but none of these have survived, though
we have several fairly basic books on
mathematical sciences (optics, astronomy,
harmony theory) under his name. All his
writings dive straight into the mathematics
with no introductions. There are hardly
even any reliable anecdotes about Euclid.”
Fragment aus Euklids Elementen
von ca. 100 n. Chr.: Satz II.5
EE II.5: ein Hauptsatz der
„geometrischen Algebra“
EE II.5: Teilt man eine
Strecke sowohl in gleiche
als auch in ungleiche
Abschnitte, so ist das
Rechteck aus den
ungleichen Abschnitten
zusammen mit dem
Quadrat über der Strecke
zwischen den Teilpunkten
dem Quadrat über die
Hälfte gleich.
Euklids Elemente: ein
architektonisches Meisterwerk
Die Elemente Euklids im Überblick
• 13 Bücher, die der Elementarmathematik
gewidmet sind (ausgeschlossen sind die
Kegelschnittslehre und höheren Kurven)
• Bücher I-IV: die Kongruenzsätze und
Flächenlehre für geradlinigen Figuren und
Kreisen
• Bücher V-VI: die Proportionenlehre und
ihre Anwendung auf ähnliche Figuren
• Bücher VII-IX: Zahlentheorie (geraden und
ungeraden Zahlen; Beweis dafür, dass es
unendlich viele Primzahlen gibt, usw.)
• Buch X: die Klassifizierung irrationaler
Verhältnisse (das längste und schwierigste
Buch, wofür die Araber sich sehr
interessierten)
• Bücher XI-XIII: räumliche Figuren
einschließlich die Platonischen Körpern
Die Konstruktion regelmäßiger
Figuren und Körpern
Geometrie mit Zirkel und Lineal
• Die sämtliche Konstruktionen in Euklids
Elementen kann man mit diesen Hilfsmittel
allein ausführen
• EE Buch IV: die regelmäßige Vielecken
• EE Buch XIII: die 5 Platonischen Körper
Reguläre Vielecken
In Buch IV zeigt
Euklid, dass
folgende reguläre
Vielecken
konstruiert werden
können:
N = 3,4,5,6,8,10,15
Geometrie mit Zirkel und Lineal
• Die Konstruktionen für regulären Vielecken
mit n = 3, 4 sind möglich, da man mit Zirkel
und Lineal Winkeln von 60° bzw. 90°
konstruieren kann
• Man kann auch einen beliebig vorgegebenen
Winkeln immer halbieren
• Somit sieht man leicht, dass es unendlich
viele konstruierbare n-Ecken gibt, z. B. alle
von der Form:
k
N  2 3
Die 5 Platonische Körper
• In EE Buch XIII wird
gezeigt, wie man
diese 5 reguläre
Polyeder konstruiert
• Zum Schluss wird in
EE XIII.18 bewiesen,
dass es nur fünf
solcher Figuren gibt
Es gibt kein Platonische Körper, wo
die Flächen Sechsecken sind
Die fünf Platonische Körper in
Keplers Weltharmonik, 1619
Johannes Kepler, 1571-1630:
Platonist und Astronom
Keplers Mysterium
Cosmographicum, 1596
Fünf Körper für Sechs Planeten
Euklid als historische Figur:
Jean Itards drei Hypothesen
Der fehlende Existenzbeweis
• Archimedes und Apollonius schrieben
informalen Vorreden zu ihren Werken
• In den Werken Euklids findet man nur reine
Mathematik: Definitionen, Postulate, Axiomen
und zwei Arten von Sätzen (Lehrsätzen und
Konstruktionsaufgaben)
• Der Mathematikhistoriker Jean Itard warf
deswegen die Frage auf: existierte einen
Mathematiker Namens Euklid überhaupt?
Itards drei mögliche Hypothesen
1) Euklid sei eine historische Figur, der die
nach ihm genannten Werke tatsächlich
geschrieben hat; oder
2) Er lebte schon, aber als Leiter eines
wissenschaftlichen Projekts in Alexandria, an
dem er auch vermutlich beteiligt war (also in
etwa vergleichbar mit dem Maler Rubens);
oder
3) Euklid von Alexandria war der Deckname
einer wissenschaftlichen Mannschaft, die die
euklidische Werke produzierten (also eine Art
antike Bourbaki)
Aus der Vorrede zur
Konika des Apollonius
„Apollonius grüßt Eudemus. Wenn es dir
gesundheitlich gut und auch im übrigen
nach Wunsch geht, so freue ich mich. Mir
geht es zur Zufriedenheit. Als ich mit dir in
Pergamon zusammen war, erfuhr ich von
dir, dass du sehr gespannt seiest, meine
Forschungen über die Kegelschnitte kennen
zu lernen. Daher sende ich dir hiermit das
erste Buch, das ich beendigt habe; die
übrigen Bücher werde ich dir, sobald ich sie
zu meiner Zufriedenheit beendet habe,
zustellen. . . .“
„Denn ich möchte glauben, dass du dich noch
wohl erinnerst, von mir gehört zu haben, dass
ich auf die Bitte des Geometers Naukrates
ans Werk gegangen war, der seinerzeit nach
Alexandria gekommen war und sich bei mir
aufhielt. Ich hatte dir erzählt, dass ich die
„Kegelschnitte“, die ich in acht Büchern
behandelt hatte, ihm, weil er sich eiligst
einschiffen wollte, sogleich mitgegeben habe,
ohne sie einer eingehenden Durchsicht zu
unterziehen, indem ich mir alles aufschrieb,
wie es mir gerade in den Sinn kam, und in der
Absicht, später daran zu feilen. . . .“
„Was ich aber Durchmesser und Achsen
nenne, wirst du aus diesem Buche ersehen.
Das dritte Buch enthält viele merkwürdige
Lehrsätze, die von Bedeutung sind für die
Konstruktion räumlicher, geometrischer Örter
und für deren Determinationen und die meist
sehr schön und neu sind. Nachdem ich diese
entdeckt hatte, sah ich, dass Euklid die
Konstruktion der Örter zu drei und vier
Geraden nicht gefunden hatte, sondern nur
einen Teil derselben und zudem nicht
glücklich; denn es war nicht möglich, ohne die
von mir gefundenen Sätze die Konstruktion
zu Ende zu führen. . . .“
Euklid gerät in Vergessenheit
Die englische Ausgabe der
Elemente von Henry Billingsley
Billingsleys Euklid: antike Popups
Euklid von Megara,
ein Schüler des Sokrates
• Diese Verwechslung des
berühmten Euklid von
Alexandria mit einem fast
völlig vergessenen
Philosoph aus Megara
zeigt deutlich, dass man
sich an Euklids Elementen
erinnerte, während seine
Person in Vergessenheit
geriet
Euklids Wirkungsstätte:
Alexandria, ca. 250 v. Chr.
Alexandria unter den Ptolemäer
• Die Stadt wurde von Alexander der Große
im Jahr 332 gegründet
• Er gab den Befehl die Insel Pharos mit
dem Festland zu verbinden
• Nach seinem Tod 323 wurde sein Reich in
drei Teilen zerlegt
• Sein General Ptolemäus Soter gründete
danach eine Dynastie in Ägypten
• Als Ptolemäus I ließ er den berühmten
Lichtturm auf Pharos bauen
Der Pharos-Lichtturm vor Alexandria
• Zählt als eines der
sieben Wunder der
antiken Welt
• Der Bau wurde 280
fertig gestellt
• Über seinen Ausmaß
und Aussehen ist nicht
viel bekannt
• Zerstört während
eines Erdbebens im
14. Jahrhundert
Die Rolle von Alexandria in der
Wissenschaftsgeschichte
• Euklid, Archimedes und Apollonius erlebten
Alexandria in der Zeit als die Stadt an der
Spitze der damaligen wissenschaftlichen
Welt stand
• Das Museum und die zugehörige Bibliothek
wurde ca. 300 von Ptolemäus I gegründet
• Seine Nachfolger haben außerdem dieses
Forschungszentrum stark gefördert
• Unter römischen Herrschaft bekamen diese
Institutionen jedoch nur wenig Förderung
Die Römer lassen sich blicken
• Im Jahre 48 v. Chr. ließ Caesar die Flotte
der Ägypter in Alexandria verbrennen
• Einige Quellen berichten, dass die
Bibliothek mit in Flammen aufging
• Doch kann es sich dabei nur um Teile des
Bibliotheksbestands gehandelt haben
• Denn spätere Berichterstatter erzählen
von den fortgesetzten Tätigkeiten dort
Antike Alexandria, ca. 400 n. Chr.
Das Museum und die Bibliothek
• Das Museum in Alexandria war ein
internationaler Treffpunkt für Gelehrten
aller Fachrichtungen, also es war eine Art
antike Forschungszentrum
• Die hatten Zugang zur zugehörigen
Bibliothek, in der etwa 500,000 Werke
Platz fanden
• Teile davon wurden in Kriegszeiten
zerstört, aber ein Rest blieb bis zum 7.
Jahrhundert n. Chr. z. T. erhalten
Die alexandrinsche Bibliothek
Aus einer amerikanischen
Fernsehproduktion
Antike Bücherregale
Alexandria in der heutigen Zeit
Ältere archäologische Funde
Neuere archäologische Funde
Vermutlich wurden im
Jahre 2004 die
Überreste des
Museums und der
Bibliothek bei
Ausgrabungen durch
ein polnischägyptisches
Archäologenteam
wiederentdeckt
Alexandrias neue Bibliothek
Alexandrias neue Bibliothek: ein von
der UNESCO gefördertes Projekt
Eine norwegische
Architekturfirma
bekam den Auftrag
dieses spektakuläre
Gebäude zu
konstruieren
Die neue Bibliothek
könnte bis 8
Millionen Bücher
behalten
Sie wird natürlich
keine universelle Bibliothek
• Die heutige Bestände
bestehen aus etwa
200.000 Bücher
• Das wäre ungefähr die
Hälfte der alten
Bibliothek
• Die größte Bibliothek ist
die US Library of
Congress mit etwa 18
Millionen Bücher
Beweisidee für I.47
• Euklid fällt den Lot vom
Eckpunkt des rechten
Winkels auf die
Hypotenuse
• Im großen Quadrat
entstehen dadurch zwei
Rechtecken
• Es wird bewiesen, dass
sie jeweils zu den oben
stehenden Quadraten
flächengleich sind
Zwei kongruente Dreiecken
• Die Dreiecken IAB und
CAE sind kongruent
wegen SWS
• Das blaue Dreieck ist
halb so groß wie das
Quadrat IACH
• Das rote ist aber die
Hälfte des Rechtecks
AEFG
Vervollständigung des Beweises
• Da die Dreiecke selbst
gleich groß sind,
müssen die zwei
Figuren, also das
Quadrat und das
Rechteck gleich groß
sein
• Die gleiche
Argumentation gilt für
die rechte Seite
Hippokrates von Chios und die
Quadratur eines Möndchens
Beweisidee: der verallgemeinerte
Satz von Pythagoras
• Es war den Griechen
offenbar bekannt, dass
der Pythagoras für
beliebige ähnliche
Figuren gilt
• So ist der Halbkreis über
AB genau die Hälfte des
Halbkreises ABC
• Deswegen sind die
grünen Flächen gleich
Das gleiche Argument für ein
beliebigen rechtwinkligen Dreieck
• Der schwarze
Halbkreis ist der
Summe der
Halbkreisen auf den
Katheten gleich
• Durch Abziehen der
beiden Segmente sieht
man, dass die Summe
der Möndchen dem
blauen Dreieck
flächengleich sind
Die Entdeckung
inkommensurabler Größen
Zwei historische Möglichkeiten
Die Theorie des Theaitetos
• Schon vor Euklid haben griechische
Mathematiker wie Demokrit sich
eingehend mit Irrationalitäten beschäftigt
• Vor allem sind die Leistungen von
Theodoros und dessen Schüler Theaitetos
(416--368 v. Chr.) zu nennen
• Die Theorie von Theaitetos gibt eine
Klassifikation von irrationalen
Streckenverhältnissen, die 13
verschiedenen Arten bilden
Die erste siebzehn Quadratwurzeln
• Die allgemeine Theorie
von Irrationalitäten, wie
wir sie in EE Buch 10
finden, ist das Verdienst
des Atheners Theaetetus
• Sein Lehrer Theodorus
hatte vorher sich mit
Quadratwurzeln
beschäftigt, hörte dabei
mit 17 auf
Platon über Theodorus
• Dass dieser Theorie hohes Ansehen zukam,
sieht man deutlich im Dialog Theätet, den
Plato den verstorbenen Mathematiker widmete
• Dort findet man die folgende Passage:
„Unser Theodorus entwarf uns eine Zeichnung
von Quadraten und wies für die Quadrate von
drei Quadratfuß nach, dass sie in Seitenlänge
nicht kommensurabel sind . . ., und so nahm er
jedes einzelne vor bis zu dem siebenzehn
Quadratfuß . . ..“
Die ursprüngliche Entdeckung
bleibt ein Geheimnis
• Die Entdeckung inkommensurabler
Streckenverhältnisse stellte das ganze
pythagoreische Weltbild in Frage
• Diese Erkenntnis rief eine „Grundlagenkrise“ in
der griechischen Mathematik hervor
• Die echte historische Sachlage ist aber sehr
dunkel: wie diese Entdeckung überhaupt
zustande kam bleibt unklar
• War es in Zusammenhang mit dem Verhältnis
zwischen Diagonale und Seite eines Quadrats
oder vielleicht mit dem goldenen Schnitt im
Pentagramm?
Die Verdopplung eines Quadrats
mit der Menon-Figur
• Diese Aufgabe
würde man
heutzutage
vermutlich in eine
algebraische
Gleichung umformen
• Für gegebene Seite
s sucht man x, so
dass x 2  2 s 2
 x  2s
Wiederkehr einer berühmten Figur
Diagonale und Seite
eines Quadrats
• s = 30
• d = 42; 25, 35
• d/s = 1; 24, 51, 10
• Dies ist eine
erstaunliche gute
Annäherung, denn
(1;24,51,10) 
1;59,59,59,38,01,40
2
Das Wahrzeichen der Pythagoreer:
das Pentagramm
Ein modernes Geheimnis: das
Pentagon Gebäude in Washington
Das Verhältnis vom Pentagramm
zum Pentagon
Die Rolle des goldenen Schnitts
• Die Diagonalen des
Pentagramms
schneiden sich
gegenseitig im
Verhältnis des
goldenen Schnitts, z.B.
BE : FE = FE : BF
Die Rolle des goldenen Schnitts
• Die Dreiecke EBC und
EAF sind ähnlich, also
• BE : BC = AE : AF
• Aber BC = AE = FE
und AF = BF, also gilt
• BE : FE = FE : BF
Die algebraische Darstellung
• Schreiben wir BE = a, und BF = x, dann
gilt BE : BF  BF : BE  a : x  x : a  x.
•
Die Lösung der Gleichung lautet:
5 1
x
a.
2
• Oder umgekehrt finden wir:
a
5 1

.
x
2
Die „geometrische Algebra“
als Werkzeug der Griechen
Euklids Elemente Buch II
Der Satz II.4 und seine
algebraische Interpretation
• Teilt man eine Strecke,
so ist das Quadrat über
der ganzen Strecke den
Quadraten über den
Abschnitten und
zweimal dem Rechteck
aus den Abschnitten
zusammen gleich
Die algebraische Deutung des
Satzes II.4
AC  a, CB  b

a  b 
2
 a  b  2ab
2
2
Hieronymus Georg Zeuthen,
1839-1920
• Studierte Mathematik
in Kopenhagen
• Ging 1862 nach Paris
wo er abzählende
Geometrie bei Michel
Chasles lernte
• Es handele sich um
geometrische
Probleme, wo man
die Anzahl der
Lösungen finden will
Die „geometrische Algebra“
• Diese Bezeichnung für die Sätzen und
Methoden im Buch II der Elemente Euklids
geht auf die dänischen Mathematikhistoriker
H. G. Zeuthen (1839-1920) zurück
• Diese Interpretation ist allerdings sehr
umstritten, vor allem weil kein expliziten
Bezug auf algebraischen Inhalte bei Euklid
zu finden ist
• Wichtige Anwendungen: Behandlung von
Irrationalitäten und die Kegelschnittslehre
Satz II.6
Halbiert man eine Strecke
und setzt ihr irgendeine
Strecke gerade an, so ist
das Rechteck aus der
ganzen Strecke mit
Verlängerung und der
Verlängerung zusammen
mit dem Quadrat über der
Hälfte dem Quadrat über
der Hälfte und der
Verlängerung gleich.
Beweis von II.6
Behauptung:
Rechteck (AM) +
Quadrat (LG) =
Quadrat (CF)
Beweis:
Rechteck (AM) =
Gnomon (CHF)
Nun addiere
Quadrat (LG): fertig!
Konstruktionen mit
Lineal und Zirkel
Der goldene Schnitt
Der goldene Schnitt
Die gegebene Strecke
AB = a soll im Punkt T
so geteilt, dass
TB : AT = AT : AB
Schreibt man AT = x, TB
= a-x, dann ergibt sich
(a-x) : x = x : a oder
x 2  a ( a  x)
 x  ax  a
2
2
Die Konstruktion nach EE II.11
• 1) Errichte das Quadrat
ABCD
• 2) Halbiere AC in E
• 3) Mit E als Zentrum
und EB als Radius
zeichne diesen Kreis
• 4) Verlängere AC bis
zum Schnittpunkt des
Kreises Z
• 5) Errichte das Quadrat
AZHT
Beweis von II.11 (goldenen Schnitt)
Nach II.6 gilt:
Rect (CH) + Quad (AE) =
Quad (EZ) =
Quad (EB)
Nach I.47 (Pythagoras):
Quad (EB) =
Quad (AB) + Quad (AE), so
Rect (CH) = Quad (AB) und
Quad (AT) = Rect (TD) =
(TB)(AB)
Was ist euklidische Geometrie?
Oder warum die Geschichte nach
über zwei Tausend Jahren Euklid
Recht gab!
Welche Rolle spielt das
Parallelenpostulat in den
Elementen Euklids?
Die erste drei Postulate
• Gefordert soll sein:
• Post. I: dass man von jedem Punkt nach
jedem Punkt die Strecke ziehen kann,
• Post. II: dass man eine begrenzte gerade
Linie zusammenhängend gerade
verlängern kann,
• Post. III: dass man mit jedem Mittelpunkt
und Abstand den Kreis zeichnen kann,
Die vierte und fünfte Postulate
• Post. IV: dass alle rechten Winkel einander
gleich seien,
• Post. V: dass, wenn eine gerade Linie beim
Schnitt mit zwei geraden Linien bewirkt, dass
innen auf derselben Seite entstehende Winkel
zusammen kleiner als zwei Rechte werden,
dann die zwei geraden Linien bei einer beliebig
fortsetzbaren Verlängerung [eis apeiron] sich
treffen auf der Seite, auf der die Winkel liegen,
die zusammen kleiner als zwei Rechte sind.
Zwei Formulierung des
Parallelenpostulats:
Playfair vs. Euklid
Einwand gegen
das fünfte Postulat
Es handele sich um einen
Lehrsatz, den man beweisen soll!
Die Ausgangslage für
einen Beweisversuch
• Es ist klar, dass man
o.B.d.A. den einen Winkel
= 90° annehmen darf
• Wir gehen von der
abgebildeten Situation aus
und tragen auf der
Halbgeraden von B aus
eine Strecke beliebiger
Länge ab
• Der Endpunkt heiße E
• Von E fälle man das
Lot auf AB; der
Lotfußpunkt sei L
• Nun trage man von E
aus die gleiche
Strecke wieder auf
der Halbgeraden ab
• Man erhalte einen
neuen Endpunkt E‚
und den Lotfußpunkt
L'
• So fahre man fort, bis schließlich ein
Lotfußpunkt L(n) auf der Halbgeraden
außerhalb der Strecke AB zu liegen
kommt; er liegt also oberhalb von A
• Nun betrachte man das Dreieck BE(n)L(n):
die verlängerte Gerade AD tritt in dieses
Dreieck ein (nämlich in A), muss es also
auch wieder verlassen
• Diese Stetigkeitsbedingung wird später
explizit von Moritz Pasch eingeführt und in
Hilberts Grundlagen der Geometrie als
Axiom aufgenommen
• Der Punkt, in dem dies
geschieht, sei S
• Dann kann S nicht auf
AB liegen (warum?)
• Er kann sich aber auch
nicht auf E(n)L(n)
befinden, weil sonst im
Dreieck ASL(n) der
Innenwinkel bei L(n)
gleich dem Außenwinkel
bei A wäre
• Also muss S auf BC
liegen: fertig!
Wo liegt der Trugschluss?
• Die Figur links
erinnert an den
Strahlensatz, obwohl
Parallelen nicht direkt
konstruiert wurden
• Der Beweis wäre
stichhaltig, wenn wir
ja absichern können,
dass einen Punkt L(n)
außerhalb AB erreicht
werden kann