Tag 4

Tag 4
Dreidimensionale Spielewelten
Die Themen heute:
-Beschreibung der dreidimensionale Spielewelt
durch Vektoren
-dreidimensionale Welttransformationen durch
Matrizen
-schnelle Quadratwurzelberechnungen
-schnelle Berechnungen von Rotationsmatrizen
Koordinatensysteme
• Linkssystem
-positive z-Achse zeigt in den Monitor hinein
y
z
x
DirectX -> Linkssystem!
• Rechtssystem
-z-Achse zeigt in die entgegengesetzte Richtung
y
x
z
Das Vektorprodukt
Definition des Vektorproduktes:
Das Vektorprodukt (auch Kreuzprodukt) zweier Vektoren a und b ergibt einen Vektor
c ,der dazu noch senkrecht auf a und b steht.
IcI=IaI.IbI.sina
-
bei Parallelität der Vektoren a und b verschwindet der Flächeninhalt-> IcI=0;
bei Orthogonalität (orthogonal=senkrecht) nimmt c den maximalen möglichen Wert an
Das Vektorprodukt
•
•
ist der Winkel größer als 180°,zeigt c in die entgegengesetzte Richtung, die Fläche
erhält ein negatives Vorzeichen (der Sinuswert eines Winkels größer als 180° ist
immer negativ )
Idee:
anstatt mit einem Winkel größer als 180°,mit dem negativen Winkel arbeiten (Winkel360°)
Das Vorzeichen des Winkels legt fest, in welcher Folge a und b miteinander
multiplizier werden.
Da die Vektoren c1 und c2 antiparallel
sind, folgt:
c1+c2=0=a x b +b x a und somit
a x b= -b x a
Basisvektoren
Der mathematische Begriff Basis bezeichnet in der linearen Algebra eine Teilmenge eines
Vektorraumes, mit deren Hilfe sich jeder Vektor des Raumes eindeutig durch Koordinaten
beschreiben lässt.
Die Elemente einer Basis heißen Basisvektoren.
Die Anzahl der Basisvektoren bestimmt die Dimension des Vektorraumes.
-In unseren Koordinatensystemen repräsentieren die drei zueinander senkrecht stehenden
Achsen die Basisvektoren.
- Unter der Annahme, dass diese Vektore normiert sind, lassen sich alle Vektore als lineare
Kombination der Basisvektoren aufschreiben.
Basisvektoren eines dreidimensionalen, rechtwinkligen Koordinatensystems:
o Basisvektor, der die x-Achse repräsentiert: i=(1 0 0)
o Basisvektor, der die y-Achse repräsentiert: j=(0 1 0)
o Basisvektor, der die z-Achse repräsentiert: k=(0 0 1)
Beispiel für die Darstellung eines Vektors als lineare Kombination der Basisvektoren:
(3 -2 5)=3*i + (-2)*j + 5*k
Berechnung des Vektorproduktes mit Hilfe von
Determinanten
•
•
•
Um eine Determinante ausrechnen zu können, benötigen wir den sog. Laplaceschen
Entwicklungssatz
eine Determinante wird solange in Unterdeterminanten zerlegt, bis letztlich nur noch Zahlen (1x1
Determinanten) übrig bleiben.
Aus einer 3x3-Determinante werden im ersten Schritt drei 2x2-Determinanten und im zweiten
Schritt werden aus jeder dieser 2x2-Determinanten zwei 1x1-Determinnten:
Berechnung des Vektorproduktes mit Hilfe von
Determinanten
Und jetzt das gleiche noch einmal mit Zahlen:
Berechnung des Vektorproduktes mit Hilfe von
Determinanten
Dreidimensionale Polarkoordinate (Kugelkoordinaten)
Daten für den Navigationscomputer
- der Raumschiff soll Kurs auf die Erde nehmen
- der Navigationscomputer legt folgende Daten vor:
30° nach rechts drehen; 40° nach oben drehen; 0,5 aU geradeaus fliegen
Der Navigationscomputer hat die Ortskoordinaten relativ zum Schiff in Form von dreidimensionale
Polarkoordinaten gegeben.
In räumlichen Polarkoordinaten wird ein Punkt durch seinen Abstand vom Ursprung und durch zwei
Winkel angegeben. (im Unterschied zur zweidimensionalen Polarkoordinatendarstellung, wo nur
die Länge des Ortsvektors und einen Winkel benötigt werden)
Dreidimensionale Polarkoordinate:
x=Entfernung*cos(Vertikalwinkel)*sin(Horizontalwinkel)
y=Entfernung*sin(Vertikalwinkel)
z=Entfernung*cos(Vertikalwinkel)*cos(Horizontalwinkel)
Quadratwurzelberechnung
Quadratwurzeln müssen in einem Spie häufig berechnet werden im Zusammenhang mit
Normierung und Längeberechnung von Vektoren
Problem:
Quadratwurzelberechnung beansprucht viel Prozessorleistung
Mögliche Lösung:
Entwicklung einer eigenen Quadratwurzel-Routine
Ein Iterationsverfahren für die Berechnung von Quadratwurzeln
Begriff:
Die Iteration (von lateinisch iterare, „wiederholen“) ist ein Begriff aus der numerischen Mathematik
und bezeichnet eine Methode, sich der Lösung eines Rechenproblems schrittweise, aber
zielgerichtet anzunähern. Sie besteht in der wiederholten Anwendung desselben
Rechenverfahrens.
Quadratwurzelberechnung
Ausgangpunkt: das Heron-Verfahren für Wurzelziehung.
-x1 ist der Startwert der Rechnung
-x2 ergibt sich aus der vierten Gleichung
-x1‘ ist der Mittelwert von x1 und x2
-x1‘ wird jetzt als neuer Startwert verwendet
- die Rechnungen werden solange wiederholt ,bis die gewünschte Genauigkeit erreicht ist
Quadratwurzelberechnung
Eine Funktion für die Berechnung einer Quadratwurzel- der erste Versuch
Nachteil:
-Startwerte zu schlecht-> viele Iterationsschritte notwendig
-Schleifenkonstruktion verlangsamt die
Berechnung zusätzlich
Quadratwurzelberechnung
•
Idee:
- durch Iteration wird den reziproke Wert der gesuchten Quadratwurzel berechnet
- die reziproke Quadratwurzel wird als Startwert in die Quadratwurzel-Routine eingesetzt
Eine Funktion für die Berechnung einer Quadratwurzel- der zweite Versuch
Vorteil: schon nach zwei Iterationsschritte ist die Quadratwurzel genügend genau bestimmt
Nachteil: Divisionen beanspruchen viel Rechenzeit!
Quadratwurzelberechnung
•
•
Unnötige Divisionen sollten immer, wenn möglich, vermieden werden.
Besser: eine Multiplikation mit dem inversen Element:
a/2.0f=0.5f*a
Zweites Näherungsverfahren für unsere Quadratwurzel-Routine, das ohne Division auskommt:
Implementation in der FastWurzelExact()-Funktion:
Funktionen für die Normierung und Längeberechnung von
Vektoren
•
Unter Verwendung der FastWurzelExact()-Funktion lässt sich jetzt eine Funktion für die
Berechnung des Vektorbertrags schreiben. Die quadratische Länge des Vektors wird mittels der
DirectX-Funktion D3DVec3LenghtSq() berechnen.
•
Für die Normierung eines Vektors bietet sich der Einsatz von drei verschiedenen Funktionen an.
Hier die Standartvariante:
Funktionen für die Normierung und Längeberechnung von
Vektoren
•
Nicht immer ist es erforderlich, einen Vektor exakt zu normieren. In diesem Fall bietet sich der
Einsatz der FastWurzel()- Funktion an:
•
Eine Funktion für Normierung eines noch nicht normierten Vektors:
Manipulation der 3D-Welt
•
•
Wichtigste Matrizen zur Manipulation der 2D-Welt schon bekannt -> Übertragen der Konzepten
auf die dreidimensionale Welt
DirectX bietet die Funktion SetTransform() an, mit deren Hilfe nicht jeder Vertex einzeln
transformiert werden soll. Als Argumente werden übergeben nur die Adresse der
Transformationsmatrix und der Hinweis, dass sich die Transformation auf das
Weltkoordinatensystem bezieht.
SetTransform(D3DTS_WORLD ,&TransformationsMatrix);
Grafische Darstellung (der Renderprozess) erfolgt in der korrekten Größe (Skalierung),
Ausrichtung und Verschiebung.
Die Translationsmatrix für Bewegung im Raum
Eine Translationsmatrix lässt sich mit Hilfe der folgenden DirectX-Funktion erzeugen:
D3DMATRIX* D3DMatrixTranslation(D3DMATRIX* pOut, FLOAT x, FLOAT y, FLOAT z);
Manipulation der 3D-Welt
Die Skalierungsmatrix
Eine Skalierungsmatrix lässt sich mit Hilfe der folgenden DirectX-Funktion erzeugen:
D3DMATRIX* D3DMatrixScaling(D3DMATRIX* pOut, FLOAT sx, FLOAT sy, FLOAT sz);
Die Einheitsmatrix
Alle Transformationsmatrizen werden stets als Einheitsmatrizen initialisiert.
Eine Einheitsmatrix lässt sich mit Hilfe der folgenden DirectX-Funktion erzeugen:
D3DMATRIX* D3DMatrixIdentity(D3DMATRIX* pOut);
Transformation eines Vektors durch eine Matrix
•
Eine Funktion für die Multiplikation eines Vektors mit einer Matrix
•
DirectX-Funktion für die Transformation eines Vektors:
D3DVECTOR3* D3DVec3TransformCoord(D3DXVECTOR3* pOut,
const D3DXVECTOR3* pV,
const D3DMATRIX* pM);
•
Eine Funktion für die Multiplikation eines Vektors mit einer Rotationsmatrix
Rotationsmatrizen für die Drehung im Raum
•
Rotation um die x-Achse
xneu=x
yneu=ycosa –zsina
zneu=ysina+zcosa
Zugehörige Matrix Rx:
Die x-Achsen-Rotationsmatrix lässt sich mit Hilfe der Folgenden DirectX-Funktion erzeugen:
D3DXMATRIX* D3DXMatrixRotationX(D3DXMATRIX* pOut, FLOAT Angle)
•
Rotation um die y-Achse
xneu=xcosa+zsina
yneu=y
zneu=-xsina+zcosa
Zugehörige Matrix Ry:
Die y-Achsen-Rotationsmatrix lässt sich mit Hilfe der Folgenden DirectX-Funktion erzeugen:
D3DXMATRIX* D3DXMatrixRotationY(D3DXMATRIX* pOut, FLOAT Angle)
Rotationsmatrizen für die Drehung im Raum
•
Rotation um die z-Achse
xneu=xcosa-ysina
yneu=xsina +ycosa
zneu=z
Zugehörige Matrix Rz:
Die x-Achsen-Rotationsmatrix lässt sich mit Hilfe der Folgenden DirectX-Funktion erzeugen:
D3DXMATRIX* D3DXMatrixRotationZ(D3DXMATRIX* pOut, FLOAT Angle)
Rotation um eine beliebige Achse
Notwendig: Transformation der Rotationsachse auf eine der drei Achsen, für die die Rotationsmatrix schon
bekannt ist. (z.B. z-Achse)
Anschließend wird die behelfsmäßige Rotationsachse wieder in die ursprüngliche Rotationsachse
zurücktransformiert
Hiefür benötigt man die inversen x- und y-Achsen-Rotationsmatrizen:
Rotationsmatrizen für die Drehung im Raum
Frame-Rotationsmatrizen und Gesamtrotationsmatrizen
Bei der Drehung eines Objektes gilt es, zwischen zwei Arten von Rotationsmatrizen zu
unterscheiden:
-Gesamtrotationsmatrix- beschreibt die endgültige Ausrichtung eines Objektes aus
dessen Anfangsorientierung heraus
-Frame-Rotationsmatrix- beschreibt nur die Drehung während des aktuellen Frames
Die neue Gesamtrotationsmatrix nach einer Framedrehung erhält man durch die Multiplikation
der Frame-Rotationsmatrix mit der Gesamtrotationsmatrix des vorangegangenen Frames. Dabei
ist die Multiplikationsreihenfolge abhängig vom gegebenen Problem!
Beispiel 1: Rotation von Planeten, Wolken, Asteroiden
R (neue Rotationsmatrix)= R (alte Rotationsmatrix)* R( für die Drehung pro Frame)
Beispiel 2: Simulation von Kurvenbewegung eines Raumschiffs
R (neue Rotationsmatrix)= R( für die Drehung pro Frame)* R (alte Rotationsmatrix)
Wichtig: zu Beginn des Spiels muss die Gesamtrotationsmatrix R als Einheitsmatrix initialisiert
werden!
Simulation der Bewegung eines Asteroiden
Simulation der Bewegung eines Asteroiden
Schnelle Berechnung von Rotationsmatrizen
DirectX stellt für die Erzeugung von Rotationsmatrizen eine Reihe von Funktionen zur Verfügung.
•
Problem: bei der Berechnung von Sinus- und Kosinuswerte kommt eine relativ langsame APIFunktion zum Einsatz
•
Mögliche Lösung: Einsetzen von Look-up-Tabellen für die schnelle Berechnung von Sinus- und
Kosinuswerten.
Anstatt Look-up-Tabellen für alle Werte von -360° bis +360° zu erstellen, kann man die negativen
Winkel in positive umwandeln.
360°+negativer Winkel= positiver Winkel
Rotationsmatrizen mit gleichbleibendem Rotationswinkel
Wenn Rotationsmatrizen mit gleichbleibendem Rotationswinkel ständig benötigt werden, kann
man diese Matrizen nur einmal erzeugen und dann immer wieder verwenden
Rotationsmatrizen mit Hilfe von vorberechneten Sinus- und Kosinuswerten erzeugen
- anstatt mit Winkeln, arbeiten mit vorberechneten Sinus- und Kosinuswerten
Cosinus
symmetrische Funktion: cos(10°) =cos(-10°)
Sinus
asymmetrische Funktion: -sin(10°)=sin(-10°)
Rotationsmatrizen mit Hilfe von vorberechneten Sinus- und
Kosinuswerten erzeugen
Rotationsmatrizen für kleine Winkel
•
•
Objekte drehen sich in jedem Frame nur um einen kleinen Winkel
Etwa bis zu einem Winkel von 10° gilt folgende Näherung : (Maclaurin-Reihe)
sin(a)~a (Näherung bezieht sich auf Winkel im Bogenmaß)
cos(a)~1-0.5*a² (Näherung bezieht sich auf Winkel im Bogenmaß)