Der goldene Schnitt
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Herzlich Willkommen Vortragsthema: Der goldene Schnitt Sebastian Grothe Inhalt 1 Definition und Grundeigenschaften 1 Definition und Grundeigenschaften 1.1 Definition und Herleitung des Zahlenwertes 1.2 Konstruktion mit Zirkel und Lineal 1.3 Goldener Winkel & Spirale 2 Historisches 3 Beispiele 2 Historisches 3 Beispiele 3.1 Architektur 3.2 Kunst 3.3 Biologie 3.4 Die Fibonacci-Zahlen 4 Zusammenfassung 4 Zusammenfassung Definition und Herleitung 1 Definition und Grundeigenschaften Der goldene Schnitt – Was ist das überhaupt? - bestimmtes Verhältnis zweier Zahlen zueinander - beispielsweise Längen & Strecken: 2 Historisches 3 Beispiele - 4 Zusammenfassung - Doch das reicht uns als angehende Mathematiker nicht aus! Definition und Herleitung 1 Definition und Grundeigenschaften Wir wollen den „genauen“ Zahlenwert ermitteln: - 2 Historisches 3 Beispiele - Zahlenwert oft als Konstante Φ (Phi) bezeichnet - Φ ist eine irrationale Zahl Goldener Schnitt wird auch als stetige Teilung bezeichnet, denn: 4 Zusammenfassung - subtrahiert man die kürzere der beiden Strecken von der längeren, so erhält man eine Strecke, zu der die kürzere wiederum im Verhältnis des Goldenen Schnitts steht Wie konstruiere ich so eine Strecke? 1 Definition und Grundeigenschaften Gibt mehrere Möglichkeiten („innere Teilung“): Skizze 2 Historisches 3 Beispiele - Strecke AB zeichnen und Strecke BC senkrecht zu AC, wobei AC halb so lang ist wie AB - Strecke AC zeichnen, Zirkel in C ansetzen mit Radius BC, Schnittpunkt auf AC mit D bezeichnen 4 Zusammenfassung - Zirkel in A ansetzen mit Radius AD, Schnittpunkt auf AB mit S kennzeichnen Wie konstruiere ich so eine Strecke? 1 Definition und Grundeigenschaften Konstruktionsbeweis: Skizze 2 Historisches 3 Beispiele 4 Zusammenfassung Wie konstruiere ich so eine Strecke? 1 Definition und Grundeigenschaften 2 Historisches 3 Beispiele 4 Zusammenfassung Konstruktionsbeweis Wie konstruiere ich so eine Strecke? 1 Definition und Grundeigenschaften 2 Historisches 3 Beispiele 4 Zusammenfassung Konstruktionsbeweis Wie konstruiere ich so eine Strecke? 1 Definition und Grundeigenschaften 2 Historisches 3 Beispiele 4 Zusammenfassung Konstruktionsbeweis Wie konstruiere ich so eine Strecke? 1 Definition und Grundeigenschaften Möglichkeit der „inneren“ Teilung nach Euklid: Skizze 2 Historisches 3 Beispiele 4 Zusammenfassung Wie konstruiere ich so eine Strecke? 1 Definition und Grundeigenschaften Konstruktionsbeweis: Skizze 2 Historisches 3 Beispiele 4 Zusammenfassung Wie konstruiere ich so eine Strecke? 1 Definition und Grundeigenschaften 2 Historisches 3 Beispiele 4 Zusammenfassung Konstruktionsbeweis Wie konstruiere ich so eine Strecke? 1 Definition und Grundeigenschaften 2 Historisches 3 Beispiele 4 Zusammenfassung Konstruktionsbeweis Wie konstruiere ich so eine Strecke? 1 Definition und Grundeigenschaften Möglichkeit der „äußeren“ Teilung: Skizze 2 Historisches 3 Beispiele 4 Zusammenfassung Wie konstruiere ich so eine Strecke? 1 Definition und Grundeigenschaften 2 Historisches 3 Beispiele 4 Zusammenfassung Konstruktionsbeweis: Wie konstruiere ich so eine Strecke? 1 Definition und Grundeigenschaften 2 Historisches 3 Beispiele 4 Zusammenfassung Konstruktionsbeweis Wie konstruiere ich so eine Strecke? 1 Definition und Grundeigenschaften 2 Historisches 3 Beispiele 4 Zusammenfassung Konstruktionsbeweis Die Goldene Spirale 1 Definition und Grundeigenschaften Teilt man ein goldenes Rechteck in ein Quadrat und ein weiteres Goldenes Rechteck und wiederholt diesen Vorgang immer wieder ergibt sich folgendes Bild: 2 Historisches 3 Beispiele 4 Zusammenfassung - ergibt sich logarithmische Spirale, deren Radius sich um Φ bei jeder Vierteldrehung ändert Die Goldene Spirale 1 Definition und Grundeigenschaften 2 Historisches 3 Beispiele 4 Zusammenfassung Und nun betrachtet einmal das Kalkgehäuse einer Nautilus (Schneckenart): Na und wofür ist das wichtig? 1 Definition und Grundeigenschaften 2 Historisches 3 Beispiele 4 Zusammenfassung Besonders eindruckvoll tritt der goldene Schnitt bei regulären Fünfecken in Erscheinung. EUKLID führt in seinen Elementen den goldenen Schnitt vor allem aus dem Grund ein, um mit seiner Hilfe, das reguläre Fünfeck mit Zirkel und Lineal konstruieren zu können. Wie konstruiere ich so eine Strecke? 1 Definition und Grundeigenschaften Konstruktion Man nutzt aus, dass die Diagonalen im Fünfeck gleich lang sind und sich im Verhältnis des Goldenen Schnittes teilen. 2 Historisches 3 Beispiele 4 Zusammenfassung Gegeben sei die Diagonale d=AB des Fünfecks. Man teilt sie im Verhältnis des Goldenen Schnittes. (Siehe Konstruktion Innere Teilung) Wie konstruiere ich so eine Strecke? 1 Definition und Grundeigenschaften Konstruktion Die Punkte A,B und T sind also gefunden. Trage die Strecke AT von B aus auf AB ab. P1 entsteht. 2 Historisches Zeichne um T und P1 Kreise mit dem Radius TB. P2 und P3 entstehen. 3 Beispiele Zeichne die Geraden P1P2, P2T, AP3 und BP3. Es entsteht ein Stern. Verbinde die Spitzen des Sterns. 4 Zusammenfassung Na und wofür ist das wichtig? 1 Definition und Grundeigenschaften 2 Historisches 3 Beispiele 4 Zusammenfassung Fünfeck und darin enthalten das Pentagramm: Na und wofür ist das wichtig? 1 Definition und Grundeigenschaften 2 Historisches 3 Beispiele 4 Zusammenfassung Im Pentagramm lassen sich wieder Strecken finden, die im Verhältnis des Goldenen Schnittes stehen: Historisches 1 Definition und Grundeigenschaften Wann wurde der goldene Schnitt „entdeckt“? Hippasos vom Metapont (ca. 450 v. Chr.) 2 Historisches „Verhältnis von Kantenlänge zu Diagonale im Fünfeck lässt sich nicht durch rationale Zahl beschreiben!“ 3 Beispiele Euklid (325 - 270 v. Chr.) Stieß auf goldenen Schnitt bei seinen Untersuchungen an platonischen Körpern und verfasste Arbeit darüber. 4 Zusammenfassung Historisches 1 Definition und Grundeigenschaften 2 Historisches 3 Beispiele Luca Pacioli di Borgo San Sepolcro (1445 – 1514) Verfasste Buch „De Divina Proportione“ im Jahr 1509 über Goldenen Schnitt Martin Ohm (1792 – 1872) Verwendete 1835 erstmals die Bezeichnung „Goldener Schnitt“ Adolf Zeising (1810 – 1876) Stellte Zusammenhang zwischen Kunst und Goldenem Schnitt her, welchen er als „Naturgesetz der Ästhetik“ sah 4 Zusammenfassung Aus der Architektur 1 Definition und Grundeigenschaften 2 Historisches 3 Beispiele - 4 Zusammenfassung Pantheon Tempel auf der Athener Akropolis (erbaut 447 – 432 v. Chr.) Aus der Architektur 1 Definition und Grundeigenschaften 2 Historisches 3 Beispiele 4 Zusammenfassung Abbildung 1: Pantheon Tempel auf der Athener Akropolis (erbaut 447 – 432 v. Chr.) Aus der Architektur 1 Definition und Grundeigenschaften 2 Historisches 3 Beispiele 4 Zusammenfassung Abbildung 2: Pantheon Tempel auf der Athener Akropolis (erbaut 447 – 432 v. Chr.) Aus der Architektur 1 Definition und Grundeigenschaften 2 Historisches 3 Beispiele 4 Zusammenfassung Dom von Florenz (1436) Aus der Kunst 1 Definition und Grundeigenschaften 2 Historisches 3 Beispiele 4 Zusammenfassung Menschliche Proportionen nach Vitruv von Leonardo da Vinci (1492) Aus der Kunst 1 Definition und Grundeigenschaften 2 Historisches 3 Beispiele 4 Zusammenfassung Doryphoros von Polyklet (Griechische Statue) Aus der Kunst 1 Definition und Grundeigenschaften 2 Historisches 3 Beispiele 4 Zusammenfassung Doryphoros von Polyklet (Griechische Statue) Aus der Kunst 1 Definition und Grundeigenschaften 2 Historisches 3 Beispiele 4 Zusammenfassung Mona Lisa von Leonardo da Vinci (ca. 1503) Aus der Kunst 1 Definition und Grundeigenschaften 2 Historisches 3 Beispiele 4 Zusammenfassung Mona Lisa von Leonardo da Vinci (ca. 1503) Aus der Biologie 1 Definition und Grundeigenschaften 2 Historisches 3 Beispiele 4 Zusammenfassung Sonnenblume Aus der Biologie 1 Definition und Grundeigenschaften 2 Historisches 3 Beispiele 4 Zusammenfassung Efeu Aus der Biologie 1 Definition und Grundeigenschaften 2 Historisches 3 Beispiele 4 Zusammenfassung Phyllotaxis Die Fibonacci-Zahlen 1 Definition und Grundeigenschaften Der Goldene Schnitt findet sic auch bei den Fibonacci-Zahlen wieder: - 2 Historisches Dividiert man nun zwei Aufeinanderfolgende Fibonacci-Zahlen ergibt sich folgendes: 3 Beispiele - 4 Zusammenfassung Das bedeutet, dass das Verhältnis zweier aufeinander folgender Fibonacci-Zahlen sich dem Goldenen Schnitt nähert, je weiter man in der Folge geht. Die Fibonacci-Zahlen 1 Definition und Grundeigenschaften Zum Beispiel bestehen zwischen Nachbarn der ersten zwölf Glieder 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 … 2 Historisches 3 Beispiele 4 Zusammenfassung jeweils die Verhältnisse für 1 0,5 0,67 0,6 0,625 0,6154 … Damit ergibt sich : Die Fibonacci-Zahlen 1 Definition und Grundeigenschaften Literatur -Loeb, Arthur L: Concepts & Images (Visual Mathematics); Boston: Birkhäuser, 1993 2 Historisches 3 Beispiele 4 Zusammenfassung - Bühler, W: Das Pentagramm und der Goldene Schnitt als Schöpfungsprinzip; Stuttgart: Verlag Freies Geistesleben GmbH, 1996 - Walser, H: Der Goldene Schnitt (2.Auflage); Leipzig: Teubner Verlagsgesellschaft, 1996
