Kein Folientitel

Grundgedanke der FEM
Das zu berechnende Tragwerk wird in eine grössere
Anzahl von Elementen mit leicht überschaubaren
statischen Eigenschaften zerlegt und diese dann
unter Wahrung der kinematischen
Verträglichkeitsbedingungen und anderer statischer
Gleichgewichtsbedingungen zu einem komplexen
Gesamtsystem zusammengeführt.
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FEM als statisches
Berechnungsverfahren
• Kraftgrössenverfahren
– Kräfte und Momente
• Verschiebungsgrössenverfahren
– Verschiebungen und Verdrehungen
Formulierung in Matrizenschreibweise
in der Regel lineares Gleichungssystem
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2
Benötigte Angaben
•
•
•
•
Geometrie des Tragwerks
Auflagerbedingungen
Materialeigenschaften
Lasteinwirkungen
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Lasteinwirkungen
• verteilte äussere Kräfte
• konzentrierte äussere Kräfte
• initiale Verzerrungen
(von externen Einwirkungen)
• vorgeschriebene Rand- und
Auflagerverschiebungen
• beschleunigungsproportionale Massenkräfte
(z.B. Eigengewicht)
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Methode
• Erarbeiten eines mathematischen Modells auf
Grund der physikalischen Wirklichkeit.
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5
Knotenpunkte, Freiheitsgrade,
Finite Elemente
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Verschiebungsgrössenverfahren
Voraussetzung: lineares Tragwerk
das ergibt ein lineares Gleichungssystem
mit den Knotenverschiebungen und
-verdrehungen als Unbekannte.
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Lastvektor und
Verschiebungsvektor
• Die in einem Knotenpunkt angreifenden Kräfte
und Momente werden zum Lastvektor F
zusammengefasst.
• Die Knotenverschiebungen und -verdrehungen
werden zum Verschiebungsvektor u
zusammengefasst.
Es gilt:
F = K•u
K ist die Systemsteifigkeitsmatrix
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8
Beispiel 3-4
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Das lineare Gleichungssystem
K•u = F
QuickTime™ and a
TIFF (Uncompressed) decompressor
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10
Vorgehensweise
• numerische Erfassung des Tragverhaltens jedes
einzelnen finiten Elements
( lokale Elementsteifigkeitsmatrizen)
• Aufbau der Systemsteifigkeitsmatrix und des
Lastvektors
• Lösung der globalen Systemgleichungen
• Ermittlung der Auflagerkräfte
• Berechnung der Elementspannungen
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Beispiel 3-5
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Statisches System
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Knotenverschiebungen
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Koordinatensysteme
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Koinzidenztabelle
Elementnummer
Anfangspunkt (1)
Endpunkt (2)
1
2
3
4
5
6
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Knotenkräfte
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K•u = F
QuickTime™ and a
TIFF (Uncompressed) decompressor
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Das System hat 5 Freiheitsgrade.
Zur Ermittlung der Systemsteifigkeitsmatrix K
benötigt man die Elementsteifigkeitsmatrizen
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18
Der Fachwerkstab
• Es soll die Elementsteifigkeitsmatrix eines
Fachwerkstabes hergeleitet werden, und zwar in
einem lokalen Bezugssystem.
• Der Fachwerkstab hat einen Querschnitt A, die
Länge l und sein Material hat den
Elastizitätsmodul E.
• Entlang der Länge des Stabes wirkt die
Normalkraft N und bewirkt eine Verlängerung .
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Der Fachwerkstab
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20
Die Spannungsmatrix S
Für die Verlängerung  gilt:

l
Gleichzeitig ist:

Damit folgt:

1 N

E A
und somit :  
Nl
EA
(lok)
  u(lok)

u
2
1
u1(lok)  (lok) (lok)
EA
EA
EA

(lok)
(lok)
N
 
 u1  u2 
 1 1 (lok)  Se  ue
l
l
l
u2 
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
21
Die Elementsteifigkeitsmatrix
Die Elementsteifgkeitsmatrix ist aus den
angreifenden Kräften und den Verschiebungen
schnell angesetzt:
EA
F
 N 
u  u 
l
(lok)
1
F2(lok)  N 
(lok)
1
(lok)
2
EA
u1(lok)  u(lok)


2
l
in Matrixform:
(lok)
e
F
(lok) 
F
N  EA 1 1 u1(lok)  (lok) (lok)
1
  (lok)   
 
  (lok)  K e  ue
F2   N  l 1 1  u2 
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Koordinatentransformation
u(lok)  cos  sin   u
 (lok)  
  
v  sin  cos   v 
Beim Fachwerkstab werden beide Knoten
transformiert. Das führt zu:
(e )

u1 
 (e ) 
u1(lok)  cos sin 

0
0
v1 

 (lok)  
  (e ) 
0
cos sin   u2
u2   0
 (e ) 
v 2 
ue(lok) = T•ue
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Transformation der Kräfte
Fx  cos sin   Fx(lok) 
  
  (lok) 
Fy  sin  cos  Fy 
Für die Kräfte an den Stabenden gilt also:

Fx1(e )  cos 
0 
 (e )  
  (lok) 
0  Fx1
Fy1  sin 
  (lok) 
(e
)
Fx 2   0
cos  Fx 2 
 (e )  

F
0
sin


 y 2  
Fe = TT•Fe(lok)

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Folgerungen
Es gilt im lokalen System:
Fe(lok) = Ke(lok)•ue(lok)
Einsetzen von: ue(lok) = T•ue
führt zu
Fe(lok) = Ke(lok)• T•ue
Somit gilt:
Fe = TT•Fe(lok) = TT• Ke(lok)• T•ue
Daraus kann man ablesen, dass die Elementsteifigkeitsmatrix in
globalen Koordinaten folgende ist:
Ke = TT•Ke(lok)•T
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Elementsteifigkeitsmatrix
für den Fachwerkstab
cos
0 


sin

0
0
0 
EA 1 1 cos  sin 
T
(lok)


Ke  T  K e  T 


 

 0
cos   l 1 1   0
0
cos  sin  


sin  
 0
 cos cos  


0
0 
EA  sin  sin   cos  sin 


 



cos cos   0  0
cos  sin  
l


sin  sin  
 cos 2 
sin  cos
cos2 
sin  cos  


2
2
sin

cos

sin

sin

cos

sin

EA 



2
2
l  cos 
sin  cos
cos 
sin  cos  


2
2
sin

cos

sin

sin

cos

sin



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
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Die Spannungsmatrix
für den Fachwerkstab
N = Se(lok)•ue(lok)
Mit ue(lok) = T•ue erhält man:
N = Se•ue = Se(lok)•T•u
Somit gilt:

Se 
EA
 cos sin  cos sin  
l
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Aufgabe
Es sind alle Elemetsteifigkeitsmatrizen und die
Spannungsmatrizen für alle Elemente in globalen
Koordinaten aufzuschreiben.
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Die Systemsteifigkeitsmatrix
Vorgehensweise:
• Anpassen der Verschiebungsgrössen der
einzelnen Elemente an diejenigen des
Knotenpunktes (Kompatibilitätsbedingungen)
• Gleichgewichtsbedingungen in den
Knotenpunkten
Kf•uf=Ff
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Kf =
1.35 0.35 1.0
0
0.35 0.35
0
0 


0.35
1.35
0
0
0.35
0.35
0
1.0


 1.0
0
1.35
0.35
0
0
0.35 0.35


0
0.35 1.35
0
1.0 0.35 0.35
E  A  0
0
0
1.35 0.35 1.0
0 
l 0.35 0.35


0
1.0 0.35 1.35
0
0 
 0.35 0.35
 0
0
0.35 0.35 1.0
0
1.35
0.35 


1.0 0.35 0.35
0
0
0.35 1.35 
 0
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Koinzidenztabelle
Elementnummer
Anfangspunkt (1)
Endpunkt (2)
1
1
2
2
3
2
3
4
3
4
4
1
5
4
2
6
3
1
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Auflagerbedingungen
Hier gilt: v3 = 0, u4 = 0, v4 = 0
Damit werden in Kf die letzten 3 Spalten mit
Nullen besetzt und man kann sie streichen.
Der Rang der Matrix Kf ist 5. Gestrichen werden
die Zeilen, die den festgehaltenen Freiheitsgraden
entsprechen, da rechts die Auflagerkräfte
unbekannt sind.
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Gleichungssystem
1.35 0.35 1.0
0
0.35 u1  Fx1   0 

      
0.35
1.35
0
0
0.35
v1  Fy1   0 



EA
 1.0
0
1.35 0.35
0  u2  Fx 2  10 
l 
      
0
0
0.35
1.35
0

 v 2  Fy 2  10

      
0
0
1.35  u3  Fx 3   0 
0.35 0.35

u1 
 
0.35 0.35
0
1.0 0.35 v1  Fy 3 
 
E  A 



0
0
0.35 0.35 1.0  u2  Fx 4 

l 
  

1.0 0.35 0.35
0  v 2  
 0
Fy 4 
 
u3 
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Lösung des Gleichungssystems
Zuerst wird das erste Gleichungssystem gelöst. Das
ergibt die Werte für u1, v1, u2, v2 und u3.
Diese Lösungen werden in das zweite
Gleichungssystem eingesetzt und man kann die
Auflagerkräfte in den Knoten 3 und 4 berechnen.
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Lösungen
 0.86 


0.18


u  1.04 104


0.54 


 0.18 

Fy 3   20.0 
  

Fx 4  11.0
F  11.0

 y 4  

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Elementkräfte
Die an den Elementen angreifenden Kräfte können
mit den Spannungsmatrizen berechnet werden.
Es gilt:
N=Se•ue
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