PowerPoint-Präsentation - Antiinfectives Intelligence

Bedingte
Wahrscheinlichkeiten
und diagnostische Tests
M. Kresken
1
Die bedingte Wahrscheinlichkeit
M. Kresken
2
Die bedingte Wahrscheinlichkeit
• Beispiel:
- Im Rahmen eines Screeningtests zur Erkennung von
Tumorpatienten interessiert beispielsweise die
Wahrscheinlichkeit für einen tatsächlich erkrankten
Probanden (K+) unter den Testpositiven (T+).
- Man beachte, dass möglicherweise auch tatsächlich
Gesunde (K–) als testpositiv bzw. tatsächlich Kranke als
testnegativ (T–) beurteilt werden können.
- Für die Berechnung der obigen Wahrscheinlichkeit ist das
Ereignis „tatsächlich krank und testpositiv“ zu betrachten,
d.h. die Menge aller Probanden, die einen positiven Test
haben und krank sind.
- Dies ist ein Teilkollektiv der testpositiven Probanden.
M. Kresken
3
Die bedingte Wahrscheinlichkeit
• Beispiel:
- Die Wahrscheinlichkeit für einen tatsächlich Erkrankten
unter den Testpositiven lässt sich als Quotient der
Wahrscheinlichkeit für gemeinsames Auftreten von
Krankheit und positivem Test (K+  T+)* und der
Wahrscheinlichkeit für einen positiven Test (T+) berechnen.
P(K+ | T+) =
P(K+  T+)
+) > 0
,
falls
P(T
P(T+)
Symbol „A  B“ wird verwendet, um das gemeinsame
Auftreten der Ereignisse A und B zu beschreiben.
*Das
M. Kresken
4
Die bedingte Wahrscheinlichkeit
• P(K+ | T+) heißt bedingte Wahrscheinlichkeit für die Krankheit K+
unter der Bedingung, dass ein positives Testresultat T+ vorliegt.
• Die allgemein übliche Schreibweise P(K+ | T+) trennt dabei die
Bedingung von dem gesuchten Ergebnis.
• Rechts von dem senkrechten Strich wird die Bedingung
(Bezugsmenge) notiert, links das interessierende Ergebnis.
• Intuitiv ermittelt man die bedingte Wahrscheinlichkeit für einen
tatsächlich Erkrankten unter den Testpositiven, indem man die
Zahl der Testpositiven, die gleichzeitig erkrankt sind, auf die
Gesamtzahl der Testpositiven bezieht.
M. Kresken
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Die bedingte Wahrscheinlichkeit
(Definition Wikipedia)
• Bedingte Wahrscheinlichkeit (auch konditionale
Wahrscheinlichkeit) ist die Wahrscheinlichkeit des Eintretens
eines Ereignisses A unter der Bedingung, dass ein Ereignis B
eintreten wird bzw. bereits eingetreten ist.
• Es wird geschrieben als P(A | B), der senkrechte Strich ist als
„unter der Voraussetzung“ zu lesen und wie folgt zu verstehen:
Wenn das Ereignis B eingetreten ist, ist die Wahrscheinlichkeit
für das Ereignis A gegeben durch P(A | B), es handelt sich also
nicht um eine (logische) Bedingung für A.
M. Kresken
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Die bedingte Wahrscheinlichkeit
Im folgenden werden die Eigenschaften der bedingten
Wahrscheinlichkeit an Hand einiger Spezialfälle diskutiert:
1. Im Fall, dass alle Testpositiven zugleich krank sind, ist die
Menge (K+  T+) gleich der Menge aller Testpositiven. In
diesem Fall gilt, dass die bedingte Wahrscheinlichkeit für
Krankheit unter den Testpositiven gleich 1 ist.
M. Kresken
7
Die bedingte Wahrscheinlichkeit
2. Würde man an Stelle eines diagnostischen Tests eine Münze
werfen, so wäre das Testergebnis sicher unabhängig vom
Auftreten der Krankheit. In diesem Fall wäre die bedingte
Wahrscheinlichkeit P(K+ | T+) = P(K+), da auf Grund des
Multiplikationssatzes die Wahrscheinlichkeit P(K+  T+) für
das gemeinsame Auftreten von Krankheit und positivem Test
gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeit für positiven Test
P(T+) und Krankheit P(K+) ist, P(K+  T+) = P(K+) • P(T+).
M. Kresken
8
Die bedingte Wahrscheinlichkeit
3. Für das Verständnis der nächsten Eigenschaft ist zu
beachten, dass die Ereignisse K+ und K– sich gegenseitig
ausschließen. Addiert man nun die bedingten
Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse „krank“ zu sein unter
den Testpositiven (P(K+ | T+) und „nicht krank“ zu sein unter
den Testpositiven (P(K– | T+), so ergibt sich nach dem
Additionssatz*:
P(K+ | T+) + P(K– | T+) = P(K+  K– | T+) = P(S+ | T+) = 1
Dabei ist zu beachten, dass alle Testpositiven durch die
Ereignisse K+ | T+ und K– | T+ erfasst werden, so dass
P(S+ | T+) = 1 ist (S bezeichnet das sichere Ergebnis).
Symbol „A  B“ wird verwendet, um das Auftreten der
Ereignisses A oder B zu beschreiben.
*Das
M. Kresken
9
Die bedingte Wahrscheinlichkeit
Insgesamt resultiert eine häufig verwendete Eigenschaft der
bedingten Wahrscheinlichkeit
P(K+ | T+) = 1 - P(K– | T+)
4. Die vorangegangene Eigenschaft und die Definition der
bedingten Wahrscheinlichkeit können benutzt werden, um
den so genannten Satz von Bayes herzuleiten.
M. Kresken
10
Satz von Bayes
Angenommen, man kennt die Testcharakteristika derart,
dass die Wahrscheinlichkeit für einen Testpositiven unter den
Erkrankten P(T+ | K+), die Wahrscheinlichkeit für einen
Testnegativen unter den Gesunden P(T– | K–) sowie die
Wahrscheinlichkeit für einen Erkrankten in der
Grundgesamtheit P(K+) bekannt sind. Dann lässt sich die
Wahrscheinlichkeit für einen Erkrankten unter den
Testpersonen P(K+ | T+) wie folgt berechnen:
P(K+ | T+) =
M. Kresken
P(K+) • P(T+ | K+)
P(K+) • P(T+ | K+) + (1 - P(K+)) • (1 - P(T– | K–))
11
Satz von Bayes
M. Kresken
12
Diagnostische Tests
• Von spezieller Bedeutung sind bedingte Wahrscheinlichkeiten
bei der Bewertung und Konstruktion von diagnostischen
Testverfahren.
• Man beachte, dass bei der Diagnosestellung (Vorhersage der
Realität) die Möglichkeit besteht, dass der Test positiv ausfällt,
obwohl die Krankheit nicht vorliegt (falsch-positiv) oder der Test
negativ ausfällt, obwohl die Krankheit vorliegt (falsch-negativ).
• Im Rahmen der Bewertung der Eigenschaften eines
diagnostischen Tests gilt es nun unter anderen Aspekten die
Wahrscheinlichkeit für solche Fehlentscheidungen zu
quantifizieren.
M. Kresken
13
Entscheidungsschema eines diagnostischen Tests
Testentscheidung
lautet:
Realität
krank
gesund
positiv
(krank)
richtige
Entscheidung
falsche
Entscheidung
falsch-positiv
„Fehler 1. Art“
negativ
(gesund)
falsche
Entscheidung
falsch-negativ
„Fehler 2. Art“
M. Kresken
richtige
Entscheidung
14
Diagnostische Tests
• In der vorangegangenen Tabelle sind die Testergebnisse den
„realen“ Zuständen des Patienten gegenübergestellt. Dabei sei
erwähnt dass der reale Zustand des Patienten (Realität), also
das Vorliegen der Erkrankung oder Nicht-Erkrankung, in der
praktischen Anwendung häufig nicht ermittelt werden kann.
• In solchen Fällen ist man darauf angewiesen, den Zustand der
Erkrankung durch ein etabliertes Testverfahren zu ermitteln.
Solch ein Testverfahren sollte sich in der Routine langjährig
bewährt haben und wird Gold-Standard genannt.
• Im Rahmen diagnostischer Studien liegen im allgemeinen
Testergebnisse von n Individuen vor, wobei darüber hinaus
angenommen wird, dass in allen Fällen die Diagnose durch ein
„Außenkriterium“ gesichert werden konnte.
M. Kresken
15
Beobachtete Häufigkeiten eines diagnostischen Tests
Test
Realität
gesamt
[K+]
[K–]
[T+]
a
b
a+b
[T–]
c
d
c+d
Gesamt
a+c
b+d
n=a+b+c+d
M. Kresken
16
Prävalenz
• Prävalenz heißt die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte
Krankheit in der Grundgesamtheit. Sie wird grob geschätzt
durch:
P(K+)
M. Kresken
=
Zahl der Erkrankten (an einer bestimmten Krankheit)
Gesamtheit der Bevölkerung
17
Prävalenz
Test
Realität
gesamt
[K+]
[K–]
[T+]
a
b
a+b
[T–]
c
d
c+d
Gesamt
a+c
b+d
n=a+b+c+d
M. Kresken
18
Prävalenz
Realität
Test
gesamt
[K+]
[K–]
[T+]
a
b
a+b
[T–]
c
d
c+d
Gesamt
a+c
b+d
n=a+b+c+d
P(K+) =
a+c
n
Da die Prävalenz offensichtlich unabhängig vom Test ist, wird
sie auch als a-priori Wahrscheinlichkeit oder PrätestWahrscheinlichkeit bezeichnet.
M. Kresken
19
Sensitivität
• Sensitivität (eines Tests) heißt die (bedingte) Wahrscheinlichkeit
für einen positiven Test unter den tatsächlich Kranken. Sie wird
geschätzt durch:
Zahl der Erkrankten mit positivem Test
P(T+ | K+) =
Gesamtzahl der Erkrankten
M. Kresken
20
Sensitivität
Test
Realität
gesamt
[K+]
[K–]
[T+]
a
b
a+b
[T–]
c
d
c+d
Gesamt
a+c
b+d
n=a+b+c+d
M. Kresken
21
Sensitivität
Realität
Test
gesamt
[K+]
[K–]
[T+]
a
b
a+b
[T–]
c
d
c+d
Gesamt
a+c
b+d
n=a+b+c+d
P(T+ | K+) =
a
a+c
Die Sensitivität lässt sich als Empfindlichkeit des
Testverfahrens verstehen, da sie die Wahrscheinlichkeit für
die richtige Entscheidung unter den Kranken angibt. Ist die
Sensitivität des Tests hoch, so wird der Test kaum Kranke
übersehen.
M. Kresken
22
Spezifität
• Spezifität (eines Tests) heißt die (bedingte) Wahrscheinlichkeit
für einen negativen Test unter den tatsächlich Gesunden. Sie
wird geschätzt durch:
P(T– | K–) =
Zahl der Gesunden mit negativem Test
Gesamtzahl der Gesunden
M. Kresken
23
Spezifität
Test
Realität
gesamt
[K+]
[K–]
[T+]
a
b
a+b
[T–]
c
d
c+d
Gesamt
a+c
b+d
n=a+b+c+d
M. Kresken
24
Spezifität
Realität
Test
gesamt
[K+]
[K–]
[T+]
a
b
a+b
[T–]
c
d
c+d
Gesamt
a+c
b+d
n=a+b+c+d
P(T– | K–) =
d
b+d
Die Spezifität reflektiert die Treffsicherheit des Testverfahrens
insofern, als sie die Wahrscheinlichkeit für die richtige
Entscheidung unter den Gesunden quantifiziert. Ein
spezifischer Test wird Gesunde kaum als krank
fehlklassifizieren.
M. Kresken
25
Positiver Vorhersagewert
• Der positive Vorhersagewert oder prädiktive Wert des positiven
Testresultats gibt die (bedingte) Wahrscheinlichkeit an, krank zu
sein, falls ein positives Ergebnis vorliegt. Es wird geschätzt
durch:
Zahl der Erkankten mit positivem Test
P(K+ |
T+ )
=
Gesamtzahl der testpositiven Fälle
M. Kresken
26
Positiver Vorhersagewert
Test
Realität
gesamt
[K+]
[K–]
[T+]
a
b
a+b
[T–]
c
d
c+d
Gesamt
a+c
b+d
n=a+b+c+d
M. Kresken
27
Positiver Vorhersagewert
Realität
Test
gesamt
[K+]
[K–]
[T+]
a
b
a+b
[T–]
c
d
c+d
Gesamt
a+c
b+d
n=a+b+c+d
P(K+ | T+) =
a
a+b
Da der positive Vorhersagewert die diagnostische Fähigkeit
eines positiven Testergebnisses widerspiegelt, wird er
zuweilen auch als a-posteriori Wahrscheinlichkeit für
Krankheit bezeichnet.
M. Kresken
28
Positiver Vorhersagewert
• Sind Prävalenz, Sensitivität und Spezifität eines Testverfahrens
bekannt, so lässt sich der prädiktive Wert des positiven
Testresultats mittels des Satzes von Bayes berechnen:
P(T+ | K+) • P(K+)
P(K+ | T+) =
P(T+ | K+) • P(K+) + P(T+ | K–) • P(K–)
Sensitivität • Prävalenz
=
Sensitivität • Prävalenz + (1 – Spezifität) • (1 – Prävalenz)
An Hand dieses Zusammenhangs lässt sich erkennen, dass der
positive Vorhersagewert bei zunehmender Prävalenz steigt.
Dieser mathematische Zusammenhang bedingt, dass bei der
Anwendung eines diagnostischen Tests in einem Risikokollektiv
höhere positive Vorhersagewerte zu erreichen sind.
M. Kresken
29
Negativer Vorhersagewert
• Der negative Vorhersagewert oder prädiktive Wert des
negativen Testresultats gibt die (bedingte) Wahrscheinlichkeit
an, gesund zu sein, falls ein negatives Ergebnis vorliegt. Es wird
geschätzt durch:
P(K– |
T–)
Zahl der Gesunden mit negativem Test
=
Gesamtzahl der testnegativen Fälle
M. Kresken
30
Negativer Vorhersagewert
Test
Realität
gesamt
[K+]
[K–]
[T+]
a
b
a+b
[T–]
c
d
c+d
Gesamt
a+c
b+d
n=a+b+c+d
M. Kresken
31
Negativer Vorhersagewert
Realität
Test
gesamt
[K+]
[K–]
[T+]
a
b
a+b
[T–]
c
d
c+d
Gesamt
a+c
b+d
n=a+b+c+d
P(K– | T–) =
M. Kresken
d
c+d
32
Negativer Vorhersagewert
• Auch der prädiktive Wert für ein negatives Testresultat lässt sich
aus der Prävalenz, Sensitivität und Spezifität mittels des Satzes
von Bayes berechnen:
P(K– |
T–)
Spezifität • (1 – Prävalenz)
=
Spezifität • (1 – Prävalenz) + (1 – Sensitivität) • Prävalenz
Für den Zusammenhang zwischen dem negativen
Vorhersagewert und der Prävalenz gilt, dass der Vorhersagewert
sinkt, wenn die Prävalenz steigt .
M. Kresken
33
Beispiel: Bewertung eines (Screening)Tests zur
Diagnosestellung HIV
• Nach Modellrechnungen betrug vor einigen Jahren die
Prävalenz von HIV-Infizierten unter den heterosexuellen
Bundesbürgern 0,1%. Für Screening-Untersuchungen steht ein
HIV-Test mit einer Sensitivität von 0,98 und einer Spezifität von
0,99 zur Verfügung.
• Modellrechnung mit 1.000.000 heterosexueller Bundesbürger
M. Kresken
34
Erwartete Häufigkeiten der Diagnose HIV in Abhängigkeit vom
Vorliegen der Erkrankung auf der Basis einer Stichprobe von
1.000.000 heterosexuellen Bundesbürgern
HIV-positiv
Test
ja
[HIV+]
nein
[HIV–]
gesamt
positiv
[T+]
980
9.990
10.970
negativ
[T–]
20
989.010
989.030
Gesamt
1.000
999.000
1.000.000
M. Kresken
35
Erwartete Häufigkeiten der Diagnose HIV in Abhängigkeit vom
Vorliegen der Erkrankung auf der Basis einer Stichprobe von
1.000.000 heterosexuellen Bundesbürgern
Prävalenz
HIV-positiv
Test
ja
[HIV+]
nein
[HIV–]
gesamt
positiv
[T+]
980
9.990
10.970
negativ
[T–]
20
989.010
989.030
Gesamt
1.000
999.000
1.000.000
M. Kresken
36
Erwartete Häufigkeiten der Diagnose HIV in Abhängigkeit vom
Vorliegen der Erkrankung auf der Basis einer Stichprobe von
1.000.000 heterosexuellen Bundesbürgern
Prävalenz
HIV-positiv
Test
ja
[HIV+]
nein
[HIV–]
gesamt
positiv
[T+]
980
9.990
10.970
negativ
[T–]
20
989.010
989.030
Gesamt
1.000
999.000
1.000.000
P(HIV+) =
M. Kresken
a+c
1.000
=
= 0,001
n
1.000.000
37
Erwartete Häufigkeiten der Diagnose HIV in Abhängigkeit vom
Vorliegen der Erkrankung auf der Basis einer Stichprobe von
1.000.000 heterosexuellen Bundesbürgern
Sensitivität
HIV-positiv
Test
ja
[HIV+]
nein
[HIV–]
gesamt
positiv
[T+]
980
9.990
10.970
negativ
[T–]
20
989.010
989.030
Gesamt
1.000
999.000
1.000.000
M. Kresken
38
Erwartete Häufigkeiten der Diagnose HIV in Abhängigkeit vom
Vorliegen der Erkrankung auf der Basis einer Stichprobe von
1.000.000 heterosexuellen Bundesbürgern
Sensitivität
HIV-positiv
Test
ja
[HIV+]
nein
[HIV–]
gesamt
positiv
[T+]
980
9.990
10.970
negativ
[T–]
20
989.010
989.030
Gesamt
1.000
999.000
1.000.000
P(T+ | HIV+) =
M. Kresken
a
980
=
= 0,98
a+c
1.000
39
Erwartete Häufigkeiten der Diagnose HIV in Abhängigkeit vom
Vorliegen der Erkrankung auf der Basis einer Stichprobe von
1.000.000 heterosexuellen Bundesbürgern
Spezifität
HIV-positiv
Test
ja
[HIV+]
nein
[HIV–]
gesamt
positiv
[T+]
980
9.990
10.970
negativ
[T–]
20
989.010
989.030
Gesamt
1.000
999.000
1.000.000
M. Kresken
40
Erwartete Häufigkeiten der Diagnose HIV in Abhängigkeit vom
Vorliegen der Erkrankung auf der Basis einer Stichprobe von
1.000.000 heterosexuellen Bundesbürgern
Spezifität
HIV-positiv
Test
ja
[HIV+]
nein
[HIV–]
gesamt
positiv
[T+]
980
9.990
10.970
negativ
[T–]
20
989.010
989.030
Gesamt
1.000
999.000
1.000.000
P(T– | HIV–) =
M. Kresken
d
b+d
=
989.010
999.000
= 0,99
41
Erwartete Häufigkeiten der Diagnose HIV in Abhängigkeit vom
Vorliegen der Erkrankung auf der Basis einer Stichprobe von
1.000.000 heterosexuellen Bundesbürgern
Vorhersagewert für das positive Testergebnis (HIV+)
HIV-positiv
Test
ja
[HIV+]
nein
[HIV–]
gesamt
positiv
[T+]
980
9.990
10.970
negativ
[T–]
20
989.010
989.030
Gesamt
1.000
999.000
1.000.000
M. Kresken
42
Erwartete Häufigkeiten der Diagnose HIV in Abhängigkeit vom
Vorliegen der Erkrankung auf der Basis einer Stichprobe von
1.000.000 heterosexuellen Bundesbürgern
Vorhersagewert für das positive Testergebnis (HIV+)
HIV-positiv
Test
ja
[HIV+]
nein
[HIV–]
gesamt
positiv
[T+]
980
9.990
10.970
negativ
[T–]
20
989.010
989.030
Gesamt
1.000
999.000
1.000.000
P(HIV+ | T+) =
M. Kresken
a
a+b
=
980
10.970
= 0,089
43
Erwartete Häufigkeiten der Diagnose HIV in Abhängigkeit vom
Vorliegen der Erkrankung auf der Basis einer Stichprobe von
1.000.000 heterosexuellen Bundesbürgern
Vorhersagewert für das negative Testergebnis (HIV–)
HIV-positiv
Test
ja
[HIV+]
nein
[HIV–]
gesamt
positiv
[T+]
980
9.990
10.970
negativ
[T–]
20
989.010
989.030
Gesamt
1.000
999.000
1.000.000
M. Kresken
44
Erwartete Häufigkeiten der Diagnose HIV in Abhängigkeit vom
Vorliegen der Erkrankung auf der Basis einer Stichprobe von
1.000.000 heterosexuellen Bundesbürgern
Vorhersagewert für das negative Testergebnis (HIV–)
HIV-positiv
Test
ja
[HIV+]
nein
[HIV–]
gesamt
positiv
[T+]
980
9.990
10.970
negativ
[T–]
20
989.010
989.030
Gesamt
1.000
999.000
1.000.000
P(HIV– | T–) =
M. Kresken
d
c+d
=
989.010
989.030
= 0,999
45
Beispiel: Bewertung eines (Screening)Tests zur Diagnosestellung
HIV - Vorhersagewert für das positive Testergebnis (HIV+)
Berechnung der Prävalenz mit dem Satz von Bayes:
P(T+ | HIV+) • P(HIV+)
P(HIV+ | T+) =
P(T+ | HIV+) • P(HIV+) + P(T+ | HIV–) • P(HIV–)
Sensitivität • Prävalenz
=
Sensitivität • Prävalenz + (1 – Spezifität) • (1 – Prävalenz)
0,98 • 0,001
=
0,98 • 0,001 + (1 – 0,99) • (1 – 0,001)
0,00098
=
M. Kresken
0,00098 + 0,01 • 0,999
0,000980
=
= 0,0893
0,00098 + 0,00999
46
Beispiel: Bewertung eines (Screening)Tests zur Diagnosestellung
HIV - Vorhersagewert für das positive Testergebnis (HIV+)
Wie hoch ist bei gleicher Sensitivität und Spezifiztät dieser
Vorhersagewert, wenn der Test für die Screening-Untersuchung
der Heterosexuellen eines zentralafrikanischen Endemiegebietes
bei einer geschätzten Prävalenz von 30%?
Sensitivität • Prävalenz
=
Sensitivität • Prävalenz + (1 – Spezifität) • (1 – Prävalenz)
0,98 • 0,3
=
0,98 • 0,3 + (1 – 0,99) • (1 – 0,3)
0,294
=
M. Kresken
0,294 + 0,01 • 0,7
0,294
=
= 0,9767
0,294 + 0,007
47