Pseudozufallszahlen - Homepage of Stephan Kruegel
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Pseudozufallszahlen Thema Nr. 14 des Seminars ”Ausgewählte Gebiete der Analysis und der linearen Algebra” Annette Schielek, Max-Beckmann-Str. 14, 60599 Frankfurt Matrikel-Nr. 2880312, Studienrichtung Wirtschaftpädagogik, 6. Fachsemester Stephan Krügel, Mittelsteig 33, 90596 Schwanstetten Matrikel-Nr. 2657396, Studienrichtung Betriebswirtschaft, 10. Fachsemester INHALTSVERZEICHNIS SYMBOLVERZEICHNIS ................................................................................................................................. III 1. EINLEITUNG ..............................................................................................................................................1 2. ZUFALLSZAHLEN.....................................................................................................................................1 2.1. ECHTE ZUFALLSZAHLEN ............................................................................................................................1 2.2. PSEUDOZUFALLSZAHLEN ...........................................................................................................................2 3. GESCHICHTLICHE ENTWICKLUNG...................................................................................................3 3.1. VERFAHREN ZUR ERZEUGUNG ECHTER ZUFALLSZAHLEN ..........................................................................3 3.2. VERFAHREN ZUR ERZEUGUNG VON PSEUDOZUFALLSZAHLEN....................................................................4 3.2.1. Middle-Square-Generator................................................................................................................4 3.2.2. Algorithmus K (D. E. Knuth) ...........................................................................................................5 4. LINEARER KONGRUENZ-GENERATOR.............................................................................................5 5. GÜTE VON PSEUDOZUFALLSZAHLEN: STATISTISCHE TESTS..................................................8 5.1. CHI-QUADRAT-ANPASSUNGSTEST .............................................................................................................8 5.2. KOLMOGOROV-SMIRNOFF-ANPASSUNGSTEST .........................................................................................10 5.3. SERIELLE AUTOKORRELATION .................................................................................................................11 6. ERZEUGUNG BELIEBIG VERTEILTER ZUFALLSZAHLEN (TRANSFORMATION) ..............11 6.1. ERZEUGUNG VON ZUFALLSZAHLEN BELIEBIGER (A,B)-GLEICHVERTEILUNGEN .......................................12 6.2. ERZEUGUNG VON EXPONENTIALVERTEILTEN ZUFALLSZAHLEN ...............................................................12 6.3. ERZEUGUNG VON NORMALVERTEILTEN ZUFALLSZAHLEN .......................................................................13 7. ZUFALLSZAHLEN IN DER ANWENDUNG – DIE MONTE-CARLO-METHODE .......................14 7.1. GRUNDPRINZIP DER MONTE-CARLO-SIMULATION: EIN EINFACHES BEISPIEL ..........................................14 7.2. ALLGEMEINER ÜBERBLICK: LEITFADEN MONTE CARLO SIMULATION .....................................................15 I 7.3. SIMULATION STOCHASTISCHER PROZESSE ...............................................................................................16 7.4. AUSGEWÄHLTE PRAKTISCHE ANWENDUNGEN IN DEN WIRTSCHAFTSWISSENSCHAFTEN ..........................19 8. LATIN-HYPERCUBE-METHODE.........................................................................................................19 9. FAZIT UND AUSBLICK ..........................................................................................................................20 10. LITERATURVERZEICHNIS ..................................................................................................................21 11. ANHANG ....................................................................................................................................................23 11.1. ALGORITHMUS K.................................................................................................................................23 11.2. KOLMOGOROV-SMIRNOFF-TEST: RECHENBEISPIEL .............................................................................24 II Symbolverzeichnis X, x Zufallsvariable, bzw. Pseudozufallszahl U, u Pseudozufallszahl zwischen 0 und 1 m Modul, bzw. Teiler µ = E(X) Erwartungswert der Zufallsvariablen X σ² = Var(X) Varianz der Zufallsvariable X σ Standardabweichung ρk Autokorrelationskoeffizient k-ter Ordnung U(a;b) Gleichverteilung im Intervall [a;b] N(µ;σ²) Normalverteilung E(α) Exponentialverteilung χ²(m) Chi-Quadrat-Verteilung mit (m) Freiheitsgraden K(n) Kolmogorov-Smirnoff-Verteilung für Stichprobe der Größe n α Irrtumswahrscheinlichkeit χ² m, 1-α (1-α)-Quantil der Chi-Quadrat-Verteilung kn, 1-α (1-α)-Quantil der Kolmogorov-Verteilung Fxe erwartete, theoretische Verteilungsfunktion Fx beobachtete, empirische Verteilungsfunktion F-1 Umkehrfunktion Z beobachtete Häufigkeit he erwartete Häufigkeit I Intervall INT Integer mod modulo a ≡ b mod m a und b kongruent modulo m III 1. Einleitung Bei der Entwicklung der Wasserstoffbombe in den fünfziger Jahren des vergangenen Jahrhunderts ließen sich Prozesse im Bereich der Kernfusion nicht experimentell erproben, sondern mussten auf elektronischen Rechenanlagen simuliert werden. Die simulierten Prozesse folgten zum Teil stochastischen Gesetzmäßigkeiten, so dass Zufallsgrößen in die Berechnungen einfließen mussten. Damit stand man vor dem Problem, woher man die benötigten Zufallsgrößen für die Berechnungen nehmen kann. Eine Urne neben den Rechner zu stellen und bei Bedarf jeweils eine Zufallszahl zu ziehen und einzugeben, stellt keine befriedigende Lösung des Problems dar. Deshalb ersann man Rechenverfahren, mit denen es möglich wurde, den Rechner selbst Zahlenfolgen erzeugen zu lassen, die sich wie Zufallszahlen verhalten sollten: Die Pseudozufallszahlen waren entstanden. In den ersten Kapiteln werden Pseudozufallszahlen näher charakterisiert und ihre Eigenschaften dargestellt. Dann verfolgen wir die geschichtliche Entwicklung der Erzeugung von Zufallszahlen (Kapitel 3), erläutern in Kapitel 4 einfachen Algorithmus zur Generierung von Pseudozufallszahlen und weisen auf seine Nachteile hin. In Kapitel 5 geben wir Testverfahren zur Überprüfung der Güte von Pseudozufallszahlen an. Anschließend beschäftigen wir uns in Kapitel 6 mit Verfahren zur Transformation gleichverteilter Pseudozufallszahlen in andere Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Abschließend folgt die Darstellung der Anwendung von Pseudozufallszahlen in der Monte-Carlo-Methode und ihrer Variante, dem Latin-Hypercube Verfahren (Kapitel 7 und 8). 2. Zufallszahlen Von Zufall sprechen wir, wenn es offen ist, ob ein Ereignis eintritt oder nicht, das Ereignis also eintreten kann, aber nicht eintreten muss. Ein zufälliges Ereignis liegt vor, wenn es aus einer gegebenen Gesamtheit von Bedingungen nicht mit Notwendigkeit folgt, sondern nur eine gewisse Wahrscheinlichkeit für seinen Eintritt angegeben werden kann. 2.1. Echte Zufallszahlen Zufallszahlen sind Zahlen, die aus Zufallsexperimenten gewonnen werden, z.B. Münzwurf oder Würfeln. Daraus ergeben sich folgende Eigenschaften: 1. Unvorhersehbarkeit: Nur eine Voraussage mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit ist möglich. 2. Gleichverteilung: Jeder Wert in einem bestimmten Intervall besitzt ungefähr die gleiche relative Häufigkeit. 1 3. Unabhängigkeit: Keine Zahl hängt von einer anderen ab. Die Gewinnung von Zufallszahlen unter realen Labor-, bzw. Feldversuchen ist sehr zeitaufwendig und kostenintensiv. Außerdem ist es schwierig, die Versuchsbedingungen konstant zu halten. Bei manchen Experimenten wird das zu untersuchende Objekt oft beschädigt oder zerstört. Ein Würfel kann sich abnutzen oder die Kugel in einem Roulette-Spiel bekommt eine Delle. Die Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten bestimmter Ereignisse ändern sich dann. 2.2. Pseudozufallszahlen Pseudozufallszahlen sind Zahlen, die durch einen mathematischen, deterministischen Algorithmus erzeugt werden1. Der Computer erzeugt als Zufallszahlengenerator diese Zufallszahlen. Er benötigt nur kurze Generierungszeiten und geringe Speicherkapazitäten. Dass errechnete Zahlenfolgen zufällig sein sollen, ist ein Widerspruch in sich. Der Computer simuliert den Zufall, die Zahlenfolgen sind algorithmisch errechnet, sehen aber wie echte Zufallszahlenfolgen aus. Für wissenschaftliche Zwecke genügt es, dass sich die Zahlen „zufällig verhalten“. Sie werden pseudozufällige Zahlenfolgen genannt. Die erzeugten Zufallszahlen müssen gute statistische Eigenschaften aufweisen, sie müssen die gleichen wichtigen Eigenschaften wie echte Zufallszahlen haben2: 1. Unvorhersehbarkeit: Solange man den Algorithmus nicht kennt, weiß man nicht, welche Zahl als nächstes kommt. 2. Gleichverteilung: Die erzeugten Zahlen treten wie echte Zufallszahlen mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auf. Wenn eine Folge von Zufallszahlen die Werte 0 bis 10 annehmen kann, dann erwartet man, dass jeder Wert mit der gleichen Wahrscheinlichkeit von 1/10 angenommen wird. Nach dem Gesetz der großen Zahlen wird sich der Mittelwert der relativen Häufigkeiten dem erwarteten Wert von 1/10 annähern. Aber nicht: 3. Unabhängigkeit, da die folgende Zahl aus der aktuellen Zahl errechnet wird. Die Güte der Pseudozufallszahlen misst sich daran, in welchem Grad sie diese Eigenschaften erfüllen. Man überprüft die Güte durch statistische Tests3, z.B. den χ²-Test. Leider ergibt sich aus der Berechnung von Zufallszahlen ein großer Nachteil. Bei jedem Start der Berechnung mit dem gleichen Startwert wird die gleiche Zahlenfolge erzeugt. Diesen Abstand zwischen zwei gleichen Zufallszahlen in einer Folge von Pseudozufallszahlen nennt 1 Vgl. Steinhausen, Kapitel 3.2.2. Vgl. Steinhausen, Kapitel 3.3. 3 Vgl. Steinhausen, Kapitel 3.3. 2 2 man Periode. Die errechneten Zahlenfolgen sind periodisch, d.h. die Wiederholung einer Zufallszahl bedeutet regelmäßig den Start der gesamten, bisher berechneten Zufallszahlenfolge in gleicher Reihenfolge. Man versucht die Periode durch geeignete Wahl des Startwertes und der Parameter zu maximieren4. Pseudozufallszahlen finden Anwendung in folgenden Bereichen: 1. Naturwissenschaften (z.B. Kernphysik, Thermodynamik) 2. Operations Research (z.B. Verkehrsflussprobleme) 3. Statistik (z.B. Stichproben als Qualitätskontrolle) 4. Mathematik (Gewinnung von Vermutungen) 5. Kryptographie (Durch Überlagerung mit einer Zufallsfolge erhält man einen Geheimtext, der durch reproduzierbare Zufallszahlen dekodiert wird) 6. Sicherheit und Zuverlässigkeit technischer Anlagen 7. Glücksspiele (z.B. Roulette) 8. Finanzwelt (z.B. Simulation von Aktienkursverläufen) 9. Ästhetik (z.B. Bilder auf dem Bildschirm wirken lebendiger) 3. Geschichtliche Entwicklung 3.1. Verfahren zur Erzeugung echter Zufallszahlen Vor Einführung der Computer musste man zeitraubende Experimente tatsächlich durchführen und die zufälligen Zahlenfolgen notieren. Der französische Naturforscher G. Buffon (1707 – 1788) schätzte den Wert der Zahl Pi, indem er Nadeln auf eine gestreifte Fläche warf und dabei zählte, wie oft die Nadeln die Linien berührten (Buffon-Nadel-Experiment)5. Im ersten kommerziell hergestellten Computer (Ferranti Mark I) wurden echte Zufallszahlen durch elektrisches Rauschen hergestellt. Man nennt so ein Gerät Rauschgenerator. Im Jahre 1955 druckte die RAND Corporation ein Buch mit 1.000.000 Zufallszahlen ab, die durch elektrisches Rauschen erzeugt worden waren6. Ein weiteres bekanntes Beispiel für einen elektrischen Zufallsgenerator ist der Generator „Ernie“ (Electronic Random Number Indicator Equipment). Die Geräuschimpulse von Neonröhren werden durch Zähleinrichtungen in Zufallszahlen umgerechnet. Ernie wird verwendet bei der staatlichen Lotterie in Großbritannien7. 4 Vgl. Knuth (1998): S.12. Vgl. Hartmann (2004): S. 8. 6 Vgl. Hartmann (2004): S. 9. 7 Vgl. Hartmann (2004): S. 11. 5 3 Der Vorteil von „echten“ Zufallsgeneratoren ist, dass man „gute“ Zufallszahlen erzeugt. Es gibt keine Periode. Der Nachteil ist, dass es unmöglich ist, die gleichen Zufallszahlen noch einmal zu erzeugen, sie lassen sich nicht reproduzieren. Außerdem können sich die Wahrscheinlichkeiten, mit denen gewisse Zufallszahlen erzeugt werden, durch den Verschleiß der Maschinen im Laufe der Zeit ändern. 3.2. Verfahren zur Erzeugung von Pseudozufallszahlen 3.2.1. Middle-Square-Generator8 Etwa 1946 entwickelte John von Neumann den ältesten algorithmischen Zufallsgenerator. John von Neumann, der einer ungarischen Bankiersfamilie entstammte und während des Nazi-Regimes aus Deutschland in die USA auswanderte, gehörte zu den Physikern der LosAlamos-Scientific-Laboratory. Während des Zweiten Weltkriegs benötigten die Wissenschaftler Informationen darüber, wie weit Neutronen durch verschiedene Materialien gelangten, um das geeignete Material zur Abschirmung vor den Neutronen zu finden. Man simulierte diese Experimente auf dem Computer. Dieses geheime Projekt bekam den Codenamen „Monte Carlo“. Es ist eine Anspielung auf den für Glücksspiel bekannten Ort. Seitdem wird diese Methode der Simulation auch „Monte-Carlo-Methode“ genannte. Für diese Simulation benötigte man sehr viele Zufallszahlen. Man startet mit einer vierstelligen Zahl, quadriert sie und nimmt als nächste Zufallszahl wieder die mittleren vier Ziffern des Quadrats. Sollte das Quadrat nur aus sieben Ziffern bestehen, so wird die Zahl vorne mit einer Null ergänzt. Der Befehl INT streicht die Stellen hinter dem Komma einer Zahl. 1. Wähle vierstelligen Startwert (Xo). 2. Setze für i = 1, ... , N: X(i) := INT((x(i – 1)^2 / 100) X(i) := X(i) – INT(X(i) / 10000) * 10000 i := i + 1 Beispiel: Xo = 3123 3123² = 09753129 INT(09753129 / 100) = 97531 INT(097531 / 10.000) = 09 * 10.000 = 090000 097531 – 090000 = 7531 X1 = 7531 8 Vgl. Hartmann (2004): S. 12 - 14. 4 Dieser einfache Algorithmus ist zwar leicht zu implementieren, doch besteht die Gefahr, dass der Zyklus/Periode sehr klein ist oder auf Null abstürzt9. Der Startwert 1944 liefert nach 13 Rechenschritten das Ergebnis 0. Der Middle-Square-Generator besitzt deshalb nur noch historische Bedeutung. 3.2.2. Algorithmus K (D. E. Knuth)10 Auch der amerikanische Informatik-Professor Donald Knuth hat einen Algorithmus entwikkelt, mit dem er allerdings Schiffbruch erlitt. Dieser Algorithmus sollte nur absolut zufällige oder wenigstens einen unendlichen Vorrat „unglaublich zufälliger Zahlen“ liefern. Knuth nannte sie „superzufällig“11. Man geht von einer zehnstelligen positiven Zahl X aus. Trotz 13 komplizierten Rechenschritten konvergiert der Algorithmus bei manchen Startwerten relativ schnell gegen 6 065 038 420. Dieser Wert wiederholt sich dann jeweils nach 44 Iterationsschritten. Knuth meinte daraufhin: „Zufallszahlen sollte man nicht mit einer zufällig gewählten Methode erzeugen. Etwas Theorie kann nicht schaden.“ Der Aufbau des Algorithmus kann im Anhang unter Punkt 11.1 eingesehen werden. 4. Linearer Kongruenz-Generator12 Bessere Ergebnisse liefern die sogenannten Kongruenzgeneratoren, die auch am gebräuchlichsten sind. Der Lineare Kongruenz-Generator wurde 1949 von dem amerikanischen Mathematiker D. H. Lehmer (1905 – 1991) entwickelt. Diese Methode ist noch ein Bestandteil vieler Zufallsgeneratoren, obwohl es mittlerweile besserer Nichtlineare- und InverseKongruenzgeneratoren gibt. Das Bildungsgesetz des Linearen Kongruenz-Generators lautet13: xi+1 = (a * xi + c) mod m (1) Es erinnert an eine lineare Geraden-Gleichung der Form y = mx + b. Beim Linearen-Kongruenz-Generator geht es aber um die Kongruenzrechnung, auch Modulorechnung genannt: Zwei ganze Zahlen a, b nennt man kongruent modulo m, wenn man bei a und bei b mit Division durch m den gleichen Rest erhält. Man schreibt a ≡ b mod m. Man nennt m den Modul der Kongruenz. 9 Vgl. Steinhausen, Kapitel 3.2.2.2 Vgl. Knuth (1998): S. 5 f. Vgl. Knuth (1998): S. 6. 12 Vgl. Hartmann (2004): S. 32 – 37, Knuth (1998): S. 10 - 25. 13 Vgl. Steinhausen, Kapitel 3.2.2.2. 10 11 5 Regeln für Kongruenzen: 1. Aus a ≡ a’ mod m, b ≡ b’ mod m folgt a + b ≡ (a’ + b’) mod m, a b ≡ (a’ b’) mod m 2. In einer Kongruenz modulo m darf man eine Zahl a durch eine zu ihr kongruente ersetzen: Statt a = 7 modulo 5 (Rest 2) kann man auch 12, 17, 22 ... wählen, da 12 : 5, 17 : 5 ... Rest 2 ergibt. Die Folge xi+1 = (a * xi + c) mod m hängt von 4 ganzzahligen Parametern ab14: m>0 Multiplikator a, 0 ≤ a < m Verschiebung c, 0 ≤ c < m Startwert X0, 0 ≤ X0 < m Man nimmt einen Startwert, multipliziert mit der Konstanten a, addiert c. Diesen Wert dividiert man durch m. Der Divisionsrest wird als neue Zufallszahl verwendet. Ist c = 0 spricht man von der multiplikativen Kongruenzmethode15. Xi+1 ist eine ganze Zahl zwischen 0 und m. Eine Division durch den Modul m bildet die Pseudozufallszahl anschließend auf das Intervall (0,1) ab. Man erhält (0,1)-gleichverteilte Zufallszahlen. Werden die Parameter Startwert X0 = 7, a = 21, c = 3 und m = 17 gewählt, so erhält man folgende Zufallszahlen, wobei schon nach vier Schritten die Zahl 7 wieder auftritt (Periode)16: i Xi+1 = (a * xi + c) mod m Zi = Xi / m 1 21 * 7 + 3 (mod 17) = 14 0,823529 2 21 * 14 + 3 (mod 17) = 8 0,470588 3 21 * 8 + 3 (mod 17) = 1 0,058824 4 21 * 1 + 3 (mod 17) = 7 0,411765 5 21 * 7 + 3 (mod 17) = 14 0,823529 Tabelle 1: Bildung einer Zufallszahlenfolge (X0 = 7, a = 21, c = 3 und m = 17) Ein großer Vorteil des Linearen Kongruenz-Generators: Er ist einfach zu programmieren. Ein Nachteil ist, dass die Perioden, wie man oben an dem Beispiel sieht, sehr kurz sein können. Je nach Wahl der Parameter a, c, m, können sehr unterschiedliche Zahlenfolgen entstehen. Hier sind einige Beispiele für a und m, wobei c = 0 (multiplikative Kongruenzmethode)17: 14 Vgl. Knuth (1998): S. 10. Vgl. Steinhausen, Kapitel 3.2.2.3. 16 Vgl. Steinhausen, Kapitel 3.2.2.3. 15 6 m a Periode 231 216+3 229 235 513 233 231-1 16807 231 Tabelle 2: Beispiele für Periodenlänge bei gegebenen Parametern Die Periode beträgt maximal m, deshalb sollte m eine Zweier- oder Zehnerpotenz sein. Unter folgenden Voraussetzungen wird die Periode maximal18: 1. c und m sind teilerfremd 2. für jede Primzahl r, die m teilt, ist a-1 ein Vielfaches von r (a-1 ist ein Vielfaches von p, für alle Primzahlen p, die Teiler von m sind) 3. wenn m ein Vielfaches von 4 ist, dann ist auch a-1 ist ein Vielfaches von 4 Bei Zahlenfolgen des Linearen Kongruenz-Generators treten oft systematische Fehler auf, die man zwei-dimensional schnell erkennt. Dieses Verfahren nennt man Visualisierung19: Wir fassen aus einer Zahlenfolge X0, X1, X2, ..., Xm-1 je zwei aufeinander folgende Zahlen zusammen. Das sind die Koordinaten der Punkte: P0= (X0,X1), P1= (X1,X2) bis Pm-2= (Xm-2,Xm-1) Man zeichnet diese Punkte in ein Koordinatensystem. Im Idealfall sollten alle Punkte in diesem Gebiet ungefähr gleich verteilt sein, die Dichte der Punktwolke sollte gleich groß sein. Leider treten gerade bei Linearen Kongruenz-Generatoren Muster, z.B. Linien, auf. Diese Schwäche lässt sich nicht beheben, da die Erzeugung der Zufallszahlen von ihren Vorgängern abhängt. 17 Vgl. Steinhausen, Kapitel 3.2.2.3. Vgl. Knuth (1998): S. 17. 19 Vgl. Hartmann (2004): S. 44 - 46. 18 7 Abbildung 1: Muster20 für Paare aufeinanderfolgender Pseudozufallszahlen (m = 256) Ebenso ist es möglich, Tripel aus drei hintereinander folgenden Zufallszahlen zu bilden, damit man eine Visualisierung im drei-dimensionalen Raum erreicht. 5. Güte von Pseudozufallszahlen: Statistische Tests Echte Zufallszahlen haben die Eigenschaft, dass die Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen jeder Zahl gleich groß ist. Mit statistischen Tests lässt sich die Güte von zufälligen Zahlenfolgen überprüfen, ob sie die Eigenschaften der echten Zufallszahlen erfüllen21. Man testet die Gleichverteilung (Anpassungstest) und Unabhängigkeit von Pseudozufallszahlen. In der Praxis werden ungefähr sechs verschieden statistische Tests auf eine Folge angewendet. Wenn die Folge alle Tests besteht, so betrachtet man sie als hinreichend zufällig22. 5.1. Chi-Quadrat-Anpassungstest23 Der bekannteste Test ist der χ²-Test: Man prüft mit der Nullhypothese, ob auf einem vorab festgelegten Signifikanzniveau α eine hypothetisch erwartete Verteilungsfunktion Fxe als ein geeignetes Verteilungsmodell für eine empirisch beobachtete Verteilungsfunktion Fx angesehen werden kann. Die Nullhypothese H0: Fx = Fxe wird gegen die Alternativhypothese HA: Fx ≠ Fxe getestet. 20 Vgl. Schmidt (2003): S. 64. Vgl. Steinhausen, Kapitel 3.3. 22 Vgl. Hartmann (2004): S. 47. 23 Vgl. Eckstein (1999): S. 312 f. 21 8 Man erzeugt n Zufallszahlen X1, ..., Xn. Durch Xi / m = ui entstehen Zufallszahlen zwischen 0 und 1. Die Hypothese Ho lautet: Die Pseudozufallszahlen ui sind auf dem Intervall (0,1) gleichverteilt (ui~U(0,1)), i=1, ... n. Das Intervall [0,1) wird in r gleichlange Teilintervalle I1, ... Ir ( I1 = [0, 1/r) , … , Ir = [(r-1)/r, r/r)) unterteilt. Durch Abzählen, wie viele Zufallszahlen in einem Teilintervall liegen, erhält man die empirischen Häufigkeiten Zj(u1, ..., un), also die Anzahl derjenigen Pseudozufallszahlen, die im Intervall ((j-1)/r , j/r) liegen. In jedem Teilintervall sollten erwartungsgemäß n/r = he Zufallszahlen liegen, wobei he ≥ 5 gilt. Man bildet die Differenz zwischen den beobachteten Häufigkeiten Zj und den erwarteten Häufigkeiten he. Die Differenz wird quadriert, damit die Differenzen immer positiv bleiben und die Abweichungen sich nicht gegenseitig wieder aufheben. Die absoluten Abweichungen zum beobachteten Wert werden dann noch gewichtet. n χ =∑ 2 (Z (u ) − h ) e 2 i i (2) he i =1 Weil die Testgröße χ² asymptotisch χ² r-1 – verteilt ist, wird bei hinreichend großem n die Hypothese Ho abgelehnt, wenn χ² > χ² r-1, 1-α. R-1 ist die Anzahl der Freiheitsgrade. In einer Tabelle, die in vielen Statistikbüchern abgedruckt ist, ist aufgelistet, welchen Wert χ² höchstens annehmen darf, damit wir die Hypothese nicht ablehnen. Beispiel24: Man hat n = 100.000 Zufallszahlen, a = 0.05 und r = 10 Teilintervalle. Die Häufigkeiten der Zufallszahlen in den Teilintervallen betragen: z1 z2 z3 z4 z5 z6 z7 z8 z9 z10 9995 10045 10127 9816 10130 10040 9890 9858 10083 10016 Tabelle 3: Häufigkeiten von 100.000 Zufallszahlen in 10 Intervallen Daraus errechnet man χ² = 10,99 < χ² Gleichverteilung wird nicht verworfen. 24 25 r-1, 1-α Vgl. Schmidt (2003): S. 66. Vgl. Aus der Tabelle über kritische Werte der χ²-Verteilung. 9 = 16,9225. Die Hypothese der (0,1]- 5.2. Kolmogorov-Smirnoff-Anpassungstest26 Während der χ² -Test die Übereinstimmung der erwarteten mit der tatsächlichen Verteilung überprüft und nur auf große Stichproben anwendbar ist, überprüft der Kolmogorov-SmirnoffTest, inwieweit die hypothetische Verteilungsfunktion Fxe(xi) mit der zu testenden empirischen Verteilungsfunktion Fx(xi) (kumulierte relative Häufigkeiten der Grundgesamtheit) im Einklang steht. Um die Verteilung der Zufallszahlen leichter bestimmen zu können, werden die Zufallszahlen zuerst der Größe nach sortiert, so dass gilt X 1 ≤ X 2 , ..., X n (siehe Beispiel Anhang 11.2). Man stellt dann die Nullhypothese auf, dass sich die empirische mit der theoretischen Verteilung (mit einer festgelegten Irrtumswahrscheinlichkeit Alpha) deckt: H 0 : Fx ( xi ) = Fx ( xi ) e H A : Fx ( xi ) ≠ Fx ( xi ) e Als Testgröße bedient man sich der maximalen Abweichung zwischen zu testender und theoretischer Funktion. Diese maximale Abweichung besitzt eine definierte Wahrscheinlichkeit, die bei wirklichen Zufallszahlenfolgen auftreten würde. Ziel ist es, diese definierte Wahrscheinlichkeit (kritischer Wert) mit der tatsächlichen zu vergleichen. Es ist zu beachten, dass an jeder Sprungmarke (neuer empirischer Datenpunkt) von Fx (x) zwei Abstände zu bestimmen sind: Der Abstand des aktuellen Wertes der empirischen Verteilung zum aktuellen ( k1 = Fx ( xi ) − F ( xi ) ) und zum letzten Wert ( k 2 = Fx ( xi ) − F ( xi −1 ) ) der theoretischen Verteilung. K n = max Fx ( xi ) − F ( xi ) Fx ( xi ) − F ( xi −1 ) (3) Anschließend wird die Irrtumswahrscheinlichkeit festgelegt, z.B. α = 0,05 (entspricht einem Konfidenzniveau von 95%). Bei kleinen Stichproben wird die Nullhypothese nicht verworfen, wenn der größte vorkommende Abstand („Prüfgröße“) den tabellierten kritischen Wert nicht überschreitet. Der kritische Wert für große Stichproben (Grundgesamtheit größer n = 35 Elemente) wird meist nicht mehr tabelliert und muss anhand folgender Formeln approximiert werden: Alpha Approximation für n>35 0,1 0,05 1 ∗1,224 n 1 ∗1,358 n Tabelle 4 26 Vgl. Schwarze (1997): Seite 234 f. 10 Ein Vorteil des Kolmogorov-Smirnoff-Test ist, dass keine Klassenbildung erforderlich ist. Die Zahlen können direkt für den Test herangezogen werden. Der Test ist also dem χ²-Test immer dann vorzuziehen, wenn keine Klassenbildung vorliegt. Des weiteren sollte der KSATest bei kleinen Stichproben präferiert werden (siehe Beispiel Anhang), da er insbesondere bei Abweichungen in Form der Verteilungsfunktion empfindlicher reagiert. Ein weiteres Positivum ist seine Verteilungsfreiheit. 5.3. Serielle Autokorrelation27 Die durch den Generator erzeugten Pseudozufallszahlen müssen paarweise unabhängig sein oder etwas einfacher gesagt, frei von Mustern. Durch die serielle Autokorrelation misst man die Abhängigkeit einer Folge von Zahlen. Idealtypisch wäre eine Korrelation ρ k = 0. Weicht der Korrelationskoeffizient jedoch deutlich von Null ab, so ist mit hoher Wahrscheinlichkeit keine zufällige Zahlenfolge gegeben. Eine negative Autokorrelation bedeutet, dass auf hohe Werte (des jeweiligen Lags k) überdurchschnittlich häufig niedrige Werte folgen. Wenn man Zufallspaare mit ähnlichen Werten erhält, spricht man von positiver Korrelation. Diese Phänomene können bei aufeinanderfolgende Wertepaaren und bei Paaren, die in einer bestimmten Zahlenfolge einen bestimmten Abstand zueinander besitzen, auftreten. Bei der letztgenannten Erscheinung spricht man von einer seriellen Autokorrelation k-ter Ordnung (ρ k ). n−k ρk = ∑ (x i =1 i n−k ∑ (x i =1 − µ x ) ∗ ( xi + k − µ x ) n−k i − µ x ) ∗ ∑ ( xi + k − µ x ) i =1 n−k 1⎞ ⎛ 1⎞ − ⎟ ∗ ⎜ xi + k − ⎟ 2⎠ ⎝ 2⎠ == i =1 n−k 1 ⎞ n−k ⎛ 1⎞ ⎛ x − ⎟ ∗ ∑ ⎜ xi − ⎟ ⎜ ∑ i 2 ⎠ i =1 ⎝ 2⎠ i =1 ⎝ ⎛ ∑ ⎜⎝ x i (4) Der Stichprobenmittelwert ergibt sich als µ = ½, da man von Pseudozufallszahlen zwischen 0 und 1 ausgeht. Unkorreliertheit bedeutet ρ k = 0. Ein Generator wird also abgelehnt, wenn die von ihm generierten Zufallszahlenfolgen eine Autokorrelation aufweisen, die signifikant von Null verschieden ist. 6. Erzeugung beliebig verteilter Zufallszahlen (Transformation)28 Bislang wurden (0,1)-gleichverteilte Zufallszahlen (xn / m = un) erzeugt. Sie sind die Ausgangsbasis für die Erzeugung von Zufallszahlen mit beliebigen anderen Wahrscheinlichkeits- 27 28 Vgl. Gujarati, S .450-452. Vgl. Steinhausen, Kapitel 3.4. 11 verteilungen. Man transformiert die gleichverteilten Zufallszahlen analytisch durch Bildung der Umkehrfunktion F-1. Die Verteilungsfunktion un = F(x) ist eine Funktion, die jedem x einen Wert zwischen 0 und 1 zuordnet. Durch Bildung der Umkehrfunktion x = F-1(un) wird jedem un zwischen 0 und 1 ein Wert aus dem Wertebereich von F mit F(x) = F(F-1(un)) zugeordnet. Die Transformation kann auch grafisch - man wählt einen y-Wert, zieht eine horizontale Linie bis zum Kurvenpunkt und fällt dann das Lot auf die x-Achse – oder mittels Nachschlagen in einer Tabelle (Table-look-up) erfolgen29. 6.1. Erzeugung von Zufallszahlen beliebiger (a,b)-Gleichverteilungen30 Mit Hilfe von (0,1)-gleichverteilten Zufallszahlen werden wiederum gleichverteilte Zufallszahlen im Intervall (a,b) erzeugt. Gegeben ist die Verteilungsfunktion F(x) = (x-a) / (b - a), bzw. un = F(x) = (x-a) / (b - a). Man löst nach x auf und erhält die Transformationsgleichung: x = a + (b - a) un (5) Beispiel: Gegeben ist die (0,1)-gleichverteilte Zufallszahl u = 0,4711, die in eine (1,10)gleichverteilte Zufallszahl transformiert werden soll: x = 1 + (10 - 1) * 0,4771 = 5,2399 6.2. Erzeugung von exponentialverteilten Zufallszahlen31 Die Exponentialverteilung gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass zwischen dem Eintreten zweier aufeinander folgender Ereignisse höchsten x Zeiteinheiten vergehen (Beispiel: Lebensdauer einer Glühbirne, Eintreffen von Kunden). Die Dichtefunktion lautet f(x) = µ e-µx, x ≥ 0, bzw. f(x) = 0, x < 0. Die Verteilungsfunktion lautet F(x) = 1 - e-µx. Sei nun un eine in (0,1)-gleichverteilte Pseudozufallszahl und die Zufallsvariable Xn hat die Verteilungsfunktion F(x) = 1 - e-µx , so erhalten wir durch Anwendung der Transformationsmethode und Auflösung nach x: xn = -1 / µ ln(1 - un ) eine mit dem Parameter exponentialverteilte Pseudozufallszahl. Transformation: F(xn) = 1 - e-µxn un = F(xn) = 1 - e-µxn un - 1= - e-µxn 1 - un = e-µxn ln(1 - un) = -µ xn xn = (-1/ µ) ln(1- un ) 29 Vgl. Steinhausen, Kapitel 3.4.1. Vgl. Steinhausen, Kapitel 3.4.2. 31 Vgl. Steinhausen, Kapitel 3.4.3. 30 12 Beispiel: Gegeben ist die (0,1)-gleichverteilte Zufallszahl u = 0,4711, mit µ = 0,5, so erhält man für x: x = (-1 / 0,5) ln(1 - 0,4711) = 1,2739 Erzeugung von normalverteilten Zufallszahlen32 6.3. Eine einfache analytische Umformung von (0,1)-gleichverteilten Zufallszahlen in normalverteilte Zufallsvariablen wie bei der Exponentialverteilung ist nicht möglich. Für die Lösung benötigt man die Aussage des zentralen Grenzwertsatzes: Die Summe von n voneinander unabhängigen Zufallsvariablen mit beliebigen Verteilungen ist näherungsweise normalverteilt. Wird also aus n Zufallsvariablen die Summe Yn = Σ un gebildet und hat keine der Variablen un einen überragenden Einfluss, so strebt für n gegen Unendlich die Verteilungsfunktion von Yn gegen die Verteilungsfunktion einer Normalverteilung. Sie ist asymptotisch normalverteilt mit den Parametern Σ µ und Σ σ². Für n gegen Unendlich strebt die Verteilung der standardisierten Variable Xn = Yn − ∑ µ ∑σ Σµ: N*µ Σσ: N*σ 2 (6) gegen die Standardnormalverteilung N(0;1). So erhalten wir Xn = ∑u n − nµ (7) nσ 2 Beispiel: Bei n = 12 Zufallszahlen (u0 , ... un) mit µ = ½ und σ² = 1/12 erhält man bereits ein gutes Ergebnis, eine gute Realisation einer Standard-Normalverteilung, auch wenn der Wertebereich nur von –6 bis +6 geht. Echt normalverteilte Zufallsvariable haben den Wertebereich (-∞, +∞). X 32 n = ∑ u n − 12 ∗ 12 12 1 2 = ∑ un − 6 (8) n Vgl. Steinhausen, Kapitel 3.4.4. 13 Die standard-normalverteilten Zufallszahlen (x) transformiert man dann durch y = xσ + µ (9) in beliebige (µ,σ²)-normalverteilte Zufallsvariable (y). Beispiel: x = 0,486 (standard-normalverteilt) soll in (0.7,0.16)-normalverteilte Zufallsvariable mit µ = 0,7 und σ = 0,4 transformiert werden: y = 0,486 * 0,4 + 0,7 = 0,8944 7. Zufallszahlen in der Anwendung – Die Monte-Carlo-Methode Mit der Monte-Carlo-Methode lassen sich zwei große Problemgruppen bearbeiten: • Probleme deterministischer Natur, also Probleme, die eine eindeutige Lösung haben. Beispiele: Integrale, Berechnung der Zahl Pi • Probleme stochastischer Natur, also Probleme, deren Lösung zufällig ist. Beispiel: Risiko eines Wertpapier-Portfolios (Value-at-Risk), Bepreisung exotischer Optionen 7.1. Grundprinzip der Monte-Carlo-Simulation: Ein einfaches Beispiel33 Es wird hier die Einsetzbarkeit der Monte-Carlo-Methode bei der Berechnung von Flächen bzw. der Lösung von Integralen demonstriert (deterministische Simulation). Die Fläche eines Kreises lässt sich bekanntlich mit der Formel A = π * r² (10) berechnen. Mit der Monte-Carlo-Methode kann man die Zahl π abschätzen. Dabei wird von einem Einheitskreis (Radius r = 1) ausgegangen, da hier die Fläche gleich π beträgt. Teilt man den Einheitskreis in Viertel, so beträgt die Fläche des 1. Quadranten π/4. Nun generiert man Pseudozufallszahlen zwischen 0 und 1 für die x bzw. y Koordinaten eines Punktes. Ein Punkt kann maximal die Koordinaten P(1,1) besitzen. Die Kreisgleichung im 1. Quadranten des Einheitskreises lautet x² + y² = 1(Satz des Pythagoras), so dass für alle Punkte innerhalb des Kreises gelten muss x² + y² ≤ 1. 33 Vgl. Steinhausen, Kapitel 1.3.3. 14 Der Computer generiert nun mit den Pseudozufallszahlen sehr viele Punkte. In der Realität können diese Punkte mit Regentropfen verglichen werden, die gleichverteilt auf eine Fläche von einem Quadratmeter auftreffen. Diese liegen manchmal außerhalb, meistens innerhalb des Kreisviertels. Abbildung 2: Das Einheitsquadrat und ¼ des Einheitskreises wird mit künstlich erzeugten Punkten „beschossen“. Das sind die sogenannten „Treffer“. Der Anteil der Treffer im Verhältnis zu den Punkten, die außerhalb des Viertelkreises liegen, konvergiert für eine große Anzahl von Punkten näherungsweise gegen die Fläche des Kreisviertels π/4 (Zentraler Grenzwertsatz, Bernoulli). Multipliziert man die Zahl mit 4, so erhält man eine Annäherung an π. Für diese Berechnung benötigt man schon eine sehr große Anzahl von Pseudozufallszahlen. Wie man sieht hängt der Erfolg eines derartigen statistischen Experiments von der Güte der verwendeten Zufallszahlen ab, die in diesem Fall gleichverteilt sein müssen. Diese Tatsache unterstreicht die Bedeutung der Testverfahren für Pseudozufallszahlen und damit für die Qualität einer Monte-Carlo-Simulation. 7.2. Allgemeiner Überblick: Leitfaden Monte Carlo Simulation Die folgende Übersicht rekapituliert die wichtigsten Schritte der Vorgehensweise: 1) Generierung der für einen Monte Carlo Schritt Ein Monte Carlo Schritt entspricht dem Auftreffen nötigen Pseudo-Zufallszahlen, die zwischen 0 und 1 eines simulierten Punktes. Hierzu sind zwei Zufallszahgleichverteilt sind. len nötig (x-Koordinate, y-Koordinate). 2) Transformierung der gleichverteilten Pseudo- Zur Berechnung des Verhältnisses der Kreisfläche Zufallszahlen in die gewünschte Verteilung. benötigt man gleichverteilte Zufallszahlen, in diesem Fall würde die Transformation also entfallen. 15 3) Durchführung eines Monte-Carlo-Schrittes mit den Der Punkt (x-y-Paar) trifft auf die Gesamtfläche auf. eben erzeugten Zufallszahlen. 4) Messen der interessierenden Größen. Feststellen, ob der Punkt im Kreis aufgetroffen ist oder nicht („Hit-or-Miss“). 5) Vielfaches Wiederholen der Schritte 1 bis 4 (solan- Zur Berechnung der Kreisfläche müssen ausreichend ge, bis genügend Systeme für eine ausreichende viele Punkte simuliert werden, z.B. 10.000 WiederhoStatistik zur Verfügung stehen) lungen 6) Endauswertung: Interessierte Größe je nach Simu- Berechnung des Verhältnisses aus den auf der Kreisflälationsziel (Mittelwerte, Quotient etc.) zusammen- che aufgetroffenen Punkte und der Gesamtanzahl aller fassen. simulierten Punkte 7.3. Simulation stochastischer Prozesse Eine stochastische Simulation bedient sich der Zufallszahlen, um zeit- bzw. zufallsabhängige Prozesse zu simulieren. Wird der aktuelle Wert des Prozesses dabei ausschließlich von seinem Vorgängerwert beeinflusst, so spricht man von einem sog. Markov-Prozess34. In den Finanzwissenschaften bedient man sich des Markov-Prozesses, um mögliche zukünftige Aktienkursbewegungen zu modellieren, mit anderen Worten, um Marktszenarien zu generieren. Dabei geht man davon aus, dass sich Aktienkurse über die Zeit zufällig bewegen. In der Kapitalmarktforschung begründet man dies mit dem Argument der „schwachen Markteffizienz“. Der Anwendungsschwerpunkt liegt meist auf der Bestimmung der Verteilung des Aktienkurses zu bestimmten zukünftigen Zeitpunkten35 36. Anhand dieser Verteilung kann beispielsweise festgestellt werden, mit welchem Verlust man mit z.B. 95% Wahrscheinlichkeit rechnen muss, wenn man einen bestimmten Zeitraum in einer Aktie investiert ist. Die Entwicklung einer Aktienkursbewegung kann mit Hilfe eines Wiener-Prozesses37 (auch Brown’sche Bewegung) dargestellt werden, der einen Mittelwert von Null und eine Standardabweichung von 1 aufweist. Es ergibt sich eine sog. diskrete arithmetische Brown‘sche Bewegung als Kursprozess38: dS = µ S dt + σ S dz = µ S dt + σ S ε dt (11) S: Aktienkurs µ: mittlere erwartete Rendite des Aktieninvestments ε: standard-normalverteilte unabhängige Zufallsvariable 34 Vgl. Deutsch in Eller (1998): S. 272, Neftci (2001): S.53 f. z.B.: Bei einer Option interessiert man sich für die Verteilung des Aktienkurses am Laufzeitende, bei der täglichen Value-at-Risk Berechnung im Risikomanagement von Wertpapierpositionen für die Verteilung des Aktienkurses am Folgetag. 36 Vgl. Schwendner/ Martin/Papies (2002) S. 279. 37 Vgl. Franke/Härdle/Hafner (2001), S.55-63. 38 Vgl. Franke/Härdle/Hafner (2001), S.55-63; Montagna/Nicrosini/Moreni (2002), S.5 f.; Wilmott (2002), S. 101-118. 35 16 Die meisten Theorien gehen jedoch von einem kontinuierlichen Renditeprozess39 aus, was eine Transformation der Gleichung in einen stetigen Kursprozess (geometrische Brown‘sche Bewegung) erforderlich macht. Von großer Bedeutung ist hier Ito’s Lemma (Satz aus der stochastischen Analysis40), mit dem diese Transformation von statten geht. Es ergibt sich: ST = S t ∗ e T: t: µ: σ: ε: ⎛ σ2 ⎜ µ− ⎜ 2 ⎝ ⎞ ⎟∗(T −t )+σε T −t ⎟ ⎠ (12) Zeithorizont aktueller Zeitpunkt mittlere erwartete Rendite des Aktieninvestments mittlere erwartete Rendite des Aktieninvestments standard-normalverteilte unabhängige Zufallsvariable Mit dieser Formel ist es möglich, potenzielle zukünftige Kursverläufe zu erzeugen, mit deren Hilfe sich zufällige Kurse in Abhängigkeit von der Erzeugung von standard-normalverteilten Zufallszahlen simulieren lassen. Sie ist die Grundlage für die Simulation mittels Monte-CarloMethode. Beispiel: Bepreisung einer exotischen Option (Asiatische Option) 41 42 Um ein Gefühl für die Anwendungsrelevanz von Monte-Carlo-Simulationen zu bekommen, wird im Folgenden demonstriert, wie der Preis einer asiatischen Option durch stochastische Simulation ermittelt werden kann. Asiatische Optionen sind auch unter dem Namen „Average Option“ bekannt, was ihr Funktionsprinzip bereits sehr gut beschreibt: Der Wert am Verfalltag bestimmt sich aus der Differenz des arithmetischen Durchschnitts des Aktienkurses in einem bestimmten Zeitraum weniger dem Ausübungspreis. Ganz allgemein gesprochen hängen Optionspreise vom Erwartungswert ihres Auszahlungsprofils bezüglich der Wahrscheinlichkeitsverteilung des Aktienkurses am Laufzeitende, bzw. wie vom gesamten Kursverlauf („Kurspfad“) bis Laufzeitende ab.43 Da hier wegen der Durchschnittsrechnung alle Kurse bis zum Laufzeitende relevant sind (sog. „Pfadabhängigkeit“ der Option), stellt sich die Aufgabe, den gesamten zukünftigen Kursverlauf mit Monte-Carlo zu simulieren. 39 Das impliziert für die folgende Eigenschaften: Aktienrenditen sind normalverteilt, Aktienkurse sind lognormalverteilt. Vgl. Sandmann (2001): S. 47 f. Beispiel in Anlehnung an: Wilmott (2003), S. 221. 42 Bepreisung unter der Annahme einer dividendenfreien Aktie. 43 Vgl. Taleb (1997): S. 27 f. 40 41 17 An dieser Stelle kommt die im letzten Abschnitt vorgestellte Formel zur Erzeugung zufälliger Kursbewegungen zum Einsatz. Man geht in mehreren Schritten vor: 1) Generierung der für einen Monte-Carlo-Schritt nötigen Pseudo-Zufallszahlen, die zwischen 0 und 1 gleichverteilt sind. 2) Festlegung der Prämissen. Aktienkurse folgen einem Random Walk mit Drift. An dieser Stelle ist lediglich relevant, dass diese Tatsache normalverteilte Aktienrenditen impliziert. Die anderen Parameter (Volatilität der Aktie, mittlere erwartete Aktienrendite, risikoloser Zins zur Barwertberechnung) können empirisch ermittelt oder subjektiv geschätzt werden. 3) Generierung von gleichverteilten Zufallszahlen im Intervall [0;1]. 4) Transformieren der Zufallszahlen in die Standardnormalverteilung. 5) Einsetzen der transformierten Zufallszahlen in den Random Walk mit Drift, Berechnung der simulierten Kurszeitreihe. 6) Berechnung des durchschnittlichen Kurses der simulierten Kurszeitreihe. 7) Berechnung der Auszahlung am Laufzeitende: max[Durchschnittskurs – Basispreis; 0]. 8) Stetige Diskontierung des Auszahlungsbetrags auf heute; speichere diesen Betrag. 9) Führe die Schritte 1 bis 7 weitere 250 Mal44 durch. 10) Ermittle den Mittelwert aus allen 250 Simulationen: Er entspricht dem „fairen Wert“ der Asiatischen Option. Auf diese Weise wurde der Preis einer analytisch komplex zu bewertenden exotischen Option unter Verwendung von Pseudozufallszahlen in Verbindung mit der Monte-Carlo-Methode ermittelt. Abbildung 3: Generierung von 250 Szenarien eines Kursverlaufs zur Bestimmung des Preises einer asiatischen Option (Startwert: 100, Laufzeit 1 Jahr, Volatilität 20% p.a., mittlere erwartete Rendite 5% p.a., Zeitintervall 0.01 ). 44 250 Simulationsschritte sind in der Monte-Carlo Welt eigentlich zu wenig (Fehlertoleranz). Aufgrund der Begrenzung der ExcelTabellenkalkulation auf 256 Spalten bietet sich diese Anzahl jedoch aus Gründen der Übersichtlichkeit und damit des besseren Verständnisses an. 18 7.4. Ausgewählte Praktische Anwendungen in den Wirtschaftswissenschaften Kempf/Günther45 schlagen vor, Monte-Carlo beim Risikomanagement von Kapitalanlagegesellschaften einzusetzen. Im Besonderen handelt es sich dabei um die Berechnung der Risikokennzahl Value-at-Risk („VaR“), dem absoluten Geldbetrag, der mit vorgegebener Wahrscheinlichkeit den maximalen Verlust in einem bestimmten Zeitraum entspricht. Dr. H.-P. Deutsch46 geht des weiteren darauf ein, dass auch Adressenausfallrisiken (Bonitätsrisiken) mittels stochastischer Simulation adäquat modelliert werden können. Elsas/El-Shaer/Theissen47 simulieren im Rahmen einer Studie zur Validität des Capital Asset Pricing Modells (kurz CAPM) einen „idealen“ Markt mittels Monte-Carlo. Das CAPM basiert – wie die meisten ökonomischen Modelle – auf Annahmen. Beispielsweise wird davon ausgegangen, dass Aktienrenditen normalverteilt sind oder sich Wertpapiere alleine mit ihrem systematischen Risiko („Beta-Risiko“) bepreisen lassen. Durch das Schaffen einer Idealwelt, in der alle diese Annahmen erfüllt sind und das anschließende Anwenden des Modells wird eine Aussage über dessen tatsächliche Brauchbarkeit möglich. 8. Latin-Hypercube-Methode48 Die Latin-Hypercube-Methode, die maßgeblich von Dr. Ronald Iman49 Anfang der achtziger Jahre entwickelt wurde, zählt zu den Stratified Sampling Methoden. Hier wird die Verteilung in disjunkte Intervalle unterteilt, die alle dieselbe Eintrittswahrscheinlichkeit aufweisen. Aus allen diesen Intervallen werden gleich viele Zufallszahlen (ohne Zurücklegen) gezogen. Diese Abwandlung der Monte-Carlo-Simulationen durch Klassenunterteilung („Stratified Sampling“) liefert bereits mit wenigen Simulationsschritten aussagekräftige Ergebnisse. Im Gegensatz zur Monte-Carlo-Methode wird bei dieser Vorgehensweise erst ein Intervall zufällig ausgewählt. Das Ziehen einer Zufallszahl aus diesem Intervall geschieht dann wiederum zufällig. Die Pseudozufallszahl muss sich nicht in der Klassenmitte des Intervalls befinden. Dieses Verfahren führt dazu, dass vor allem Randverteilungen besser repräsentiert werden. Der Vorgang wird solange wiederholt, bis aus jedem Intervall ein Zufallswert vorliegt. Man erhält mit der Latin-Hypercube-Methode trotz weniger Durchläufen präzisere Zufallsstichproben als bei der herkömmlichen Monte-Carlo-Methode, da die gesamte Verteilung gleichmäßiger erfasst wird. 45 Vgl. Kempf/Günther (2001): S. 60. Vgl. in: Eller, Roland (1998): S. 304. Vgl. Elsas/El-Shaer/Theissen (2003): S.7 f. 48 Vgl. Bayer (1999): S.9 f. 49 Dr. Ronald Iman, Sandia National Laboratories, Albuquerque, New Mexico. 46 47 19 Abbildung 4: Die Abbildung zeigt eine Verteilung, die in 20 disjunkte, gleichwahrscheinliche Intervalle aufgespalten wurde, um das Latin-Hypercube Verfahren anzuwenden. 9. Fazit und Ausblick Es wurde gezeigt, dass Pseudo-Zufallszahlen aus der heutigen Welt nicht mehr wegzudenken sind. In Kombination mit Simulationsmethoden helfen sie dabei, verschiedenste Problemstellungen, u.a. Fragestellungen der Wirtschaftswissenschaften zu verstehen und zu lösen, denn viele dieser realen Probleme enthalten Zufallskomponenten. Am Beispiel der Berechnung von Pi wurde klar, dass sogar Fragen beantwortet werden können, die eigentlich gar nichts mit dem Zufall zu tun haben. Die Qualität der erzeugten Zahlen ist dabei von zentraler Bedeutung, was dazu geführt hat, das auch heute noch an „besseren“ Generatoren (Algorithmen) gearbeitet wird. Interessant ist aber auch die Tatsache, dass viele der Generatoren, Test- und Transformationsverfahren aus der Anfangszeit der Simulationstechnik noch heute aktuell sind. Die Einsatzmöglichkeit der in dieser Arbeit vorgestellten Instrumente hängt heute vor allem von der Leistungsfähigkeit der Computer ab, die - wie die Vergangenheit lehrt – sehr schnell steigt. Dr. H.-P. Deutsch beschreibt die Zukunft der Anwendung von Zufallszahlen anschaulich: „Viele führende Wissenschaftler gehen davon aus, dass die Computersimulation in naher Zukunft die wichtigste aller Methoden in den Naturwissenschaften sein wird, wichtiger als Experiment oder Theorie.“50 50 Vgl. Deutsch in Eller (1998): S. 304. 20 10. Literaturverzeichnis Eckstein, Peter P.: Repetitorium Statistik, Wiesbaden, 1999, S. 311 – 323 Eller, Roland (Hrsg.): Handbuch des Risikomanagements, Stuttgart, 1998 Franke, Jürgen/Härdle, Wolfgang/Hafner, Christian: Einführung in die Statistik der Finanzmärkte, Berlin, 2001 Gujarati, Damodar: Basic Econometrics, New York, 2003 Hartmann, Stefan: Schüler-SimuLab, Kurs 1, Die Erzeugung von Pseudozufallszahlen, Forschungszentrum caesar, Bonn, 2004, online unter: http://www.caesar.de/uploads/media/skript-kurs1.pdf (19.04.2005) Kempf, Arno/Günther, Carsten: Risikomanagement bei Kapitalanlagegesellschaften – Ein ganzheitlicher Risikoansatz, Frankfurt, 2001 Knuth, Donald E.: The Art of Computer Programming, Volume 2, Seminumerical Algorithms, Addison-Wesley, Don Mills, Ontario, 1998, S. 1 - 194 Montagna, Guido / Nicrosini, Oreste / Moreni, Nicola: A Path Integral Way to Option Pricing, in: Physica A (Elsevier Science), Heft 310, 2002, S.450-466 Neftci, Salih N.: Introduction to the Mathematics of Financial Derivatives, New York, 2000 Sandmann, Klaus: Einführung in die Stochastik der Finanzmärkte, Berlin, 1999 Schmidt, Prof. Dr. Volker: Markov-Ketten und Monte-Carlo Simulation, Universität Ulm, 2003, online unter: http://www.mathematik.uni-ulm.de/stochastik/lehre/ss03/markov/skript/skript.html (19.04.2005) Schwarze, Jochen: Grundlagen der Statistik, Herne/Berlin, 1997 Schwender, Peter/Martin, Stephan/Papies, Simon: Transparentes Monte Carlo Verfahren zur Risikosteuerung im Aktienderivatebereich, in: Die Bank, Heft (2002), S. 276-288 21 Steinhausen, Prof. Dr. Detlef: Kapitel 1 Einführung, Fachhochschule Münster, online unter: http://www.fh-muenster.de/fb9/person/steinha/buch/Kapitel1.htm (19.04.2005) Steinhausen, Prof. Dr. Detlef: Kapitel 3 Die Erzeugung von Zufallszahlen, Fachhochschule Münster, online unter: http://www.fh-muenster.de/fb9/person/steinha/buch/kapitel3.htm (19.04.2005) Taleb, Nassim: Dynamic Hedging, New York, 1997, S. 403-408, S.415-424, S.459-477 Wilmott, Paul: Paul Wilmott Introduces Quantitative Finance, New York, 2003, S. 101-136, S. 355-366 22 11. Anhang 11.1. Algorithmus K Der folgende Algorithmus beschreibt, auf welche Weise eine zehnstellige positive Zahl X verändert wird51: K1. [Zufällige Wahl der Anzahl Iterationsschritte] Y sei die „Milliardenstelstelle“ von X. Die Schritte K2 bis K13 werden nun genau Y + 1 mal durchgeführt. K2. [Zufälliger Sprung zu einem Iterationsschritt] Z sei die „Hundertmillionstelstelle“ von X. Gehe zum Iterationsschritt K(3 + Z). K3. [Sorgt dafür, dass X ≥ 5 000 000 000 ] Falls X < 5 000 000 000 gilt, dann setze X = X + 5 000 000 000. K4. [„Mitten-Quadrat-Generator“] Siehe oben, nur diesmal mit zehn Stellen statt mit vier, also: Nehme das Quadrat von X und wähle davon die mittleren zehn Stellen als neues X. K5. [Multiplikation] Multipliziere X mit 1 001 001 001 und wähle von dem Ergebnis die letzten zehn Stellen als neues X. K6. [Pseudo-Komplement] Falls X < 100 000 000 gilt, setze: X = X + 9 814 055 677. Andernfalls setze: X = 10 000 000 000 -X. K7. [Vertauschung der Hälften] Vertausche die ersten fünf Ziffern der zehnstelligen Zahl X mit den letzten fünf Ziffern. K8. [Multiplikation 2] Mache das gleiche wie in K5. K9. [Verkleinerung der Ziffern] Verkleinere jede der Ziffern von X, die nicht gleich 0 sind, um eins. K10. [Modifizierung mit 99 999] Falls X < 100 000 gilt, setze: X = X 2 + 99 999. Andernfalls setze: X = X - 99 999. K11. [Normierung] Falls X < 100 000 000 gilt, dann setze X = 10 · X und wiederhole diesen Schritt. K12. [Modifizierter „Mitten-Quadrat-Generator“] Multipliziere X mit X-1 und wähle von dem Ergebnis die mittleren zehn Stellen als neues X. K13. [Wiederholung? ] Falls Y > 0 gilt, dann erniedrige Y um 1 und kehre zu Schritt K2 zurück. Wenn Y = 0 gilt, dann ist der Algorithmus beendet. Das aktuelle X ist das nächste Glied der „zufälligen“ Zahlenfolge. 51 Vgl. Hartmann (2004): S. 16 f. 23 Kolmogorov-Smirnoff-Test: Rechenbeispiel52 11.2. Im diesem Beispiel wurden 10 Zufallszahlen im Intervall [0;1] erzeugt (kleine Stichprobe). Es wird auf Gleichverteilung getestet. Die Zufallszahlen werden zuerst der Wertigkeit nach sortiert, um deren Verteilungsfunktion Fx (x) nachzubilden (Spalte 3 der Tabelle). Spalte 4 enthält die theoretische kumulierte Häufigkeitsverteilung angetragen. Die Notwendigkeit, zwei Abstandsmaße k1 (Spalte 5) und k2 (Spalte 6) zu ermitteln, wird in der folgenden Abbildung nochmals graphisch für das Beispiel verdeutlicht. Abbildung 5 Der maximale Wert aus k1 und k2 ist 0,163. Der tabellierte kritische Wert für das 95%Konfidenzniveau lautet c(alpha=5%)=0,409. Da k28 = 0,163 < 0,409 ist die Nullhypothese, dass die Zufallszahlen aus einer Gleichverteilung stammen, nicht zu verwerfen. i 52 Erzeugte Zufallszahlen kumulierte Theoretische kumulierte Häufigkeit der Häufigkeit Gleichverteilung Zufallszahlen k1 k2 1 0.022 2.20% 10.00% 0.078 0.100 2 0.126 12.65% 20.00% 0.074 0.026 3 0.151 15.06% 30.00% 0.149 0.049 4 0.298 29.81% 40.00% 0.102 0.002 5 0.536 53.56% 50.00% 0.036 0.136 6 0.537 53.68% 60.00% 0.063 0.037 7 0.739 73.94% 70.00% 0.039 0.139 8 0.863 86.34% 80.00% 0.063 0.163 9 0.890 89.04% 90.00% 0.010 0.090 Beispiel in Anlehnung an Schwarze (1997) 24
