Ergänzungsvorlesung

Auspreisen von Restriktionen
Lagrange-Multiplikatoren
Kuhn-Tucker-Theorem
Schattenpreise
1
Restriktionen


beschränken die Menge der wählbaren
Handlungsmöglichkeiten im Entscheidungskalkül
Handlungsmöglichkeiten, die zu inakzeptablen
Ergebnissen führen, weil



die vorhandenen Mittel nicht ausreichen, um sie durchzuführen
durch Vorentscheidungen festgelegte Ziele („Targets“) nicht
erreicht werden
werden durch Restriktionen ausgeschlossen.
Im Folgenden betrachtet:


Restriktionen in Gleichungs- oder Ungleichungsform mit stetig
differenzierbarer Abhängigkeit von den Entscheidungsvariablen
keine explizite Berücksichtigung von Unsicherheit
2
Darstellung der Handlungsmöglichkeiten als
lineare Aktivitäten

Charakterisierung durch Einsatz und Aufkommen
von Gütern in Abhängigkeit von
Entscheidungsvariablen

Handlungsalternativen als Kombinationen von
Aktivitäten


Zielbeiträge
Einfluss auf Zulässigkeitsbedingungen (Restriktionen)
insbesondere Güterbilanzen
3
Optimierung kontinuierlich variabler
Aktivitätsniveaus: Lineare Optimierung


Ein Gut des Plans wird als Zielgröße ausgewählt,
für die übrigen sind Restriktionen einzuhalten.
4
Lineare Optimierung: Formale Darstellung
Bezeichne
aij
den Koeffizienten von Gut i in Aktivität j
(i = 0 bezeichne die Zielgröße)
xj das Aktivitätsniveau von Aktivität j
bi die Verfügbarkeitsschranke für Gut i
A := (aij)i = 1,...,m; j = 1,...,n in der Tabelle:
a0• := (a0j)j = 1,...,n
max {a0x | Ax  b; x  0}
x1 x 2 x 3 . . . x n
x
b := (bi )i = 1,...,m
a11 a12 a13 . . .
a21 a22 a23 . . .
.
.
ai1 a i2 ai3 . . .
.
.
am 1 a m 2 a m 3 . . .
a 1n
a 2n
a mn
b1
b2
.
.
bi
.
.
bm
a01 a02 a 03 . . . a0n
Z
a in
x
A
b
a0
z
5
Lineares Optimierungsproblem: Beispiel
Die Tiefkühlkost AG hat je eine Produktionsstätte in den Anbaugebieten
SW und NO und Auslieferungslager in S und NW. Einige Daten der
Produktionsstätten und Auslieferungslager:
Produktionsstätten 
SW
NO
Ausl.-Lager

Bedarf
NW
5000 t
S
2500 t
Transportkosten je Monatstonne von
200
100
Produktionsstätte zu Auslieferungslager
50
150
Vorhandene Kapazität in Monatstonnen 2000 6000
Das
Managementjesucht
nach Monatstonne
der kostengünstigsten
Lösung, den Bedarf
Kapazitätskosten
zusätzliche
125
25
zu bedienen.
6
Produktionsstätten 
SW
NO
Transportkosten je Monatstonne von
Produktionsstätte zu Auslieferungslager
Vorhandene Kapazität in Monatstonnen
200
50
2000
Kapazitätskosten je zusätzliche Monatstonne
125
100
150
6
000
25
Ausl.-Lager

Bedarf
NW 5000 t
S
2500 t
Aktivitäten:
j = 1: Produktion in SW für NW; j = 2: ... in SW für S
j = 3: Produktion in NO für NW; j = 4: ... in NO für S
j = 5: Einrichtung zusätzlicher Kapazität in SW; j = 6: ... in NO.
Restriktionen:
i = 1: Bedarf in NW;
i = 3: Kapazität in SW;
i = 2: Bedarf in S;
i = 4: Kapazität in NO.
LP-Formulierung:
u.d.N.
min {200x1 + 50x2 +100x3 + 150x4 + 125x5 + 25x6 }
x1
+
x3
 5000
x2
+ x4
 2500
– x1 – x2 +
x5
 -2000
– x3 – x4
+ x6  -6000
xi,  0 (alle i)
7
min {200 x1 + 50 x2 + 100 x3 + 150 x4 + 125 x5 + 25 x6
u.d.N.
x1
+
x3
x2
+
x4
– x1 – x2 +
x5
– x3 –
x4
+ x6
 5000
 2500
 -2000
 -6000
xi,  0 (alle i)
Bedarf NW:
Bedarf S:
Kapazität SW:
Kapazität NO:
kT
1
0
-1
0
0
1
-1
0
1
0
0
-1
200
50
100
0
1
0
-1
0
0
1
0
0
0
0
1
150 125
25
5000
2500
-2000
-6000
Ergebnisbereich
Güter:
xT
Kosten:
675000
0
2000
3500
500
0 1000
3500
2500
-2000
-3000
8
Knappheitspreise im Sensitivitätsbericht
(Excel®)
Veränderbare Zellen
Lösung
Zelle
Name
Endwert
$B$13 xT SW für NW
0
$C$13 xT Ergebnisbereich
2000
$D$13 xT NO für NW
5000
$E$13 xT NO für S
500
$F$13 xT SW
0
$G$13 xT NO
0
Reduzierter
Gradient
200,0005987
0
0
0
24,99970293
25,00019073
Nebenbedingungen
Zelle
Name
$H$13 xT
$H$14
$H$15 Kosten:
$H$16
Lösung LagrangeEndwert Multiplikator
5000
100
2500
150
-2000
100
-5500
0
!!
9
Nichtlineare Optimierung unter Restriktionen

Aufstellen der Zielfunktion F(x1,...,xn)
 Bewerten der Restriktionsverletzungen fi(x1,...,xn) mit
einem Knappheitspreis li (i = 1,...,m)
 Einbeziehung der bewerteten Restriktionsverletzungen
als Kosten in die Zielgröße (Lagrange-Funktion)
L(x1,...,xn ,l1..., lm) : = F(x1,...,xn) - l1 f1(x1,...,xn) - ...
- lm fm(x1,...,xn)
 Ein System von Bedingungen für Knappheitspreise
und Entscheidungsvariablen ermöglicht die
Bestimmung der optimalen Lösung
10
Ökonomische Interpretation



Dem Entscheider bietet ein virtueller Partner einen bestimmten
Knappheitspreis li , zu dem er

fehlenden Spielraum fi(x1,...,xn) der Restriktion i kaufen und

überschüssigen Spielraum -fi(x1,...,xn) verkaufen kann.
Die Lagrangefunktion ist die Zielfunktion des Entscheiders in
dieser Situation
Der Knappheitspreis muss so gewählt werden, dass der
Entscheider effektiv weder kaufen noch verkaufen will, d.h. der
Preis muss
 null sein, wenn die Restriktion nicht bindet
 eine Verbesserung der Zielgröße durch Zukauf von Spielraum
zum Knappheitspreis ausschließen.
11
Joseph-Louis Lagrange
*1736 in Turin (Italien)
† 1813 in Paris
1766 von Friedrich II. von Preußen als
Nachfolger von Leonhard Euler nach
Berlin berufen
1787 von Louis’ XVI. nach Paris berufen
1797 folgte er einem Ruf an die neu
gegründete École Polytechnique in
Paris, wo er bis zu seinem Tode blieb.
Napoleon I. erhob ihn in den Stand eines
Comte (Grafen).
12
Ökonomische Interpretation



Der Knappheitspreis muss so gewählt werden, dass
er die mit der zusätzlichen Einheit des knappen
Faktors erzielbare Verbesserung des
Zielfunktionswerts gerade absorbiert.
Dann ist der Entscheider indifferent, ob er die
zusätzliche Einheit nachfragt oder nicht.
Der Knappheitspreis kann nicht negativ sein, sonst
könnte der Entscheider durch Erhöhen seiner
Nachfrage nach dem knappen Faktor den Wert der
Lagrangefunktion beliebig erhöhen.
13
Optimalitätsbedingungen
Problem: max {F(x1,...,xn)| fi(x1,...,xn)  0 (i = 1,...,m),
x1,...,xn  0}
 Lagrangefunktion:
L(x1,...,xn ,l1..., lm) : = F(x1,...,xn)
- l1 f1(x1,...,xn) - ...
- lm fm(x1,...,xn)
L
 Optimalitätsbedingungen:

xj
Stets gilt: xj  0 und Lx  0 . Falls xj  0 , muss gelten
Lx
stets gilt: l i  0 und Ll  0. l i  0 kann nur gelten, falls
Ll
j
i
0;
j
i
0.
(Karush/Kuhn-Tucker-Bedingungen)
(
L
xj
bezeichnet hier die Ableitung der Funktion L nach der Variablen xj )
14
Geometrische Veranschaulichung I
Fall 1: x j  0 , daher muss im Maximum L x 0. gelten.
j
0.4
L xj
Für ein inneres Maximum
gilt die übliche Optimalitätsbedingung: Ableitung der
Zielfunktion = 0
0.2
0
0
0.5
xj
15
Geometrische Veranschaulichung II
Fall 2: x j 0, daher kann im Maximum L x  0 gelten;
j
0.5
Bei einem Randmaximum
kann die Ableitung der
Zielfunktion nur negativ
oder null sein; wäre sie
positiv, würde eine Erhöhung
von xj den Zielfunktionswert erhöhen.
L xj
0
0
0.2
0.4
xj
16
Vorsicht !


Es gibt Fälle, in denen eine optimale Lösung den
genannten Bedingungen nicht genügt und
Fälle, in denen eine Lösung, die den Bedingungen
genügt, nicht optimal ist.
Für diese Probleme muss auf mathematische Literatur
verwiesen werden, z.B.:
Mangasarian, Olvi L., Nonlinear Programming, New York 1969,
(McGraw-Hill), Chapter 7.

17
Beispiel: Lagerhaltung bei beschränkter Annahmekapazität
Magdeburg-Frost vertreibt von einem Auslieferungslager Tiefkühlprodukte (j = 1,..., n), die mit Tiefkühl-LKW angeliefert werden.

bj Kosten einer LKW-Lieferung
Wie groß sollten
 qj Menge je LKW-Lieferung
• Menge qj je Lieferung
 hj Lagerkosten pro to und Jahr.
• und Lieferhäufigkeit fj
 fj
Lieferhäufigkeit pro Jahr
für jedes Produkt j sein ?
 fj qj Jahresabsatzmenge
 dj Bruttogewinn je Einheit Jahresabsatz
 Zahl der Lieferungen pro Jahr (für alle Produkte zusammen) darf
nicht größer sein als f.
 Jahresnachfrage Dj nach Produkt j muß befriedigt werden.
18
Modellierung
max q1 ,..., qn { j = 1,...,n [dj fj qj – (hj qj)/2 – fj bj] }
Jahresabsatz
Lagerkosten
Jahrespro Jahr
lieferkosten
u.d.N.
fj = Dj/qj (in der Zielgröße substituieren!)
n
 fj  f ;
(Knappheitspreis: m)
j=1
qj  0.
Lagrangefunktion
L( q1 ,..., qn , m) =
j = 1,...,n [ Djdj – (hjqj )/2 – Djbj/qj ]
– m  (j = 1,...,n Dj /qj – f )
19
Erläuterung

Die Zielgröße setzt sich zusammen aus



den Erlösen: j = 1,...,n fj qj dj
den Kosten der Anlieferung j = 1,...,n fj bj und
den Kosten der Lagerung
= durchschnittlicher Bestand 
Lagerkostensatz = j = 1,...,n (hj qj)/2.
Unterstellt:
 gleichmäßiger Lagerabgang,
 sofortige Anlieferung von qj , sobald Lager leer.
Dann ist im langfristigen zeitlichen Durchschnitt die
halbe Bestellmenge am Lager.
20
Lösung des Tiefkühlkost-Beispiels
qi = 0 ist ausgeschlossen, die Nachfrage könnte nicht bedient werden.
Also muss gelten:
Lq
D j b j  m 
 q j
j
Daraus folgt:
2
qj
 n

Ist 
f j  f


j1 

-
hj
2
L( q1 ,..., qn , m) = j [ Djdj - (hjqj )/2 - Djbj/qj ]
- m j Dj/qj - f )
0
2D j b j  m 
hj
und
f j
Dj
qj
=
h jD j
2 b j  m 
mit m= 0 erfüllt, so ist dies die optimale Lösung;
anderenfalls muss m aus der Gleichung
 n


f j


j1 

f
bestimmt werden
21
Erweiterung
Aufgabe: Man erweitere das vorherige Beispiel für den
Fall, dass neben der Annahmebeschränkung auch noch
der Lagerraum beschränkt ist.
(Man nehme dazu an, dass die Lieferzeitpunkte so
gewählt werden können, dass sich die Lagerraumbeschränkung nur auf den durchschnittlichen
Lagerbestand auswirkt. Ihr Modell sollte den
unterschiedlichen Lagerraumbedarf der Produkte je
Werteinheit berücksichtigen.)
22