kap_3_1_2_multiplikation_division
Werbung
3. Rechnen mit natürlichen Zahlen • 3.1 Inhaltliches Verstehen von Rechenoperationen • 3.2 Die Grundaufgaben: Das 1+1 und 1x1 • 3.3 Lösungsstrategien für mündliches und halbschriftliches Rechnen • 3.4 Die schriftlichen Rechenverfahren 3. Rechnen mit natürlichen Zahlen • Die Behandlung des Rechnens erfolgt in der Grundschule in 3 Etappen: • I. Inhaltliches Verständnis für die Operation sichern • II.Lösungsverfahren bzw. Lösungsstrategien bewusst machen • III. Lösungsverfahren bzw. Lösungsstrategien aneignen 3.1 Inhaltliches Verstehen von Rechenoperationen • 3.1.1 Inhaltliches Verstehen von Addition und Subtraktion • 3.1.2 Inhaltliches Verstehen von Multiplikation und Division 3.1.2 Inhaltliches Verstehen von Multiplikation und Division • Fachlicher Hintergrund • Didaktische Modelle • Methodisches Vorgehen Fachlicher Hintergrund der Multiplikation • Die Multiplikation kann auf eine Addition gleicher Summanden zurückgeführt werden: • Sind M1, M2, M3, ..., Mb paarweise zueinander disjunkte Mengen, die alle dieselbe Kardinalzahl a haben, so ist das Produkt a b gleich der Kardinalzahl der Vereinigungsmenge M1 M2 M3 ... Mb. • a und b heißen Faktoren. • Mitunter werden auch a als Multiplikand (zu vervielfachende Zahl) und b als Multiplikator (Vervielfacher) bezeichnet. Fachlicher Hintergrund der Multiplikation • Definition der Multiplikation (bzw. des Produkts) mit Hilfe des Kreuzprodukts: • Das Produkt m n zweier natürlicher Zahlen m und n ist die Kardinalzahl des Kreuzprodukts (A B) von zwei Mengen A und B mit den Kardinalzahlen m und n. • m n = card (A B), falls card A = m und card B = n. Fachlicher Hintergrund der Multiplikation • Multiplikation und Division am Zahlenstrahl: • Multiplikationsaufgaben kann man durch wiederholtes Aneinandersetzen von Pfeilen gleicher Länge am Zahlenstrahl lösen. • 3 Pfeile der Länge 4 werden aneinandergesetzt: 0 4 8 12 Grundmodelle zur Multiplikation • Mengenvereinigung • Kartesisches Produkt Mengenvereinigung • Die Mengenvereinigung bildet das wichtigste Grundmodell zur Einführung der Multiplikation • Von der anschaulichen Mengenvereinigung aus führt über die Anzahlbestimmung der Vereinigungsmenge ein direkter Weg zur Deutung der Multiplikation als wiederholte Addition gleicher Summanden Mengenvereinigung Dynamische Situation Mengenvereinigung Statische Situation Mengenvereinigung • Zwei verschiedene Teilaspekte beim Weg über die Mengenvereinigung: • zeitlich-sukzessiver Aspekt (dynamisch) • räumlich-simultaner Aspekt (statisch) Mengenvereinigung • Zeitlich-sukzessiver Aspekt: • Die Gesamtmenge entsteht Schritt für Schritt durch mehrmalige Wiederholung des gleichen Vorgangs. • Bei Beispielen dieser Art wird durch Handlungen (bzw. durch vorgestellte Handlungen) an die Multiplikation herangeführt. • Die dynamische Komponente der Multiplikation wird betont. Mengenvereinigung • räumlich-simultaner Aspekt: • Es wird keine Handlung (mehr) durchgeführt. • Die Vereinigungsmenge liegt von Anfang an schon vollständig vor. • Die statische Komponente der Multiplikation wird betont. Kartesisches Produkt • Kartesisches Produkt: • Alle möglichen Kombinationen (das Kreuzprodukt) zwischen den Elementen zweier Mengen werden bestimmt. • Wird auch als kombinatorischer Aspekt der Multiplikation bezeichnet. • Die Einführung der Multiplikation über diesen Weg ist nicht sinnvoll. Kartesisches Produkt Kartesisches Produkt • Nachteile des Weges über das Kartesische Produkt: • Das gesamte Kartesische Produkt kann nicht auf einmal mit material gelegt werden. • Veranschaulichungen durch Strichdiagramme sind kompliziert. • Kinder besitzen weniger Erfahrungen als mit der Mengenvereinigung • geringerer (einseitiger) Anwendungsbezug • Zurückführen auf einfachere Additionsaufgaben ist schwierig. • Beziehungen zwischen Multiplikation und Division als Umkehroperation leuchten bei der Mengenvereinigung besser ein. Grundmodelle zur Multiplikation • Weitere multiplikative Kontextaufgaben: • Multiplikativer Vergleich • Multiplikatives Ändern • Proportionalität • Verkettung von Vervielfältigungsoperatoren • Formelhafte Multiplikation von Größen Multiplikativer Vergleich • Katja hat 6€ gespart. Ihre große Schwester hat schon 5mal so viel Geld in ihrer Spardose. Wie viel Geld hat ihre große Schwester? Multiplikatives Ändern • Eine Lotterie lockt mit folgendem Versprechen: Im Fall eines Gewinns verdreifacht sich ihr Einsatz. Wie hoch ist die Auszahlung bei einem Einsatz von 10€? Proportionalität • In einer Minute laufen 7 Liter aus einem Wasserhahn. Wie viel Liter laufen in 9 Minuten aus dem Hahn? Verkettung von Vervielfältigungsoperatoren • Der Elefant Otto verdreifacht im ersten Jahr sein Geburtsgewicht. Im zweiten Lebensjahr verdoppelt er sein Gewicht. Das Wievielfache seines Geburtsgewichtes hat er am Ende des zweiten Lebensjahres? Operatoren • Multiplikationsoperatoren werden meist durch Maschinen konkretisiert: Formelhafte Multiplikation von Größen • Ein kleines rechteckiges Gartengrundstück ist 6m lang und 11m breit. Wie groß ist das Flächenstück? Grundmodelle zur Division • Zerlegen von Mengen in gleichmächtige Teilmengen • Umkehroperation • Wiederholte Subtraktion / Rückwärtszählen • Multiplikativer Vergleich • Operatoren Zerlegen von Mengen in gleichmächtige Teilmengen • Zerlegen von Mengen in gleichmächtige Teilmengen • zwei Grundmodelle: • Aufteilen • Verteilen Aufteilen • Zerlegung einer Menge M in gleichmächtige, paarweise elementfremde Teilmengen • Gesucht ist die Anzahl der Teilmengen • Gegeben sind die Elementanzahl der Menge M und die Elementanzahl je Teilmenge • Beispiel: • Kinder spielen mit Karten. Zum Spiel gehören 32 Karten. Jedes Kind soll vier Karten erhalten. Wie viele Kinder können mitspielen? Verteilen • Zerlegung einer Menge M in gleichmächtige, paarweise elementfremde Teilmengen • Gesucht ist die Anzahl der Elemente je Teilmenge • Gegeben sind die Elementanzahl der Menge M sowie die Anzahl der Teilmengen • Beispiel: • Vier Kinder spielen mit Karten. Uwe verteilt die 32 Karten. Jeder bekommt gleich viele. Wie viele Karten bekommt Jeder? Verteilen und Aufteilen • Beispiel: Zerlegung der Zahl 12 Verteilen: Zerlegung einer Menge mit 12 Elementen in 3 gleichmächtige disjunkte Teilmengen. Aufteilen: Zerlegung einer Menge mit 12 Elementen in disjunkte Teilmengen, die jeweils 4 Elemente enthalten sollen. Gesucht ist als Quotient 12 : 3 die Anzahl der Elemente jeder Teilmenge Gesucht ist als Quotient 12 : 4 die Anzahl der entstehenden gleichmächtigen Teilmengen Aufteilen Verteilen Umkehroperation • Man kann die Division auch als Umkehroperation der Multiplikation einführen, ohne auf die Aspekte des Aufteilens und Verteilens zurückzugreifen. • Mit 20 : 5 bezeichnen wir dann die Zahl, die mit 5 multipliziert 20 ergibt. • 20 : 5 = x x · 5 = 20 Wiederholte Subtraktion • Die Division wird als wiederholte Subtraktion des Divisors eingeführt. • Beispiel: • 8 Birnen werden in Tüten verpackt. Immer zwei in eine Tüte • 8-2-2-2-2=0 • 8:2=4 Wiederholte Subtraktion • Veranschaulichung ist am Zahlenstrahl gut möglich. • Beispiel: 18 : 6 • Vom Dividenden 18 ausgehend werden wiederholt Pfeile der Länge 6 abgezogen -6 0 -6 6 -6 12 2 18 Multiplikativer Vergleich • Aufteilen: • Anna und ihre Freundin Vanessa sparen ihr Taschengeld. Anna hat 5€ gespart, Vanessa schon 45€. Wie mal so viel Geld wie Anna hat Vanessa schon gespart? • Verteilen: • Max und sein Freund Tim sparen ihr Taschengeld. Max hat 5 mal so viel Geld gespart wie sein Freund Tim. Max hat 35€ gespart. Wie viel Euro hat Tim gespart? Operatoren • Rückwärtslaufen des Programms einer Maschine: • „Für 2 gib 1“ Rechengesetze • Kommutativgesetz (Tauschaufgabe) Rechengesetze • Distributivgesetz: • a(b + c) = ab + ac • Beispiel: • 3 ·(4 + 2) = 3 ·4 + 3 · 2 Rechengesetze • • • • Assoziativgesetz: (a · b) · c = a ·(b · c) Beispiel: (2 · 3) · 4 = 2 ·(3 · 4) Behandlung im Unterricht Rahmenplan Hessen (1995) S. 154: Vom ersten Schuljahr an werden Handlungen und Situationen aus dem Umfeld der Kinder und aus ihrem Erlebnisbereich aufgegriffen und nachgespielt, die multiplikative Strukturen beinhalten: Verdoppeln, Halbieren, Verteilen, Aufteilen, mehrfach die gleiche Anzahl hinlegen usw.“ S. 155: „Im 2. Schuljahr lernen die Kinder die arithmetischen Operationen der Multiplikation und der Division mit den entsprechenden Gleichungs- und Operatorschreibweisen sowie den Operationszeichen für „mal“ und „geteilt durch“, auch das Dividieren mit Rest.“ Methodisches Vorgehen beim Einführen der Multiplikation • • • • • • • • • • • Vereinigen gleichmächtiger Teilmengen Rechengeschichten spielen (zeitlich sukzessiv) Abbildungen besprechen (räumlich - simultan) Additionsgleichungen zuordnen Anregen zum Vergleichen der Gleichungen 6 + 6 + 6 = 18 3 + 3 + 3 + 3 + 12 Was fällt auf? Summanden sind immer gleich Übergang zur Multiplikation 3 6 = 18 4 3 =12 Sprechweise: 3 mal 6 ist gleich 18 Methodisches Vorgehen beim Einführen der Multiplikation • Übungen: • Aufgaben zu Situationen und Bildern finden • Multiplikationsaufgaben darstellen durch Material am Punktefeld, mittels Rechtecken oder am Zahlenstrahl • Kreuzprodukte bilden Methodisches Vorgehen beim Einführen der Multiplikation Methodisches Vorgehen beim Einführen der Division • Zwei Fragen: • In welchem zeitlichen Abstand von der Multiplikation wird die Division eingeführt? • Mit welchem der Grundmodelle (Aufteilen - Verteilen) wird begonnen? Methodisches Vorgehen beim Einführen der Division • Zerlegen in gleichmächtige Teilmengen • Verteilsituationen spielen • Dinge in gleichmächtige Mengen aufteilen • Aufschreiben von Divisionsgleichungen: • 18 : 3 = 6, 24 : 8 = 3 • Sprechweise: 18 geteilt durch 3 ist (sind) gleich 6 • Beziehung zur Multiplikation bewusst machen • 18 = 3 6: Wenn ich 18 (Äpfel) habe, kann ich jedem von 3 Kindern 6 (Äpfel) geben. • Beziehung zur Subtraktion an Sachsituationen kennzeichnen Methodisches Vorgehen beim Einführen der Division • Übungen: • Situationen vorgeben: Aufgaben zuordnen und lösen • Divisionsaufgaben stellen: Situationen bzw. Handlungen zuordnen (und so die Aufgabe lösen) • Divisionsaufgabe stellen, mit Hilfe der Multiplikation lösen • Multiplikationsaufgabe geben und Umkehraufgabe(n) zuordnen
