Metrische Markow

Metrische Markow-Ketten
Klaus Frieler
Universität Hamburg
Musikwissenschaftliches Institut
Einleitung
• Metrisch gebundene Musik verfügt über zwei Apsekte
musikalischer Zeit:
Lineare Zeit
Zyklische Zeit
• Der zyklische Aspekt ist vor allem in genuiner
Rhythmus und Metrumsforschung untersucht worden
• Gelegentliche Kreisdarstellungen, meisten
beschränkt auf eintaktige Patterns oder Strukturen
von Metren.
Metrische Markow-Ketten
Einleitung
• Verallgemeinerung: Metrische Kreisabbildung
(MKA)
• Einführung von Metrischen Markow-Ketten
(MMK)
• Kompakte Visualisierung von einzelnen oder
mehreren Rhythmen auf dem metrischen
Kreis.
• Definition der Metrischen Entropie (ME) als
Kennzahl für metrische Variabialiät und
Strukturiertheit.
Metrische Markow-Ketten
Metrische Kreisabbildung
• Rhythmen darsgestellt als streng monotonwachsende Folge von Zeitpunkten ti
• Annahme hier: Metrische Rhythmen mit Taktlänge T.
• Metrische Kreisabbildung vom Rhythmus auf den
Einheitskreis in der komplexen Ebene
• Zeit läuft gegen den Uhrzeigersinn. Der freie
Parameter f erlaubt,die Taktanfänge auf einen Punkt
abzubilden, hier: (1,0) oder 3 Uhr.
Metrische Markow-Ketten
Metrische Markow-Ketten
• Definiere N nicht-überlappende
Kreissegmente mit Mittelpunkten auf den Nten Einheitswurzeln (bei Winkeln 360°/N)
• Jeder Punkt der MKA ist liegt dann in genau
einem Intervall.
• Wir erhalten eine Folge von Kreisindizes für
einen Rhythmus.
Metrische Markow-Ketten
Metrische Markow-Ketten
• Markow-Ketten ergeben sich dann als
Besetzungs- und
Übergangswahrscheinlichkeiten (0. und 1.
Ordnung) zwischen Kreisindizes.
• Bem.: Markow-Ketten lassen sich auch für andere
musikalische Parameter definieren und wurden oft für
algorithmische Kompositon eingesetzt.
Metrische Markow-Ketten
Visualisierung
• Beispiel: Mandy von Barry Manilow
Metrische Markow-Ketten
Visualisierung
• Beispiel: Drumgroove „Cross-Fade“ von Steve
Coleman (9/4). (OL: Hihat, OR: Cowbell, UL: Kick,
UR: Snare)
Metrische Markow-Ketten
Metrische Entropie
• Informationsentropie wurde 1948 von Claude
Shannon für die Signaltechik eingeführt.
• Sie ist ein Maß für die „Information“ die in
einer Wahrscheinlichkeitsverteilung enthalten
ist, in diesem Sinne:
Wieviele Ja/Nein-Fragen muss man im Mittel
stellen um das Ergebnis eines Zufallsexperiment
herauszufinden.
• Einheit: Bits.
Metrische Markow-Ketten
Metrische Entropie
• Sei eine Zufallsvariable
(Wahrscheinlichkeitsverteilung) mit N
Wahrscheinlichkeiten pi gegeben. Dann ist die
Entropie
H = -S pi log2 pi
• Sehr sichere und sehr unsichere Ereignisse
transportieren wenig Information.
• Maximale Entropie bei Gleichverteilung:
pi = 1/N
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Metrische Entropie
• Wir definieren für die Metrischen Markow-Ketten
Entropie 0. und 1. Ordnung, h0 and h1, normalisiert
auf Werte zwischen 0 und 1.
• h0 ist Entropie der Besetzungswahrscheinlichkeiten:
Desto mehr verschiedene metrische Positionen und desto
gleichmäßiger sie eingenommen werden, desto höher ist die
Entropie.
• Höchste Entropie bei vollkommen gleichmäßigen
Schlagfolgen, aber auch bei vollkommen zufälligen.
• Entropie sinkt falls bestimmte Positionen bevorzugt
werden („Besetzungakzente“)
Metrische Markow-Ketten
Metrische Entropie
• h1 ist Entropie der Übergangswahrscheinlichkeiten.
Desto mehr verschiedene Übergänge und desto
gleichmäßiger diese vorkommen, desto höher die Entropie
• Komplett zufällige Folgen haben höhere metrische
Entropie 1. Ordnung als komplett strukturierte.
Unterscheidungskriterium.
• Zusammengenommen bilden h0 und h1 Maß für
metrische Variabilität.
• Interpretation im Sinne von Vorhersagbarkeit von
Rhythmen.
• Frage: Metrisches Komplexitätsmaß? (keine
Berücksichtung der Phasenlage und der metrischen
Hierarchie)
Metrische Markow-Ketten
Metrische Analyse von
Melodiesammlungen
• Zur Demontstration der Methoden wurden 5
Liedsammlungen untersucht:
–
–
–
–
–
61 Irische Volkslieder
586 LuxemburgischeWeisen,
149 Ostpolnische Kirchenlieder aus Warmia
207 deutsche Kinderlieder
53 zeitgenössische Pop songs (Boygroup-Songs
aus den Charts, Daten von Frank Riedemann)
• Transformation mit der MKA, Berechnung von
MMK, Berechnung der ME
Metrische Markow-Ketten
Verteilung der Signaturen
Signatur
2/4
Kinder
Warmia
70,5
Luxemb.
4,1
4/8
4/4
33,6
Pop
11,0
0,2
8,7
72,3
8/4
27,0
33,0
96,2
2,0
3 /8
3,9
1,4
2,0
3 /4
12,1
7,4
21,5
6/4
6/8
Irisch
1,4
4,8
1,4
33,0
3,0
15,7
9/8
3,8
16,0
3,0
9/4
8,1
5/4
1,4
7/4
0,7
Zweier
79,2
78,4
60,8
44,0
96,2
Dreier
20,8
19,6
39,2
56,0
3,8
Ungerade
2,0
Metrische Markow-Ketten
Visualisierung der Liedsammlungen
• Links Kinderlieder, rechts Warmia
Metrische Markow-Ketten
Visualisierung der Liedsammlungen
• Links:Luxemburg, Mitte: Irische, Rechts: Pop
Metrische Markow-Ketten
Verteilung der Metrischen Position
• Pop songs
Irish
Pop
Children
East-Polish
Luxembourg
350
Rel. Freq. (%/10)
300
250
200
150
100
50
0
0
5
10
15
20
25
30
35
Index on the Metrical Circle (N=48)
Metrische Markow-Ketten
40
45
50
Verteilung der Metrischen Position
• Oben: Kinderlieder, unten: Pop songs
350
Rel. Freq (%*10)
300
250
200
150
100
50
0
0
6
12
18
24
30
36
42
48
Circle Index
14
Rel. Freq. (%)
12
10
8
6
4
2
0
0
5
10
15
20
25
30
35
Circle Index (N=48)
Metrische Markow-Ketten
40
45
50
Übergangswahrscheinlichktien
42
Circle Index (N=48)
36
30
Pop
East-Polish
24
Luxembourg
Irish
Children
18
12
6
0
0
6
12
18
24
30
36
Circle Index (N=48)
Metrische Markow-Ketten
42
Metrische Entropien
• Links: 0. Ordnung, rechts: 1. Ordnung
Metrische Markow-Ketten
Metrische Entropien: Vergleich
• Hochsignifikante Unterschiede in den Entropieverteilungen
(p<.00). Ausnahme: Luxemburg und Warmia.
• Kinderlieder sind am „einfachsten“: Weniger metrische
Variabilität (2/4 Takte!), Besetzungswahrscheinlichkeiten am
stärksten akzentuiert.
• Popsongs zeigen größte Variabilität. Jede Achtelposition im 4/4
ist nahezu gleichwahrscheinlich. Viele Synkopen resultieren in
höherer Zahl von Übergängen
• Kinderlieder und Luxemburgische Songs zeigen homogenste
Verteilung, die Irischen Lieder haben die breiteste Streuung
Metrische Markow-Ketten
Zusammenfassung und Ausblick
• Die MKA und die Metrischen Markow-Ketten sind zur
Beschreibung und Charakterisierung von Rhythmen
geeignet.
• Kompakte Visualisierung
• Metrische Entropien sind zur Differenzierung von
Stilen geeignet (auf der Ebene von Sammlungen)
• Mögl. Erweiterungen:
–
–
–
–
Tonhöhe als Radius
Lineare Zeit als 3. Koordinate (Spiralen auf Zylindern)
Tonhöhe auf dem Quintenzirkel führt auf Torusdarstellung…
Metrische Ähnlichkeitsmaße
Metrische Markow-Ketten