1. Extremwertaufgaben – Ein weiterführendes Beispiel

Thema: Weiterführendes Beispiel einer Extremwertaufgabe
( Berechnung des maximalen Volumens eines Körpers )
√ Gliederung des Fachreferats ∑
1. Extremwertaufgaben – Ein weiterführendes Beispiel
1.1 Erfassen des Problems und mathematische Umsetzung
1.2 Entwickeln einer Zielfunktion
1.3 Rechnung bzw. Rechenweg
1.4 Ergebnis und Antwort
2. Zur Verdeutlichung: Darstellung der Graphen
3. Allgemein zum Wiederholen: Formeln
zur Körperberechnung
1. Extremwertaufgaben – Ein weiterführendes Beispiel
Aufgabe:
Herr Müller ist ein großer Liebhaber von Aquaristik und
Zierfischen. Er besucht regelmäßig mit seiner Frau Aquarien
und Ausstellungen. Nun möchte er sich selbst ein Aquarium
zulegen, dieses soll aber ganz seinen Bedürfnissen
entsprechen und keinesfalls gewöhnlich sein. Daher möchte
er es selbst bauen und besorgt sich aus dem Baumarkt eine
rechteckige Glasplatte, die 16 Dezimeter (1,6 m) lang und 10
Dezimeter (1 m) breit ist, den dazu erforderlichen
Glasschneider und einige Kartuschen Silikon.
1. Extremwertaufgaben – Ein weiterführendes Beispiel
Frage:
Nun möchte er wissen, wie er die Platte zurechtschneiden
muss, damit sein Aquarium später möglichst viel Wasser
fasst.
Also: Wie kann er das Volumen maximieren?
Zusatz: Das Aquarium soll später bis 5 cm (0,5 dm) unter
den Rand gefüllt werden! Wie viel Liter Wasser braucht
Herr Müller?
1. Extremwertaufgaben – Ein weiterführendes Beispiel
Lösungsansatz:
Herr Müller muss an allen vier Ecken ein Quadrat von
der Länge x (spätere Höhe) herausschneiden um die
Seitenflächen zu schaffen, welche hochkant auf die
Grundfläche gestellt werden müssen und den Rand des
Aquariums bilden sollen.
Für welchen Wert von x wird das Volumen maximal?
Das finden wir raus, indem wir den Extremwert von x
ausrechnen. Dabei gehen wir folgendermaßen vor:
1. Extremwertaufgaben – Ein weiterführendes Beispiel
1.Block
1.1 Erfassen des Problems und mathematische Umsetzung
1. Schritt: Den Aufgabentext in eine mathematische Fragestellung übersetzen!
2. Schritt: Aufschreiben, was gegeben und was gesucht ist. Den Unbekannten
Namen (a, x, q, A, F, V usw.) geben.
3. Schritt: Eventuell anfertigen einer Skizze mit den entsprechenden Größen.
2.Block
1.2 Entwickeln einer Zielfunktion
4. Schritt: Falls die Zielfunktion von mehreren Variablen abhängt,
Gleichungen suchen (die sog. Nebenbedingungen), die die Anzahl der
Variablen in der Zielfunktion verkleinern, bis nur noch eine übrig bleibt!
(Eine Variable durch eine andere ausdrücken)
5. Schritt: Finden einer Formel für die zu optimierende Größe (die sog.
Zielfunktion)!
1. Extremwertaufgaben – Ein weiterführendes Beispiel
3.Block
1.3 Rechnung bzw. Rechenweg
6. Schritt: Festlegen des Definitionsbereichs für diese Variable! ( Eventuelles
Probieren durch Einsetzen von verschiedenen Werten durch
Nebenrechnungen)
7. Schritt: Bestimmen der relativen Extremstellen der Zielfunktion im
zulässigen Bereich!
8. Schritt: Bestimmen der absoluten Extremstelle der Zielfunktion für
verbliebene Variable durch Vergleich mit den Randwerten des
Definitionsbereiches!
4.Block
1.4 Ergebnis und Antwort
9. Schritt: Berechnen der übrigen relevanten Größen!
10. Schritt: Formulieren der Lösung in einem Antwortsatz!
1. Extremwertaufgaben – Ein weiterführendes Beispiel
1.Block : 1.1 Erfassen des Problems
und mathematische Umsetzung
1. Schritt: Den Aufgabentext in eine mathematische Fragestellung
übersetzen!
Haben wir schon gemacht;
Für welchen Wert von x wird das Volumen des Aquariums maximal?
2. Schritt: Aufschreiben, was gegeben und gesucht ist. Den Unbekannten Namen
geben!
Gegeben: Rechteckige Glasplatte:
L (Länge) = 16 dm
B (Breite) = 10 dm
Gesucht:
h (Höhe) = x = ?
1. Extremwertaufgaben – Ein weiterführendes Beispiel
1.Block : 1.1 Erfassen des Problems
und mathematische Umsetzung
3. Schritt: Eventuell anfertigen einer Skizze mit den entsprechenden Größen!
1. Extremwertaufgaben – Ein weiterführendes Beispiel
2.Block : 1.2 Entwickeln
einer Zielfunktion
4. Schritt: Falls die Zielfunktion von mehreren Variablen abhängt,
Gleichungen suchen (die sog. Nebenbedingungen), die die Anzahl der
Variablen in der Zielfunktion verkleinern, bis nur noch eine übrig bleibt!
(Eine Variable durch eine andere ausdrücken)
- Durch h (x) sollen sowohl l als auch b ausgedrückt werden.
- l ergibt sich, indem wir x zweimal von L abziehen:
l = L – 2x = 16 dm – 2x
- b ergibt sich, indem wir x zweimal von B abziehen:
b = B – 2x = 10 dm – 2x
1. Extremwertaufgaben – Ein weiterführendes Beispiel
2.Block : 1.2 Entwickeln
einer Zielfunktion
5. Schritt: Finden einer Formel für die zu optimierende Größe (die sog.
Zielfunktion)!
Grundlage:
Formel zur Berechnung des Volumens von einem Quader:
V= l ∙ b ∙ h (Volumen = Länge ∙ Breite ∙ Höhe)
Durch Einsetzen ergibt sich daraus nun unsere Zielfunktion :
V(x) = l ∙ b ∙ x
V(x) = (16 dm – 2x) ∙ ( 10 dm – 2x) ∙ x
V(x) = 4x3 – 52x2 + 160x
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3.Block : 1.3 Rechnung bzw. Rechenweg
7. Schritt: Bestimmen der relativen Extremstellen der Zielfunktion
im zulässigen Bereich!
- Wir bilden als erstes die Ableitungen:
V(x) = 4x3 – 52x2 + 160x
V’(x) = 12x2 – 104x + 160
V’’(x) = 24x – 104
- Dann setzen wir die 1. Ableitung gleich Null und berechnen die Nullstellen
V’(x) = 0
0 = 12x2 – 104x + 160/: 4 ← vereinfachen der Gleichung
0 = 3x2 – 26x + 40
→ x1/2 = 26 -\+ √676 – 4 ∙ 3 ∙ 40
2∙3
x1/2 = 26 -\+ 14
6
x1 = 26 + 14 = 6,67 ← fällt raus, da 6,67 ≠ Dv (wäre hier das
relative Minimum) da sonst V < 0 wäre
6
x2 = 26 – 14 = 2
6
→ also ist x = 2 dm!
1. Extremwertaufgaben – Ein weiterführendes Beispiel
3.Block : 1.3 Rechnung bzw. Rechenweg
6. Schritt: Festlegen des Definitionsbereichs für diese Variable!
(Eventuelles Probieren durch Einsetzen von verschiedenen
Werten durch Nebenrechnungen)
Dv = [0 ; 5]
Auf diesen Definitionsbereich kommt man, wenn man testet, durch
welchen Wert von x die Zielfunktion Null wird, da ja logischerweise ein
positiver Wert herauskommen muss.
Das ist auch der Grund, weshalb negative Zahlen ausgeschlossen sind,
ebenso wie alle Zahlen die kleiner oder gleich Null sind!
Nebenrechnung:
10 – 2x = 0
/-10
– 2x = -10 /: (-2)
x=5
1. Extremwertaufgaben – Ein weiterführendes Beispiel
3.Block : 1.3 Rechnung bzw. Rechenweg
8. Schritt: Bestimmen der absoluten Extremstelle der Zielfunktion für
verbliebene Variable durch Vergleich mit den Randwerten des
Definitionsbereiches!
Dv = [0 ; 5]
V(x) = 4x3 – 52x2 + 160x
V(0)
V(0)
V(5)
V(5)
= 4 ∙ 03 – 52 ∙02 + 160 ∙ 0
= 0 < 144
= 4 ∙ 53 – 52 ∙52 + 160 ∙ 5
= 0 < 144
→ Daher absolutes Maximum bei x = 2 !
1. Extremwertaufgaben – Ein weiterführendes Beispiel
4.Block : 1.4 Ergebnis
und Antwort
9. Schritt: Berechnen der übrigen relevanten Größen!
- Einsetzen von x in die Gleichungen von l und b
l = 16 dm – 2x
l = 16 dm – 2 ∙ 2 dm = 12 dm
b = 10 dm – 2x
b = 10 dm – 2 ∙ 2 dm = 6 dm
Zusatz : Ausrechnen wie viel Wasser wir brauchen !
→ gefüllt bis 5 cm (0,5 dm) unter den Rand, daher neue Höhe:
h2 = 2 dm – 0,5 dm
h2 = 1, 5 dm
VZusatz = l ∙ b ∙ h2
= 12 dm ∙ 6 dm ∙ 1,5 dm
= 108 dm3 = 108 Liter
1. Extremwertaufgaben – Ein weiterführendes Beispiel
4.Block : 1.4 Ergebnis
und Antwort
10. Schritt: Formulieren der Lösung in einem Antwortsatz!
Für den Wert von x = 2 wird das Volumen des Aquariums
maximal, d.h. die Höhe beträgt 2 Dezimeter. Daraus ergibt sich,
dass es eine Länge von 12 und eine Breite von 6 Dezimetern hat
und maximal 144 Liter Wasser fasst. Wird es bis 5 cm unter den
Rand gefüllt, so benötigt Herr Müller 108 Liter Wasser!
1. Extremwertaufgaben – Ein weiterführendes Beispiel
2.Zur Verdeutlichung:
Darstellung der Graphen
3. Allgemein zum Wiederholen: Formeln zur
Körperberechnung
-orange Formelsammlung S. 33 – 35
-Extremwertaufgaben: Buch S. 114 ff.
-http://www.mathe-formeln.de/index.php?site=3dflaeche
-http://www.bsrd.de/sonstiges/projekte/matheformelsamml
ung.pdf