Antrittsvorlesung

Mathematische Beschreibungen des
menschlichen Lebens
Martin Burger
CeNoS
Institut für Numerische und Angewandte Mathematik
Mathematik + Mensch
Warum Mathematik + Mensch ?
Im 19. und frühen 20. Jahrhundert passierten enorme
Fortschritte im Verständnis der Physik
(Naturwissenschaft) – durch verstärkte
Mathematisierung
Im 20. und frühen 21. Jahrhundert passiert technischer
Fortschritt und wachsender Lebensstandard
- durch mathematische Modellierung und Simulation
Im 21. Jahrhundert stellt sich die nächste
Herausforderung
- Mathematische
Beschreibungen
menschlichen Lebens
Martin
Burger
9.4.2008
2
Mathematik + Mensch
Menschliches Leben auf allen Skalen
Mathematische Probleme stellen sich auf allen Skalen:
- Molekulare / Subzellulare Prozesse
- Physiologie / Zellulare Prozesse
- Zellbewegung und -populationen
- Prozesse auf Organebene
- Untersuchungen auf Ganzkörperebene
- Prozesse mit grosser Anzahl von Menschen(massen)
"Mathematics compares the most diverse phenomena and
discovers the secret analogies that unite them."
Jean Baptiste Joseph Fourier
Martin Burger
9.4.2008
3
Mathematik + Mensch
Beispiele aus meiner Forschung
- Simulation von Ionenkanälen
- Simulation von Zellbewegung
- Molekulare Bildgebung
- Bildgebung auf grösseren Skalen
- Simulation sozio-ökonomischer Prozesse
"Mathematics creates our standard of living."
Bob Eisenberg
" Sozialkompetenz ist auch in der Mathematik eine ganz wichtige
Eigenschaft." Wolfgang Lück (FOCUS, Jan 08)
Martin Burger
9.4.2008
4
Mathematik + Mensch
5
Mathematical Imaging@WWU
Christoph Brune
Stöcker
Claudia Giesbert
Grosser
Martin Burger
Marzena Franek
Astrid Heitmann
9.4.2008
Alex Sawatzky
Frank Wübbeling
Mary Wolfram (Linz)
Thomas Kösters Christina
Martin Benning
Thomas
Mathematik + Mensch
6
Diplomanden 07/08
Tanja Mues
Steffi Sillekens
Oleg Reichmann
Möller
Katharina Daniel
Arvind Sarin
Anna Weisweiler
Melanie Schröter
Bärbel Schlake
Tobias Neugebauer Matthias Tillmann
Jan Pietschmann
(Cambridge)
Martin Burger
9.4.2008
Jahn Müller
(UCLA)
Martin Benning
Jan Hegemann
(UCLA)
Michael
Mathematik + Mensch
Bildrekonstruktion und inverse Probleme
Inverse Probleme bestehen in der Rekonstruktion einer
Ursache aus einer beobachteten Wirkung (über ein
mathematisches Modell, das sie in Beziehung setzt)
Prototyp inverser Probleme: Medizinische Diagnose
Nicht-invasive Verfahren in der Medizin basieren immer
auf indirekter Beobachtung
"The grand thing is to be able to reason backwards."
Arthur Conan Doyle (A study in scarlet)
Martin Burger
9.4.2008
7
Mathematik + Mensch
8
Molekulare Bildgebung: PET
Bildgebung auf molekularer Ebene, funktional und quantitativ
Beispiel Positron-Emission-Tomography
Externe Messung basierend auf
radioaktiven Zerfallsdaten
Zerfallsevents zufällig, aber
Rate proportional zur Dichte
Martin Burger
9.4.2008
Mathematik + Mensch
EM-Algorithmus
Stochastische Modellierung des Problems, Messungen aus
Poisson-Modell
Bild u ist Dichtefunktion des Tracers
Linearer Operator K entspricht Radon-Transformation
Eventuell zu korrigierende Störungen / Messfehler b
Johann Radon
Martin Burger
9.4.2008
9
Mathematik + Mensch
10
EM-Algorithmus
Rekonstruktion als maximum-likelihood Schätzer
Modellierung der a-posteriori Wahrscheinlichkeit nach Bayes
Martin Burger
9.4.2008
Mathematik + Mensch
EM-Algorithmus als Fixpunktiteration
Kontinuierlicher Grenzwert für grosse Anzahl von Events
(Stirling-Formel)
Optimalitätsbedingung führt auf Fixpunktgleichung
Martin Burger
9.4.2008
11
Mathematik + Mensch
PET Rekonstruktion
Rekonstruktion bei guter
Statistik (Kleintier PET)
Thomas Kösters
Frank Wübbeling
Martin Burger
9.4.2008
12
Mathematik + Mensch
EM-Algorithmus an der Grenze
Schlechtere Statistik = weniger
Radioaktivität / schneller
zerfallende Isotope
~10.000
Events
Für Patienten verträglich/ für
gewisse Untersuchungen besser
~600
Events
Alex Sawatzky Thomas Kösters
Martin Burger
9.4.2008
13
Mathematik + Mensch
Vom Bild zum Cartoon
Wie können wir auch im Fall schlechter Daten vernünftige
Rekonstruktionen erhalten ?
Anforderungen müssen adaptiert werden
Suche Methode, die nicht alle detaillierten Muster zu
rekonstruieren versucht, sondern sich auf die wesentliche
Struktur konzentriert: Cartoon-Rekonstruktion
Martin Burger
9.4.2008
14
Mathematik + Mensch
15
Das Auge des Betrachters
Was sind vernünftig rekonstruierte Strukturen ?
Hauptanforderung: müssen für den (menschlichen) Betrachter
sinnvolle Rückschlüsse zulassen
Übersetze Augenfunktion und Psyche in Mathematik
Scharfe Objektkanten sind viel wichtiger als Texturen
Morel et al, From Gestalt Theory to Image Analysis, Springer 2007
Haddad-Meyer, UCLA CAM Report 2004
Martin Burger
9.4.2008
Mathematik + Mensch
Das Auge des Betrachters
Was sind vernünftig rekonstruierte Strukturen ?
Was nimmt unser Auge /Hirn wahr ?
Martin Burger
9.4.2008
16
Mathematik + Mensch
Das Auge des Betrachters
Lokale Änderungen von Texturen ändern wenig
Martin Burger
9.4.2008
17
Mathematik + Mensch
Das Auge des Betrachters
Zusätzliche Strukturen ändern viel !
Martin Burger
9.4.2008
18
Mathematik + Mensch
TV-Methoden
Bestrafung der totalen Variation
Formal
Exakt
ROF-Modell zum Entrauschen von g : minimiere totale
Variation unter Nebenbedingung
Rudin-Osher-Fatemi 89,92
Martin Burger
9.4.2008
19
Mathematik + Mensch
Warum TV-Methoden ?
Deswegen !
Linearer Filter
Martin Burger
9.4.2008
TV-Methode
20
Mathematik + Mensch
21
TV-Methoden und Bayes
Es existiert ein Lagrange Parameter, sodass ROF äquivalent ist
zu
Z
Erster Term aus log-likelihood für
¸ Gauss-Verteilung,
p(g j u)Wahrscheinlichkeit
» exp(¡
(u !¡ g) 2 dx)
zweiter als a-priori
2
p(u) » exp(¡ J (u))
Martin Burger
9.4.2008
Mathematik + Mensch
22
TV-Methoden und Geometrie
Verbindung zu Längen/Oberflächenminimierung durch coareaFormel
Erster Term zerfällt in Volumsintegrale mit Gewichtung u-g
Lösung isoperimetrischer Probleme auf Level Sets !
Stan Osher
Martin Burger
9.4.2008
Mathematik + Mensch
TV-Methoden und Geometrie
Optimalitätsbedingung
¸ (u ¡ g) + p = 0;
p 2 @J (u)
Duale Variable p hat geometrische Bedeutung
p = div q;
kqk1 · 1
q ist verallgemeinertes Normalenvektorfeld an Level Sets
p ist mittlere Krümmung
Martin Burger
9.4.2008
23
Mathematik + Mensch
TV-Methoden
Analysis und Numerik von TV-Minimierung ist schwierig:
- nichtdifferenzierbar
- nicht strikt konvex
- degenerierter Differentialoperator
- keine starke Konvergenz
- unstetige Lösungen
- potentiell grosse Datenmengen (3D / 4D Imaging)
Martin Burger
9.4.2008
24
Mathematik + Mensch
25
TV-Methoden
Fehlerabschätzungen brauchen eigenes Distanzmaß:
Verallgemeinerte Bregman-distance
mb-Osher 04
p muss bei Diskretisierung richtig behandelt werden (primalduale Methoden)
mb 08
DFG-Projekt Regularisierung mit Singulären Energien, 2008-2011
Martin Burger
9.4.2008
Mathematik + Mensch
Effiziente Löser
Parallele Methoden basierend auf Gebietszerlegung –
Minimierung auf Teilgebieten mit passender Randkopplung
Jahn Müller
Martin Burger
9.4.2008
26
Mathematik + Mensch
Allgemeinere Probleme
Durch Anpassung des Datenfit-Terms (Bayes)
Gauss‘sche Entzerrung statt Gauss‘scher Entrauschung
(Verzerrung modelliert durch linearen Integraloperator K )
→
Poisson-Modell mit TV-Prior:
Martin Burger
9.4.2008
27
Mathematik + Mensch
Konstruktion numerischer Verfahren
Geeignete numerische Lösung durch 2-Schritt Verfahren
Klassischer EM-Teil im ersten Schritt
TV-Minimierung im zweiten Schritt
Martin Burger
9.4.2008
28
Mathematik + Mensch
~600 Events
EM
Alex Sawatzky
EM-TV
Thomas Kösters
Martin Burger
9.4.2008
29
Mathematik + Mensch
EM-TV Rekonstruktion aus simulierten
Daten
Bild
Martin Burger
Daten
9.4.2008
EM
30
EM-TV
Mathematik + Mensch
31
Quantitative Verfahren
Verbleibendes Problem: systematischer Fehler der TV-Methode
Variation wird zu stark reduziert, quantitative Werte können vor
allem bei kleinen Strukturen
stark abweichen
Probleme bei quantitativen
Verfahren, z.B. Auswertung
von physiologischen
Parametern basierend auf
PET-Rekonstruktionen
Projekt PM 6 im SFB 656 (mb/Klaus Schäfers)
Martin Burger
9.4.2008
Mathematik + Mensch
32
Rekonstruktion physiologischer Parameter
Myokardiales Blutfluss-Modell in jedem Pixel.
Vereinfachtes Modell: Bestimmung der Perfusion F und des
arteriellen Blutfluss CA aus
@CT (x; t)
CT (x; t)
= F (x)(CA (t) ¡
)
t
VD
Bildintensität u berechnet aus CT
Nichtlineares inverses Problem
Martin Benning
Martin Burger
9.4.2008
Mathematik + Mensch
33
Quantitative Verfahren
Kontrastkorrektur durch iterative Regularisierung
p(u) » exp(¡ J (u))
Die prior probability
null
zentriert bei
u^ 1
Anpassung:
sei» exp(¡
das[J
Minimum
p(u)
(u) + J (des
u^ 1 )Poisson-TV
+ h^
p1 ; u ¡ Modells
u^ 1 i ])
Iterativer Algorithmus, EM-TV kann für jeden Schritt verwendet
werden
mb-Osher-Goldfarb-Xu-Yin 05, mb-Gilboa-Osher-Xu
06
Martin Burger
9.4.2008
Mathematik + Mensch
34
Nanoskopie – STED & 4Pi
Analoge Probleme in der optischen Nanoskopie:
Stimulated Emission Depletion (Stefan Hell, MPI Göttingen)
BMBF Projekt „INVERS“, Göttingen(MPI+Univ)-Münster-Bochum-Bremen,
Leica
Martin Burger
9.4.2008
Mathematik + Mensch
Nanoskopie – STED & 4Pi
Ähnliches Modell der Bildformation, K ist Faltungsoperator
Verwendet u.a. zum
Studium menschlicher
Zellen
Martin Burger
9.4.2008
35
Mathematik + Mensch
Nano-Dekan
Simulierte Bildformation
→
Christoph Brune
Martin Burger
9.4.2008
36
Mathematik + Mensch
Dekan-Cartoon
Iterierte EM-TV Rekonstruktion
Christoph Brune
Martin Burger
9.4.2008
37
Mathematik + Mensch
Nanoskopie an der Grenze: Syntaxin PC12,
53nm
Christoph Brune
Martin Burger
9.4.2008
38
Mathematik + Mensch
3D Zellstruktur
Christoph Brune
Martin Burger
9.4.2008
39
Mathematik + Mensch
40
Mathematische Modelle: Kollektives Verhalten
Mathematische Modelle lassen sich für verschiedenste
Aspekte des menschlichen Lebens herleiten, zB
- Transport durch Ionenkanäle
- Zellbewegung und –aggregation (Chemotaxis)
- Verhalten von Menschenmengen bei Evakuierung
- Verhalten von Händlern auf Finanzmärkten
- ….
Martin Burger
9.4.2008
41
Mathematik + Mensch
Individuelle Modelle
Mikroskopische Modelle (individual based) für den Zustand
einzelner Teilchen (Position, Impuls) oder Menschen
(Position, Meinung, …) können in Form stochastischer
Differential-gleichungen gewonnen werden
dX N = F N (X N )dt ¡ r V (X N )dt + ¾N (X N )dW j
j
j
j
Interaktion der Teilchen
j
X
F N (X N )dt =
H N (X N ; X N )
j
j
k
k6
=j
Berechnung der Interaktionskräfte aus weiteren
Gleichungen
Martin Burger
9.4.2008
t
Mathematik + Mensch
Ionenkanäle
Transport durch Zellmembrane passiert
Chemist’s View
durch Ionenkanäle
Ionenkanäle sind Proteine
mit einem Loch in der Mitte
Proteine erzeugen effektive
Ladung im Kanal
Bob Eisenberg
Martin Burger
9.4.2008
All
Atoms
View
Chemical Bonds
are lines
Surface is
Electrical Potential
Red is positive
Blue is negative
42
Mathematik + Mensch
43
Ionenkanäle
Zustand ist Position der einzelnen Ionen im Kanal und
umliegenden Flüssigkeiten
Interaktion über elektrische (Coulomb) und chemische Kräfte
Externe Kräfte von Proteinen, analoge
elektrische und chemische Kräfte
Martin Burger
9.4.2008
Mathematik + Mensch
44
Fussgängersimulation
Beschrieben durch Newton‘sche Bewegungsgleichungen mit
starker Dämpfung (hin zur typischen Gehgeschwindigkeit)
„Soziale Kräfte“ (Helbing 93):
- Bevorzugte Geschwindigkeitsrichtung (zB zum Ausgang)
- Externe abstossende Potentiale (Wände, Hindernisse)
- Lokal abstossende Kraft zu anderen Fussgängern
Martin Burger
9.4.2008
Mathematik + Mensch
Fussgängersimulation
Simulation der Entleerung eines Raumes mit zwei Türen
und
einem Hindernis
Bärbel Schlake
Martin Burger
9.4.2008
45
Mathematik + Mensch
Finanzmärkte und Meinungsbildung
Händlerverhalten nach ähnlichem Muster
- Externe Potentiale: Wirtschaftsdaten, DAX, Zinsniveau, ...
- Interaktion: Anpassung an / Abgrenzung von Konkurrenz
Bsp: Preisbildung, Volatilitätsmodelle, Einschätzungen des
Wirtschaftsklimas, Verteilung von Wohlstand …
Lux et al, Helbing et al, Toscani et al, Lasry-Lions, Bianchi-CapassoMorale, …
Daniela Morale
Martin Burger
Vincenzo Capasso
9.4.2008
46
Mathematik + Mensch
PDE-Modelle
Im Grenzwert einer grossen Anzahl von Inviduen Herleitung
von Kontinuumsmodellen mit asymptotischen Methoden
Liouville (2Nd+1 Dimensionen)

BBGKY-Hierarchie (2kd+1 Dimensionen)

Boltzmann/Vlasov Gleichungen (2d+1)

Mean-Field Fokker-Planck Gleichungen (d+1)
Ludwig Boltzmann
Martin Burger
9.4.2008
47
Mathematik + Mensch
Finanzmärkte und Meinungsbildung
Analoge Modelle auch aus diskreten Sprungmodellen
(random walks). Anwendung auf Finanzmarktdaten,
Parameterschätzung
Lux et al 05,07
Random Walk / Markov Prozess

[Mastergleichung (hochdimensional)]

Mastergleichung (niedrigdimensional)

Fokker-Planck Gleichung
Katharina Daniel
Martin Burger
9.4.2008
48
Mathematik + Mensch
49
Nichtlineare Fokker-Planck Gleichungen
Kanonische Form der Fokker-Planck Gleichung
@t ½= r ¢(D (½)r ¹ )
¹ = E 0(½)
wobei
für eine Entropie / Energie E
Degenerierte nichtlineare Diffusion, wenn D nicht
strikt positiv ist und
E 0(½) = f (½) + nicht lokaler Teil
Peter Markowich
Martin Burger
9.4.2008
Mathematik + Mensch
Nichtlineare Fokker-Planck Gleichungen
Allgemeine Formulierung als metrischer Gradientenfluss
@t ½= r M E (½)
Benötigen dafür Riemann‘sche Mannigfaltigkeit
Z Transport
Z
Metrik definiert über optimalen
1
d(½0 ; ½1 ) 2 := inf
½;V
D (½)jV j 2 dx ds
0
@s ½= r ¢(D (½)V )
½(0) = ½0 ;
Otto, Brenier, DeGiorgi
Ambrosio-Gigli-Savare
Martin Burger
9.4.2008
½(1) = ½1
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Mathematik + Mensch
Nichtlineare Fokker-Planck Gleichungen
Mathematische Herausforderungen:
- Struktur der Metrik / Mannigfaltigkeit / Geodäten
- Geodätische Konvexität der Entropie / Energie
Verstanden für D=1 (H - 1 Norm) und D=r (Wasserstein
Metrik)
Allgemeinerer Fall und Systeme (noch)
offen
Jan Pietschmann
Martin Burger
9.4.2008
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Mathematik + Mensch
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Optimaler Transport
Weitere Arbeitsgebiete:
- Robuste numerische Verfahren basierend auf opt. Transport
- Anwendungen, Modellierung, Mikro-Makro Übergang
Mary Wolfram
Martin Burger
Jose Carrillo
9.4.2008
Mathematik + Mensch
Optimaler Transport
Weitere Arbeitsgebiete:
- Inverse Probleme: Bestimmung von unbekannten Termen
aus Daten, zB Interaktionspotentiale, Ionenkanalstruktur
- Optimales Design, zB Topologieoptimierung von
Fluchtwegen
- Optimaler Transport in (teilweise) unbekannter Umgebung
Heinz Engl
Martin Burger
Marzena Franek
9.4.2008
Richard Tsai
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