1 2. Marktpreisrisiko Motivation der VaR

2. Marktpreisrisiko
Motivation der VaR-Ermittlung
™Vereinheitlichung Einheitlicher Maßstab der
Risikoeinschätzung
™Limitierung / Steuerung Messung und Limitierung
ist fundamental für die Steuerung
™Kapitalunterlegung Zur Deckung der Risiken und
zum Schutz des Unternehmens
™Kapitalallokation Optimale Verteilung auf
Geschäftsaktivitäten
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Festlegung der
Prämissen
1
Varianz- KovarianzAnsatz
Histor. Simulation
Value at Risk
Monte-CarloSimulation
2.1 Grundlegende Prämissen der VaR-Berechnung
• Portfolio
• Marktparameter
• Beobachtungszeitraum
• Liquidationszeitraum
• Wahrscheinlichkeitsniveau
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2
1
Festlegung des Portfolios
• Portfolio = Zusammenfassung von Finanzinstrumenten
- Kassageschäften, wie Kauf oder Verkauf von Aktien, Anleihen,
Devisen, standardisierte Güter, Gewährung von Krediten
- Termingeschäfte, wie Optionen, Forward- und Future-Geschäfte
• Gesamtportfolio ↔ Teilportfolio
• Frage der Aggregation
• Bildung der Teilportfolios in Abhängigkeit der Organisationsstruktur
(z.B. nach Regionen und Produkten)
• Zerlegung von komplexen Finanzinstrumente in ihre Bestandteile
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3
Identifikation der Marktparameter
• Marktparameter (ξ) (z.B. Währungskurse, Zinssätze, Aktienkurse,
Aktienindizes, implizite Volatilitäten)
Kurs
Kurswertänderung
Kurs
Underlying
Hohe
Optionsvola
Niedrige
Optionsvola
Zeit
Zins
Veränderung der
Zinsstrukturkurve
Laufzeit
Zeit
Zins
Risikobehaftete
Zinskurve
Spread
Risikofreie
Zinskurve
Laufzeit
• Funktion zur Bestimmung des Portfoliowertes in Abhängigkeit
der Parameter (z.B. Optionspreisformel von Black-Scholes)
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4
2
Festlegung des Beobachtungszeitraums
• Beobachtungen der Vergangenheit = Zeitreihe
• Frage, wie viele und welche Werte aussagekräftig für Zukunft ?
• Anzahl der einbezogenen Werte meist 90 - 250
• Bankenaufsicht: Interne Modelle mit Beobachtungszeitraum von
mind. 1 Jahr ! (250 Tage/52 Wochen)
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Festlegung des Liquidationszeitraums/Haltedauer
• Betrachtungszeitraum, für den Wertveränderungen aufgrund von
Markteinflüssen beobachtet werden
• Annahme: Positionen werden während Haltedauer nicht verändert
(stattfindende Handelsaktivitäten werden vernachlässigt)
• Haltedauer abhängig von Möglichkeit der Glattstellung
• Glattstellung durch Verkauf der Position oder Hedging
• Glattstellung abhängig von Liquidität der einzelnen Märkte
• Handelsaktivitäten - häufig Haltedauer von 1 Tag („overnight“)
• Bankenaufsicht: Interne Modelle mit Haltedauer von mind. 10 Tagen!
(bei Optionen auch kürzer)
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6
3
Festlegung des Wahrscheinlichkeitsniveaus
• VaR = Verlustpotential, das mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit P während der Haltedauer nicht überschritten wird
• VaR = Verlustpotential, das mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit p (p = 1 - P) während der Haltedauer überschritten wird
• P = Konfidenzniveau ↔ p = Quantil
• Berechnung des Verlustes aus Normalverteilung in Abhängigkeit
von µ und σ. Bei Verzicht auf Normalverteilungsannahme wird die
Berechnung des Risikos schwieriger.
• Konfidenzniveau P meist zwischen 95% - 99%
• Bankenaufsicht: Interne Modelle mit Konfidenzniveau von 99% !
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7
Definition des Marktpreisrisikos auf der Basis von VaR
VaR ist ein Maß für den prognostizierten Verlust aus einem
betrachteten Portfolio in Folge von Marktwertveränderungen
innerhalb eines
bestimmten
Zeitraums
Haltedauer: 1 Tag
Was kann von
heute auf morgen
passieren?
der mit einer
bestimmten
Wahrscheinlichkeit
nicht
überschritten
wird
Konfidenzniveau z.B. 99%
VaR
0
MarktwertVeränderungen
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8
4
2.2 Varianz- Kovarianz-Ansatz
• verschiedene Verfahren, die sich hinsichtlich der Modellvariablen
unterscheiden (Wertänderungen, Rendite, Marktparameter)
• jede der Modellvariablen = Zufallsgröße mit bekannter Verteilung
• Darstellung der Berechnungsverfahren
• in Realität Verteilung der Zufallsgröße unbekannt → statistische
Verfahren zur Ermittlung der Verteilung
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2.2.1 Varianz-Kovarianz- Ansatz mit Wertänderungen
• Annahme: Wertänderung (∆V = Vt - Vt-1) während Haltedauer einer
Position ist normalverteilt!
• Normalverteilung: µ∆V Mittelwert der Wertänderung
σ∆V Standardabweichung, Preisvolatilität
• bei vorgegebenem Konfidenzniveau Bestimmung des VaR durch
Quantil
VaR = −(µ ∆V − α ⋅ σ ∆V ) = α ⋅ σ ∆V − µ ∆V
Standard-Normalverteilung N(0, 1)
⎧0,6827 für α = 1
⎪
P(µ − kσ ≤ X ≤ µ + kσ) = ⎨0,9545 für α = 2
⎪0,9973 für α = 3
⎩
⎧0,990097 für α = 2,33
⎪ 0,97725
für α = 2
⎪
P(−∞ ≤ X ≤ µ + kσ) = ⎨
⎪0,975002 für α = 1,96
⎪⎩ 0,95
für α = 1,645
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5
< 2.1 > Ein Investor hält am 31.3.95 eine Position von 100 Millionen
CHF (Gegenwert 121,33 Mio DM). In den letzten drei Monaten
hatten die täglichen Erträge aus dieser Position einen Mittelwert von
46.093,75 DM und eine Standardabweichung von 268.697,96 DM.
Das VaR zu einer Wahrscheinlichkeit von 97,7% kann nun über
α = 2 bestimmt werden, wenn die Erträge normalverteilt sind.
− (46.093,75 − 2 ⋅ 268.697,96) = 491.302,17 DM
• Annahme: Wertänderungen eines Portfolios normalverteilt ??
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Annahme: Wertänderungen der Assets in Portfolio gemeinsam
sind normalverteilt !!
< 2.2 > Ein Investor hält am 31.3.95 zwei Positionen:
1. Position: vgl. vorne
2. Position:
Shortposition in Höhe von 50 Mio USD (Gegenwert 69,19 Mio DM);
Tägliche Erträge der letzten 3 Monate :
Mittelwert von 2.679,69 DM (je 1 Mio USD);
Standardabweichung von 11.315,68 DM (je 1 Mio USD)
U1 = 100, V1 = 121,33 Mio DM, µ∆V1 = 460,94 DM, σ∆V1 = 2.686,98 DM
U2 = -50, V2 = -69,19 Mio DM, µ∆V2 = -2.679,69 DM, σ∆V2 = 11.315,68 DM
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6
U1 = 100, V1 = 121,33 Mio DM, µ∆V1 = 460,94 DM, σ∆V1 = 2.686,98 DM
U2 = -50, V2 = -69,19 Mio DM, µ∆V1 = -2.679,69 DM, σ∆V2 = 11.315,68 DM
Ë Mittelwert der Wertänderungen des Portfolios
µ∆PF = U1 · µ∆V1 + U2 · µ∆V2
µ∆PF = 100 · 460,94 + (-50) · (-2.679,69) = 0,1801 Mio DM
Ë Standardabweichung der Wertänderungen des Portfolios
Intuition!!????
σ∆PF = U1 · σ∆V1 + U2 · σ∆V2
σ∆PF = 100 · 2.686,98 + (-50) · 11.315,68 = -297.086
→ i.d.R. falsch!!!
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Ë Analyse der Varianz eines Portfolios muß die Kovarianz bzw.
den Korrelationskoeffizienten der Assets berücksichtigen !
↔
Kovarianz
Korrelationskoeffizient (-1 ≤ ρ ≤ 1)
Cov (X, Y ) = σ xy = ρ xy ⋅ σ x ⋅ σ y
ρ( X , Y ) =
+∞
Cov(X, Y )
σx ⋅ σy
σ 2x = E{( x − µ x ) 2 } = ∫ ( x − µ x ) 2 ⋅ f ( x ) ⋅ dx
−∞
σ xy = E{( x − µ x )( y − µ y )}
+∞ +∞
= ∫
∫ ( x − µ x ) ⋅ ( y − µ y ) ⋅ f ( x , y) ⋅ dx ⋅ dy
−∞ −∞
σ 2 (X + Y ) = σ 2x + σ 2y + 2σ xy
n
σ2 (X1 + X 2 + L + X n ) = ∑ σ2x + ∑ σ x i x j
i
i =1
i≠ j
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7
Ë Varianz des Portfolios
und U1 ⋅ U 2 ⋅ σ12 = U1 ⋅ U 2 ⋅ ρ12 ⋅ σ1 ⋅ σ 2
Position 1:
U12 ⋅ σ12
Position 2:
U 2 2 ⋅ σ 2 2 und U1 ⋅ U 2 ⋅ σ 21 = U1 ⋅ U 2 ⋅ ρ 21 ⋅ σ1 ⋅ σ 2
Ë Standardabweichung der Wertänderungen des Portfolios
σ ∆PF = U12 ⋅ σ12 + U 2 2 ⋅ σ 2 2 + 2 U1 ⋅ U 2 ⋅ ρ12 ⋅ σ1 ⋅ σ 2
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Möglichkeitenkurve in Abhängigkeit von ρ
• keinerlei Diversifikationseffekt bei ρ = +1, bei perfekter positiver
Korrelation
• maximaler Diversifikationseffekt bei ρ = -1 → Portfolio-Volatilität
von 0 und sichere Rendite
• i.d.R. hyperbelförmiger Verlauf der Möglichkeitskurve (-1 < ρ < +1)
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8
σ ∆PF = U12 ⋅ σ12 + U 2 2 ⋅ σ 2 2 + 2 U1 ⋅ U 2 ⋅ ρ12 ⋅ σ1 ⋅ σ 2
σ ∆PF = 100 2 ⋅ 2.687 2 + (−50) 2 ⋅11.316 2 + 2 ⋅100 ⋅ (−50) ⋅ ρ12 ⋅ 2.687 ⋅11.316
Ë bei gegebener Korrelation: ρ12 = -0,5870
σ∆PF = 0,7555 Mio DM
VaR des Portfolios zu einer Wahrscheinlichkeit von 97,7%
VaR = α ⋅ σ ∆PF − µ ∆PF = 2 ⋅ 0,7555 − 0,1801 = 1,3309 Mio. DM
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Ë Übertragung auf beliebig große Portfolios
⎛ µ ∆V1 ⎞
⎜
⎟
M ∆PF = ⎜ M ⎟
⎜
⎟
⎝ µ ∆VN ⎠
⎛σ
⎜ ∆V1, ∆V1
Σ ∆PF = ⎜
M
⎜σ
⎝ ∆VN, ∆V1
L
O
L
σ ∆V1, ∆VN ⎞
⎟
M
⎟
σ ∆VN, ∆VN ⎟⎠
Ë Mittelwert der Wertänderungen des Portfolios
µ ∆PF = U T
µ ∆PF = ∑ U n ⋅ µ ∆Vn
PF ⋅ M ∆PF
n
Ë Standardabweichung der Wertänderungen des Portfolios
σ ∆PF = U T
PF ⋅ Σ ∆PF ⋅ U PF
σ ∆PF = ∑ ∑ U i ⋅U j ⋅ σ ∆Vi, ∆Vj
i j
σ ∆PF = ∑ ∑ U i ⋅U j ⋅ σ ∆Vi ⋅ σ ∆Vj ⋅ ρ∆Vi, ∆Vj VaR des Portfolios
i j
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9
Ë Nachteil: Theoretische Fundierung der Normalverteilung
der Wertänderungen kaum möglich
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2.2.2 Varianz-Kovarianz-Ansatz mit Renditen
• Renditen der Assets in Portfolio gemeinsam
sind normalverteilt !!
• Rendite während der Haltedauer
V − Vt − L
rlin = t
Vt − L
⎛ V ⎞
rlog = ln⎜⎜ t ⎟⎟
⎝ Vt −L ⎠
• gemeinsame Normalverteilung der Renditen bestimmt durch
⎛ µ r1 ⎞
⎜
⎟
M rPF = ⎜ M ⎟
⎜
⎟
⎝ µ rN ⎠
⎛σ
⎜ r1, r1
Σ rPF = ⎜ M
⎜σ
⎝ rN, r1
L
O
L
σ r1, rN ⎞
⎟
M ⎟
σ rN, rN ⎠⎟
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10
• Wert der N Assets des Portfolios VT = (V1, V2, ..., VN)
• Anteilsvektor vT = (v1, v2, ..., vN) mit
vn =
Vn
, n = 1,2,..., N mit ∑ v n = 1
∑ Vn
n
n
T
• alternativer Anteilsvektor nach Lintner k = ( k1,..., k N )
kn =
Vn
, n = 1,2,..., N mit ∑ | k n |= 1
∑ | Vn |
n
n
Ë Mittelwert der Renditen des Portfolios
µ r|PF| = k T ⋅ M r|PF|
µ rPF = v T ⋅ M rPF
Ë Standardabweichung der Wertänderungen des Portfolios
σ rPF = v T ⋅ Σ rPF ⋅ v
σ r|PF| = k T ⋅ Σ r|PF| ⋅ k
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• Rendite-Quantil zu einer Wahrscheinlichkeit
rVaR = α ⋅ σ rPF − µ rPF
Ë negative Rendite, deren Betrag mit der vorgegebenen Wahrscheinlichkeit während der Haltedauer nicht überschritten wird
• Aus
V − Vt − L
rlin = t
Vt − L
folgt
∆V = Vt-L · rlin
Ë Berechnung der negativen Wertänderung bei vorgegebener
Wahrscheinlichkeit während der Haltedauer :
VaR = VPF · rVaR,lin
VaR = VPF ⋅ (α ⋅ σ rPF,lin − µ rPF,lin )
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11
< 2.3 > Ein Investor hält am 31.3.95 zwei Positionen:
1. Position: Long-Position über 100 Mio CHF (= 121.33 Mio DM)
2. Position: Shortposition über 50 Mio USD (= 69,19 Mio DM)
Tägliche Rendite der letzten 3 Monate - CHF:
Mittelwert von 0,0387% ; Standardabweichung von 0,2260%
Tägliche Rendite der letzten 3 Monate - USD:
Mittelwert von -0,1794% ; Standardabweichung von 0,7807%
Korrelation der Renditen ρr1,r2 = -0,5845
VPF = 121.33 + (−69,19) = 52,14 Mio DM
v1 =
121.33
= 2,33
52,14
v2 =
− 69,19
= −1,33
52,14
µ PF = v1 ⋅ µ r1 + v 2 ⋅ µ r 2 = 2,33 ⋅ 0,0387% + (−1,33) ⋅ (−0,1794%)
= 0,3281%
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σ rPF = v12 ⋅ σ r21 + v 22 ⋅ σ r22 + 2 ⋅ v1 ⋅ v 2 ⋅ ρ r1, r 2 ⋅ σ r1 ⋅ σ r 2
σ rPF =
2,332 ⋅ 0,226% 2 + (−1,33) 2 ⋅ 0,7807% 2
+ 2 ⋅ 2,33 ⋅ (−1,33) ⋅ (−0,5845) ⋅ 0,226% ⋅ 0,7807%
= 1,4093%
Ë Rendite-Quantil bei Wahrscheinlichkeitsniveau von 97,7%
rVaR = α ⋅ σ rPF − µrPF = 2 ⋅1,4093% − 0,3281% = 2,4906%
Ë VaR = VPF ⋅ rVaR = 52,15 Mio DM ⋅ 2,4906% = 1,30 Mio DM
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12
Ë Normalverteilungsannahme der Renditen nicht unproblematisch!
• Ränder der tatsächlichen Häufigkeitsverteilung werden durch
Normalverteilung unterschätzt (Fat tails!!)
• Häufigkeitsverteilung hat um den
Mittelwert höhere Werte als die
Normalverteilung
Leptokurtische
Verteilung
• Verteilung oft linksschief (mehr
Beobachtungen in der linken
als in der rechten Seite)
• Renditen sind zeitlich korreliert
Ë Bei Aufgabe der Normalverteilungsannahme geht der Vorteil
verloren, das Risiko relativ einfach über Mittelwert und
Standardabweichung zu bestimmen.
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2.2.3 Varianz-Kovarianz-Ansatz bei Aktien und Optionen
Ë Taylor-Reihe: Wertänderung ∆V in Umgebung von S0 durch
Ableitung von V nach S in S0
dV
1 d2V
1 d 3V
∆V(S) =
⋅ ∆S + ⋅
⋅ ( ∆S) 2 + ⋅
⋅ ( ∆S)3 + ...
2
3
dS
2 dS
6 dS
dV
∆V(S) ≈
⋅ ∆S
dS
• Risikofaktoren bestimmen auf lineare Weise den Marktpreis eines
Portfolios: Delta-Normal-Methode
• Annahme unproblematisch bei originären Finanzprodukten
• Annahme problematisch bei einigen derivativen Finanzprodukten
Ë z.B. Aktienoptionen
Änderung des Optionswertes abhängig von der Höhe des
Kurses des Underlying
Ë nicht-linearer Fall: Delta-Gamma-Methode
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13
• Taylor-Approximation: Option
∂V
∆c ≈
⋅ ∆S = ∆ c ⋅ ∆S
∂S
( ∆c = Delta der Option)
Ë Wertänderung der Optionsposition entspricht ungefähr der
Wertänderung einer Position aus ∆c Einheiten des Underlying
Ë Option ≈ Position aus ∆c Aktien = Deltaäquivalent Ä∆
Ä∆ = ∆c ⋅ S
• Berechnung des VaR
- Anteilsvektor der Deltaäquivalente ä∆T = (ä∆1, ä∆2, ..., ä∆N) mit
ä∆n =
T
- µ rPF = ä ∆ ⋅ M rPF
Ä∆n
, n = 1,2,..., N
∑ Ä∆n
n
- σ rPF
= äT
∆ ⋅ Σ rPF ⋅ ä ∆
Ë VaR = ∑ Ä ∆ n ⋅ ( α ⋅ σ rPF − µ rPF )
n
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< 2.4 > Portfolio aus 2 Positionen:
1. 500 europäische Calls auf ein Underlying mit derzeitigem Kurs
von 30 DM, einem Strikepreis von 29 DM, einer impliziten
Volatilität von 25% p.a., einer Restlaufzeit von 4 Monaten und
einem Zins von 5% p.a.. Der Wert einer dieser Optionen beträgt
2,53 DM. Die Option hat ein Delta von 0,6627.
2. Shortposition mit 330 Einheiten des Underlyings. Die Rendite
des Underlyings hat einen Erwartungswert von µr = 0 und eine
Standardabweichung von σr = 1,5.
Betrachtet wird ein Konfidenzniveau von 97,7 %.
Da 500⋅0,6627 = 331,35 ≈ 330 liegt ein perfektes Hedgen vor!!
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14
2.3 Darstellung der Schätzverfahren
• Varianz-Kovarianz-Ansatz: Zufallsvariable ξ = normalverteilt
• Spezifizierung der unbekannten Verteilung durch Schätzung
von µ, σ, Σ (Kovarianzmatrix)
• Zeitreihenanalyse, um Volatilität der Verteilung der Zufallsvariablen zu prognostizieren (für Haltedauer = 1 Tag)
• Verfahren:
- Empirische Schätzungen
- Exponentielles Glätten
- Extremwerttheorie
- ARCH und GARCH Modelle
- Implizite Volatilitäten
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2.3.1 Empirische Schätzungen
• Annahme: Entwicklung der Parameter gemeinsam folgt einem
stationären stochastischen Prozeß ohne zeitliche Korrelation
Ë Beobachtungswerte eines Parameters = Realisation der
Zufallsvariable
Ë Schätzung des Mittelwertes durch empirischen Mittelwert,
1 B−1
µˆ ξ, t 0 = ∑ ξ t 0 − i
B i =0
Ë Schätzung der Volatilität durch empirische Standardabweichung
σˆ =
der Zeitreihe
1 B−1
⋅ ∑ ( ξ t 0 − i − µˆ ξ, t 0 ) 2
B − 1 i =0
{ξ t 0 − ( B −1) ,..., ξ t 0 }
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15
• Betrachtung mehrerer Parameter
Ë z.B. Zeitreihen zweier Parameter ξ1 und ξ2
{ξ1, t 0 −( B−1) ,..., ξ1, t 0 }
{ξ2, t 0 − ( B−1) ,..., ξ2, t 0 }
Ë Bestimmung des empirischen Korrelationskoeffizienten
ρˆ t 0 ( ξ1, ξ2 ) =
Côv t 0 ( ξ1, ξ2 ) =
Côv t 0 ( ξ1, ξ2 )
σˆ ξ1, t 0 ⋅ σˆ ξ2 , t 0
mit
1 B−1
⋅ ∑ [( ξ1, t 0 − i − µˆ ξ1,t ) ⋅ (ξ2, t − i − µˆ ξ2, t )]
0
0
0
B − 1 i =0
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• Wahl des Beobachtungszeitraums!!
→ Fiktiver Kursverlauf mit steigender Volatilität
• Grundannahmen?!
- konstante Mittelwerte und Volatilitäten der einzelnen Parameter
- Werte einzelner Parameter unkorreliert im Zeitablauf
- verschiedene Parameter unkorreliert im Zeitablauf
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Korrelationsschätzungen (B = 90 Tage)
am Beispiel USD/DEM mit JPY/DEM
in der Zeit vom 12.5.1993 bis zum 31.07.95
→ ρ zwischen 0,07 und 0,72
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