Wahlen - Mathematik und ihre Didaktik

Humboldt-Universität zu Berlin
Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät II
Seminar: Didaktik der Stochastik
Dozentin: Frau Dr. Warmuth
Referenten:
Nils Dörholt
Patrik Strauch
Andreas Walz
Übungsserie 7 , Aufgabe 3
1.
Informieren Sie sich zum Thema Stichprobenentnahme
bei Wahlhochrechnungen.
2.
Lösen Sie die Aufgaben 3 bis 6 aus dem Lehrbuchauszug.
Führen Sie dazu geeignete Zufallsgrößen ein. Erläutern
Sie, welche Modellannahmen Ihrer Lösung zugrunde
liegen.
3.
Legen Sie in der Kurzfassung eines Stundenentwurfs dar,
wie Sie das Testen von Hypothesen im Zusammenhang
mit Wahlen in einer 12. Klasse behandeln würden. Der
Kursentwurf soll (mindestens) drei kognitive Ziele
beinhalten, die Sie mit der Unterrichtsstunde anstreben.
Aufgabe 7.3.1
•
Informieren Sie [...] zum Thema Stichprobenentnahmen
bei Wahlhochrechnungen.
18-Uhr-Prognose
•
Grundlage: Wahltagsbefragung (Befragung von Wählern
beim Verlassen des Wahllokals)
•
Wichtig: Statistisch sinnvolle Anzahl repräsentativ
ausgewählter Stimmbezirke (bei Landtagswahlen ca. 250,
bei Bundestagswahlen etwa 400)
Repräsentativität
•
Stichprobe: unter statistischen Gesichtspunkten ein
verkleinertes Abbild des jeweiligen Gebietes
•
Beachtung der wichtigen Merkmale: Region, Ortsgrösse,
Altersverteilung, Haushaltsgrößen, Berufsgruppen,
Bildungsstruktur in etwa gleichen Anteilen wie in der
Gesamtbevölkerung.
Weitere Angaben:
•
Erfassung statistischer Angaben: Alter, Geschlecht,
Berufstätigkeit und Ausbildung, Motive für die
Wahlentscheidung
1) Einschätzung der Stichprobenqualität
2) Grundlage für weitere Analysen
„Hochrechnung “
•
•
•

•
Mitarbeiter bei öffentlichen Stimmenauszählungen
Ergebnis telefonisch ans Institut
Wenn Mindestanzahl an Stimmbezirksergebnissen
vorliegt
1. Hochrechnung ca. 18.30 Uhr
Varianz („Hochrechnung) < 0,01
Problem
•
Grenzen der Exaktheit
Beispiel: knappe Entscheidungen
um wenige 100 Stimmen
Quelle
•
Siehe Aufgabenblatt (Aufg. 7.3.1)
(http://www.awv-net.de/cms/upload/awv-info/pdf/info024Thema-ExakteWahlprognosen-3S.pdf)
Aufgabe 7.3.2
•
Lösen Sie die Aufgaben 3 bis 6 aus dem Lehrbuch.
Führen sie dazu geeignete Zufallsgrößen ein. Erläutern
Sie, welche Modellannahmen Ihrer Lösung zugrunde
liegen.
Aufgabe
•
Eine Partei erreichte bei der letzten Wahl nur 3% der
Stimmen. Man vermutet, dass es möglich ist, den
Stimmenanteil zu verdoppeln. Bei einer Umfrage gaben
von 1000 Wählern 41 an, diese Partei wählen zu wollen.
•
(Lehrbuch „Mathematik – Stochastik“ vom Cornelsen
Verlag, 2006, S. 207)
Zufallsgröße:
Sn- Anzahl der Personen die für Partei stimmen
mit Sn= X1+…+Xn
1, Stimme für die Partei
wobei Xi =
0, keine Stimme für der Partei
mit i= 1,2,3,….., n
und Xi- Merkmalsausprägung der i-ten Person
Modellannahmen:
•
•
•
•
•
•
Diskreter Wahrscheinlichkeitsraum
W- Raum ( Ω,F, P)
Binomialverteilung B (n,p)
n unabhängige Teilexperimente mit konstanter
Trefferwahrscheinlichkeit p
n - Stichprobenumfang, Anzahl der unabhängigen
Teilexperimente
p - Trefferwahrscheinlichkeit
k - Anzahl der Treffer
Aufgabe 3:
•
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass 41 oder mehr
Personen diese Partei wählen wollen, wenn sich der
Stimmenanteil nicht verändert hat?
Modell: Binomialverteilung
•
•
n= 1000
p=0,03
k –Trefferanzahl ( 41 oder mehr)
•
P( Sn=k)=
•
gesucht:
•
P(Sn≥41)=
Problem
•
P(Sn≥41)= 1- P(Sn<41)= 1- P(Sn≤40)
Berechnung mit Taschenrechner nicht möglich aufgrund
des sehr großen „n“.
Lösungsmöglichkeiten:
1.
2.
Excel
Approximation der Binomialverteilung zur
Normalverteilung mithilfe des ZGWS des Moivre -Laplace
1. Lösung: Excel
•Wert in der Tabelle:
•P(Sn≥41) = 1- P(Sn<41)= 1- P(Sn≤40)
= 1- 0,96977918
≈ 0,03
Somit P(Sn≥41) ≈ 0,03
2. Lösung: Normalverteilung/ stetige
Verteilung
•
Zentraler Grenzwertsatz von de Moivre- Laplace:
Die Zufallsvariable Sn besitze eine Binomialverteilung
mit Parametern n und p, wobei 0<p<1 vorausgesetzt ist.
Dann gilt für jede Wahl reeller Zahlen a, b mit a<b:
a.)
P
b.)
P
Faustregel zur Approximation der
Binomialverteilung zur Normalverteilung
•
np(1-p) ≥9
•
Test: n=1000; p= 0,03
•
1000*0,03*0,97=29,1 ≥ 9
Folglich Approximation benutzbar
Anwendung
•
P(Sn≥41) = 1- P(Sn<41)= 1- P(Sn≤40)
•
P(Sn ≤k)=
•
P(Sn≤40) =
•
Somit ist P( Sn ≥41)= 1- 0,967843= 0,032.
•
Es handelt sich somit um eine gute Näherung für die
Binomialverteilung. (geringe Abweichung der Werte)
≈
= 0,967843
Aufgabe
•
•

Welche kritischen Zahlen ergeben sich für :
= 0,1 und
= 0,05 bei H0: p=0,03
und H1: p= 0,06 ?
Geben Sie jeweils die Fehlerwahrscheinlichkeiten für
einen Fehler 1. Art und 2. Art an.
Hypothesentest
Hypothesentest
•
Teste Ho gegen Alternative H1
1. Festlegung des Signifikanzniveaus
2. Berechnung des Verwerfungsbereichs/ kritische Zahlen
3. Entscheidungsregel aufstellen
4. Fehler 1. Art und 2. Art berechnen
•
Handelt sich um rechtsseitigen Hypothesentest
Rechtsseitiger Hypothesentest
•
Ho: p=0,03 H1: p=0,06
1.
= 0,1 und = 0,05
2. P(Sn ≥ k) ≤
P(Sn≥k)= 1- P(Sn≤k-1) ≤
 P( Sn≤k-1) ≥ 1-
Lösung
•
= 0,1
P( Sn≤k-1) ≥0,9
P( Sn≤37) ≥0,9
= 0,05
P( Sn≤k-1) ≥ 0,95
P( Sn≤39) ≥0,95
V0= (38, 39, …, 1000) V1= (40, 41, …, 1000)
Lösung
Stichprobe V
Entscheidung für Ho
Stichprobe V
Entscheidung für H1
Ho richtig
Entscheidung richtig
Entscheidung falsch
Fehler 1. Art
H1 richtig
Entscheidung falsch
Fehler 2. Art
Entscheidung richtig
Aufgabentext
•
41 von 1000 gaben an die Partei wählen zu wollen.

41
41

Nullhypothese Ho wird abgelehnt und H1 wird
angenommen.
Fehler 1. Art berechnen ( Ho abgelehnt, obwohl richtig)

V₀: k=( 38,…, 1000)
V₁: k=(40, …, 1000)
Fehler 1.Art
•
•
•
= 0,1
Excel:
P(Sn>37)= 0,0857
N-Verteilung
P(Sn>37)= 0,09
Fehler 1. Art ist
ca. 8,5%.
=0,05
P(Sn>39)=0,043
P(Sn>39)=0,0474
Fehler 1. Art ist
ca. 4,3%.
Fehler 2.Art
•
Ho angenommen und H1 abgelehnt, obwohl H1 richtig
ist.
•
Stichprobe 41 eigentlich nicht nötig, da man sich für die
Alternative H1 entscheidet und Ho ablehnt.
•
Annahme: 41 nicht repräsentativ und nehmen ein
Stichprobenergebnis von unter 38 an. In diesem Fall
lehnen wir die Alternative ab und stützen uns weiter auf
die Nullhypothese H0. Somit ist ein Fehler 2. Art
möglich, falls H1 richtig ist.
Neuer Fall
•


•
•
•
•
Stichprobe ergab 37 Wähler
37 V₀ und V₁
lehnen Alternative ab
Fehler 2. Art lässt sich nur bei Kenntnis des richtigen p
berechnen
Ho:p=0,03 ( Nullhypothese)
H1:p=0,06 (Alternative)
Annahme: H1 mit p=0,06 ist richtig
Mit welcher Wahrscheinlichkeit mache ich Fehler 2. Art,
wenn p=0,06 der richtige Wert ist?
Lösung
•
Berechnung des Fehlers 2. Art:
n=1000; p (neu)=0,06
= 0,1
•
•
Normalverteilung
P(Sn<38)= 0,001
Fehler 2. Art bei 0,1%
=0,05
P(Sn<40)= 0,001
Lösung
•
Fehler 2. Art bei Annahme p=0,04 richtiger Wert
=0,1
•
=0,05
Normalverteilung
P(X<38)= 0,315
P(X<40)= 0,4403
Fehler 2.Art liegt bei
31,5%
Fehler 2. Art liegt bei
44%
Gütefunktion
•
Gütefunktion des Tests gibt die Wahrscheinlichkeit für
das Ablehnen der Nullhypothese in Abhängigkeit von p
an.
G(p)=Pp(V) 0≤p≤1
•
Die Operationscharakteristik des Tests gibt den Fehler 2.
Art in Abhängigkeit von p an
O(p)=Pp(A)=1-G(p) 0≤p≤1
mit A:= Annahmebereich
Aufgabe
•
Für den Einzug ins Parlament sind 5% der Stimmen
nötig. Wie ist die Nullhypothese Ho=: p= 0,05 zu
bewerten?
•
•
•
zweiseitiger Hypothesentest für
=0,1
Ho testen gegen Alternative H1: p = 0,05
Berechnung mit Normalverteilung
P(Sn ≤k) ≥0,95 bei k= 61
P(Sn ≤k) ≤0,05 bei k= 39
Verwerfungsbereich V=(0,1,…, 39)U( 62,…, 1000)
Bei Stichprobe von 41 behalten wir die Nullhypothese bei
und lehnen Alternative ab


Fehler 2.Art
•
•
•
•
Für Nullhypothese entschieden, obwohl Alternative
richtig ist.
Annahme: p= 0,06
p= 0,04
p= 0,03
P(39 ≤Sn≤ 61)= 0,89/ 0,56/ 0,037
Fehler 2. Art beträgt 89%/ 56%/ 3,7%
Fehler 2.Art
•




Fehler 2. Art wird umso kleiner , je weiter der tatsächlich
zugrunde liegende Modellparameter von dem
Modellparameter unter Ho entfernt liegt
sehr unwahrscheinlich, dass wir uns für Ho entscheiden,
obwohl p=0,03 gilt
große Wahrscheinlichkeit, dass wir uns für Ho
entscheiden, obwohl p=0,06 richtig ist
56% Wahrscheinlichkeit, dass wir uns für Ho
entscheiden, obwohl p= 0,04 richtig ist
Bezug zur 5% Klausel
Aufgabe 7.3.3
•
Legen Sie in der Kurzfassung eines Stundenentwurfs dar,
wie Sie das Testen von Hypothesen im Zusammenhang
mit Wahlen in einer 12. Klasse behandeln würden. Der
Kurzentwurf soll (mindestens) drei kognitive Ziele
beinhalten, die Sie mit der Unterrichtsstunde anstreben.
Lehrplan Berlin Sek. II
Leistungskurs
-Zufallsexperimente
-Wahrscheinlichkeitsbegriff
-Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten
-bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit
-Satz von BAYES
-Zufallsgrößen und deren Wahrscheinlichkeitsverteilung
-E(X), Var(X) und Standardabweichung
-Binomialverteilung (Formel von BERNOULLI, E(X), Var(X) und
Standardabweichung)
-Normalverteilung als Grenzfall einer Binomialverteilung
-zweiseitige Hypothesentests bei Binomialvert. /Normvert.
-Signifikanzbegriff, Fehler 1. und 2. Art
„Jahrgangsübergreifende Leistungskurse können eingerichtet werden. Für einen Teil der
Schülerinnen und Schüler ergibt sich die Reihenfolge MA-3, MA-4, MA-1, MA-2. In diesem
Fall ist die Stochastik vollständig im Kurs MA-4“(Rahmenlehrplan Mathematik, Sek II, 1. Auflage 2006, S.43)
Vorhaben
•
Approximation der Binomialverteilung durch die
Standardnormalverteilung
•
Benötigt: Satz von Moivre-Laplace
•
Grund: sehr großes n (Stichprobenumfang)
Vorkenntnisse:
•
•
•
•
•
•
Unabhängigkeit
Zufallsgrößen und deren Wahrscheinlichkeitsverteilung
E(X), Var(X) und Standardabweichung
Binomialverteilung (Formel von BERNOULLI, E(X),
Var(X) und Standardabweichung)
Normalverteilung
Standardisierung der Normalverteilung
Lernziele:
•
Die Schüler sollen die Probleme der Anwendbarkeit der
Binomialverteilung bei großen Stichprobenumfängen
erkennen.
•
Die Schüler sollen den Satz von Moivre-Laplace verstehen
und anwenden können.
•
Die Schüler sollen prüfen können, ob der Satz von
Moivre-Laplace in einer bestimmten Situation anwendbar
ist.
Stundenentwurf
•
Leistungskurs, 12. Klasse
•
Doppelstunde/ zwei Einzelstunden
1. Einführung
•
•
•
•
einführendes Gespräch über Wahlprognosen
(außermathematische Motivation, Brücke zur Lebenswelt)
Aufgabe: Eine Partei erreichte bei der letzten Wahl nur
3% der Stimmen. Man vermutet, dass es möglich ist, den
Stimmenanteil zu verdoppeln. Bei einer Umfrage gaben
von 1000 Wählern 41 an, diese Partei wählen zu wollen.
Wie groß ist die Wkt., dass 41 oder mehr
Personen diese Partei wählen wollen, wenn sich der
Stimmenanteil nicht verändert hat?
Frage: Wo tauchen bei dieser Aufgabe Probleme auf? Lasst
uns bitte diese gemeinsam besprächen.
15-20 Min.
Erwartungen
•
•
X~B(n,p)
Parameter: n=1000, p=0,03
Ergebnis:

ohne Computer zu aufwendig
•
Satz von Moivre-Laplace
•
•
frei Recherche zum Satz (PC, Bücher usw.)
20-25 Min.
Erwartungen
•
Satz von Moivre-Laplace:
Es sei eine binomialverteilte Zufallsvariable mit den
Parametern n und p: 0<p<1, dann gilt .
•
Verständnis bzw. konkrete Fragen bezüglich der
Argumente.
•
Faustregel: np(1-p) > 9 bzw.
Besprechung
•
•
•
Besprechung des Satzes in seiner Bedeutung bzw. der
Faustregel an der Tafel (möglichst Schülergespräch)
kurze wiederholende Besprechung der N(0,1)-Verteilung
10-15 Min.
Umsetzung der Aufgabe
•
•
Die Schüler sollen die Aufgabe nun in kleinen Gruppen
(2-4 Schüler) rechnen.
10-15 Min.
Präsentation
•
•
Vorstellung der Aufgabe von einer der Gruppen
10 Min.
Fragen, Diskussion
•
•
Form: Unterrichtsgespräch/Schülergespräch (wenn
möglich, sonst geleitetes Unterrichtsgespräch/
Lehrergespräch)
10 Min.