Vorlesung vom 30.04.02 (Powerpoint)

2.5.2 Multivariate Monte Carlo-Simulation
 in der Realität besteht zwischen der zeitlichen Entwicklung der
verschiedenen Risikofaktoren ein Zusammenhang
 Berücksichtigung derartiger Abhängigkeiten durch die jeweilige
Korrelation zwischen den Risikofaktoren
Vorgehensweise
 Festlegung der Prämissen
 Simulation der Marktparameter durch (0,1)-gleichverteilte
Zufallszahlen
 Ableitung der korrelierten Zufallszahlen S
 Transformation der Zufallszahlen gemäß der zugrunde gelegten
hypothetischen Verteilung der Marktparameter
 Bewertung des Portfolios für die verschiedenen Simulationen
 Berechnung des VaR unter Berücksichtigung des Konfidenzniveaus
Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002
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Ableitung der korrelierten Zufallszahlen S
 gegeben: positiv semidefinite Varianz-Kovarianz-Matrix !!
 Cholesky-Faktorisierung:
Ableitung einer oberen Dreiecksmatrix A für die (MM)-KovarianzMatrix , für die gilt:
Σ  A  A'
 Für einen Vektor mit M normalverteilten, unabhängigen
Zufallsvariablen z‘= (z1, z2,...,zM) erhält man einen Vektor
s‘= (s1, s2,...,sM) mit korrelierten Zufallsvariablen bezüglich der
Kovarianzmatrix  durch
s=Az
< 2.9 > (22)-Kovarianz-Matrix 
1,2   a1,1 a1,2   a1,1
0   a12,1  a12,2
 1
  
  
 
  
1   0 a 2,2   a 2,1 a 2,2   a a
 2,1
 1,2 2,2
a1,2a 2,2 
a 22,2 
( bezeichnet die Kovarianz zwischen den Zufallszahlen z1und z2 )
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1,2   a1,1 a1,2   a1,1
0   a12,1  a12,2
 1
  
  
 
  
1   0 a 2,2   a 2,1 a 2,2   a a
 2,1
 1,2 2,2
a1,2a 2,2 
a 22,2 
 Sukzessive Ableitung der Matrix A:
a 22,2  1  a 2,2  1
a1,2a 2,2  1,2  2,1  a1,2  1,2  2,1
a12,1  a12,2  1  a1,1  (1  12,2
1,2   1
1,2   1
 1

  
  
2
  2,1
1  0
(
1


 2,1
1
,
2


0


2
(1  1,2 
 korrelierte Zufallszahlen
1

0

2,1
  z1   s1 
    
2
(1  1,2   z 2   s2 
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 Ermittlung der Matrix A für eine (MM)-Kovarianz-Matrix  :
0 
0 
 1,1 1,2  1, M   a1,1 a1,2  a1, M   a1,1

 
 





0
a

a
a
a

0
2,2
2, M 
2,2
2, M   2,1
2,2
 2,1







   

   

 

 
 




0

0
a
a

a
M, M 
M, M   M,1
M, M 
 M,1
 M,1
 rekursive Bestimmung der Diagonalelemente
a i ,i 
i 1 2
 i ,i   a k ,i
k 1
 Bestimmung der Elemente der 1. Zeile
a1, j 
1, j
a1,1
 Bestimmung der Elemente rechts von der Diagonalen
i 1

1 
 i, j   a k,i  a k, j 
a ij 
a ii 

k 1
für j  i  1, i  2, i  3,...,M
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< 2.10 >
3 Marktparameter (Zufallsvariablen) sind gemeinsam normalverteilt
mit
 0,3 0,4 0,5 


Σ   0,4 0,6 0,7 
 0,5 0,7 0,9 


 Generierung von 1.000 Zufallszahlen für jeden Marktparameter:
1.000 31-Vektoren mit unabhängigen, gleichverteilten Zufallszahlen,
z.B. Z’ = (0,46; 0,60; 0,45)
 Bestimmung des zugehörigen Vektors S der korrelierten Zufallszahlen
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 Zusammenfassung der Vektoren in Simulations-Matrix, die
Korrelationen zwischen Daten
 s1,1  s1, M 


    
 s s

D
,
1
D
,
M


 Anpassung der Zufallszahlen gemäß der Verteilungsannahme
(evtl. Berücksichtigung des Drifts) und der Bewertungsfunktion
 Bewertung des Portfolios
V  f ()  (V1,..., VD )T
 Vektor der möglichen Portfoliowerte auf der Basis der
Zufallszahlen der ausgewählten D Durchführungen
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 Berechnung des Value at Risk (vgl. Historische Simulation)
 Tägliche Gewinne und Verluste als Differenz zwischen dem mit
den veränderten Marktparametern bewerteten Portfoliowert und
dem auf der Basis der aktuellen Marktdaten ermittelten
Portfoliowert
 V1   Vt 0   V1 




ΔV  f ()  Vt 0            
 V   V   V 
 D   t0   D 
 Anordnung der Werte entsprechend ihrem Wert
 empirische Häufigkeitsverteilung
 Berechnung des VaR durch Quantilsbildung
(aufgrund der hohen Stichprobe ist simulierte Verteilung
wesentlich robuster als Verteilung nach der historischen
Simulation)
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Vor-/Nachteile
 hohe Zahl der Simulationen macht Schätzung des VaR
wesentlich robuster
 Verteilungsannahme wird vorausgesetzt, allerdings nicht auf
Normalverteilung beschränkt
 Verteilungsannahme aber nur für Risikofaktoren, nicht für die
simulierten Wertveränderungen des Portfolios  Nichtlinearitäten
der einzelnen Positionen werden voll berücksichtigt
 sehr hoher Rechenaufwand durch häufige Neubewertung des
Portfolios
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2.6 Vergleich der VaR-Methoden
Varianz-KovarianzAnsatz
Linearisierung der
Preis-RisikofaktorenBeziehung anhand
von Sensitivitäten
Charakterisierung der
Verteilung des Portfoliowertes aufgrund
der Verteilung der Risikofaktoren
Annahme der (Standard)Normalverteilung
der Risikofaktoren
Historische
Simulation
Monte CarloSimulation
Beziehung zwischen
Preis und Risikofaktoren anhand eines
Bewertungsalgorithmus
Simulation der Risikofaktoren anhand historischer Daten und
entsprechende Simulation der Preisveränderungen
Keinerlei Verteilungsannahme
Beziehung zwischen
Preis und Risikofaktoren anhand eines
Bewertungsalgorithmus
Simulation der Risikofaktoren und entsprechende Simulation der
Preisveränderun-gen
Annahme der (Standard)Normalverteilung
der Risikofaktoren
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Varianz-KovarianzAnsatz
Historische Simulation
Monte CarloSimulation
Niedriger Rechenaufwand
Hoher Rechenaufwand
Nichtlinearitäten werden
nicht
berücksichtigt
Verwendung der Korrelation und damit des
linearen Zusammenhangs zwischen Risikofaktoren
Nur in der Historie beobachtete Szenarien
werden berücksichtigt
Nichtlinearitäten wer- Nichtlinearitäten werden berücksichtigt
den berücksichtigt
Verwendung tatsächlich
beobachteter
(auch nicht linearer)
Zusammenhänge zwischen Risikofaktoren
Nur in der Historie beobachtete Szenarien
werden berücksichtigt
Hoher Rechenaufwand
Verwendung der Korrelation und damit des
linearen Zusammenhangs zwischen Risikofaktoren
Per Zufallsziehungen
werden auch Konstellationen einbezogen,
die nicht in der Historie
enthalten sind
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Vergleichende Bewertung des VaR
 Varianz-Kovarianz-Ansatz basiert auf Normalverteilungsannahme
 tatsächliche Verteilung weist i.d.R. eine höhere Kurtosis,
insbesondere fat tails auf  Risiko wird tendenziell unterschätzt
 Monte Carlo-Simulation erfaßt Optionsrisiken genauer 
deswegen genauere Risikozahl, aber auch
Normalverteilungsannahme  Risiko tendenziell auch zu niedrig
 Historische Simulation verzichtet auf Normalverteilung 
theoretisch das genaueste Risikomaß  höheres Risiko
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