Vorlesung vom 23.04.02 (Powerpoint)

zu 2.2.2 Varianz-Kovarianz-Ansatz mit Renditen
 Taylor-Reihe: Wertänderung V in Umgebung von S0 durch
Ableitung von V nach S in S0
dV
1 d 2V
1 d 3V
2
V(S) 
 S  
 ( S)  
 ( S)3  ...
dS
2 dS2
6 dS3
dV
V(S) 
 S
dS
 Risikofaktoren bestimmen auf lineare Weise den Marktpreis eines
Portfolios: Delta-Normal-Methode
 Annahme unproblematisch bei originären Finanzprodukten
 Annahme problematisch bei einigen derivativen Finanzprodukten
 z.B. Aktienoptionen
Änderung des Optionswertes abhängig von der Höhe des
Kurses des Underlying
 nicht-linearer Fall: Delta-Gamma-Methode
Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002
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 Taylor-Approximation: Option
V
c 
 S  c  S
S
( c = Delta der Option)
 Wertänderung der Optionsposition entspricht ungefähr der
Wertänderung einer Position aus c Einheiten des Underlying
 Option  Position aus c Aktien = Deltaäquivalent Ä
Ä   c  S
 Berechnung des VaR
- Anteilsvektor der Deltaäquivalente äT = (ä1, ä2, ..., äN) mit
T
-  rPF  ä   M rPF
Än
ä n 
, n  1,2,..., N
 Än
n
T
-  rPF  ä   Σ rPF  ä 
 VaR   Ä  n  (  rPF   rPF )
n
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< 2.4 > Portfolio aus 2 Positionen:
1. 500 europäische Calls auf ein Underlying mit derzeitigem Kurs
von 30 DM, einem Strikepreis von 29 DM, einer impliziten
Volatilität von 25% p.a., einer Restlaufzeit von 4 Monaten und
einem Zins von 5% p.a.. Der Wert einer dieser Optionen beträgt
2,53 DM. Die Option hat ein Delta von 0,6627.
2. Shortposition mit 330 Einheiten des Underlyings. Die Rendite des
Underlyings hat einen Erwartungswert von r = 0 und eine
Standardabweichung von r = 1,5%.
Betrachtet wird ein Konfidenzniveau von 97,5 %.
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2.3.2 Exponentielles Glätten
 Verfahren zur Prognose aus Zeitreihen
 Mittelwerte, Volatilitäten und Korrelationen schwanken im
Zeitablauf!
 Annahme: zeitlich jüngere Werte einer Zeitreihe geben mehr
Information über die Zukunft als die zeitlich älteren Werte
 Stärkere Gewichtung der jüngeren Werte

{t0 ( B1) ,...,t0 }

{t 0 ( B1) ,...,t 0 }
 Elemente der geglätteten Zeitreihe t*
t    t    (1   )  t 1    (1   )2  t  2  ...


 t     (1   ) j   t  j
j 0
(Summe der Gewichtungen = 1, wenn obere Summationsgrenze  )
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 theoretische Anforderung: unendlich viele Beobachtungen!!
t    t    (1   )  t 1    (1   )2  t  2  ...
   t  (1  )  (  t 1    (1  )  t 2  ...)
   t  (1  )  t 1
 t 1    (t  t 1)
 Rekursionsformel:
jedes Zeitreihenglied kann aus dem letzten exponentiell geglätteten Wert korrigiert um einen Anteil  des „Fehlers“ t  t 1
der letzten Periode gebildet werden
 Bestimmung des nächsten geglätteten Wertes basiert nur auf
letztem geglättetem Wert und der neuesten Beobachtung !
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 Varianz der glätteten Zeitreihe
 
2
     (1   ) j  (  t  j   1 )2
t
j 0
 bei Liquidationsdauer von 1 Tag 
t sehr klein
  t  0
 Volatilität

2
    2t  (1   )  2t 1    (1   )2  2t  2  ...
t

2
2
   t  (1  )  t 1
 2 *    ( 2t  2 *)
t 1
t 1
als Volatilität der Vorperiode korrigiert um einen Anteil  des
„Fehlers“ 2t  2
t1
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< 2.5 > Wechselkurs DEM/FRF
Als Parameter wird die tägliche Rendite aus dem Halten der
Währung definiert. Das Beispiel stammt aus einer Zeit, in der das
Europäische Währungssystem unter Spannungen stand. Die Tabelle
zeigt den Kurs des FRF gegenüber der DEM, die tägliche Rendite,
die Schätzung einer empirischen Standardabweichung der letzten 90
Tage und die Schätzung durch exponentielles Glätten mit  = 0,03.
Datum
Kurs
Rendite(%)
Emp. Standard-
Volatilität bei
abweichung (%)
exponentieller Glättung
20.02.1995
28,7360
21.02.1995
28,7020
-0,1183
0,1014
0,1144
22.02.1995
28,6200
-0,2857
0,1026
0,1231
23.02.1995
28,6640
+0,0839
0,1017
0,1221
24.02.1995
28,5190
-0,4364
0,1107
0,1420
27.02.1995
28,3190
-0,70048
0,1315
0,1856
28.02.1995
28,3730
+0,1942
0,1335
0,1859
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Vorteile
 bessere Reaktion auf Änderungen der Volatilität als empirische
Standardabweichungen
 Bei Extremwerten (Schock) :
Exponentielle Glättung: Vola-Schätzung steigt schnell an und
fällt langsam ab
Empirische Standardabweichung: Vola-Schätzung steigt langsam an
und fällt schnell ab
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Korrelationsschätzung (bei Mittelwert von 0)
t 0 ( 1, 2 ) 
Cov t 0 ( 1, 2 )
1, t 0  2 , t 0
Cov t ( 1, 2 ) 
  (1, t  2, t )    (1   )  (1, t 1  2, t 1)    (1   )2  (1, t  2  2, t  2 )  ...
   (1, t  2, t )  (1   )  Côvt 1(1,2 ).
 Schocks werden zeitnaher abgebildet.
 aber auch exponentielle Glättung bildet Leptokurtosis der
(Rendite-)Verteilungen und Volatility Clustering nicht ab
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2.3.3 ARCH und GARCH Modelle
 an Finanzmärkten häufig beobachtete zeitliche Häufung von
starken oder geringen Kursveränderungen bedingt autoregressives
Verhalten der Volatilität (des Underlyings)
 z.B. auf einen großen Kursanstieg folgt tendenziell wieder eine
große Kursveränderung mit nicht prognostizierbarem Vorzeichen
 ARCH (Autoregressive Conditional Heteroscedasticity) bzw.
GARCH (Generalized ARCH) :
 Heteroskedastizität - zeitvariable Varianzen
 Autoregression - Annahme, daß Volatilität abhängig von den
Kursschwankungen der Vergangenheit
 leptokurtische Verteilung - „fatter tails“ und stärkere Wölbung als
Normalverteilung
 empirische Verteilung wird treffender approximiert ?!
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2.3.4 Implizite Volatilitäten
 Schätzung der Volatilität = Problem!
 Schätzung von Volatilitäten bei Preisfindung von Optionen
(Preisfindungsformel von Black&Scholes)
 bei effizienten Märkten: alle Parameter und Optionspreis sind
beobachtbar
 Schluß von Optionspreis auf zugrundeliegende Voaltilitätsschätzung = implizite Volatilität
Nachteile:
 Implizite Volas nur für Produkte, auf die Optionen an Börsen
gehandelt werden
 bei komplizierteren Optionen ist implizite Vola abhängig von
zugrunde gelegtem Optionspreismodell
...
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2.4 Historische Simulation
 Neubewertung des Portefolios anhand von historischen
Veränderungen der Marktfaktoren über einen bestimmten Zeitraum
 Ergebnis  Wahrscheinlichkeitsverteilung,
für die das -Quantil als Value at Risk bestimmt werden kann
 Keine Annahme über Verteilung nötig, da Veränderungen der
Marktparameter aus historischen Daten gewonnen !
Vorgehensweise
 Festlegung der Prämissen
 Ermittlung aller relevanten Marktparameter für jeden Zeitpunkt
der ausgewählten Vergangenheitsperiode
 Bewertung des Portfolios pro Stichtag
 Berechnung des VaR
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 Festlegung der Prämissen
Identifikation der relevanten Marktparameter (1, ... , M )
Bewertungsfunktionen für Finanztitel des Portfolios
 Erfassung der Marktparameter für jeden Zeitpunkt
 auf der Basis beobachteter Realisationen
(m, t0  B ,..., m, t0 )
 auf der Basis absoluter oder relativer Änderungen über die
Haltedauer
m,b  m, t0  b  m, t0  b L
m,b 
m, t 0  b  m, t 0  b  L
m, t 0  b  L
(mit m = 1,…, M; b = 0,1,…, B-1)
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 Vektor der Beobachtungen zu einem Stichtag
Sb  (1, t0  b ... M, t0  b ), b  1,...,B
 alle Beobachtungsvektoren zusammen
 S1   1, t 0 1  M , t 0 1 
 
   




S  


 B   1, t 0  B
M, t 0  B 
 Bewertung des Portfolios
V  f (1,..., M )
 Vektor der Portfoliowerte auf der Basis der Beobachtungswerte zu den ausgewählten Stichtagen
V  f ()  ( V1,..., VB )T
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 Berechnung des Value at Risk
 Tägliche Gewinne und Verluste als Differenz zwischen dem mit
den veränderten Marktparametern bewerteten Portfoliowert und
dem auf der Basis der aktuellen Marktdaten ermittelten
Portfoliowert
 V1   Vt 0   V1 




ΔV  f (  )  Vt 0            
 V   V   V 
 B   t0   B 
 Anordnung der Werte entsprechend ihrem Wert
 empirische Häufigkeitsverteilung
 Berechnung des VaR durch Quantilsbildung
bei 5%-Quantil und einem Beobachtungszeitraum von 100
Tagen entspricht der fünftniedrigste Wert dem VaR
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Vor-/Nachteile
 keine Verteilungsannahme der Marktparameter (Schiefe +/o.
Leptokurtosis wird berücksichtigt)
 universell einsetzbar: Einbeziehung von Derivaten und allen
entscheidenden Parametern relativ unproblematisch
 sehr hoher Rechenaufwand durch häufige Neubewertung des
Portfolios
 bei jeder Änderung des Portfolios muß der Wert des Portfolios
für alle Stichtage neu berechnet werden
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2.5 Monte Carlo-Simulation
 Neubewertung des Portefolios anhand von Zufallszahlen
 Zufallszahlen = Realisierungen von Zufallsvariablen, die einer
vorgegebenen Verteilung genügen müssen
Vorgehensweise
 Festlegung der Prämissen
 Bestimmung der hypothetischen Verteilung für die Marktparameter
 (Wiederholte) Simulation der Marktparameter durch Zufallszahlen
 (Wiederholte) Bewertung des Portfolios für die verschiedenen
Simulationen
 Berechnung des VaR unter Berücksichtigung des Konfidenzniveaus
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 Verteilungsannahmen der Parameter
hypothetische Verteilung basiert in der Regel auf
- Vergangenheitsinformationen über Varianzen und Kovarianzen
- subjektiver Schätzung
 unabhängige Verteilungsannahme für jeden Marktparameter vs.
multivariate Verteilung der Faktoren
< 2.6 > Europäische Call-Option
Call auf ein Underlying mit derzeitigem Kurs von 30 DM,
einem Strikepreis von 29 DM,
einer impliziten Volatilität von 25% p.a.,
einer Restlaufzeit von 4 Monaten und
einem Zins von 5% p.a..
Der Wert dieser Optionen beträgt 2,53 DM.
K, t, rRF fix, lediglich die Entwicklung von S und  ist risikobehaftet.
Haltedauer = 1 Tag, Konfidenzniveau von 97,5 %.
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 Verteilungsannahmen für S und :
S: absolute Werte der Veränderung der Werte von S sind
normalverteilt, Schätzung   = 0 und  = 0,10
Volatilität : subjektive Schätzung der Verteilung

20%
22,5%
25%
27,5%
30%
p() kum.
0,1
0,3
0,7
0,9
1,0
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 Simulation der Marktparameter
- Erzeugung (0,1)-gleichverteilter Zufallszahlen
- Güte der Pseudozufallszahlengeneratoren
- Transformation in anders verteilte Zufallszahlen
Erzeugung (0,1)-gleichverteilter Zufallszahlen
 Zufallszahlengeneratoren:
 echte Zufallszahlen erzeugt durch das Werfen eines Würfels,
Lottoziehungsgeräte, Roulettespiel etc.
 nur geeignet für kleine Stichprobenumfänge
 Pseudozufallszahlen erzeugt mit der Hilfe mathematischer
Bildungsvorschriften
 Produktion möglichst vieler verschiedener Zufallszahlen aus
einem Startwert mit Hilfe einer Rekursionsformel
 Problem: Zyklen, Entartungen
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Mid-Square-Methode
Algorithmus:
 Quadrierung eines n-stelligen Startwertes
 neuer Wert mit maximal 2n Stellen
(bei weniger als 2n Stellen Ergänzung mit führenden Nullen)
 mittlere n Stellen = Nachkommastellen der neuen Zufallszahl
< 2.7 > n = 4
x1 = 5643  x12 = 31843449  xneu,1 = 0,8439
x2 = 8434  x12 = 71132356  xneu,2 = 0,1323
x3 = 1323  x12 = 01750329  xneu,3 = 0,7503 ....
 Problem: häufig zu kurze Periodenlängen und Nullfolgen
Startwert: 1600, 5600, 3600, 9600, 1600
Startwert: 7662 - nach 6 Rekursionen Nullfolge
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Kongruenzverfahren (Lehmergeneratoren)
rekursive Bildungsgesetz:
x i 1  (a x i c) mod m
 n mod m: Rest, der entsteht, wenn n durch m dividiert wird
 neue Zufallszahl ergibt sich als Rest der Division durch die
Konstante m
 weitere Division durch m ergibt (0,1)-gleichverteilte Zufallszahlen
< 2.8 > a = 21, x0 = 7, c = 3, m= 17
x1 = (217+3) mod 17 = 150 mod 17 = 14  z1 = 0,823529
x2 = (2114+3) mod 17 = 297 mod 17 = 8  z2 = 0,823529 ....
 maximale Periodenlänge von 4
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Güte der Pseudozufallszahlen
 Algorithmus muß schnell arbeiten und wenig Speicherplatz
benötigen
 Folge der Zufallszahlen muß bei gleicher Startbedingung
reproduzierbar sein
 Zufallszahlen müssen der Gleichverteilung im Intervall [0, 1]
genügen
 erzeugte Zufallszahlen müssen voneinander unabhängig sein
 aufgrund der Begrenztheit der Zufallszahlen können nicht alle Werte
angenommen werden, aber alle Bereiche der Verteilung sollten
gleich dicht besetzt sein (große Periode!)
 statistische Tests (2-Anpassungstest, Kolmogorov-SmirnovAnpassungstest etc.)
Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002
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Transformation (0,1)-gleichverteilter Zufallszahlen in anders
verteilte Zufallszahlen
Erzeugung von beliebig verteilten Zufallszahlen durch
1. Erzeugung von (0, 1)-gleichverteilten Zufallszahlen
2. Transformation in die gewünschte Verteilung durch Anwendung der
Umkehrfunktion dieser Verteilung auf die Zufallszahlen aus 1.
 F sei die monotone
Verteilungsfunktion
der zu erzeugenden
Zahlen, d.h. F
besitzt eine
Umkehrfunktion
 Transformation
erfolgt
durch Inversion:
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 bei sehr kleinem Stichprobenumfang oder bei unzureichender Güte
der (0,1)-gleichverteilten, generierten Zufallszahlen evtl.
„Klumpenbildung“
 Latin-Hypercube-Methode bei gleicher Anzahl von Stichproben
bessere Annäherung an die gewünschte Verteilung:
Schichtung der Verteilungen der gleichverteilten Zufallszahlen
 Teilung des Wertebereichs [0, 1] der Verteilungsfunktion in
gleich große Intervalle
 per Zufall Auswahl eines Intervalls, aus dem zufällig eine
Probe entnommen wird
 Wiederholung des Vorgangs so lange, bis aus jedem Intervall
ein Zufallswert vorliegt
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 „Probenerhebung ohne Rückstellung“
gleichmäßigere Verteilung der Zufallszahlen auf das Intervall
[0,1] , weniger Lücken, Erhöhung der Güte
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 Zusammenfassung der Vektoren in Szenario-Matrix, z.B.
 SS,1
S ,1 


 


S

S
 S,1000 ,1000 
 Bewertung des Portfolios
V  f ()  (V1,..., VD )T
 Vektor der möglichen Portfoliowerte auf der Basis der
Zufallszahlen der ausgewählten D Durchführungen
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 Berechnung des Value at Risk (vgl. Historische Simulation)
 Tägliche Gewinne und Verluste als Differenz zwischen dem mit
den veränderten Marktparametern bewerteten Portfoliowert und
dem auf der Basis der aktuellen Marktdaten ermittelten
Portfoliowert
 V1   Vt 0   V1 




ΔV  f ()  Vt 0            
 V   V   V 
 D   t0   D 
 Anordnung der Werte entsprechend ihrem Wert
 empirische Häufigkeitsverteilung
 Berechnung des VaR durch Quantilsbildung
(aufgrund der hohen Stichprobe ist simulierte Verteilung
wesentlich robuster als Verteilung nach der historischen
Simulation)
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