Mathematische Modellierung, Begriffsklärung

Die Schwerpunkte des Dreiecks
Franz Embacher
[email protected]
http://homepage.univie.ac.at/franz.embacher/
Fakultät für Physik
der Universität Wien
Vortrag auf der 11. Internationalen Tagung über Schulmathematik
Technische Universität Wien, 29. Februar 2008
Vorbemerkungen
• Entdeckendes und schülerInnenzentriertes Lernen
von Mathematik erfordert geeignete Inhalte
• Stoffdidaktischer Vorschlag für Sekundarstufe 2
• Einsatz von Methoden der analytischen
Geometrie (Vektorrechnung) und der
Stochastik (gewichtetes Mittel)
• Thema: Dreiecksgeometrie
• l‘art pour l‘art
Was ist der Schwerpunkt des Dreiecks?
C
b
a
A
c
B
Es gibt mehrere „demokratische“ Möglichkeiten, einem
Dreieck einen „Mittelpunkt“ zuzuweisen!
 Mathematische Modellierung, Begriffsklärung
Was ist der Schwerpunkt des Dreiecks?
C
b
a
A
c
B
Die Lage mancher dieser Mittelpunkte kann rechnerisch
bestimmt werden.
 Vektorrechnung, gewichtetes Mittel
Was ist der Schwerpunkt des Dreiecks?
C
b
a
A
c
B
Das Konzept des „Dreiecksmittelpunkts“ kann systematisch
verallgemeinert werden!
 Mathematische Forschung
Der „offizielle“ Schwerpunkt – Version 1
C
b
S
a
A
c
B
Schwerpunkt („Massenmittelpunkt“) des Eckensystems:
1
S   A B C
3
Der „offizielle“ Schwerpunkt – Version 2
C
SE
b
S
SF
a
 Grenzfall
A
c
B
Der Schwerpunkt („Massenmittelpunkt“) der Dreiecksfläche
ist ebenfalls S !
 Beweis!
 Analoges gilt für höhere n-Ecke nicht!
Der Spieker-Punkt
C
S´
b
S´ S
S
a
A
c
B
 Grenzfall
Schwerpunkt („Massenmittelpunkt“) der Dreieckslinie:
S´
1  A B
BC
C  A bc
ca
a b
S´  c
a
b
A
B
C

u
2
2
2  2u
2u
2u
Der Inkreismittelpunkt
C
 neue Sichtweise
auf Bekanntes
b
S´ S I
a
A
c
B
Der Inkreismittelpunkt ist ebenfalls eine Art „Schwerpunkt“:
1
I  a A  b B  c C 
u
Ein überraschender Zusammenhang
C
b
S´ S I
a
 Mathematische
Entdeckungen
 Dynamische
Geometrie
A
c
B
S´, S und I liegen stets auf einer Geraden!
3
1
S´ S  I
2
2
bzw.
1
S´ S   S  I 
2
Zwei „merkwürdige Geraden“
C
b
H
S´ S I
a
U
A
c
B
Geschlossene Formeln für die Lage von H und U sind
wesentlich komplizierter als jene für I und S´!
 I und
S´ sind „didaktisch günstiger“!
Ein weiterer Zusammenhang
C
b
S´
a
A
c
S´  I kleines Dreieck
B
 Mathematische
Entdeckungen
Schwerpunkte als gewichtete Mittel
C
mC
b
 neue Einsichten durch
Verallgemeinerungen
a
M
A
mA
mB
c
B
Beliebig gewählte „Massenbelegungen“ mA , mB , mC  0
mA A  mB B  mC C
M im Dreieck
 mA , mMB , mC  m mPunkt

m
A
B
C
Weitere Verallgemeinerung
C
mC
b
a
M
A
mA
mB
c
B
Aufgabe der Bedingungen mA , mB , mC  0
 mA , mB , mC 
 Punkt M in der Ebene
 baryzentrische Koordinaten
Baryzentrische Koordinaten
Punkt
baryzentrische Koordinatenverhältnisse
S
1:1:1
S´
bc : ca : ab
I
a : b : c
 neuer „Formalismus“
Didaktische Möglichkeiten
• Mathematische Modellierung einer „Idee“, Begriffsklärung
• Kombination von Methoden aus verschiedenen
mathematischen Gebieten (analytische Geometrie,
Stochastik), analytische (exakte) Berechnung mit dem
Ziel allgemeingültiger Ausdrücke („Formeln“)
• Experimentieren, vermuten und beweisen, erforschen
mathematischer Sachverhalte, entdecken von Neuem
• Betrachten von Grenzfällen
• Neue Sichtweise auf Bekanntes, neue Einsichten durch
Verallgemeinerungen
• Entwicklung neuer „Formalismen“
• Dynamik: innermathematisches Interesse
Lernpfad
http://www.mathe-online.at/lernpfade/Schwerpunkte/
... mit Aufgabenstellungen und Hinweisen
für SchülerInnen
Großer Spielraum für
• aufgewandte Zeit und angestrebte Tiefe
• Spielregeln der Durchführung (Sozialformen,
Diskussionen, Dokumentation durch die
SchülerInnen,...)
Danke...
... für Ihre Aufmerksamkeit!
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IntTagungSchulmathematik29.02.2008/