Wahrscheinlichkeitsverteilung

Wahrscheinlichkeitsverteilung
Lernziele:
• Wahrscheinlichkeitsverteilung und der
Wahrscheinlichkeitsdichte verstehen.
• Mittelwert und Streuungsmass kennen.
• Mit der Binomialverteilung, der PoissonVerteilung und der Normalverteilung
angemessene Probleme lösen können.
(C) 2002, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
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Wahrscheinlichkeitsverteilungen
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Binomialverteilung
Hypergeometrischee Verteilung
Poisson-Verteilung
Normalverteilung
Exponentialverteilung
...
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Zufallsvariable
Eine Zufallsvariable (Zufallsgrösse) ist eine
Grösse, die zufällige Werte annimmt.
Beispiele:
• Augenzahl beim Würfeln
• Messwert in einer Messserie
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Diskrete Zufallsgrösse xi
Nimmt nur endlich viele Werte xi an, deren
Einzelwahrscheinlichkeiten p(xi) bekannt sind.
Es gilt:
n
 p(x )
i 1
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i
 1
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Stetige Zufallsgrösse x
Die Wahrscheinlichkeit p(x) ist in einem Intervall
als stetige, nicht negative Funktion darstellbar.
Es gilt:

 p(x)dx
 1

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Verteilungs- und Dichtefunktion
Wahrscheinlichkeitsverteilung
= Verteilung diskreter Zufallsgrössen
F(x i ) 
i
 p(x )
j 1
j
Wahrscheinlichkeitsdichte p(x)
= Verteilung stetiger Zufallsgrössen
x1
F(x) 
 p(t)dt
x0
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Mittelwert (Erwartungswert)
 
n
 x p(x )
i 1
 
i
i
(diskrete Zufallsgrösse x)

 x  p(x)dx
(stetige Zufallsgrösse x)

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Streuung (Standardabweichung)
2 
n
2
(x
–

)
 p(xi )
 i
(diskret)
i1
 
2

 (x  )
2
 p(x) dx
(stetig)
–
 heisst Varianz
2
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Binomialverteilung (diskret)
Beispiel:
Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, mit zwei
Würfel in 10 Versuchen 4-mal die Augensumme 6 zu werfen.
p10(4) =
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Binomialverteilung
Allgemein: Ziehen mit Zurücklegen
Die Wahrscheinlichkeit, dass in n Zufallsversuchen das Ereignis E x-mal eintritt, ist:
pn (x) 
p q
n
x
n x
x
Erwartungswert  =
(q  1 p)
n
 x p(x )
i 1
Varianz  2 
i
i
 np
2
(x


)
 p(xi )  npq
 i
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