spherical_trigonometry

Lösen von Problemen der
Sphärischen Trigonometrie
unter Zuhilfenahme von
Computeralgebra
Parametrisierung und
Visualisierung
Walter Wegscheider, PI-Hollabrunn (Niederösterreich)
Suche nach einem Koordinatensystem
 Verschiedene Weltbilder (geozentrisch,
heliozentrisch)
 Orientierung auf der Erdkugel – keine 1:1
Übertragung von einfachen rechtwinkeligen
Systemen
 schon frühe (Griechen, Chinesen u.a.)
Bestrebungen für Koordinaten auf der Kugel
 Schließlich durchgesetzt hat sich
Breitengrad (Latitude) und
Längengrad (Longitude)
(und Höhe)
Längengrad - Breitengrad
Bezugsgrößen:
 Geogr. Breite
 Pole, Äquator
 Sonnenhöchststand
 Datum / Schiefe der
Ekliptik
 Geogr. Länge
 Nullmeridian
(Greenwich –
London), willkürlich
 Sonnenhöchststand
 Genaue Uhrzeit
Geogr. Breite - Breitenkreise
 Seit dem späten 15. Jhdt. berechenbar
Astrolabium, Jakobsstab, Sextant
 Auch Parallelkreise genannt
Parallel zum Äquator
Kleinkreise (außer Äquator)
Eckdaten
 90° S(üdpol)
 0° - Äquator
 90° N(ordpol)
Abstand eines Punktes vom Äquator
Sextant
Geogr. Länge - Meridiane
 Erst seit 1774 berechenbar (der Chronometer –
eine genügend robuste und genau gehende Uhr
war erfunden worden)
Meridiane sind Halbkreise (Großkreise), die die beiden
Pole miteinander verbinden
Willkürliche Festlegung von Greenwich (London) als
Nullmeridian.
180° W (-180°) – 0° (Greenwich) – 180° O
Übergang bei Datumsgrenze
Probemessung
 Am 21. Juni messen wir zu Mittag einen
Sonnenhöchststand von 53.5°
Geogr. Breite 90° - 53.5° + 23.5° (Ekliptik) = 60°
Voraussetzung: Nordhalbkugel!
 Der Chronometer zeigt an, dass dieser
Sonnenhöchststand um 14.00 Uhr Nachmittag
erreicht wurde.
Geogr. Länge: 30° Ost
360° / 24 Stunden  15° pro Stunde
 Wir sind in St. Petersburg!
Visualisierung – 3D Plots
 Wenn wir versuchen, die Kugel (Modell der Erde) und
Großkreise bzw. Meridiane zu visualisieren, bietet sich ein
CAS wie DERIVE an.
 Recht bald zeigen sich aber Schwierigkeiten bei gewohnten
Schreibweisen
 Beispiel 1: Kugel mit Radius 1
DERIVE v01
DERIVE
x 2  y 2  z 2  1 
 z   1  x2  y 2
 Beispiel 2: Kreis als Schnitt einer Ebene mit einer Kugel!
2
2
2

x

y

z
 1 DERIVE


 ??

z0


Koordinatentransformation
 Statt mit kartesischen Koordinaten
rechnen wir mit Kugelkoordinaten!
 Ein beliebiger Punkt P wird im
sphärischen Koordinatensystem
durch den Radius r und zwei
Winkel (r, a, d) festgelegt.
Dabei steht d für den Winkel zur
xy-Ebene (geogr. Breite),
a für den Winkel innerhalb der
xy-Ebene (geogr. Länge).
Umrechnungsformeln 1
P  x, y, z   r
Der Ortsvektor zu P hat die Länge r. Somit gilt:
r  x2  y 2  z 2
P  x, y, z   a
Der Winkel a (analog dazu bei d) kann in der
xy-Ebene über trigonometrische Grundbeziehungen
beschrieben werden:
y
 y
tan a   a  arctan  
x
 x
P  x, y, z   d

z
z
z

sin d   d  arcsin    arcsin
 x2  y 2  z 2
r
r





Umrechnungsformeln 2
P  r ,a , d   z
z
sin d   z  r  sin d
r
P  r ,a , d   x
Die Projektion von P in die xy-Ebene erhält man über r  cos d
.
- die weitere Projektion auf die x-Achse durch
x  r  cos d  cos a
 r  cos d   cos a
P  r ,a , d   y
Analog dazu ergibt die Projektion auf die y-Achse:
y  r  cos d  sin a
Beliebiger Punkt auf der Kugel
 Eine Möglichkeit, einen beliebigen Punkt auf der Kugel
zu definieren – alternativer Zugang:
 Wir betrachten den vertikalen Großkreis der Kugel mit Radius
r, der beim Schnitt mit y=0 entsteht (entspricht Nullmeridian –
wobei ein Meridian eigentlich nur ein Halbkreis ist!):
Funktion q :  0, 2   R 3
 r  cos  t  


q (t )  
0

 r  sin  t  


Nun lassen wir den entstanden Kreis um einen
beliebigen Winkel s rotieren. Dazu multiplizieren
wir q(t) mit der Rotationsmatrix Q.
 cos  s   sin  s  0 


Q   sin  s  cos  s  0 
 0

0
1


Ein Punkt auf der Kugel mit den Koordinaten r, t (geogr. Breite, 0 bis
2 bzw. – bis ) und s (geogr. Länge, 0 bis 2 bzw. – bis ) genügt
daher folgender Parameterdarstellung.
 r  cos  s   cos  t  


Q  q  t    r  sin  s   cos  t   DERIVE v02


r

sin
t




Visualisierung von Breiten- und
Längenkreisen bzw. Raumpunkten
 Wenn man in der Parameterdarstellung der Kugel einen
der beiden Winkel durch einen fixen Wert ersetzt, erhält
man Breiten- bzw. Längenkreise!
 Wenn beide Parameter durch Werte ersetzt werden,
erhält man die kartesischen Koordinaten eines
Raumpunkts!
 Beispiele:
t ersetzen durch d = 48° (N) – Plot des Breitenkreises
s ersetzen durch a = 16° (O) – Plot des Längenkreises
Plot des Raumpunkts Wien(6371,16°,48°)!
DERIVE v03
Großkreise - Orthodrome
 Ein Großkreis entsteht durch Schnitt der Kugel mit einer
Ebene durch den Kugelmittelpunkt. Ein Großkreis wird
daher über die beiden folgenden Gleichungen definiert:
2
2
2
2

x  y  z  r

n X  0


Kugelgleichung
Ebenengleichung
Eine Parameterdarstellung geht von der Darstellung eines Kreises in der Ebene aus:
kebene : r  cos  t  , r  sin  t 
Im Raum in der xy-Ebene!

1
 0

 
 
kraum : r   cos  t    0   sin  t    1  
0
 0

 
 

Für die Definition eines beliebigen Großkreises ist also eine
entsprechende Orthonormalbasis erforderlich:

k grosskreis : r  cos  t   u 0  sin  t   v 0

In der sphärischen Geometrie interessieren wir uns in erster Linie für
Großkreise, die durch zwei Punkte am Kreis definiert sind. Wir
müssen also, um eine entsprechende Orthonormalbasis für eine
Parameterdarstellung zu finden, die beiden Ortsvektoren zu den
Punkten P und Q einbinden!
pq

p pq
… steht normal auf die Ortsvektoren der Punkte P und Q und
damit normal auf die Ebene des Großkreises

… steht normal auf die Normale des Großkreises, befindet sich
also wieder in der Ebene des Großkreises und steht normal auf
den Ortsvektor von P
Normiert auf Länge 1 erhalten wir
p
p
u0 
 ,
p r
v0 
 
p   p  q
p pq
Und damit den Großkreis mit:

k grosskreis : r  cos  t   u 0  sin  t   v 0





p pq
p

 r  cos  t    sin  t  

p
p pq


Umgeformt mit p  p  q  p  p  q und p  r
k grosskreis : cos  t   p  sin  t  

p pq
pq

DERIVE v04
 
 
Länge der Orthodrome
Die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten, als Teil eines
Großkreises, nennt man Orthodrome (Geradlaufende).
Für die sphärische Entfernung zwischen zwei Punkten P und Q gilt:
Länge der Seite c  PQ: PQ  r  arc  c 
Wenn man nun mit Hilfe der Meridianbögen durch P und Q ein
spärisches Dreieck erzeugt, kann man mit Hilfe der Sätze im
Dreieck die Länge von c berechnen!
Seiten-Cosinussatz:
P  r ,a P , d P  , Q  r ,a Q , d Q 
cos c  sin d P  sin d Q  cos d P  cos d Q  cos a Q  a P 

PQ  r  arccos sin d P  sin d Q  cos d P  cos d Q  cos a Q  a P 

Loxodrome - Kursgleiche
 Sphärische Kurve, die entsteht, wenn auf einer Kugel mit
Radius r ein fixer Winkel e zu den Meridianen
eingehalten wird!
 Man spricht auch von einem konstanten Kurswinkel
oder Azimut.
Die Bedeutung der Loxodrome liegt in der praktikableren Navigation
(mit Kompass) – bei speziellen Kartenentwürfen (Mercator) werden
Loxodrome als Gerade abgebildet!
Wir betrachten zwei knapp nebeneinander liegende Punkte P und
P1 auf einer Loxodrome und konstruieren mit Hilfe der Meridiane
durch P und P1 ein spezielles Dreieck mit einem Hilfspunkt Q am
Breitenkreis von P.
d ... geogr. Breite
e
e
P1(a+a,d+d)
s
e
P(ad)
a ... geogr. Länge
Q(aad)
Wenn die beiden Punkte P und P1 unendlich knapp nebeneinander
gewählt werden, entartet das sphärische Dreieck PQP1 zu einem
rechtwinkeligen ebenen Dreieck mit der Hypothenus s!
Die Beziehungen in diesem Dreieck lauten (a und d im Bogenmaß,
r Radius der Kugel):
PQ  r  cos d  da
(r  cos d ... definiert den Radius des Breitenkreises)
QP1  r  dd
PQ r  cos d   da
tan e 

r  dd
QP1
da tan e

dd cos d
Die Umformung dieser Beziehung liefert
folgende Differentialgleichung:
DERIVE v05
Wir erhalten damit die Gleichung einer Loxodrome(nschar) mit
Kurswinkel e:

  d 
   C
 4 2 
a  tan e   ln tan 

Für die Berechnung einer bestimmten Loxodrome durch zwei
Punkte P(aP, dP) und Q(aQ, dQ) kann man daraus ableiten – die
Steigung tan e der Loxodrome beträgt:
tan e 
aQ  a P
   dQ  
   dP 
ln  tan  
 ln  tan  
 


  4 2 
  4 2 

aQ  a P
, a P  aQ
  dP 
tan  

4 2 

ln
  dQ 
tan  

4
2


Loxodrome - Parameterdarstellung
 Die Parameterdarstellung der Loxodrome mit
Steigung e  tan e lautet:
 cos  e  t  


cosh
t
 

 sin  e  t  

loxodrome(r , e)  r  
 cosh  t  


tanh
t






Die Loxodrome ist ein
Spezialfall einer
logarithmischen Spirale!
Loxodrome - Bogenlänge
Für die Berechnung der Länge zwischen P und Q betrachten wir
wieder das Dreieck PQP1 und berechnen die Länge von ds.
r  dd
r  dd
cos e 
 ds 
ds
cos e
dQ
sBogen  s 

dP
r  dd r  d Q  d P

cos e
cos e
Die Bogenlänge der Loxodrome zwischen den
Punkten P und Q beträgt:

r
s
 dQ  d P
cos e

DERIVE v06
(Vergleich der Längen: Orthodrome, Loxodrome)
Kartenentwürfe
 Bildet man die Erdoberfläche oder einen Teil von ihr auf
eine Ebene ab, so entsteht eine geographische Karte!
 Problem: Längentreue in alle Richtungen ist unmöglich
(Beweis durch Euler 1777)
 Möglich sind Längentreue in bestimmten Richtungen
(z.B. entlang der Meridiane, Flächentreue und
Winkeltreue)
 Verschiedenste Entwürfe (z.B. perspektivische, Zylinderund Kegelentwürfe)
Abbildungsgleichung allgemein:
x  f 1a , d 
y  f 2 a , d 
Mercator-Entwurf, Winkeltreue
Der Mercator-Entwurf (Gerhard Mercator,
1512 – 1594) ist eine Zylinderprojektion.
Die Erdoberfläche wird auf einen
Zylindermantel projiziert, welcher die Erde
am Äquator berührt. Der Zylinder wird nach
der Projektion längs einer Mantellinie
aufgeschnitten und abgerollt.
Die Besonderheit gegenüber der
klassischen Zylinderprojektion ist die
rechnerische Korrektur, um Winkeltreue zu
erzielen.
Verzerrung bei Zylinderprojektion abhängig von der geogr. Breite d,
mit Hilfe der ersten Fundamentalform von Flächen erhält man die
dazugehörigen Verzerrungsfaktoren:
z  r  sin d
x  r d
senkrechter Vezerrungsfaktor cos d
1
waagrechter Verzerrungsfaktor
cosd
Verzerrung bei Mercatorprojektion
Idee: Streckung in senkrechter Richtung – für winkeltreue
Abbildung muss die Verzerrung gleich sein!
Kompensation um:
1
cos 2 d
Die neue senkrechte Komponente sei also v = f(d) mit:
v
1

z cos 2 d
Über mehrere Umformungen kommt man zu folgender
Differentialgleichung:
dv
r

dd cos d
Die Lösung dieser Gleichung führt zu einer schon bekannten
Lösung (vgl. Loxodrome):
   d 
v  f d   r  ln  tan      C
  4 2 
Eine Loxodrome wird damit in der Mercator-Projektion als
Gerade abgebildet! – Bedeutung für Navigation immens!