Matrix-Algebra
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Matrix-Algebra Grundlagen 1. Matrizen und Vektoren •Matrix ist ein rechteckiges Schema von Zahlen angeordnet in Zeilen und Spalten •genauer: eine Matrix der Ordnung bzw. Dimension (n k ) ist eine Menge an (n k ) Elementen angeordnet in n Zeilen und k Spalten 1 Matrizen und Vektoren 1 a11 a12 a13 a1k A [aij ] a21 a22 a23 a2 k an1 aM 2 aM 3 ank [aij ] ist das Element, welches in der i-ten Zeile und j-ten Spalte der Matrix A steht die Dimension der Matrix, also die Anzahl der Zeilen und Spalten, wird oft unterhalb der Matrix angegeben Bsp. 2 A 2 3 23 12 2 7 4 2 Matrizen und Vektoren 2 •mehrelementige Matrizen mit nur einer Zeile oder Spalte heißen Vektoren eine Matrix der Ordnung (1×k) bildet einen k-dimensionalen Zeilenvektor x 2 14 1 3 ai (ai1 , , aik ) Bsp. 7 eine Matrix der Ordnung (n×1) bildet einen n-dimensionalen Spaltenvektor Bsp. 3 x 14 5 31 a1 j aj anj 3 transponierte Matrix •transponierte Matrix -schreibt man bei der Matrix A die i-te Zeile als i-te Spalte (i = 1, . . . , n), so erhält man die transponierte (k×n) MatrixA ' a11 a21 a31 an1 A ' a12 a22 a32 an 2 a1k a2 k a3k ank Bsp. 1 4 3 A 12 2 2 3 3 3 6 17 1 12 3 A ' 4 2 6 3 3 3 2 17 4 Skalar und quadratische Matrix •Skalar -eine einzelne Zahl, also sozusagen eine (1×1) Matrix •quadratische Matrix -eine Matrix A heißt quadratisch, sofern n = k gilt Bsp. 1 4 3 A 12 2 2 3 3 3 6 17 n=k=3 -Eine quadratische Matrix A heißt untere (obere) Dreiecksmatrix, fallsaij 0 für i < j (i > j). Bsp. 1 0 0 untere A 12 2 0 Dreiecksmatrix 3 6 17 1 4 3 obere A 0 2 2 Dreiecksmatrix 0 0 17 5 symmetrische Matrix •symmetrische Matrix -eine quadratische Matrix ist symmetrisch, falls ' ' A A ' , es gilt A A Bsp. 1 2 3 A ' 2 5 6 3 6 17 ' 1 2 3 1 2 3 A ' ' 2 5 6 2 5 6 A 3 6 17 3 6 17 6 Diagonalmatrix 1 •Diagonalmatrix -eine quadratische Matrix A mit aij 0 für i j Diagonalmatrix hat also oberhalb und unterhalb der Hauptdiagonalen nur Nullen. Auf der Hauptdiagonalen stehen beliebige Elemente. Spezialfall: Einheitsmatrix I 1 0 0 I 0 1 0 0 0 1 alle Hauptdiagonalelemente besitzen den Wert Eins 7 Diagonalmatrix 2 -Skalar-Matrix: ist eine Diagonal-Matrix, deren Diagonalelemente alle gleich sind als Beispiel ist die Varianz- Kovarianz-Matrix des Störterms des klassischen Regressionsmodells zu nennen 2 var-cov(u) 0 0 0 2 0 0 0 2 8 idempotente Matrix Eine (n×n) Matrix A, die der Bedingung A A2 An genügt, heißt idempotent Bsp. 1 1 2 1 A 2 4 2 6 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 A 2 2 4 2 2 4 2 2 4 2 6 1 2 1 36 1 2 1 1 2 1 6 -12 6 1 2 1 1 1 = -12 24 -12 2 4 2 36 6 6 -12 6 1 2 1 9 Elementare Matrixoperationen 2. Elementare Matrixoperationen •Addition und Subtraktion von Matrizen -nur für Matrizen gleicher Ordnung sind Addition und Subtraktion erklärt a11 b11 a1k b1k a b a b 2k 2k A B : 21 21 aij bij an1 bn1 ank bnk 10 Addition und Subtraktion 2 12 7 Bsp. A 23 2 4 4 3 7 B 13 1 4 AB C 2 12 7 4 3 7 4 15 14 AB C 23 2 4 13 1 4 36 4 8 23 23 23 2 12 7 4 3 7 2 9 0 AB C 23 2 4 13 1 4 10 1 0 23 23 23 wichtig: Anzahl der Zeilen und Spalten beider Matrizen müssen gleich sein 11 Skalar-Multiplikation 1 -für Matrizen A, B und C gleicher Ordnung gilt AB BA A B C A B C A B A B A B' A ' B' •Skalar-Multiplikation -eine (n × k) Matrix A wird mit einem Skalar multipliziert, indem man jedes( aMatrixelement ij ) multipliziert mit 12 Skalar-Multiplikation 2 Bsp. 1 A 12 3 3 2 2 6 17 4 1 λA 12 3 4 2 6 λ 3 3 1 2 312 17 3 4 2 6 3 3 2 36 17 9 12 6 18 9 6 51 es gelten die Rechengesetze λA Aλ (λA) ' λA ' λ(A B) λA λB (λ γ)A λA γA (γ sei ein Skalar) ( )A λ(γA) γ(λA) 13 Matrizen-Multiplikation 1 •Matrizen-Multiplikation -Für Matrizen A und B ist nur dann ein Produkt C=AB erklärt, wenn die Spaltenzahl von A mit der Zeilenzahl von B übereinstimmt -Sind A = ( aij ) und B =(a jl ) zwei solche Matrizen, etwa der Ordnung (n×k) bzw. (k×p), dann ist a1 j b j1 AB aij b j1 anj b j1 a1 j b jl a b jl anjb jl ij n p a b 1 j j1 aijb jp anjb jp 14 Matrizen-Multiplikation 2 1 B 0 1 1 2 3 A 2 0 4 Bsp. 23 1 AB 2 2 0 23 3 2 1 3 0 4 1 6 1 1 3 2 6 1 1 1 1 2 0 3 1 2 1 0 0 4 1 4 11 6 16 1 6 2 1 3 1 2 6 0 1 4 1 2 2 15 Matrizen-Multiplikation 3 -Das Produkt aus einer (n×k) Matrix A und einer (k×p) Matrix B ist demnach eine (n×p) Matrix C mit dem Elementcil 1 2 3 2 0 4 -Aber: A 23 j 1 aijb jl k 2 1 B 4 1 22 das Produkt AB ist hier nicht definiert! 16 Matrizen-Multiplikation 4 -Insbesondere ergibt die Multiplikation einer (1×p) Matrix (Zeilenvektor) mit einer (p×1) Matrix (Spaltenvektor) einen x ( x1, , xn )' y ( y1, , yn )' Skalar x' y ' -Sindy x und zwei Vektoren mit y1 dann bezeichnet man xden 1 Skalar n jeweils n Elementen, bzw. Vektoren x ' y x1als ,Skalarprodukt , xn y ' x der ybeiden xi yi 1 , , yn Bsp. 2 x 3 5 y n 3 y 0 1 x n i 1 3 x ' y 2 3 50 2 3 3 0 3 5 21 1 17 Matrizen-Multiplikation 5 Zwei Vektoren x und y, deren Skalarprodukt Null ist, heißen zueinander orthogonal xy x y 0 ' x2 Bsp. 1 x 2 4 y 2 4 x y 1 2 0 2 ' x 5 y 3 -5 -3 -1 -3 1 3 5 x1 -5 y18 Matrizen-Multiplikation 6 b1 n an ai bi 1n bn i 1 -Inneres Produkt: a 'b a1 n1 Bsp. a 'b 1 3 4 1 3 4 5 23 1 2 11 5 21 Ergebnis ist ein Skalarprodukt a1 a1b1 a1bn -Äußeres Produkt: ab ' b1 bn 1n an anb1 anbn n1 Bsp. 1 1* 3 a 'b 3 5 4 12 4 *1 21 nn 1* 5 3 4 * 5 4 5 20 4 4 Ergebnis ist eine Matrix 19 Matrizen-Multiplikation 7 -für die Matrizenmultiplikation gelten folgende Rechenregeln, sofern alle auftretenden Produkte erklärt sind A(B C) AB AC (AB) A(B ) ( A)B AB (AB)C A(BC) ABC (AB)' B' A' (ABC)' C ' B' C ' -Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ AB BA 20 Determinante einer Matrix 1 •Determinante -die Determinante det(A) einer (n×n) Matrix A sei wie folgt definiert a11 n 1 det(A) n i j * n 1, 1 j n, a ( 1 ) det( A i 1 ij ij ) * -wobei Aij diejenige Matrix ist, die aus der (n×n) Matrix A hervorgeht, wenn man die i-te Zeile und die j-te Spalte streicht (1)i j det( Aij* ) Cij a ij -das oben genannte Produkt auch als Kofaktor von genannt wird 21 Determinante einer Matrix 2 •Determinante einer (2×2) Matrix das Produkt der Nebendiagonalelemente wird vom Produkt der Hauptdiagonalelemente subtrahiert a a a a det 11 12 11 12 a11a22 a12a21 a21 a22 a21 a22 Bsp. det 114 3 5 1 5 14 5 14 1 3 1 3 22 Determinante einer Matrix 3 •Determinante einer (3×3) Matrix ermittelt man durch Anfügen der ersten beiden Spalten auf der rechten Seite der Matrix zu einem (3 × 5) Schema a11 a21 a 31 a12 a22 a32 a13 a23 a33 a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33 a11 a21 a31 a12 a23 a32 auf dieses Schema findet die Sarrus‘sche Regel Anwendung det (A) a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33 Bsp. 1 det 3 2 2 1 3 2 1 1 4 2 3 2 2 3 3 3 3 2 1 2 1 3 3 2 3 4 4 23 Determinante einer Matrix 4 -für die Determinante einer (n×n) Matrix A bzw. B gilt det (AB) det( A) det( B) det( A' ) det( A) det( A) n det( A) -eine Matrix, deren Determinante einen Wert von 0 annimmt heißt singuläre Matrix -nimmt hingegen die Determinante einen von 0 verschiedenen Wert an, so spricht man von einer nichtsingulären Matrix für diese existiert die inverse Matrix nicht 24 Inverse einer Matrix 1 •Inverse einer Matrix A existiert zu jeder regulären (n×n) Matrix A1 eine eindeutig bestimmte (n×n) Matrix mit der Eigenschaft: AA1 A1 A I n A1 heißt Inverse A von -die Regularität von A ist nicht nur eine hinreichende, sondern auch eine notwendige Bedingung für die Existenz der A ist regulär A1 existiert inversen Matrix -invertierbar Matrizen mit sind demnach nur die quadratischen 25 Inverse einer Matrix 2 •Vorgehensweise 1. Bilde die Determinante von A 2. Ersetzte jedes Element a ij von A durch seinen Kofaktor, um so die Kofaktor-Matrix zu erhalten 3. Transponiere die Kofaktor-Matrix, um so die adjungierte Matrix zu erhalten 4. Dividiere jedes Element der adjungierten Matrix durch die Determinante von A 26 Inverse einer Matrix 3 1 2 3 Bsp. A 5 7 4 2 1 3 Schritt 1: A bilden, wie zuvor beschieben 1 2 3 A5 7 4 2 1 3 1 7 3 2 4 2 3 5 1 3 7 2 1 4 1 3 2 5 24 Schritt 2: man erhält das Element cij, indem man die i-te Zeile und die j-te Spalte der Matrix A streicht 27 Inverse einer Matrix 4 -im Bsp.: erhalte das Element c11 , indem man die 1. Zeile und die 1. Spalte der Matrix Astreicht, c11 ist dann eine (2×2) Matrix 1 2 3 A 5 7 4 2 1 3 7 c11 1 4 3 Führt man das für alle Elemente aus, so erhält man die KofaktorMatrix C Jedes Element, für die die Summe i+j ungerade ist, erhält ein negatives Vorzeichen 28 Inverse einer Matrix 6 Schritt 4: jedes Element von (adj A) wird durch die Determinante von A dividiert 3 13 17 24 24 24 17 3 13 1 3 A1 7 3 11 7 11 24 24 24 24 9 3 3 3 9 3 24 24 24 AA1 A1 A I n 29 Skalare Kenngrößen von Matrizen 3. Skalare Kenngrößen von Matrizen a) Rang einer Matrix Zur Definition des Ranges einer Matrix werden die Begriffe Linearkombination (LK) von Vektoren und lineare Unabhängigkeit benötigt a1 , ,a n Als LK der n Vektoren bezeichnet man einen Term der Gestalt wobei a1 , ,a n Man sagt, ein Vektor b lässt sich als LK der Vektoren darstellen, wenn gilt: 30 Inverse einer Matrix 5 -nun berechnet man für jedes Element cij die Determinante 17 C 3 13 7 3 11 9 3 3 Schritt 3: dir Kofaktor-Matrix C wird nun transponiert, um die adjungierte Matrix (adj A) 17 3 13 (adj A) 7 3 11 9 3 3 31 Rang einer Matrix 1 a1 , ,a n Die Vektoren heißen linear unabhängig, wenn sich der Nullvektor nur als triviale LK dieser Vektoren darstellen lässt, d.h., wenn gilt: keiner der Vektoren lässt sich als LK der anderen darstellen a1 , ,a n Im Falle linearer Abhängigkeit der Vektoren existiert hingegen eine Darstellung des Nullvektors als nicht-triviale LK ( für mindestens ein i) a1 , ,a n Folglich lässt sich mindestens einer der Vektoren als LK der anderen darstellen 32 Rang einer Matrix 2 •Die Maximalzahl linear unabhängiger Spaltenvektoren (Zeilenvektoren) einer Matrix A heißt Spaltenrang (Zeilenrang) dieser Matrix der Spaltenrang stimmt stets mit dem Zeilenrang überein deshalb spricht man nur vom Rang einer Matrix A •der Rang einer (n × k) Matrix A kann offenbar nicht größer als die kleinste der Zahlen n und k sein 33 Rang einer Matrix 3 -eine (n × k) Matrix A hat vollen Rang, wenn Regeln: 34 Rang einer Matrix 4 -Bei quadratischen Matrizen gilt: Falls A keinen vollen Spaltenrang hat, so ist die Determinante von A Null Bsp. 1 3 A rg(A) 1, det(A) 0 2 6 Konsequenz: Matrizen ohne vollen Rang (“singuläre“ Matrizen) sind nicht invertierbar -für beliebige Matrizen gilt: rg(A'A) rg(A) Konsequenz: falls X keinen vollen Spaltenrang hat, ist (X ' X) singulär OLS funktioniert nicht 35 Eigenwerte und Eigenvektoren 1 b) Eigenwerte und Eigenvektoren -A sei eine (n×n) Matrix -ein (n×1) Vektor x 0 heißt Eigenvektor von A, falls mit einem geeigneten Skalar gilt -der Vektor x wird genauer als ein zu Eigenvektor bezeichnet -den Skalar gehörender nennt man Eigenwert der Matrix A 36 Eigenwerte und Eigenvektoren 2 Die Gleichung umformen: lässt sich wie folgt 0 hat dieses System nur dann eine Lösung, wenn die Matrix singulär ist, für d.h. wenn gilt die Bestimmung der Nullstellen von liefert die Eigenwerte von A heißt charakteristisches Polynom 37 Eigenwerte und Eigenvektoren 3 Bsp. 1 A 2 2 3 -die Eigenwerte findet man durch Lösen von -die Eigenwerte sind: 38 Eigenwerte und Eigenvektoren 4 -Wie erhält man die Eigenvektoren? Für erhält man den Eigenvektor x1 1 2 2 5 0 x11 0 2 3 0 2 5 x12 führt zu 2 Bestimmungsgleichungen, wobei eine überflüssig ist, da beide Gleichungen linear abhängig sind 3, 23607x11 2x12 0 2x11 1, 23607x12 0 39 Eigenwerte und Eigenvektoren 5 -so erhält man aus der 2. Gleichung den Eigenvektor x1 0, 618035x12 x1 x 12 Offensichtlich gibt es nicht nur einen Eigenvektor, sondern unendlich viele parallele. Man wählt beliebig einen aus der Lösungsmenge, x12 z.B. = 1: 0, 618035 x1 1 40 Eigenwerte und Eigenvektoren 6 -analog führt man diese Prozedur für den 2. Eigenwert durch, um so den Eigenvektor x 2 zu erhalten 1 2 2 5 0 x 21 0 2 3 0 2 5 x 22 1, 618035 x2 1 41 Eigenwerte und Eigenvektoren 7 Beweis: für x1 , 1 2 0, 618035 0, 618035 2 5 2 3 1 1 2, 618038 2, 618038 4, 23606 4, 23606 42 Eigenwerte und Eigenvektoren 8 •Bei symmetrischen Matrizen, wie in diesem Beispiel, sind die zu verschiedenen Eigenwerten gehörenden Eigenvektoren stets zueinander orthogonal 1, 618035 x x 2 0, 618035 1 0 1 ' 1 43 Definitheit von Matrizen 1 c) Definitheit von (quadratischen) Matrizen Definition: -eine (n×n) Matrix A heißt positiv definit z ' Az 0 (kurz: p.d.), wenn für alle Vektoren z gilt: , z ' Az 0 bzw. positiv semidefinit (p.s.d.), wenn -eine (n×n) Matrix A heißt negativ definit z ' Az 0 (kurz: n.d.), wenn für alle Vektoren z gilt: , z ' Az 0 bzw. A negativ (n.s.d.), wenn -falls weder semidefinit positiv-semidefinit noch negativ-semidefinit ist, dann heißt A indefinit 44 Definitheit von Matrizen 2 Bsp. 1 A 0 0 2 z1 z z2 z1 ' 2 2 Az z Az z 2z 1 2 0, 2z 2 für alle z 0 A ist positiv definit 45 Definitheit von Matrizen 3 -Beurteilung anhand der Eigenwerte die Definitheit einer symmetrischen Matrix A A' kann mit Hilfe ihrer Eigenwerte bestimmt werden seien die Eigenwerte der symmetrischen Matrix dann gilt A ist: positiv definit positiv semidefinit negativ definit negativ semidefinit 46 Anwendung der Matrizenrechnung 4. Anwendung der Matrizenrechnung •Im Rahmen eines linearen Regressionsmodells soll nun die Anwendung der Matrizenrechnung aufgezeigt werden Regressionsmodell Yi 1 2 X 2i 3 X 3i k X ki ui i = 1,2,...,n abhängige Variable Y k-1 erklärende Variablen X 2 , X 3 ,..., X k Parameter 2 , 3 ,..., k Störterm u Anzahl der Beobachtungen n 47 Regressionsmodell 1 •Die 1. Gleichung lässt sich auch ausführlicher darstellen, wie folgt: Y1 1 2 X 21 3 X 31 k X k1 u1 Y2 1 2 X 22 3 X 32 k X k 2 u2 YN 1 2 X 2 n 3 X 3n k X kn un Für jede Beobachtung i = 1,2,...,n lässt eine solche Gleichung aufstellen 48 Regressionsmodell 2 Dieses Gleichungssystem lässt sich auch in Matrixschreibweise darstellen Y1 1 Y 1 2 Yn 1 y n 1 X 21 X 22 X 2n X 32 X 32 X 3n X nk X kn 1 u1 u X k1 2 2 X kn k u1 k 1 u n 1 y n 1 Spaltenvektor von Beobachtungen der abhängigen Variablen X n 1 Matrix mit n Beobachtungen der k-1 Variablen X 2 bis X k , die 1. Spalte bestehend aus 1 gibt das Absolutglied wieder k 1 Spaltenvektor der unbekannten Parameter 2 , 3 ,..., k u n 1 Spaltenvektor der n Störterme u i 49 Regressionsmodell 3 •im Rahmen des linearen Regressionsmodells werden die unbekannten Parameter 1, 2 , 3 ,..., k geschätzt Yi 1 2 X 2i 3 X 3i k X ki u i in kurzer Schreibweise: Y X u in Matrixnotation: Y1 1 Y 2 1 Yn 1 y n 1 X 21 X 22 X 2n X 32 X 32 X 3n X kn 1 1 u X k1 u 2 2 X kn u1 k X nk k 1 u n 1 50 Regressionsmodell 4 ^ ist ein (k×1) Spaltenvektor der OLS-Schätzung der Regressionskoeffizienten u ist der (n×1) Spaltenvektor der n Residuen •man erhält den OLS-Schätzer, indem man die Residuenquadratsumme minimiert u ist der Abstand zwischen dem tatsächlichen Wert von y und dem geschätzten Wert y y in Hinblick auf die Schätzung der Parameter soll dieser Abstand minimiert werden bzw. die Summe über alle Beobachtungen u3 y3 y3 x1 x2 x3 x4 x5 x 51 Anwendungsbeispiel 1 Daten Pro-Kopf Konsumausgaben, Y Pro-Kopf Einkommen, X 2 Zeit, X 3 1673 1839 1 1688 1844 2 1666 1831 3 1735 1881 4 1749 1883 5 1756 1910 6 1815 1969 7 1867 2016 8 1948 2126 9 2048 2239 10 2128 2336 11 2165 2404 12 2257 2487 13 2316 2535 14 2324 2595 15 52 Anwendungsbeispiel 2 Regressionsmodell Yi 1 2 in Matrixnotation: X 2 i 3 X 3i u i 1673 1 1688 1 1666 1 1735 1 1749 1 1756 1 1815 1 1867 1 1948 1 2048 1 2128 1 2165 1 2257 1 2316 1 2324 1 1839 1844 1831 1881 1883 1910 1969 2016 2126 2239 2336 2404 2487 2535 2595 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 u u2 u3 u 4 u5 6 u 1 u7 u8 2 u9 3 u 10 u 11 12 u u 13 u 14 u 15 y 151 X 151 151 u 151 53 Anwendungsbeispiel 3 OLS-Schätzer für die Parameter: Schrittfolge a) b) c) X 'X X 'X X 'y berechnen 1 berechnen berechnen d) Parametervektor bestimmen 54 Anwendungsbeispiel 4 a) 1 X X X 21 X 31 ' 1 X 22 X 32 1 X 23 X 33 1 1 1 X 2 n 1 X 2 n 1 X 21 X 22 X 23 X 2n X 31 X 32 n X 33 X 2i X 3i X 2 n X 2i 2 X 2i X 2 i X 3i X 3i X 2 i X 3i 2 X 3i 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1839 1844 1831 1881 1883 1910 1969 2016 2126 2239 2336 2404 2487 2535 2595 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 1 1 1 1 1 31,895 120 15 1 31,895 68,923 272,144 120 272,144 1240 1839 1844 1831 1881 1883 1910 1969 2016 2126 2239 2336 2404 2487 2535 2595 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 55 Anwendungsbeispiel 5 b) 31895 120 15 1 X ' X 31895 68922513 272144 120 272,144 1240 1 Bestimmung der Inverse gemäß der zuvor beschriebenen Schrittfolge Schritt 1: Determinante bilden X X ' 31895 120 15 31895 68922513 272144 306223760 120 272144 1240 56 Anwendungsbeispiel 6 Schritt 2: Kofaktor-Matrix bestimmen 68922513 272144 31895 120 1240 272144 15 31895 120 C 120 272144 1240 15 120 31895 68922513 1240 31895 1,14015593810 6892520 409331320 272144 1240 120 1240 120 272144 31895 68922513 272144 120 15 31895 120 272144 31895 15 31895 68922513 6892520 409331320 254760 4200 254760 16546670 57 Anwendungsbeispiel 7 Schritt 3: adjungierte Matrix bilden 1,14015593810 ' (adj A) C 689252 409331320 689252 409331320 4200 254760 254760 16546670 Schritt 4: inverse Matrix bilden 0,0225082 1,336707 37,23277 (X ' X) 1 0,0225082 0,0000137 0,0008319 1,336707 0,0008319 0,054031 58 Anwendungsbeispiel 8 c) X 'y 1673 1688 1666 1735 1749 1756 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1815 1 1839 1844 1831 1881 1883 1910 1969 2016 2126 2239 2336 2404 2487 2535 2595 1867 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1948 2048 2128 2165 2257 2316 2324 29135 62905821 247934 59 Anwendungsbeispiel 9 d) X ' X X ' y 1 0,0225082 1,336707 29135 37,23277 0,0225082 0,0000137 0,0008319 62905821 1,336707 0,0008319 0,054031 247934 300,28625 0,74198 8,04356 •geschätzte Gleichung: Y i 300, 28625 0, 74198X 2i 8, 04356X3i 60
