min - IVT

Umlegung
Zwischenfragen
PPT → Netz
A. Horni
IVT, ETH Zurich
Wozu?
Umlegungsverfahren (generell 4-Stufen-Ansatz) – wozu?
Direkte Lenkung von
realen Verkehrsflüssen
z.B. Prognosen
(z.B. Reisezeit im Netz,
Streckenbelastung, …)
→ Planungswerkzeug
Umlegung =
4. Schritt des 4-StufenAnsatzes
z.B. 4-Stufen-Ansatz
Strassennetz
2341
Verkehrserzeugung
Verkehrsmittelwahl
Verkehrsverteilung
Umlegung
Verkehrsanziehung
(Routenwahl)
4
2
3
4→?
4→?
Ziel
Quelle
Zürich
Zürich
0
Ff
2
Zug
S
4
6
?
Frauenf
Zug
3
S
12
6
12
3
Herleitung am Bsp. QZ. Airolo-GöschenentT=25min [1 + aT (lT/cT)b ]
T
BPR:
t = t0 [1 + a (load/capacity)b ]
Keiner kann durch
Nutzenmaximierung
(t)
alleinigen Wechsel
?
gewinnen!
→ Reisezeitminimierung
?
Nachfrage 1600 Fzg./h
aT = aP = 1; bT = bP = 2
tP=35 min [1 + aP (lP/cP)b ]
P
cT = 1600 Fzg./h cP = 1500 Fzg./h
lT ~ 1200 Fzg./h
lP ~ 400 Fzg./h
Wardrop-Gleichgewicht: Alle Wege, die zwischen einem Quelle-ZielPaar benutzt werden, haben dieselbe Reisezeit (generalisierten Kosten).
Alle nicht benutzten Wege zwischen einem Quelle-Ziel-Paar haben eine
höhere Reisezeit (generalisierte Kosten)
Berechnung des Gleichgewichtspunktes?
• BelastungTunnel;
BelastungPass = Nachfrage - BelastungTunnel
• Riesige Anzahl von Netzwerkkanten, welche Einfluss
aufeinander haben.
• Nichtlineares System xb
→ Nicht analytisch (oder graphisch) lösbar
→ Iterativ, numerisches Verfahren wird benötigt
Berechnungsverfahren
• Wie könnte das aussehen?
• Gewicht Schale → Fahrtzeit (bzw. generalisierte Kosten)
• Unterschiedliche Schalen → unterschiedliche Strassenparameter:
t0, Kapazität, a, b
Berechnungsverfahren
• Verschiedene Umlegungsverfahren
Nicht iterativ:
?
Lege kleine Portionen auf die jeweils leichtere Schale bis
Mehl komplett auf der Waage.
SCANS
→ Incremental assignment (Ortuzar S. 340)
Iterativ:
?
Verschiebe solange Mehl von der schwereren Schale zur
leichteren bis beide gleich schwer sind.
→ Method of Successive Averages (Ortuzar S. 342)
MSA → Prüfungsaufgabe!
• Method of Successive Averages (MSA)
• Anteil Mehl → Umlegungsparameter f
• Verfeinerung:
Starte (falls Ungleichgewicht gross) mit grossem f und lasse f
immer kleiner werden, sonst haben wir irgendwann
Oszillationen ohne weitere Annäherung ans Gleichgewicht.
• Randbemerkung:
Berechnung von f in Abhängigkeit zum Abstand vom GG →
Frank-Wolfe (kommt nicht an Prüfung!)
MSA – 2 Routen
Anteil f von der langsameren auf die schnellere Route
Belastung: x
t: 50 min
Anteil f von x
A
Belastung: y
t: 40 min → min
B
MSA – 3 Routen
Anteil f von allen langsameren auf die schnellste Route
Belastung: x
t: 50 min
Anteil f von x
A
B
Belastung: y
t: 40 min → min
Anteil f von z
Belastung: z
t: 60 min
MSA – 2 Quell-Zielbeziehungen
Umlegung: Jede QZ. einzeln →
GG: ~400; ~1200
ABER: Zeit kombiniert!
Andermatt
C
400 Fzg./h
360
400 + 800 Fzg./h = 1200 Fzg./h
360
tAirolo-Andermatt
Airolo
A
tAndermatt-Göschenen
Anteil f von 400
Fzg./h
B
Göschenen
1240 Fzg./h
1200
tTunnel
QZ 1: Airolo-Göschenen, 1600 Fzg./h
Route 1: Pass tAirolo-Andermatt + tAndermatt-Göschenen
Route 2: Tunnel tTunnel
QZ 2: Andermatt-Göschenen, 800 Fzg./h
Route 1: Passabfahrt tAndermatt-Göschenen
Quell-Zielbeziehung - Klärung
Andermatt
C
Airolo
A
QZ 1: Airolo-Göschenen
Quelle: A
Ziel:
B (nicht C!)
B
Göschenen
QZ 2: Andermatt-Göschenen
Quelle: C
Ziel:
B
MSA - Rechenbeispiel
tP=35 min [1 + aP (lP/cP)b ]
Nachfrage 1600 Fzg./h
P
aT = aP = 1; bT = bP = 2
cT = 1600 Fzg./h cP = 1500 Fzg./h
Pass
f konstant 0.1
160.0
116.6
144.0 Fzg./h
55.0
129.6
A
(10% von der langsameren auf die
schnellere Route)
B
Tunnel
tT=25min [1 + aT (lT/cT)b ]
T
Tunnel
Pass
Bel.
F/h
t
(min)
Bel.
F/h
t
(min)
Dt
(min)
0
1600
50.0
0
35.0
15.0
1
1440.0
45.3
160.0
35.4
9.9
0.1 * 1600.0 Fzg./h → 160.0 Fzg./h
2
1296.0
41.4
304.0
36.4
5.0
3
1166.4
38.3
433.6
38.0
0.3
0.1 * 1440.0 Fzg./h → 144.0 Fzg./h
0.1 * 1296.0 Fzg./h → 129.6 Fzg./h
4
1049.8
35.8
550.2
39.7
3.9
5
1104.8
36.9
495.2
38.8
1.9
It
Prüfung: Initialisierung gegeben
0.1 * 1166.4 Fzg./h → 116.6 Fzg./h
0.1 * 550.2 Fzg./h → 55.0 Fzg./h
MSA → Ortuzar (Hilfsflüsse Fa)
Salopp formuliert:
Anteil f von allen langsameren auf
→ Fa = x + y + z (komplette
Nachfrage auf günstigste Route)
die schnellste Route
Belastung: x
t: 50 min
1: (1-f) * x + f * 0
1
2: y +
Anteil f von x
Fa
A
2
Belastung: y
t: 40 min → min
B
3
= (1-f) * y + f * y + f * (x+z)
= (1-f) * y + f * (x+y+z)
= (1-f) * y + f * Fa
Anteil f von z
Belastung: z
t: 60 min
f*x+f*z
3: (1-f) * z + f * 0
Allgemeines zum Verfahren
• Geschwindigkeit
(f konstant)
↔
Genauigkeit
• Stabilität bez. Konvergenz
Verfahren soll natürlich von jedem beliebigen Startpunkt aus
zum Gleichgewicht konvergieren!
• Gibt es mehrere Gleichgewichte?
• Abbruchkriterium:
• „1. Ordnung“: Angestrebte Genauigkeit De
• z.B.: Relative Reisezeitdifferenz zwischen Routen ≤ 1%
pro QZ-Beziehung
0: Initialisierung
•Startknoten als Arbeitsknoten und als
findet man die schnellste
definitivWie
markieren
Route:
A - B
Route?
→ Dijkstra
•Restliche Knoten als unerreichbar
markieren (d=∞)
I:
•Trage in allen Nachbarknoten des
aktuellen Arbeitsknotens die Distanz
zum Startknoten ein, falls diese
kleiner ist, als der eingetragene Wert.
•Merke mir in diesem Fall in den
Nachbarknoten den aktuellen
Arbeitsknoten als Vorgänger.
II:
Aus allen Knoten, die noch nicht als
definitiv markiert sind, wird derjenige
mit dem kleinsten Wert im Distanzfeld
ausgesucht, als definitiv markiert und
zum neuen Arbeitsknoten gemacht.
III:
Verfolge die Route beginnend beim
Zielknoten zurück
Distanz zum
Startkknoten
-
Vorgänger
D -
E
definitiv
A
0
-
x
B
∞
1
A
x
C
∞
4
A
x
D
∞
5
B
x
E
∞
98
C
D
x
Übung C
•
3 Aufgaben
• Dijkstra
• 1 Quell-Zielbeziehung, 3 Routen
• 2 Quell-Zielbeziehungen (2 + 1) Routen
• XLS
•
In 4er Gruppen
•
Ortuzar/Willumsen Umlegungskapitel PDFs
•
Korrektur r/f → häufigste Probleme & Fragen in ML
Befragung
•
•
•
freiwillig!
Aber bitte NICHT als Gruppe ausfüllen, sondern einzeln
www.andreashorni.ch/vpl
R = 2 * Dmax