Peter Dittrich - Friedrich-Schiller

Angewandte Biosystemanalyse
- Kapitel II: Reaktionssysteme Peter Dittrich
Bio Systems Analysis Group
Jena Centre for Bioinformatics &
Dept. of Mathematics and Computer Science
Friedrich-Schiller-University Jena
BMBF Grant No. 0312704A
Friedrich-Schiller-Universität Jena
Jena Centre for Bioinformatics
Chapter II – Introduction to Reaction Systems
Overview
1.
2.
Introduction
Reaction Network
a.
b.
Example (4-Species)
Formal Representation of Reaction Networks
i.
ii.
c.
d.
e.
3.
Explicit vs. Implicit Representation
Representation as a bipartit Graph
Inhibition and Modifiers (requires an extended representation)
Reaction System: Chemical Differential Equation
a.
b.
c.
d.
e.
f.
A Simple Model of Chemical Dynamics
The Chemical ODE
Kinetic laws are constrained by the reaction network’s structure
Mass-Action Kinetics
Syntactic sugar: Michaelis-Menten Kinetics
Inflow and Outflow (selective / none-selective)
i.
ii.
4.
Multisets
Stoichimetric Coefficients
Outflow can be controlled (Examples: Catalytic Network Equation, Hypercycle)
The Concentration simplex
Exercise
a.
b.
Lorenz-Model
HIV-Model
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II.1 Introduction – Basic Concepts
•
•
•
•
•
Reaction network :=
set of species + set of reaction rules
Reaction system :=
reaction network + dynamics
We will use the term reaction network quite formally. It describes an
important structural feature of the reaction system, that is, the
structural feature of the relationships of the molecular species of a
reaction system. These relationships are encoded in reaction rules. A
reaction rule is simply defined by stoichiometric factors.
The term reaction system is less precise. It can denote a formal
system (e.g., a model) or a concrete chemical system. For each
reaction system, we can define a reaction network (in principle).
In this lecture, the chemical differential equation will be introduced,
which describes (or is) a reaction system.
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II.2 Reaktionsnetzwerk
II.2 Abstraction: Reaction Network
Abstraktion
Designat
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Reaktionsnetzwerk
(M, R)
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II.2.a Example: Reaction System with 4 Species
•
Molecules:
M = { a, b, c, d }
•
Reactions:
R = { a + b -> a + 2 b, c -> d, ... }
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II.2.a Example: Reaction System with 4 Species
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II.2.a Example: Reaction System with 4 Species
a + b  a + 2b
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II.2.a Example: Reaction System with 4 Species
b + c  2c
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II.2.a Example: Reaction System with 4 Species
d
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II.2.b Formal Representation
•
Multiset
(Tafel)
•
Stoichiometric Coefficients
(Tafel)
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II.2.c Explicitly vs. Implicitly Defined Reaction
Networks
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Explizite Repräsentationen
•
•
Liste oder Menge von Molekülen M
Liste oder Menge von Reaktionsregeln R
•
Reaktionsregel: (A, B)
mit A, B Multimenge über M
oder A, B nicht-negative Zahlenvektoren
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Implizite Repräsentation
•
Beispiel: Polymere, sekundärer und tertiärer
Lipidstoffwechsel, Primzahlenchemie
erfordert
strukturierte Moleküle
Struktur-Funktions-Abbildung
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II.2.d Repräsentation als Graph
•
•
•
Wollen wir Graphen zur Repräsentation verwenden, so müssen wir mind. zwei
Knotentypen für Moleküle und Reaktionen einführen.
Wir erhalten damit einen gerichteten bipartiten Graph mit Kantengewichten für
die Stoichiometrie
bipartit: Die Knoten lassen sich in zwei Gruppen aufteilen, sodass keine
Kanten zwischen Elementen einer Gruppe vorhanden sind.
Beispiel:
a + b -> 2a + b + c
2
a
c
b
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II.2.e
•
•
Inhibition and Modifiers
Wird noch nicht berücksichtigt.
Mögliche Wirkung:
a. auf Moleküle
b. auf Reaktionen
•
(Bespiele, Tafel)
Bemerkung: Inhibierende Wechselwirkungen lassen sich in der Regel durch
„normale“ Reaktionsnetzwerke beschreiben. Beachte, eine 100%ige
Inhibierung ist eine globale Aktion, d.h., sie lässt sich nicht durch lokale
molekulare Reaktionen erklären.
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II.3. Reaktionsystem / chemische
Differenzialgleichung
II.3 Abstraktion mittels Differentialgleichungen
Abstraktion
Designat
Reaktionsystem /
chemical ODE
(M, R, dx/dt=f(x))
Beispiel für ein Reaktionssystem. Die
konkrete Dynamik kann auf vielfälltige Art
und Weise beschrieben werde.
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II.3.a A Simple Model of Chemical Dynamics
•
•
•
Assume a space in which molecules diffuse and
collide.
If they collide, they may react with a certain
probability.
This scenario can be simulated by a quite simple
algorithm:
a. Take a sub-set of molecules randomly
b. If this set matches the left hand side of a reaction rule
•
(With a certain probability) replace these molecules by the right
hand side
c. Goto a.
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III.3.b Example: ODE (Deterministic, Contineous
Dynamics)
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III.3.b Example: ODE (Deterministic, Contineous
Dynamics)
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II.3.b Chemical (Ordinary) Differential Equation
stoichiometric
matrix
flux
vector
state at time t
state space
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II.3.b Example: ODE (Deterministic, Contineous
Dynamics)
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II.3.c Einschränkende Annahmen für den Flussvektor
•
•
v_j positiv nur dann wenn Moleküle der linken Seite von j auch
vohanden sind.
Etwas strenger:
v_j genau dann positiv wenn die Moleküle der linken Seite
vorhanden sind.
Bemerkung: Wir wollen beide Bedingungen annehmen. Die erste Bedingung
erscheint eigentlich als trivial; denn Moleküle können ja nur dann reagieren,
wenn sie auch vorhanden sind. Es könnte aber sein, dass für eine Reaktion
der Form E + S  E + P eine Dynamik der Form d[P]/dt = k1 [S] + k2 [E][S]
definiert wird, die berücksichtigt, dass S auch ohne Katalysator zu P reagieren
kann. Wir wollen aber in diesem Fall fordern, dass auch die Reaktion E  P in
der Menge der Reaktionsregeln enthalten ist.
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II.3.d Mass-Action Kinetics
•
•
Die Rate der Reaktion ist
proportional zur
Konzentration der
Reaktanden.
Bsp: 2A+B -> C
d[C]/dt = k [A][A][B]
Neben der Mass-Action-Kinetik gibt es noch eine Fülle
anderer Kinetiken, da die Mass-Action-Kinetik nur in
idealisierten Situationen gilt. Ferner werden alternative
Kinetiken zur Vereinfachung verwendet.
Vgl. Michaelis-Menten-Kinetik i.F.
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II.3.e Michaelis-Menten Kinetics
•
S + E k_1 k_-1 ES  k_2 E + P
•
Ansatz d[ES]/dt = d[E]/dt = 0
•
•
•
•
v = V _max [S] / (k_m + [S])
k_m = (k_-1 + k_2) / k_1
V_max = k_2 [E]_total
[E]_total = [E] + [ES]
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II.3.f Zu- und Abfluss
•
•
 A (Zufluss von A)
A  (Abfluss von A)
•
(math. Beschreibung, Übung, Tafel)
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II.3.f Selektiver Abfluss
•
nicht selektiver Abfluss:
Für alle Moleküle i, j gilt: Das
Konzentrationsverhältniss von i und j im Abfluss ist
gleich dem im Reaktor
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II.3.f Gesteuert Abfluss am Beispiel katalytischer
Netzwerke
(Tafel)
• Catalytic Network Equation
• Replicator Equation
• Hypercycle
• Concentration Simplex
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II.3.f Alternative Regelung der „Populationsgröße“
katalytischer Reaktionsnetzwerke
•
•
Einführung eines Substrats, das mit endlicher Rate
(bspw. konstanter Rate) zufließt.
(Tafel)
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II.4 Übungen
II.4.a Ist das Lorenz-Modell eine chemische DGL?
•
http://hypertextbook.com/chaos/21.shtml
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II.4.b Example: HIV Dynamics
uninfected CD4+ T cells
infected CD4+ T cells
CTL precursors
CTL effectors
x    dx  xy
y  xy  ay  pyz
w  cxyw  cqyw  bw
z  cqyw  hz
state after some time
initial state
uninfected CD4+ T cells
uninfected CD4+ T cells
infected CD4+ T cells
CTL precursors
CTL effectors
[Wodarz/Nowak, PNAS
96:14464,1999]
simulation model
of HIV replication
(4 ODEs)
infected CD4+ T cells
CTL precursors
CTL effectors
CTL = cytotoxic T lymphocytes
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II.4.b HIV Dynamics: Simulation
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II.4.b HIV Dynamics: Reaction Rules
uninfected CD4+ T cells
infected CD4+ T cells
CTL precursors
CTL effectors
x    dx  xy
y  xy  ay  pyz
w  cxyw  cqyw  bw
z  cqyw  hz
Model by [Wodarz/Nowak,
PNAS 96:14464,1999]
x
x + y  2y
x + y + w  x + y + 2w
y+wy+z
x
y
w
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z
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Literatur
Dynamische Systeme
1.
Hale, J. and H. Koçak (1991), Dynamics and Bifurcations, Springer Verlag, New York
2.
Bossel, H. (1992), Modellbildung und Simulation, Vieweg, Braunschweig
3.
Jetschke, G. (1989), Mathematik der Selbstorganisation. Deutscher Verlag der
Wissenschaften, Berlin
4.
Elmer, Franz-Josef (1998), The lecture room,
http://monet.physik.unibas.ch/~elmer/pendulum/lroom.htm
Chemische Differenzialgleichungen / Reaktionskinetik
1.
Erdi, P., J. Toth (1989), Mathematical Models of Chemical Reactions, Princeton University
Press, Princeton NJ
2.
In der Bib. gibt es eine Fülle von Büchern zu den Themen „Enzyme Kinetics“ und „Metabolic
Modelling“
Werkzeuge
1.
William H. Press, Brian P. Flannery, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling (1992), Numerical
Recipes in C - The Art of Scientific Computing, Cambridge University Press, Cambridge, UK
http://www.nr.com/
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