Kein Folientitel

bgFEM04
• Federn
– Einführung
– Aufgabe
• FEM: exakte Lösung - Näherungslösung
• Scheibe
–
–
–
–
Modell mit bilinearer Ansatzfunktion
Dehnungen und Scherwinkel, Spannungen
Virtuelle Arbeit und Steifigkeitsmatrix
Elementlasten
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1
Federn
In Finite Elemente Methoden werden Federn zur
Abbildung von punktförmigen elastischen
Lagerungen sowie von elastischen Einspannungen
verwendet.
Fx(e) = kx•ui
Fy(e) = ky•vi
Mz(e) = kzz•zi
kx, ky, kzz sind die Federkonstanten
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2
Elastische Lagerung
eines Punktes
• mittels dreier Einzelfedern, eine für die x-, eine
für die y-Richtung und eine für die Drehung um
die z-Achse.
• Grundgleichung
kx

0

0
0
ky
0
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(e ) 




0
ui
Fx
    (e ) 
0  v i  Fy 
(e )



kzz 

M
  zi  z 
3
Bemerkungen
• In der Steifigkeitsmatrix ist nur die Diagonale
besetzt, weil die Federelemente nicht gekoppelt
sind.
• Die Elementsteifigkeitsmatrix wird gleichartig
transformiert wie beim Fachwerkstab.
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4
Aufgabe
Ermitteln Sie die
Systemsteifigkeitsmatrix von folgendem
System:
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Forderung an exakte Lösung
• An der Grenzlinie benachbarter Elemente müssen die
Verschiebungsgrössen beider Elemente übereinstimmen.
• An der Grenzlinie müssen die Kraftgrössen beider
Elemente die Gleichgewichtsbedingungen erfüllen.
• An gelagerten Rändern sind die Auflagerbedingungen zu
erfüllen.
• An freien Rändern ist das Gleichgewicht zwischen
Randlasten und Schnittgrössen zu erfüllen.
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6
Eigenschaften der FEM mit
Verschiebungsansätzen
• Verschiebungsgrössen stimmen an den Grenzen
benachbarter Elemente überein.
• Die Gleichgewichtsbedingungen für Kraftgrössen
werden an den Grenzlinien nicht erfüllt.
• Die Auflagerbedingungen werden an gelagerten Rändern
erfüllt.
• An freien Rändern wird das Gleichgewicht zwischen
Randlasten und Schnittgrössen nicht erfüllt.
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FEM-Näherungslösungen
• Die FEM-Lösung nähert die exakte Lösung an. Ihre
Genauigkeit wird durch eine Vergrösserung der
Elementzahl bzw. eine Verringerung der Elementgrösse
erhöht.
• Elemente mit höheren Ansatzfunktionen sind genauer als
Elemente mit niedrigeren.
• Bei Finiten Elementen, die ausschlieslich auf
Verschiebungsansätzen beruhen, sind die angenäherten
Knotenverschiebungen im Mittel zu klein, d.h. das
System verhält sich aufgrund des Näherungsansatzes zu
"steif".
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8
FEM-Näherungslösungen
• Die FEM-Näherung ist bei gleichmässiger
Elementgrösse im Bereich geringerer
Spannungsgradienten besser als im Bereich höherer
Spannungsgradienten.
• Die Elementspannungen sind in Elementmitte deutlich
genauer als am Elementrand.
• Der Spannungssprung zwischen zwei Elementen ist ein
Mass für die Genauigkeit an der betreffenden Stelle.
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9
Scheiben
Ziel ist es, die
Verschiebungen in
jedem Punkt des
Elements
darzustellen.
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10
Scheiben
• Die Verschiebungen u(x,y) und v(x,y) werden
zwischen den Knotenpunkten linear interpoliert.
Bilineare Ansatzfunktion
der Verschiebungen:
u = N•ue
N ist die Matrix der Formfunktionen
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Scheiben
Die Formfunktionen werden wie folgt angesetzt:
1 a b 
 - x  - y 
ab 2 2 
b 
1 a
N 2 =  + x  - y 
2 
ab 2
b

1 a
N 3 =  + x  + y 
2

ab 2

1 a b
N 4 =  - x  + y 

ab 2 2
N1 =
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Scheibe
Für die Verschiebungsfunktionen u(x,y) und v(x,y)
der Rechteckscheibe erhält man dann:
u N1
  
v  0
0
N1
N2
0
0
N2
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N3
0
0
N3
N4
0
u1 
 
v1 
u2 
 
0  v 2 

N 4  u3 
 
v 3 
u4 
v 
 4 
13
Scheibe: Dehnungen und
Scherwinkel
 u  N

  1
x   x  x
   v  
y   y   0

 xy 
 u v  N1
   
y x  y

0
N1
y
N1
x
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N 2
x
0
N 2
y
0
N 2
y
N 2
x
N 3
x
0
N 3
y
0
N 3
y
N 3
x
N 4
x
0
N 4
y
u1 
 
 v1 
0  u2 
  
N 4  v 2 


y u3 
N 4  v 
  3 
x  u 
4
v 
 4 
14

Scheibe: Dehnungen und
Scherwinkel
Konkret erhält man:
u1 
 
 u 
v1 


u2 
x   x 
2y  b
0
2y  b
0
2y  b
0
2y  b
0   
   v  1 
 v 2 
2x  a
0
2x  a
0
2x  a
0
2x  a
y   y  2ab  0
u3 





2x

a
2y

b
2x

a
2y

b
2x

a
2y

b
2x

a
2y

b


 xy  u v 
 



v 3 
y x 
u4 
v 
 4 
=
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B
• ue
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Scheibe: Spannungen
 = D• = D•B•ue


 x 
0  x 
1 
 
 
E 

0 • y 
 y  1  2  1

1


0 0
 
 xy 

 xy 


2 

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Scheibe: virtuelle Arbeit
u  N  ue
Ansatz:
W i  t


T
T
T
  dxdy  u e 
 t B
T
 D  B dxdy  u e
T
W a  u e  F e  u e  FL
W i W a
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Scheibe: Steifigkeitsmatrix
K(e)•ue = Fe
mit: K(e) = t•BT•D•B•dxdy
Herleitung durch Gleichsetzen der inneren und
äusseren virtuellen Arbeiten
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Scheibe: Elementlasten
Annahmen:
konstante Flächenlast, Linienlasten an den Rändern
Aufgabe: Elementlasten in äquivalente Knotenkräfte
umrechnen.
Die zu einer Elementlast äquivalenten Knotenkräfte sind
diejenigen Kräfte, die mit den virtuellen
Knotenverschiebungen dieselbe Arbeit leisten wie die
Elementlasten mit den ihnen entsprechenden
Verschiebungen.
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Scheibe: Flächenlasten und
äquivalente Knotenkräfte
FL 

14 ab  px 
1

ab

p
y 
4
14 ab  px 
1

T
4 ab  py 

N  p dydx  1
4 ab  px 
1

ab

p
y 
4
14 ab  px 
1

ab

p
4
y 
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Scheibe: Linienlasten und
äquivalente Knotenkräfte
Der Verlauf der Verschiebung wurde als linear
angenommen.
Es wird hier auch eine linear veränderliche
Randlast vorausgesetzt.
Für andere Belastungen muss die Berechnung neu
gemacht werden.
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21
Scheibe: Linienlasten und
äquivalente Knotenkräfte
Beispiel:
Belastung des oberen Elementrandes durch linear
veränderliche Lasten in x- und y-Richtung.
Die virtuellen Verschiebungen zwischen den
Knotenpunkten 3 und 4 können beim ersten Ansatz
abgelesen werden.
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Scheibe: Linienlasten und
äquivalente Knotenkräfte
Virtuelle Verschiebung am oberen Rand:

v 34  v 3
1 a

   x 

a 2
v 4  

a
1 
  x 


a 2


Linear veränderliche Randlast py,3-4:

py,34
1 a

    x 

a 2
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 py 3 
1 a
  x   
 py 4 
a 2
23
Scheibe: Linienlasten und
äquivalente Knotenkräfte
• Die Randlast py,3-4 bewirkt am infinitesimalen
Abschnitt der Länge dx die Kraft py,3-4•dx.
• Mit der virtuellen Verschiebung v3-4 erhält man
für die virtuelle äussere Arbeit:

W aL  v 3
1 a

   x  1 a



a
2
    x 
v 4   


1 a

a 2

a 

x



2 


a 2


a
2
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 py 3 
1 a
  x dx   
 py 4 
a 2
24
Scheibe: Linienlasten und
äquivalente Knotenkräfte
Äussere virtuelle Arbeit der äquivalenten
Knotenkräfte:

W aK  v 3
FL,y 3 
v 4  

F
 L,y 4 

Nun werden beide Arbeiten gleich gesetzt. Es
 schliesslich:
ergibt sich
1
1

FL,y 3   py 3  py 4 
6

 a13

FL,y 4   p  1 p 
6 y 3 3 y 4 
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Scheibe: Linienlasten und
äquivalente Knotenkräfte
Die äquivalenten Knotenkräfte für px,3-4 erfolgt
analog. Es resultiert:
1
1 
FL,x 3   px 3  px 4 
6

 a13

1
F
 L,x 4   p  p 
6 x 3 3 x 4 

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26
Scheibe: Beispiel 4.5
Arbeiten Sie das Beispiel 4.5 auf Seite 200 durch.
Fragen?
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27
Scheibe: Eigenschaften von FE
• Immer zu erfüllen:
– Starrkörperverschiebungen dürfen keine Knotenkräfte
hervorrufen.
– Konstante Verzerrungen (und damit auch konstante
Spannungen) müssen exakt darstellbar sein.
• Bedingt zu erfüllen:
– Stetigkeit des Verschiebungsansatzes
– geometrische Isotropie
– Drehungsinvarianz
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Scheibe: Ablaufplan
1.
2.
3.
4.
Wahl der Ansatzfunktion für die Verschiebungen
Ermittlung der Verzerrungen:  = B•ue
Stoffgesetz:  = D•
Knotenkräfte und Verschiebungen: Ke•ue = Fe
mit Ke =   t•BT•D•B dydx
5. Ermittlung der den Elementlasten äquivalenten
Knotenlasten FL
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