Der Goldene Schnitt

Ein Vortrag von Christine Reiber
am 04.12.2006
Proseminar für Lehramtskandidaten
WS 2006/2007
Altes Rathaus in Leipzig
Raffael „Sixtinische Madonna“
Da Vinci „Mona Lisa“
Der Goldene Schnitt
04.12.2006
Gliederung des Vortrags
1.
Einführung
2.
Definition
3.
Historisches
4.
Konstruktion
5.
Fraktale
5.1. Der Goldene Baum
7.
7.1. Linearisierung von Potenzen des
Goldenen Schnittes
7.2. Zusammenhang mit dem Goldenen
Schnitt
8.
8.2. Kunst
8.3. Körper des Menschen
5.3. Dimension des Fraktals
8.4. Natur
Regelmäßiges Fünfeck
6.1. Konstruktion
Goldener Schnitt in anderen Bereichen
8.1. Architektur
5.2. Goldenes Dreiecksfraktal und
Goldenes Quadratfraktal
6.
Fibonacci-Zahlen
9.
Der Goldene Schnitt in der Schule
6.2. Goldenes Dreieck
6.3. Goldener Schnitt im regelmäßigen Fünfeck
6.4. Falten
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Christine Reiber
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2. Definition
„Eine Strecke sei im Verhältnis des Goldenen Schnittes geteilt, wenn sich die beiden Teilstücke
zueinander verhalten wie das längere Teilstück zur ganzen Strecke.“
A
•
x
y
C
B
1
y
x

x x y
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2. Definition
1 x x

x
1
x2  1  x  x2  x 1  0
• 
x1 
1 5
 0,618
2
y
3 5
 0,382
2


1  5
 x2 



1
,
618


2


1  5
 0,618 spiegelt das Verhältnis kleinere/größere Seite (y/x) wider
2
• Der Kehrwert  
1


1 5
 1,618 bestimmt das Verhältnis größere/kleinere Strecke (x/y)
2
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2. Definition
A
•
x
C
y
B
1
y=1:
1
x

x x 1
1 5
 
2

x2  x 1  0

x1 
1 5
 ;
2

x2  x 1  0

x1 
1 5
1  5
 
  ; x2 
2
2
x2 
Zur Wiederholung:
x+y=1:
1 x x

x
1
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2. Definition
•

1  5
 0,618
2
und

1


1 5
 1,618 sind die wichtigen Größen
2
beim Goldenen Schnitt.
• Es handelt sich dabei um irrationale Zahlen.
• Der Goldene Schnitt ist eine Stetige Teilung, d.h. er ist beliebig oft wiederholbar
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3. Historisches
• Um 450 v. Chr.: Hippasos von Metapont (Mitglied des Pythagoreer-Bundes)
 Untersuchungen am regelmäßigen Fünfeck: Verhältnis Kantenlänge zu
Diagonale nicht als Quotient von ganzen Zahlen darstellbar
• Erste genaue Beschreibung des Goldenen Schnittes durch Euklid
(ca. 340 v. Chr.):
„proportio habens medium et duo extrema“
Teilung im inneren und äußeren Verhältnis
Euklid (365-300 v.Chr.)
• Ca. 1509: Luca Pacioli di Borgo San Sepolcro:
„De Divina Proportione“ – Göttliche Teilung/Göttliche Proportion
• Martin Ohm führt 1835 den Begriff „Goldener Schnitt“ ein
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Luca Pacioli (1445-1514)
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4. Konstruktion
T?
P
•
x
y
Q
s
• gesucht: Teilpunkt T, der PQ im Verhältnis des Goldenen Schnittes teilt
• Gleichung:
y
x

x x y
sx x

x
s


x 2  sx  s 2
• quadratische Ergänzung:
2
s
s
x  sx     s 2   
2
2
2
2
2

s

s
2
x   s  
2

2
2
• Konstruktion mit Hilfe des Satz des Pythagoras
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4. Konstruktion
Um

und

ablesen zu können:
• Für s=1 und s/2=1/2 ergibt die Hypotenuse
2
2
5
s
1
s     12    
2
2
2
2
• Addieren bzw. Subtrahieren des Kreisradius:
5 1
5 1
 

2 2
2
und
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5 1
5 1
 

2 2
2
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5. Fraktale
Zur Wiederholung:
Fraktale sind Figuren, die Selbstähnlichkeiten aufweisen, das heißt bei denen Teilfiguren
eine verkleinerte Kopie der Gesamtfigur sind.
5.1. Der Goldene Baum
• Haupteigenschaft vom Baumfraktal: Verzweigung
Baumfraktal mit Stammlänge 1 und Verkleinerungsfaktor f=1/2
a) Ausgangslage; b) Fraktal
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5. Fraktale
5.1. Der Goldene Baum
• Verkleinerungsfaktor so wählen, dass keine Zwischenräume offen bleiben, aber Äste sich
nicht überlappen
f cos(30)  f 3 cos(30)  f 4 cos(30)  f 5 cos(30)  ...
f3
f  f  f  f  ...  f (1  f  f  ...) 
1 f
3
4
5
3
2
1  f  f 2  f 2  f 1  0
-> positive Lösung:
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f1  
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5. Fraktale
5.1. Der Goldene Baum
Der Goldene Baum mit dem Verkleinerungsfaktor f=ρ
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5. Fraktale
5.2. Goldenes Dreiecksfraktal und Goldenes Quadratfraktal
Goldenes Dreiecksfraktal mit f=ρ
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Goldenes Quadratfraktal mit f=ρ
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5. Fraktale
5.3. Dimension des Fraktals
Halbieren der Seitenlänge führt zu 4  2
2
Teilquadraten
3
 Bei einem Würfel dann 8  2 Teilwürfel
1
n   
f 
D
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D
log( n)
log( n)

log( f )
1
log  
f 
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5. Fraktale
5.3. Dimension des Fraktals
Dimension des Goldenen Baumes:
Verkleinerungsfaktor:
f 
1

2  D
D
log( 2)
 1,440
log(  )
 Dimension ist irrational
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6. Regelmäßiges Fünfeck
6.1. Konstruktion
6.2. Goldenes Dreieck
Spitzes Goldenes Dreieck
mit den Basiswinkeln 72° und dem
Spitzenwinkel 36°
• Winkelhalbierende eines Basiswinkels trennt vom ganzen
Dreieck ABC ein dazu ähnliches Dreieck DAB ab
• Restdreieck BCD: Stumpfes Goldenes Dreieck
Setzt man a=1, ergibt sich durch Ähnlichkeit von ABC und DAB:
c 1 c

1
c
c2  c 1  0
 c1  
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6. Regelmäßiges Fünfeck
6.3. Goldener Schnitt im regelmäßigen Fünfeck
Regelmäßiges Fünfeck – zusammengesetzt aus
einem spitzen und zwei stumpfen Goldenen
Dreiecken
 Seiten und Diagonalen stehen im Verhältnis des
Goldenen Schnittes
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6. Regelmäßiges Fünfeck
6.3. Goldener Schnitt im regelmäßigen Fünfeck
Außerdem gilt:
Zwei Diagonalen, die sich nicht in einer Ecke des Fünfecks schneiden, teilen einander im
Goldenen Schnitt.
Für den Beweis benötigen wir folgende Merkmale eines regelmäßigen Fünfecks:
a)
Die Größe jedes Innenwinkels ist 108°
b) Alle Diagonalen haben dieselbe Länge
c)
Jede Seite ist parallel zu der ihr „gegenüberliegenden“ Diagonalen
Q ist Schnittpunkt der Diagonalen P1 P3
Strahlensatz:
QP1
QP3

P1 P2
P3 P5
Mit P1P2  P4 P5 und P3 P5  P1P3 :
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und P2 P5
QP1
QP3

P4 P5
P1 P3
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6. Regelmäßiges Fünfeck
6.3. Goldener Schnitt im regelmäßigen Fünfeck
QP1
QP3
Bleibt zu zeigen, dass gilt:

P4 P5
P1 P3
P4 P5  QP3
 zeigen, dass QP3 P4 P5 ein Parallelogramm ist
 Merkmal c): Seite und „gegenüberliegende“ Diagonale
sind paralell
Parallelogramm und es gilt:
Somit folgt:
QP1
QP3

P4 P5  QP3
QP3
P1 P3
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7. Fibonacci-Zahlen
7.1. Linearisierung von Potenzen des Goldenen Schnittes
x2  x 1
 2   1
Heranmultiplizieren von

:
 3   2      1    2  1
Allgemein folgt durch Multiplizieren mit 
n
:
 n  2   n 1   n
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7. Fibonacci-Zahlen
7.1. Linearisierung von Potenzen des Goldenen Schnittes
 n  an  an 1
an
n  2,3,4,...
sind die Fibonacci-Zahlen, für sie gilt:
an  2  an 1  an
mit a1  1 und a2  1
Analog:
(  ) 2  (  )  1
(  ) n  an (  )  an 1
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n  2,3,4,...
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7. Fibonacci-Zahlen
7.2. Zusammenhang mit dem Goldenen Schnitt
Mit Hilfe der Linearisierungsformeln können wir eine explizite Darstellung der FibonacciFolge bestimmen:
 n  (  ) n  an  an 1  an (  )  an 1  an (   )
Mit     5 :
an 

1 n
  (  ) n
5

n
n
1  1  5   1  5  
 
 

an 
5  2   2  


 Formel von Binet
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7. Fibonacci-Zahlen
7.2. Zusammenhang mit dem Goldenen Schnitt
n 1
an 1  n 1  (  ) n 1
 n
an
  (  ) n
Mit

1

 
und somit   
  
n 1
 
    
  

n
 
1   
  
 
 0 und     0 für
  
n
n 
:
n 1
an 1
an
 
    
  

n
 
1   
  


n
  
1
 Goldener Schnitt kann durch den Quotienten zweier aufeinanderfolgenden FibonacciZahlen angenähert werden
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8. Goldener Schnitt in anderen Bereichen
8.1. Architektur
Altes Rathaus in Leipzig
Turm teilt die Vorderfront des Rathauses im Goldenen Schnitt
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Der Goldene Schnitt
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8. Goldener Schnitt in anderen Bereichen
8.2. Kunst
Raffaels „Sixtinische Madonna“
Proseminar für Lehramtskandidaten WS 2006/2007
Christine Reiber
Der Goldene Schnitt
04.12.2006
8. Goldener Schnitt in anderen Bereichen
8.2. Kunst
Leonardo da Vincis „Mona Lisa“
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Der Goldene Schnitt
04.12.2006
8. Goldener Schnitt in anderen Bereichen
8.3. Körper des Menschen
Leonardo da Vinci: Ästhetische Proportionen des Menschen, z.B. teilt der Nabel den
Menschen im goldenen Schnitt
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8. Goldener Schnitt in anderen Bereichen
8.4. Natur
Sonnenblume
Blütenstand nach dem Goldenen Schnitt
angeordnet
→ optimale Nutzung der Sonnenstrahlen
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9. Der Goldene Schnitt in der Schule
• In der 9. Klasse als „Mathematische Exkursion“ (Lambacher Schweizer)
• Im Lehrplan der 9.Klasse:

Reelle Zahlen (irrationale Zahlen)

Satz des Pythagoras

Strahlensätze

Quadratische Gleichungen

Ähnliche Figuren
Verschiedene Themen des Lehrplans werden im „Goldenen Schnitt“ verarbeitet
Anschauliche Verwendung der gelernten Theorie
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Christine Reiber