Das Copula - Konzept - Institut für Theoretische Physik

Copulas
Abhängigkeitsstrukturen von
Zufallsvariablen
Felix Neumann
Seminar: Risikomanagement 2008
Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von Zufallsvariablen
Felix Neumann
1
Inhalt
•
Einführung
– Korrelation – Mögliche Fehlschlüsse
•
Das Copula - Konzept
– Einleitung und Definition einer Copula
– Sklar‘s Theorem und Umkehrung
– Copulabasierte Zusammenhangsmaße
– Fréchet-Hoeffding Grenzen
– Unabhängigkeits- und Komonotonie-Copula
•
Abstrakte Copulas
– Archimedische Copulas (Gumbel)
– Parametrische Copulas (Gauss)
•
Konstruktion von Copulas
– Inversionsmethode
– Lineare Konvexkombination
•
Simulation
Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von Zufallsvariablen
Felix Neumann
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Korrelation – Mögliche Fehlschlüsse
• Modellierung der Abhängigkeitsstruktur gehört zu den
grundlegendsten Fragen des Quantitativen Risk Managements
(QRM)
• Mehrer Möglichkeiten Zusammenhang zwischen Zufallsvariablen zu
beschreiben
• Der lineare Korrelationskoeffizient ist ein Standardwerkzeug für
den Zusammenhang zweier Zufallsvariablen
• Bestimmt Grad der linearen Abhängigkeit mit Werten [0,1]
• Nur globale Größe. Ermittlung ist von den Randverteilungen
abhängig (momentenbasiert)
Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von Zufallsvariablen
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Korrelation – Mögliche Fehlschlüsse
• Bei nur paarweiser Korrelation können nicht zu kompensierende
Fehler entstehen
• Die alleinige Angabe der Korrelation ist unzureichend
• Aus Unkorreliertheit folgt nicht „unbedingt“ Unabhängigkeit
• Normalverteilungsannahme für Einzelrisiken kann nicht
gerechtfertigt sein (z.B.Großschäden)
• Bekannt ist: Unterschiedliche strukturelle Risiken mit gleicher
(Rand-) Verteilung können dieselbe Korrelation aufweisen
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Korrelation – Mögliche Fehlschlüsse
Simulation von jeweils 5037 Risiko-Paaren
Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von Zufallsvariablen
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Korrelation – Mögliche Fehlschlüsse
•
Die Risiken X, Y und Z wurden wie folgt aus Zufallszahlen
U und V erzeugt, die über dem Intervall [0,1] stetig
gleichverteilt und stochastisch unabhängig sind:
•
Man zeigt: Aufgrund obiger Konstruktion sind die Risiken
X, Y und Z dann jeweils auch über dem Intervall [0,1] stetig
gleichverteilt, jedoch nicht mehr unabhängig sind. Für die
Korrelationen erhält man den gleichen Wert:
•
Erheblich strukturelle Unterschiede zwischen (X,Y) und
(X,Z)!!
Paare (X,Y) – Quadrat (fast) gefüllt
Paare (X,Z) – Besitzen keine Fläche
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Korrelation – Mögliche Fehlschlüsse
• Die gleichen Randverteilungen
• Die gleiche lineare Korrelation
• Jedoch: deutlich unterschiedlich!
(Bild aus „Eine Einführung in Copulas“ von Johanna Neshlehova)
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Korrelation – Mögliche Fehlschlüsse
• Beispiele zeigen Notwendigkeit einer präziseren Beschreibung von
Abhängigkeiten auf
• Das Wissen der (1-dim) Randverteilungen und die
Korrelationsmatrix reichen für die gemeinsame Verteilung der
Komponenten des Zufallvektors nicht aus
• Mächtige Alternative: Das Copula - Konzept
Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von Zufallsvariablen
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Das Copula - Konzept
• Als vollständige Beschreibung der Abhängigkeiten
• Aus reiner linearer Abhängigkeit wird beliebige Abhängigkeit (was
auch die stochastische Unabhängigkeit umfasst)
• Grundliegende Idee:
Trennung der Randverteilungs- und Abhängigkeitsproblematik
• Der Copula allein soll die Beschreibung der Abhängigkeiten der
Zufallsvariablen zukommen
• Die Zufallsvariablen werden selbst einzeln durch ihre
eindimensionalen Randverteilung beschrieben
• Dadurch Anwendbarkeit zahlreicher bekannter Analyse- und
Modellierungsmöglichkeiten bezüglich der Randverteilungen
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Das Copula - Konzept
Einfache Definition einer Copula
Folgerungen:
1.
1-dim Randverteilungen einer Copula sind Rechteckverteilungen
auf [0,1]
2.
Copula ist Null, falls ein ui = 0
Erinnerung: Die Beschreibung der Abhängigkeitsstruktur zweier
Zufallszahlen erfolgt mittels der zugehörigen bivariaten
Verteilungsfunktion
Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von Zufallsvariablen
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Das Copula – Konzept
Einleitung und Definition
• Für den 2-dim Fall lässt sich ihr Verlauf auf dem Rand
Einheitsquadrates [0,1]² leicht illustrieren:
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Das Copula – Konzept
Sklar‘s Theorem
• Der folgende Satz ermöglicht die Aufteilung einer
mehrdimensionalen Verteilung in ihre Randverteilung und eine
zugehörige Copula:
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Das Copula – Konzept
Sklar‘s Theorem
•
•
•
•
Sklar‘s Theorem gewährleistet nur die Existenz einer Copula
(Die Wahl der Copula bleibt ein Modellrisiko)
Beispiel und Produktcopula
Bedeutung:
In der Darstellung einer gemeinsamen Verteilungsfunktion mit
Hilfe einer Copula werden somit die Informationen über den
Zusammenhang der Zufallszahlen vollständig separiert von den
Informationen über die univariaten Randverteilungsfunktionen.
Die Copula ist ein Funktional der Randverteilungsfunktionen, und
beschreibt die fehlenden mehrdimensionalen
Abhängigkeitsstrukturen der zugrunde liegenden Zufallsvariablen
Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von Zufallsvariablen
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Das Copula – Konzept
Sklar‘s Theorem
• Zur Vereinfachung: Betrachtung in zwei Dimensionen
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Das Copula – Konzept
Sklar‘s Theorem
• Dreht man die Pfeile um
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Das Copula – Konzept
Sklar‘s Theorem
• In der Copula sind nur Informationen über die Art der Abhängigkeit
von X und Y enthalten, aber keinerlei Informationen über Ihre
Randverteilungen
• Die Randverteilungsfunktionen enthalten keinerlei Information
über die Art der Abhängigkeit
• Mittels der Copula kann man eine gewünschte
Abhängigkeitsstruktur wählen und diese mit beliebigen,
gewünschten Randverteilungen kombinieren.
• Daraus erhält man eine gemeinsame Verteilung von X und Y ,
welche die gewünschte Abhängigkeitsstruktur und die gewünschte
Randverteilungen aufweist.
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Das Copula – Konzept
Umkehrung von Sklar‘s Theorem
• Vorab – Definition: Pseudo-Inverse einer Verteilungsfunktion
F stetig und streng monoton steigend → Pseudoinverse gewöhnliche Inverse der Verteilungsfunktion
Erinnerung: Sei Z auf [0;1] gleichverteilt und f die Pseudo-Inverse einer Verteilungsfunktion F.
Setzt man X = f ( Z ), dann hat X die Verteilungsfunktion F.
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Das Copula – Konzept
Umkehrung von Sklar‘s Theorem
Umkehrung von Sklar‘s Theorem
Wichtiges Resultat:
Es ist also möglich, die Abhängigkeitsstruktur getrennt von den
Randverteilungen zu betrachten .
Auf den folgenden Folien besitzen die beiden Verteilungsfunktionen
verschiedene Randverteilungen, haben aber die gleiche
Abhängigkeitsstruktur (Copula ist identisch)
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Verteilungsfunktion A-B
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Verteilungsfunktion C-D
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Das Copula – Konzept
Dichte
•
Die Dichte einer Copula ist durch ihre partiellen Ableitungen gegeben:
•
Im Gegensatz zur Copula kann ihre Dichte Werte weit über eins annehmen
•
Da die Dichte einer Copula teils nicht existiert bzw. anzugeben ist, ist
darunter im folgenden die „diskrete Dichte“ zu verstehen, welche numerisch
aus der Copula approximiert werden kann.
•
Die Nicht-Existienz der Dichte ist für die numerische Betrachtung der
Copula nicht schlimm, die diese auf einem endlichen feinen Gitter auch
immer nur zu endlichen Werten des Anstiegs führt. Die Existenz einer
diskreten Dichte ist somit eingängig.
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Das Copula – Konzept
Dichte
•
Die Dichte wird zur Simulation nicht benötigt, allerdings zur heuristischen
„Vorhersage“: Hohe Werte der Dichte gehen mit Punkthäufungen der
Simulation in diesen Bereichen überein, da die Dichte der Copula, als
mehrdimensionale Verteilungsfunktion betrachtet,
Wahrscheinlichkeitsmasse auf dem n-dim. Einheitswürfel [0,1]ª (a=dim n)
verteilt.
•
Interpretiert man die Copula als Funktion zur Modellierung von
stochastischen Abhängigkeiten, so würde ihre Dichte entsprechend
„Abhängigkeitsmasse“ verteilen.
•
Da die Copula eine mehrdim. Verteilungsfunktion ist, ist ihre (diskrete)
Dichte schwach positiv. Somit ist diese nach unten durch Null beschränkt.
Ws sind also nur noch Wertebereichsüberschreitungen im positiven Bereich
zu untersuchen
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Das Copula – Konzept
• Die linke Seite wird als die Fréchet-Hoeffding Untergrenze
bezeichnet, ist eine Copula nur für d=2 und d = 2 entspricht der
perfekten negativen Abhängigkeit oder Kontramonotonie
• Die rechte Seite wird als die Fréchet-Hoeffding Obergrenze
bezeichnet, Ist eine Copula in jeder Dimension d ≥ 2 und entspricht
der perfekten positiven Abhängigkeit oder Komonotonie
(später mehr dazu)
Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von Zufallsvariablen
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Das Copula – Konzept
Copulabasierte Zusammenhangsmaße
• Der lineare Korrelationskoeffzient ist ein Zusammenhangsmaß
(globales Maß)
• Um die durch die Copula beschriebenen Abhängigkeiten zu
charakterisieren, werde Abhängigkeitsmaße definiert.
• Im Gegensatz zur linearen Korrelation sind diese
translationsinvariant (invariant unter streng monoton wachsenden
Funktionen):
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Das Copula – Konzept
Copulabasierte Zusammenhangsmaße
• Viele auf Copulas basierende Zusammenhangsmaße beruhen auf
der Konkordanz und Diskordanz
• Allgemein bedeutet Konkordanz, dass große Werte der
Zufallsvariablen X tendenziell mit großen Werten von Y auftreten
• Dementsprechend ist Diskordanz der Zusammenhang kleiner Werte
mit kleinen Werten
• Die bekanntesten Maße sind Kendalls Tau (τ) und Spearmans Rho
(ρ).
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Das Copula – Konzept
Copulabasierte Zusammenhangsmaße
• Spearman‘s Rangkorrelationskoeffiezient ρ:
• Kendall‘s Rangkorrelationskoeffizient :
• Sie lassen sich als Funktionen der Copula von X und Y darstellen
und hängen somit nicht von ihren Randverteilungen ab.
• Jedes dieser Maße kann, bei gegebenen Randverteilungen, Werte
im Intervall [-1,1] annehmen.
• Die Extremwerte -1 und 1 ergeben als Copula der Zufallsvariablen
die zweidimensionale FH-Ober- bzw. Untergrenze.
Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von Zufallsvariablen
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Das Copula – Konzept
Copulabasierte Zusammenhangsmaße
• Der Korrelationskoeffizient von Bravais-Pearson lässt sich nicht als
Funktion der Copula C schreiben:
• Er hängt über die Varianzen auch von den Randverteilungen ab:
• Aber auch bei Kendall und Spearman bedingt der Wert 0 nicht die
Unabhängigkeit der jeweiligen Zufallsvariablen
• Ein Maß, das dies tut: Schweizer und Wolffs Unabhängigkeitsmaß σ
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Das Copula – Konzept
Copulabasierte Zusammenhangsmaße
• Ein Wesentliches Maß, was maßgeblich in der Finanzmathematik
benutzt wird:
Asymptotische obere bzw. untere Randabhängigkeiten
(lower and upper tail dependence)
• Sie bemessen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass sich im
Grenzfall die beiden Zufallsvariablen gleich entwickeln
(Untersuchung der Abhängigkeiten zwischen großen Werten)
• Wie wird nun die Abhängigkeit im oberen Verteilungsende einer
Verteilung quantifiziert?
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Das Copula – Konzept
Copulabasierte Zusammenhangsmaße
(Bild aus „Eine Einführung in Copulas“ von Johanna Neshlehova)
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Das Copula – Konzept
Copulabasierte Zusammenhangsmaße
Obere Randabhängigkeit:
Seien X und Y zwei stetige Zufallsvariablen mit zugehöriger Copula C, so dass
existiert. Dann heißen X und Y
Untere Randabhängigkeit:
Seien X und Y zwei stetige Zufallsvariablen mit zugehöriger Copula C, so dass
existiert. Dann heißen X und Y
Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von Zufallsvariablen
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Das Copula – Konzept
Copulabasierte Zusammenhangsmaße
• X und Y sind demnach asymptotisch abhängig im oberen Rand,
wenn „große“ Realisierungen von X tendenziell gleichzeitig mit
„großen“ Realisierungen von Y auftreten.
• Dabei würden dann in einer Punktewolke von Realisierungen zweier
Zufallsvariablen tendenziell Punkte in der rechten oberen Ecke
eines entsprechenden Streuungsdiagrammes finden sein
• In der Abbildung (10.000 simulierte Realisierungen eines
Zufallsvektors (X,Y)) kann die Spitzförmigkeit der Punktwolke nach
oben rechts als Hinweis gedeutet werden, das X und Y
asymptotisch abhängig im oberen Rand sind:
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Das Copula – Konzept
Copulabasierte Zusammenhangsmaße
Obere Randabhängigkeit
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Das Copula – Konzept
Fréchet-Hoeffding Grenzen
•
Wie zuvor beschrieben liegt die Copula in den Fréchet-Hoeffding Grenzen:
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Das Copula – Konzept
Fréchet-Hoeffding Grenzen
– Man erkennt deutlich die Rechteck-Randverteilung der beiden Copulas
– Auch der übrige Verlauf am Rand des Einheitswürfels zeigt sich deutlich
– Die Zufallsvariablen X und Y sind
• total negativ abhängig genau dann, wenn
CX,Y (u1, u2) = max{u1+u2-1,0} = W (u1, u2)
• unabhängig genau dann, wenn
CX,Y (u1, u2) = u1∙ u2= ∏ (u1, u2)
• total positiv abhängig genau dann, wenn
CX,Y (u1, u2) = min{u1, u2} = M (u1, u2)
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Das Copula – Konzept
Fréchet-Hoeffding Grenzen
•
•
Die untere FH-Copula W und obere FH-Copula M, welche perfekte
positive Abhängigkeit modeliert, sind im oberen Verteilungsende
asymptotisch unabhängig
Simuliert man die untere und obere FH-Schranke (dim=2, 10.000 Punkte),
so erkennt man die perfekte negative bzw. positive lineare Abhängigkeit
Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von Zufallsvariablen
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Das Copula – Konzept
Fréchet-Hoeffding Grenzen
•
Zur besseren Übersicht über den Verlauf einer 2-Copula wählt man als
Darstellung ein Konturendiagramm:
Konturendiagramm der unteren Frechet-Hoeffding-Grenze W²
Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von Zufallsvariablen
Konturendiagramm der oberen Frechet-Hoeffding-Grenze W²
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Das Copula – Konzept
Fréchet-Hoeffding Grenzen
• Aus den nun beschrieben Grenzen und Stetigkeitsbedingungen folgt
konkret für den Graphen einer 2-Copula C:
Der Graph bildet eine stetige Fläche im Einheitswürfel und wird
begrenzt durch das schiefe Viereck mit den Ecken (0,0,0) (0,1,0)
(1,0,0) und (1,1,1) (Ecken liegen nicht ein einer Ebene). Darüber
hinaus verläuft der Graph innerhalb der beiden Graphen der FHGrenzen
Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von Zufallsvariablen
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Das Copula – Konzept
Fréchet-Hoeffding Grenzen und Unabhängigkeitscopula
• Die Unabhängigkeitscopula (Independence-Copula):
Der Name rührt daher, dass C = Π genau dann gilt ,wenn X und Y
stochastisch unabhängig sind. Sie ist definiert als Produkt ihrer Argumente
und ist asymptotisch unabhängig.
•
Im Fall der Unabhängigkeit lässt sich die Verteilung der Summe von
Zufallsvariablen durch die Faltung ihrer (unabhängigen) Verteilungen
theoretisch berechnen (praktisch aber Problem).
Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von Zufallsvariablen
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Das Copula – Konzept
Fréchet-Hoeffding Grenzen und Unabhängigkeitscopula
•
Die folgende Abb. zeigt 2.500 gemäß der Unabhängigkeits-Copula simulierte Punkte
(dim=2). Diese lassen erwartungsgemäß keine Punkthäufungen, also eventuelle
Abhängigkeiten erkennen:
Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von Zufallsvariablen
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Das Copula – Konzept
Fréchet-Hoeffding Grenzen und Unabhängigkeitscopula
Darstellung der drei Copulas m, Π und M
Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von Zufallsvariablen
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n 1
n
Das Copula – Konzept
Fréchet-Hoeffding Grenzen und Unabhängigkeitscopula
Differenz der FH-Schranken für dim=2
Da jede Copula zwischen den FH-Schranken liegt, können zwei verschieden Copulas
keinen größeren Abstand als (n-1) / n , n≥2 und nєΝ, haben.
(Abschätzung der Wertdifferenz zwischen zwei Copulas an derselben Stelle)
Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von Zufallsvariablen
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Das Copula – Konzept
Archimedische Copulas
• Mit einer geeigneten univariaten Funktion, genannt Generator
(-Funktion), werden Copulas erzeugt
• Vorteile:
- Die Klasse geeigneter Generatorfunktionen ist beliebig groß
- Dadurch haben Archimedische Copulas teilweise sehr
unterschiedliche Abhängigkeitsstrukturen
- Bei der Untersuchung der Eigenschaften einer Copula kann man
sich auf die entsprechenden Untersuchungen der Generatorfunktion
beschränken (Starke Vereinfachung der Berechnung!)
Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von Zufallsvariablen
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Das Copula – Konzept
Archimedische Copulas
Verlauf einer geeigneten Generatorfunktion φ und der Verlauf der dazugehörigen Pseudoinversen
(Nelsen,Roger B.: An Introduction to Copulas. Springer-Verlag, 1999)
Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von Zufallsvariablen
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Das Copula – Konzept
Archimedische Copulas
•
Ist für die Generatorfunktion φ der Archimedischen Copula φ(0) = ∞, dann
heißt φ ein strikter Generator. Eine strikte Generatorfunktion und ihre
Inverse haben dementsprechend folgenden Verlauf:
Verlauf einer geeigneten strikten Generatorfunktion φ und der Verlauf der dazugehörigen Inversen φˉ¹
(Nelsen,Roger B.: An Introduction to Copulas. Springer-Verlag, 1999)
Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von Zufallsvariablen
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Das Copula – Konzept
Archimedische Copulas
Die Generatorfunktion erzeugt eine bivariate Archimedische Copula durch
Am Beispiel der Erzeugung der Produktcopula wird die Methode deutlich:
Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von Zufallsvariablen
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Das Copula – Konzept
Archimedische Copulas
• Ist die Generatorfunktion zusätzlich von einem Parameter abhängig,
so erzeugt sie eine einparametrische Copula-Familie. Jede dieser
Familien repräsentiert eine bestimmte Abhängigkeitsstruktur
(z.B. die asymptotische Abhängigkeit im oberen Rand)
• Auf die Erweiterung des Konzeptes auf höhere Dimensionen
möchte ich nicht eingehen
(siehe Nelsen,Roger B.: An Introduction to Copulas. Springer-Verlag, 1999)
Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von Zufallsvariablen
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Das Copula – Konzept
Archimedische Copulas – Gumbel-Copula
•
Die Gumbel-Copula gehört zur Familie der archimedischen Copulas und
besitzt für jede Dimension n lediglich den Parameter λ.
•
Zudem lassen sich mit ihr nur positive Abhängigkeiten modellieren. Eine
spezielle Simulation ist für dim = 2 effektiv möglich, darüber hinaus jedoch
nicht.
•
Sie eignet sich zur Modellierung von simultanen oberen Extremwerten, da
sie im oberen Verteilungsende asymptotisch abhängig ist
•
Für λ=1 wird sie zur Unabhängigkeitscopula (asympt. unabhg.), für λ=∞ wird
sie zur oberen Frechet-Hoeffding-Copula.
Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von Zufallsvariablen
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Das Copula – Konzept
Archimedische Copulas – Gumbel-Copula
Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von Zufallsvariablen
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Das Copula – Konzept
Archimedische Copulas – Gumbel-Copula
Die Abbildung zeigt die Dichte
Dichte der Gumbel-Copula (λ = 2)
an den hohen Werten der Dichte in
der Nähe des Punktes (1,1) lässt
aich deutlich die asymptotische
Abhängigkeit am oberen
Verteilungsende erkennen
Dichte der Gumbel-Copula (λ = 2) sbgeschnitten für Werte über 4
Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von Zufallsvariablen
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Das Copula – Konzept
Archimedische Copulas – Gumbel-Copula
Abb. zeigt 1.500 simulierte Punktpaare, die
gemäß der Gumbel Copula mit λ=2 verteilt sind:
-Charakt. Gruppierung entlang der Diagonalen
-deutliche Punkthäufung in der Nähe des Punktes
(1,1) (Effekt der oberen asympt. Abhängigkeit)
-Trotz asymptotischer Unabhängigkeit der GumbelCopula am unteren Verteilungsende bei (0,0)
ebenfalls leichte Punkthäufung auszumachen.
(erklärt durch die Modellierung perfekter positiver
Abhängigkeit im Grenzfall λ=∞)
-Hohe Werte der Copula-Dichte gehen allgemein
mit Punkthäufungen bei der Simulation an den
entsprechenden Stellen überein.
Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von Zufallsvariablen
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Das Copula – Konzept
Parametrische Copulas – Gauss-Copula
• Diese Copulas hängen von einem d-dimensionalen Parameter ab
Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von Zufallsvariablen
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Das Copula – Konzept
Parametrische Copulas – Gauss-Copula
•
Die Korrlationsmatrix stellt die Parameter-Matrix der Normal-Copula dar,
welche die Modellierung von pos. wie neg. Abhängigkeiten erlauben.
•
Eignet sich nicht zur Beschreibung von simultanen Extremwerten, da weder
am oberen noch unteren Verteilungsende asymptotisch abhängig, ausgn.:
•
Sonderfälle ρ= 1 für alle i ≠ j , ergibt sich die obere FH-Schranke.
Für dim=2 und ρ= -1 ergibt sich die untere FH-Schranke.
Für ρ=0 ergibt sich die Unabhängigkeitscopula.
•
Die Parameter der Normal-Copula ρ sind durch ein Rangabhängigkeitsmaß
zu bestimmen. (z.B. Spearmansche Rangkorrelationskoeffizient)
•
D.h. um Parameter zu bestimmen, erst Randverteilungen der gemeinsamen
Verteilung bestimmen.
Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von Zufallsvariablen
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Das Copula – Konzept
Parametrische Copulas – Gauss-Copula
Im zweidimensionalen Fall hat man mit Parameter ρ die Gestalt
Und eine Dichtefunktion der Gestalt
Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von Zufallsvariablen
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Das Copula – Konzept
Parametrische Copulas – Gauss-Copula
Darstellung der Dichte der Gaussschen Copula und der Copula selbst für ρ=0.5
Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von Zufallsvariablen
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Das Copula – Konzept
Parametrische Copulas – Gauss-Copula
Bild zeigt 1.500 simulierte Punktpaare, die gemäß der Normal-Copula verteilt sind,
ρ=0,5.
Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von Zufallsvariablen
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Das Copula – Konzept
Parametrische Copulas – Gauss-Copula
Beispiel: Gegeben ist ein Sample einer bivariaten Normalverteilung mit 500 Samplepunkten
Welche der folgenden beiden Gauß‘schen Copulas gehört zu obiger Normalverteilung?
Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von Zufallsvariablen
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Das Copula – Konzept
Parametrische Copulas – Gauss-Copula
•
Die dargestellte Normalverteilung entspricht der Copula 2:
Copula 1 entspricht einer stark negativen Korrelation, Copula 2 einer eher
schwach (positiven) Korrelation. Die Normalverteilung hat eine leicht
positive Korrelation (auf jedenfall keine stark negative). Somit kommt
Copula 1 nicht in Frage.
Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von Zufallsvariablen
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Das Copula – Konzept
Konstruktion von Copulas - Inversionsmethode
•
•
•
In praktischen Anwendung werden größtenteils nur endlich viele Copulas
zum Einsatz kommen
Auch diese lassen sich auf geeignete Weise zu einer neuen Copula
kombinieren
Die durch den Satz von Sklar verwendete Methode eine 2-dim. Copula zu
konstruieren heißt Inversionsmethode: gemeinsame bivariate
Verteilungsfunktion H gegeben – daraus Randverteilungsfunktionen F und G nach
berechnen und entsprechende Inversen bestimmen. Copula C erhält man durch:
•
Es gibt noch weitaus mehr Möglichkeiten…
Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von Zufallsvariablen
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Das Copula – Konzept
Konstruktion von Copulas – Konvex-Kombination
Konvex-Kombination von Copulas:
Beispiel: Konvex-Kombination von 3 Copulas
Es sollen m=3 Copulas konvex kombiniert werden. Z.B.
1.
Untere FH-Schranke
2.
.
3.
Gumbel-Copula mit Parameter λ=3
4.
Sowie
Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von Zufallsvariablen
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Das Copula – Konzept
Konstruktion von Copulas – Konvex-Kombination
Links Konvexkombination, rechts Überlagerung von Einzelsimulationen
Der rechte Teil der Abb. ist eine Überlagerung von
•
3.000 · α¹ = 500 Punkten der Copula C¹ in grün,
•
3.000 · α² = 1.000 Punkten der Copula C² in blau und
•
3.000 · α³ = 3.000 Punkten der Copula C³ in rot.
Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von Zufallsvariablen
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Das Copula – Konzept
Konstruktion von Copulas – Produkt-Kombination
•
Das die Überlagerung der einzelnen Simulationen „dasselbe“ Bild ergibt wie
bei der Konvex-Kombination, ist nicht trivial. Erst die Interpretation von C
als Verteilungsfunktion eines zweistufigen Zufallsexperiments gründet dies.
•
Mithilfe der Produkt-Kombination lassen sich aus bekannten Copulas
leicht neue konstruieren, jedoch lassen sich die auf bestimme Copulas
beschränkten Simulations-Algorithmen nicht ohne weiteres verwenden
•
Eine zerlegte Simulation von Produkt-Copulas erlaubt die Verwendung von
Copula spezifischen Algorithmen. Dies stellt für gewöhnlich einen
deutlichen Geschwindigkeitsvorteil gegenüber einem universellen
Algorithmus dar. Zudem könne die einzelnen Teilsimulationen, also die
Simulationen der „Faktor-Copulas“, unabhängig voneinander auf
verschiedenen Computern parallel durchgeführt werden
Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von Zufallsvariablen
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Das Copula – Konzept
Simulation
•
Da der Copula-Ansatz die Randverteilungen und ihre Abhängigkeiten trennt,
ergeben sich somit zwei „Simulations-Aufgaben“
– die der Copula und die der Randverteilung –
•
Während die Simulation der Copula im allgemeinen insbesondere aufgrund
ihrer Mehrdimensionalität nicht trivial ist, lassen sich die eindimensionalen
Randverteilungen praktisch leicht simulieren
•
Diese Simulation als auch der Algorithmus dafür benötigen für mehrdim.
Verteilungsfunktionen Rechteck-verteilte Zufallszahlen
•
Grenzen werden hierbei durch die rechenintensive Auswertung der
bedingten Randverteilungen verursacht
Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von Zufallsvariablen
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Das Copula – Konzept
Ein Beispiel aus der Physik
• Rekonstruktionsproblem der statistischen Thermodynamik:
Bestimmung von höherdimensionaler Darstellung atomarer
Verteilungsfunktionen ausgehend von niederdimensionalen Daten.
Die zu den höheratomaren Verteilungsfunktionen gehörenden
radialen Paarverteilungsfunktionen sind sehr gut zugänglich. Durch
das mathematische Konzept der Copulas gibt es Möglichkeiten, die
höheratomare Verteilungsfunktion aus ihren radialen
Paarverteilungsfunktionen zu rekonstruieren
Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von Zufallsvariablen
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Das Copula – Konzept
Zusammenfassung
Schlussbetrachtung:
• Durch die Copulas erhält man ein vielfältiges und äußerst flexibles
Werkzeug zur Modellierung von Abhängigkeiten
• Sie beseitigen die bekannten Nachteile lineare Risikomaße, indem
sie multivariate Verteilungen in univariate Randverteilungen und die
Abhängigkeitsstruktur zerlegen.
• Desweiteren können viele Probleme verschiedenster Disziplinen
komfortabler betrachtet bzw. gelöst werden, wie z.B.
Rekonstruktionsprobleme in der statistischen Thermodynamik.
Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von Zufallsvariablen
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Das Copula – Konzept
Literatur- und Bildverzeichnis
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[1.]
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Bluhm, Overbeck: Structured Credit Portfolio Analysis, Baskets & CDOs; Chapman & Hall
Embrechts, McNeil, Straumann: Correlation and Dependence in Risk Management: Properties & Pitfalls
Embrechts, McNeil, Lindskog: Modelling Dependence with Copulas, ETH Zürich, 2001
Embrechts and Neslehova: Johanna Neslehova, Eine Einführung in Copulas, 2006, ETH Zürich
Genest, Favre: Everything you always wanted to know about Copula modeling but were afraid to ask
Nils Friewald: Copula Funktionen – Eine Einführung, 2005, TU Wien
Statistische Woche 2006: Modellierung und Vergleich von stochastischen Abhängigkeiten mit Copulas
Diplomarbeit C.Echtermeyer: Diskretisierung von Copulas in höheren Dimensionen, 2006
Diplomarbeit A.Hasken: Ermittlung und Überprüfung von Prämien bei CDS Portfolios ’mit’ Copulas
Schmid,Trede: Finanzmarktstatistik, Kap. 3 Multivariate Renditeverteilungen, Springer, 2005
Martin, Reitz, When: Kreditderivate und Kreditrisikomodelle, Anhang C, Vieweg + Teubner, 2006
Diplomarbeit N. Tschauder: Rekonstruktion von hochdimensionalen atomaren Verteilungsfunktionen
aus Randverteilungsdaten mit dem Copula-Konzept, TU Darmstadt, 2006
Dissertation M. Glauser: Messung von Marktrisiken unter Verwendung von Copulafunktionen, 2003
Vortrag Martin Stremplat: Copulas und Abhängigkeiten , Uni-Köln, 2008
Vortrag T.Bischler, A.Tresch: Erkennung multivariater Abhängigkeiten mit Hilfe von Copula-Modellen
Gillardon 2006 - Beck, Lesko: Copulas im Risikomanagement; Auszüge 5/2006, 14/2006, 39/2006
Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von Zufallsvariablen
Felix Neumann
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Noch Fragen???
Danke für ihre Aufmerksamkeit!
Copulas – Abhängigkeitsstrukturen von Zufallsvariablen
Felix Neumann
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