Daten und Zufall

Leitidee Zufall
Montag, den 14. Januar 2008
14.30 - 17.00 Uhr
1. Grundbegriffe und Regeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung
- Präsentation –
Zufallsgeräte
relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit
Ergebnisse und Ereignisse
Summen- und Produktregel
zweistufige Zufallsexperimente und Baumdiagramme
2. Übungen
3. Simulationen in Excel
4. Mathematik interaktiv
Software zur Simulation; Zeichnen von Baumdiagrammen
Leitidee Zufall
Bildungsstandards BW
Klasse 10
Leitidee Zufall
Bildungsstandards national
Mittlerer Bildungsabschluss
Leitidee Daten und Zufall
Die Schülerinnen und Schüler
- werten graphische Darstellungen und
Tabellen von statistischen Erhebungen aus,
- planen statistische Erhebungen,
-sammeln systematisch Daten, erfassen sie
in Tabellen und stellen sie graphisch dar,
auch unter Verwendung geeigneter
Hilfsmittel (wie Software),
- interpretieren Daten unter Verwendung
von Kenngrößen,
- reflektieren und bewerten Argumente, die
auf einer Datenanalyse basieren,
- beschreiben Zufallserscheinungen in
alltäglichen Situationen,
- bestimmen Wahrscheinlichkeiten bei
Zufallsexperimenten.
Leitidee Zufall
Einstufige Zufallsversuche
Zufallsgeräte, Zufallsversuch, Ergebnisse, relative Häufigkeit,
Wahrscheinlichkeit, Ereignis, Summenregel, sicheres Ereignis,
unmögliches Ereignis, Gegenereignis
Zufallsgeräte
Relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit
Bei vielen Zufallsversuchen (Ziehen einer Kugel aus einem Behälter, Werfen
eines Würfels, …) lassen sich die Wahrscheinlichkeiten der möglichen
Ergebnisse durch
- die Annahme gleicher Chancen (bedingt z. B. durch die Symmetrie
der Zufallsgeräte) für die möglichen Ergebnisse
bestimmen.
Wie groß ist aber die Wahrscheinlichkeit mit dem Reißnagel
„Seite“ zu werfen?
Hier müssen Sie ein Experiment durchführen.
Leitidee Zufall – Relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit
Relative Häufigkeit
... Anzahl „Bauchlage“ / Anzahl der Würfe
Anzahl der Würfe
Anzahl "Bauchlage"
relative Häufigkeit
"Bauchlage"
5
10
15
20
25
30
40
60
80
100
120
140
160
180
200
2
6
10
15
18
21
25
40
53
65
75
87
100
110
125
0,4
0,6
0,67
0,75
0,72
0,7
0,625
0,67
0,66
0,65
0,625
0,621
0,625
0,611
0,625
Leitidee Zufall – Relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit
Das Experiment mit dem Reißnagel legt für die Definition der
Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses folgende Definition nahe:
Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses
=
relative Häufigkeit des Ergebnisses (n gegen unendlich)
-----------------------------------------------------------------------------------------------Die Definition
Anzahl der günstigen Fälle / Anzahl der möglichen Fälle
führt mit der Annahme der Gleichwahrscheinlichkeiten zum gleichen Ergebnis.
Leitidee Zufall
Ergebnisse und Ereignisse
1
2
3
4
5
1
2
1
6
3
1
2
Beispiel
Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit
eine gerade Zahl zu
ziehen?
Wir betrachten
mehrere Ergebnisse.
Mehrere Ergebnisse
bilden ein Ereignis.
Leitidee Zufall
Ergebnisse und Ereignisse
1
2
3
4
5
1
2
1
6
3
1
2
Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit für
das Ereignis „gerade
Zahl“?
günstige F/ mögliche F = 5/12
Wahrscheinlichkeiten
für
Ergebnis 2:
Ergebnis 4:
Ergebnis 6:
3/12
1/12
1/12
Summenregel
Die Wahrscheinlichkeit für
ein Ereignis ist die Summe
der Wahrscheinlichkeiten
der Ergebnisse, die das
Ereignis bilden.
Leitidee Zufall
Ergebnis: Ausgang eines Zufallsversuchs
Ein Ereignis setzt sich aus mehreren Ergebnissen zusammen.
Summenregel: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses berechnet sich
aus der Summe der Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Ergebnisse.
Das sichere Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit 1.
Das unmögliche Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit 0 .
Alle ungünstigen Ergebnisse bilden das Gegenereignis.
Ist p die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, so ist die
Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses ist (1- p).
Leitidee Zufall
Bestimmen Sie die
Wahrscheinlichkeiten für folgende
Ereignisse:
Die gewürfelte Zahl ist
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
gerade
ungerade
eine Primzahl
eine Quadratzahl
kleiner als 5
größer als 2 und kleiner als 5
kleiner als 7
größer als 6
0,5
0,5
0,5
0,333…
0,666…
0,333…
1
0
Leitidee Zufall
2-mal Ziehen mit Zurücklegen
Zweistufige Zufallsversuche
Zweistufige Zufallsversuche,
Baumdiagramm, Pfadregel
Mögliche Ergebnisse:
3/5
aa, an, na, nn
2/5
n
a
P(aa) = 3/5 * 3/5 = 9/25
P(an) = 3/5 * 2/5 = 6/25
3/5
2/5
3/5
2/5
P(na) = 2/5 * 3/5 = 6/25
P(nn) = 2/5 * 2/5 = 4/25
aa
an
na
nn
Leitidee Zufall
Produktregel:
Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades im Baumdiagramm erhält man,
indem man die Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades multipliziert.
Leitidee Zufall
2-mal Ziehen ohne Zurücklegen
Mögliche Ergebnisse:
aa, an, na, nn
P(aa) = 3/5 * 1/2 = 3/10
3/5
2/5
P(an) = 3/5 * 1/2 = 3/10
P(na) = 2/5 * 3/4 = 3/10
n
a
P(nn) = 2/5 * 1/4 = 1/10
1/2
aa
1/2
an
3/4
na
1/4
nn
Leitidee Zufall
Die Todesstrafe in Zelophanien
Wer in Zelophanien zum Tode verurteilt
wird, erhält eine letzte Chance.
Mit verbundenen Augen darf er einen
der drei Behälter wählen und aus diesem
Behälter eine Kugel ziehen.
Eine weiße Kugel rettet sein Leben.
Wie groß sind die Überlebenschancen?
P(L) = 1/3*5/6 + 1/3*2/3 + 1/3*1/2 = 2/3
= 67%
Leitidee Zufall
Hölzchen
ziehen
Leitidee Zufall
Hölzchen
Ziehen
Lösung
Ergebnisse und Ereignisse
Jemand bietet dir ein Würfelspiel an.
Dazu sollen zwei Würfel gleichzeitig geworfen
und die Augensumme gezählt werden.
Du darfst dir vorher aussuchen, ob du mit der
Augensumme 5, 6, 7, 8 oder
mit allen anderen Augensummen
gewinnen möchtest.
Begründe deine Wahl.
1, 1
2, 1
3, 1
4, 1
5, 1
6, 1
1, 2
2, 2
3, 2
4, 2
5, 2
6, 2
1, 3
2, 3
3, 3
4, 3
5, 3
6, 3
1, 4
2, 4
3, 4
4, 4
5, 4
6, 4
1, 5
2, 5
3, 5
4, 5
5, 5
6, 5
1, 6
2, 6
3, 6
4, 6
5, 6
6, 6
1, 1
2, 1
3, 1
4, 1
5, 1
6, 1
1, 2
2, 2
3, 2
4, 2
5, 2
6, 2
1, 3
2, 3
3, 3
4, 3
5, 3
6, 3
1, 4
2, 4
3, 4
4, 4
5, 4
6, 4
1, 5
2, 5
3, 5
4, 5
5, 5
6, 5
1, 6
2, 6
3, 6
4, 6
5, 6
6, 6
Augensumme 2:
1,1
Augensumme 3
1,2
2,1
Augensumme 4
1,3
2,2
3,1
Augensumme 5
1,4
2,3
3,2
4,1
Augensumme 6
1,5
2,4
3,3
4,2
5,1
Augensumme 7
1,6
2,5
3,4
4,3
5,2
Augensumme 8
2,6 3,5
4,4
5,3
6,2
Augensumme 9
3,6
4,5
5,4
6,3
Augensumme 10
4,6
5,5
6,4
Augensumme 11
5,6
6,5
Augensumme 12
6,6
6,1
Wenn du eine gewöhnliche Münze sechsmal hintereinander
wirfst, welche der folgende Ausgänge wirst du am
wahrscheinlichsten nicht beobachten?
□
WZW
ZWZ
□
WWZ
ZWW
□
WWW WWW
□
ZZW
□
Alle angegebenen Möglichkeiten sind gleich wahrscheinlich
ZWZ
Wenn du eine gewöhnliche Münze sechsmal hintereinander
wirfst und die Folge
ZZZ ZZZ
beobachtest, was würdest du dann beim nächsten Wurf
erwarten?
□
W
□
Z
□
beides ist gleich wahrscheinlich
Leitidee Zufall
Aufgabe 1
Leitidee Zufall
Aufgabe 1
Lösung
Leitidee Zufall
Aufgabe 2
Leitidee Zufall
Aufgabe 2
Lösung
Mit Zurücklegen
1/3
2/3
r
1/3
r
w
2/3
1/3
w
r
2/3
w
P(r,w) + P(w,r) = 1/3*2/3 + 2/3*1/3 = 4/9
Ohne Zurücklegen
1/3
2/3
r
3/11
r
w
8/11
4/11
w
r
7/11
w
P(r,w) + P(w,r) = 1/3*8/11 + 2/3*4/11 = 16/33
1; 1
1; 3
2; 1
2; 3
3; 1
3; 3
4; 1
4; 3
5; 1
5; 3
6; 1
6; 3
Jedes Ergebnis hat die
Wahrscheinlichkeit 1/12.
P(Produkt größer als 10): 1/4
P(Summe mindestens 4): 5/6
Wie viele verschiedene
Wege führen über die
drei Flüsse?
Leitidee Zufall
Kombinatorik
Produktregel
Mit ihr bestimmt man die
Anzahl der (günstigen)
Fälle
a*b*c
Eine Münze wird
6mal geworfen
1,0,1,0,0,0
1,1,0,0,0,0
…
26 = 64
Leitidee Zufall
Kombinatorik
Produktregel
In einer Urne sind 5 Kugeln mit den
Nummern 1 bis 5.
Drei Kugeln werden nacheinander
ohne Zurücklegen gezogen.
Wie viele Ergebnisse gibt es?
5*4*3 = 60
Produktregel der Kombinatorik
Besteht ein Zufallsexperiment aus r Stufen und haben die
einzelnen Stufen n1, n2,... nr Ausgänge, so hat der
Gesamtversuche n1*n2*...*nr mögliche Ausgänge.
Leitidee Zufall
Kombinatorik
Produktregel
TOTO
Wie viele Möglichkeiten gibt
es bei der 13er Wette?
313 = 1 594 323
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit
12 Richtige zu haben?
13*2 / 1 594 323 = 0,000 016 3
Leitidee Zufall
Kombinatorik
Produktregel
Das Geburtstagsproblem
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
dass von 15 Personen mindestens
2 am gleichen Tag Geburtstag
haben?
365*364*363*…*351/36515 = 0,747
1- 0,747 = 0,253
Leitidee Zufall
Kombinatorik
Produktregel
Bilder sammeln
Eine Schokoladencremefirma hatte aus Werbezwecken
in jeden Glasdeckel ein Sammelbild eines berühmten
Popstars gepackt.
Die Serie bestand aus 30 verschiedenen Bildern.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass nach dem Kauf
von 5 Gläsern mindestens ein Bild doppelt auftritt?
30*29*28*27*26/305 = 0,704
1 – 0,704 = 29,6%
Leitidee Zufall
Kombinatorik
Produktregel, Fakultät
In einer Schale befinden sich vier
verschiedenfarbige Kugeln.
Sie werden zu einer Kette aufgezogen.
Wie viele Möglichkeiten gibt es?
(Geordnete Stichprobe ohne Zurücklegen)
4*3*2*1 = 4! = 24
Leitidee Zufall
Kombinatorik
Produktregel, Fakultät
Wie viele verschiedene
Zahlen lassen sich aus den
Ziffern 1, 2, 4, 6, 8 bilden?
5! = 5*4*3*2*1 = 120
Werden n Objekte der Reihe nach angeordnet,
so hat man n*(n-1)*(n-2)*...*2*1 Möglichkeiten
dies zu tun.
Es gibt n! Permutationen.
Leitidee Zufall
Kombinatorik
Produktregel, Fakultät,
Permutationen
Aufgabe 8
Leitidee Zufall
Kombinatorik
Produktregel, Fakultät,
Permutationen
Aufgabe 8
Lösung
Leitidee Zufall
Kombinatorik
Produktregel, Fakultät,
Permutationen
Aufgabe 9
Leitidee Zufall
Kombinatorik
Produktregel, Fakultät,
Permutationen
Aufgabe 9
Lösung