Diplomathesis at the Johannes Gutenberg-University

Fachbereich 08: Physik, Mathematik und Informatik
Institut für Physik
Simulation zur Laserkühlung von
Antiwasserstoff
Diplomarbeit
am Institut für Physik
der Johannes Gutenberg-Universität Mainz
vorgelegt von
Burkhard Mayer
geb. am 25. Februar 1987
in Mainz
25. Juni 2013
1. Gutachter: Prof. Dr. Jochen Walz
.
Inhaltsverzeichnis
1. Einleitung
1
2. Theorie zur Laserkühlung
5
2.1. Energieniveaus des Wasserstoffatoms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.1.1. Hyperfeinaufspaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.1.2. Übergangslinienstärke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.2. Anregungsrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.2.1. Wahrscheinlichkeitsdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.2.2. Photonenfluss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.2.3. Anregungsrate für ein Atom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2.3. Die Laserlichtpolarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2.3.1. Einstrahlen von zirkularer Polarisation . . . . . . . . . . . . . . .
18
2.3.2. Einstrahlen von linearer-Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . .
23
2.4. Das magnetische Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
2.4.1. Die Ioffe Falle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
2.4.2. Das Fallenpotential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
2.5. Die Bewegungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
3. Charakterisierung des Simulationsprogramms
33
3.1. Aufbau des Programms und Ablauf der Simulation . . . . . . . . . . . .
33
3.2. Energieaufspaltung des Antiwasserstoffatoms . . . . . . . . . . . . . . . .
36
3.3. Anregungsrate des Antiwasserstoffatoms . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
3.4. Polarisation bei variierender Magnetfeldrichtung . . . . . . . . . . . . . .
40
3.5. Potential der realen Ioffe-Falle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
3.6. Lösung der Bewegungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
4. Laserkühlung von Antiwasserstoff in einer Ioffe-Falle
51
4.1. Trajektorie von Antiwasserstoff in der Ioffe-Falle ohne Laserlichtanregung 51
4.2. Kühlprozess von Antiwasserstoff im Potential der Ioffe-Falle mit Laserlichtanregung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5. Ausblick
61
Anhang
63
A. Energieaufspaltung
63
B. Mathematica-Scripte
B.1. Fallenpotential . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.2. Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.2.1. Einstrahlen von zirkularer Polarisation
B.2.2. Einstrahlen von linearer Polarisation .
.
65
65
66
66
67
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1. Einleitung
Im Jahre 1996 konnte am CERN am „low energy antiproton ring“ (LEAR) der einfachste,
gebundene Zustand von Antimaterie, Antiwasserstoff, erzeugt und nachgewiesen werden
[BBB+ 96]. Es besteht aus einem Antiproton im Atomkern und einem Positron in der
Atomhülle. Die erste Erzeugung gelang durch die Wechselwirkung von Antiprotonen
mit einem Xenon-Gasstrahl. Hierbei hatten die Atome eine Geschwindigkeit von ≈ 90 %
der Lichtgeschwindigkeit. Die Produktion von kaltem langsamen Antiwasserstoffatomen
eröffnet die Möglichkeit für weiterführende Experimente. Im Jahre 2002 gelang diese
Produktion durch das separate Fangen und Kühlen von Antiprotonen und Positronen in
einer Penningfalle und anschließendem Zusammenführen [AAB+ 02]. Die elektisch neutralen Antiwasserstoffatome können nicht mehr in einer Penningfalle gespeichert werden
und müssen, um eine Annihilation mit Materie zu vermeiden, in einer magnetischen Falle
gespeichert werden [AABR+ 10]. Dies ermöglicht neue Experimente mit Antiwasserstoff,
unter anderem die Laserspektroskopie von Antiwasserstoff. Die Vermssung des Spektrums von Antiwasserstoff bietet, im Vergleich mit dem präzise vermessenen Spektrum
von Wasserstoff, einen präzisen Test der CPT-Symmetrie. Das CPT-Theorem besagt,
dass die fundamentalen physikalischen Gesetze unter Ladungs (Charge), Parität (Parity)
und Zeit (Time) Umkehrung erhalten bleiben. Diese Invarianz bildet die Grundlage jeder lorentzinvarianten Quantenfeldtheorie, wie dem Standardmodell [BKR99]. Vondaher
würde eine Abweichung des Antiwasserstoffspektrums vom Wasserstoffspektrum auf eine
Verletztung des CPT-Theorems hindeuten.
Eine präzise Laserspektroskopie erfordert die Minimierung der Zeeman-Verbreiterung,
auf Grund des inhomogenen Magnetfeldes der Falle, durch Kühlen der Atome. Eine Möglichkeit ist, die Anti-Atome mit Hilfe von Laserkühlung in das Zentrum der Magnetfalle,
in der ein Potentialminimum herrscht, zu bringen. Dies kann auf dem geschlossen Kühlübergang 1S−2P bei der Lyman-α Wellenlänge von λLyman-α = 121,56 nm erfolgen. Diese
Wellenlänge liegt tief im vakuum-ultravioletten Bereich der elektromagnetischen Strah-
1
1. Einleitung
lung und kann über nichtlineare Frequenzmischung erzeugt werden. Damit konnten bereits gepulste Lyman-α-Quellen realisiert werden [MSM+ 90][PRL+ 93][Wal80][MMK78],
wodurch auch eine Kühlung von Wasserstoffatomen in einer magnetischen Falle demonstriert werden konnte [SWL+ 93]. Bei diesem Experiment wurde Wasserstoff innerhalb von
15 min von 80 mK auf 8 mK runtergekühlt. Ein Experiment für die Laserkühlung von
Antiwasserstoff wurde bisher noch nicht durchgeführt, allerdings ist bereits eine Simulation hierfür mit einem gepulsten Laser durchgeführt worden [DFR13]. Dabei konnte
gezeigt werden das die Laserkühlung mit einem gepulsten Laser, mit einer Energie von
0,5 µJ pro Laserpuls von 10 ns und einer Repetitionsrate von 10 Hz, von Antiwasserstoff auf 20 mK möglich sein sollte. Da durch die Pulsfrequenz einer gepulsten Quelle die
Kühlrate limitiert ist, ist eine kontinuierliche (cw) Lyman-α-Quelle für die Laserkühlung
von Atomen vorteilhaft. Die geringe Linienbreite einer cw-Quelle verringert zusätzlich
die Wahrscheinlichkeit ein Atom in einen ungefangenen Zustand zu überführen, wodurch
die Verlustrate der wenigen Antiwasserstoffatome reduziert werden kann.
In unserer Arbeitsgruppe wird eine solche kontinuierliche Lyman-α-Quelle entwickelt.
Dabei wird die Strahlung durch Vierwellenmischen in Quecksilberdampf erzeugt. In Abbildung 1.1 ist das Prinzip des Vierwellenmischens und die Energieniveauschema von
Quecksilber dargestellt. Durch die Anregung des Quecksilber aus dem 61 S in das 123 P
Niveau, durch das Einstrahlen dreier Lichtfelder bei 253,7 nm, 407,9 nm und 545,5 nm
Wellenlänge, lässt sich ein resultierendes Lichtfeld bei der benötigten Wellenlänge 121,56 nm
erzeugen.Die Erzeugung erfolgt über einen Durchgang fokussierter Gauß-Strahlen durch
eine Quecksilber-Dampfzelle, wobei eine Leistung von 0,4 nW erreicht wird [SKM+ 09].
Zum effizienten Kühlen der gefangenen Antiwasserstoffatome reicht diese Leistung jedoch noch nicht aus. Ein Ansatz zur Leistungssteigerung ist das Vierwellenmischen im
Inneren einer gasgefüllten Hohlfaser, was ebenfalls in unserer Arbeitsgruppe entwickelt
wird [Die11].
Ziel dieser Arbeit ist es, eine Simulationsprogramm für den Kühlprozess von Antiwasserstoff in einer Ioffe-Falle mit einer kontinuierlichen Lyman-α-Quelle zu entwickeln.
Daraus können dann die optimalen Parameter gefunden werden die für das zukünftige
experimentelle Kühlen von Antiwasserstoff verwendet werden können. Um dies zu realisieren wird in Kapitel 2 die Theorie für diese Laserkühlung erarbeitet. In Kapitel 3 wird
dann das Simulationsprogramm charakterisiert und für vereinfachte Fälle überprüft. Die
ersten Ergebnisse werden dann in Kapitel 4 präsentiert.
2
121P
Energie
545nm
7 1S
408nm
63P
121nm
254nm
6 1S
Abbildung 1.1.: Schema der relevanten Energieniveaus von Quecksilber.
Durch das Summenfrequenz-Mischen von drei Lichtfeldern bei 253,7 nm,
407,9 nm und 545,5 nm Wellenlänge in Quecksilberdampf, wird eine
kohärente Strahlung der Summenfrequenz bei 121,56 nm Wellenlänge
erzeugt.
3
2. Theorie zur Laserkühlung
Um die Laserkühlung von Antiwasserstoff zu simulieren sind theoretische Überlegungen
von Nöten. In diesem Kapitel wird daher zunächst die Energieniveauverschiebung des
Antiwasserstoffatoms durch ein magnetisches Potential betrachtet. Durch das Einstrahlen von Laserlicht kann das Atom angeregt werden, weshalb im Anschluss die Anregungsrate für ein gefangenes Atom bestimmt wird. Darauf folgend wird die Polarisation
des Laserlichts, durch die bestimmte Übergänge angeregt werden, betrachtet. Neben der
Wechselwirkung zwischen Laserlicht und Antiwasserstoffatom muss die Bewegung des
Atoms in der Falle betrachtet werden. Dazu wird zunächst das Potential der Ioffe-Falle
hergeleitet und schlussendlich die Bewegungsgleichung für das Antiwasserstoffatom aufgestellt. Zu beachten ist, das alle Frequenzen in dieser Arbeit inklusive dem Faktor 2π
angeben sind.
2.1. Energieniveaus des Wasserstoffatoms
Da für das Antiwasserstoffatom noch keine experimentellen Werte für die Energieniveaus existieren, wird die Symmetrie zum Wasserstoffatom vorausgesetzt. Für eine genaue
Simulation werden die Energieniveaus in der Hyperfeinaufspaltung benötigt. Die Energieniveaus lassen sich durch die bekannten Quantenzahlen (N - Hauptquantenzahl, LDrehimpuls, S- Spin, J- Feinstruktur, I- Kernspin, F - Hyperfeinstruktur , mF magnetische Quantenzahl der Hyperfeinstruktur) charakterisieren und sich als Summe der
Energiebeiträge von Feinstruktur (FS) und Hyperfeinstruktur (HFS) schreiben:
E(N, L, S, J, I, F, mF ) = EFS (N, L, S, J) + EHFS (J, I, F, mF ) .
(2.1)
Mit EFS werden die Energieniveaus in der Feinstrukturaufspaltung bezeichnet, die sich
mithilfe der Dirac-Theorie berechnen lassen. Innerhalb dieser Theorie werden relativistische Effekte, Spin-Bahn-Kopplung und die Coulombwechselwirkung zwischen Elektron
5
2. Theorie zur Laserkühlung
und Proton berücksichtigt. Für die in dieser Arbeit relevanten Niveaus erhält man relativ
zum Grundzustand 1S1/2 die in Tabelle 2.1 angegebenen Werte.
Tabelle 2.1.: Energieniveaus in der Feinstrukturaufspaltung
Quelle: [Nat12]
Niveau
2P1/2
2S1/2
2P3/2
Energie [eV]
10,198805
10,198809
10,198851
2.1.1. Hyperfeinaufspaltung
Die HFS lässt sich als Verschiebung zu den ungestörten Feinstrukturniveaus (Tabelle 2.1)
berechnen. Die Aufspaltung wird aus den Quantenzahlen F, J und I bestimmt [Sch02]:
EHFS (J, I, F, ) =
A
[F (F + 1) − J (J + 1) − I (I + 1)]
2
.
(2.2)
Ohne externes Magnetfeld sind die Niveaus der HFS nach der Quantenzahl mF , welche
die Werte −F, −F + 1, ..., F annehmen kann, entartet. Die Größe der Aufspaltung A
hängt zum einen von der Quantenzahl J und zum anderen vom Magnetfeld, welches der
Kern am Ort des Elektrons erzeugt, ab. Die experimentell bestimmbare Energieaufspaltung ∆EHFS lässt sich in die Aufspaltung A umrechnen A = ∆EHFS /(J + 1/2) [Ste12].
In Tabelle 2.2 sind die experimentell bestimmten Werte dargestellt.
Tabelle 2.2.: Energieaufspaltung in der HFS ohne externes Magnetfeld
Quelle: [Fis04], [NKH04]
Niveau
1S1/2
2S1/2
2P1/2
2P3/2
6
∆EHFS [MHz]
1420,406
177,557
59
24
2.1. Energieniveaus des Wasserstoffatoms
Grobstruktur
Feinstruktur
Hyperfeinstruktur
Abbildung 2.1.: Energieaufspaltung des Wasserstoffatoms.
Schema der Energieaufspaltung des Wasserstoffatoms aus der Grobstruktur über die Feinstruktur zur Hyperfeinstruktur.
Da das Atom in einer magnetischen Falle gefangen ist, muss die Aufspaltung in einem
externen Magnetfeld betrachtet werden.
Breit-Rabi-Formel
Für ein magnetisch gefangenes Wasserstoffatom wird die mF Entartung durch den Zeemaneffekt, welcher für starke Magnetfelder in den Paschen-Back-Effekt übergeht, aufgehoben. Somit folgt ein weiterer Aufspaltungsterm. Die Energieaufspaltung im Magnetfeld und die Hyperfeinaufspaltung können für ein J = 1/2 und ein beliebiges I Niveau
durch die Breit-Rabi-Formel ausgedrückt werden [Ste12]. Für das Wasserstoffatom ist
die Berechnung mit konstantem J = 1/2 nicht geeignet. Es lässt sich jedoch auch eine
Breit-Rabi-Formel für I = 1/2 und ein beliebiges J aufstellen. In Anlehnung an die Her-
7
2. Theorie zur Laserkühlung
leitung [Ste12] ist im Folgenden die Herleitung für I = 1/2 skizziert.
Der Hamiltonoperator ĤHFS setzt sich zusammen aus dem Hamiltonoperator der HyIJ
B
perfeinstrukturaufspaltung ĤHFS
und dem Wechselwirkungsoperator ĤHF
S mit einem
~
externen Magnetfeld B:
B
IJ
+ ĤHFS
ĤHFS = ĤHFS
(2.3)
.
Für den Hamiltonoperator der Hyperfeinstrukturaufspaltung gilt allgemein:
IJ
ĤHFS
=A
I~ · J~
,
h̄2
(2.4)
B
~ ,
ĤHFS
= −~µB
~ dem Gesamtdrehimpuls J~ der Feinstruktur, dem reduzierten Planckmit dem Kernspin I,
schen Wirkungsquantum h̄ und dem magnetischen Moment des Atoms µ
~.
Für kleine externe magnetische Felder können der Kernspin I~ und der Feinstrukturdrehimpuls J~ als Gesamtdrehimpuls F~ betrachtet werden. Für starke magnetische Felder
ist diese Vereinfachung nicht mehr möglich. Deshalb werden die Zustände in der sogenannten „strong-field “ Basis betrachtet, welche durch die Kernspinquantenzahl I die
Feinstrukturquantenzahl J und den jeweiligen magnetischen Quantenzahlen mI und mJ
beschrieben wird. Die diagonalen Matrixelemente sind dadurch wie folgt gegeben:
IJ
hJmJ ImI | ĤHFS
|JmJ ImI i = AmI mJ
,
(2.5)
und die Matrixelemente der Nebendiagonalen
IJ
hJ(mJ − 1)I(mI + 1)|ĤHFS
|JmJ ImI i
Ap
=
(J − mJ + 1)(J + mJ )(I + mI + 1)(I − mI ) ,
2
IJ
hJ(mJ + 1)I(mI − 1)|ĤHFS
|JmJ ImI i
Ap
=
(J + mJ + 1)(J − mJ )(I − mI + 1)(I + mI ) .
2
(2.6)
8
2.1. Energieniveaus des Wasserstoffatoms
Für den Wechselwirkungsoperator erhält man folgende Matrixelemente:
B
hJmJ ImI | ĤHFS
|JmJ ImI i = µB (gJ mJ + gI mI )B
(2.7)
.
Dabei bezeichnen µB das Bohrsche Magneton, gJ den Landéfaktor der Hülle, gI den
Landéfaktor des Kerns und B das externe Magnetfeld.
Für I = 1/2 lässt sich eine blockdiagonale Matrix bilden, wobei die Spalten der Matrix den Anfangszustand beschreiben und die Zeilen den Endzustand. Die Blöcke lassen
sich dann nach folgendem Schema bilden:
mI = − 1 , mJ + 1
2

mI = 1 , mJ
2

mI = 12 , mJ 







mI = − 12 , mJ + 1 

H11










H12
H21
H22
(2.8)
.
Damit lässt sich nun durch Einsetzen von ((2.5) - (2.7)) eine blockdiagonale Matrix für
den Gesamthamiltonien der HFS aufstellen. Diese Blöcke haben für I = 1/2 folgende
Form:



A m2J + µB gJ mJ +
gI
2
A
2
B
p
A
(J − mJ )(J + mJ + 1)
2

p
(J − mJ )(J + mJ + 1)
−A mJ2+1 + µB gJ (mJ + 1) −
gI
2


.
(2.9)
B
Diese Matrix hat die Form :
"
a
c
#
c
d
(2.10)
,
aus der sich die Eigenwerte EW bestimmen lassen:
EW =
a + d 1p
±
(a − d)2 + 4c2
2
2
.
(2.11)
9
2. Theorie zur Laserkühlung
Daraus erhält man für ein Atom mit I = 1/2 die Breit-Rabi-Formel:
∆EHFS
2
µB (gJ −gI )B
∆EHFS
∆EHFS
+ µB gJ (mJ + 12 )B ±
EHFS = − 2(2J+1)
mit x =
1
J +1
1 − 2x 2m
+ x2 2
2J+1
.
(2.12)
Die Energieaufspaltung in der HFS ist abhängig von den Quantenzahlen mJ und J,
von dem externen Magnetfeld B und von der Energieaufspaltung ∆EHFS , welche nach
Tabelle 2.2 für jedes Feinstrukturniveau unterschiedlich groß ist.
Um die Theorie auf das Antiwasserstoffatom umzuschreiben, ist eine Transformation der
Landéfaktoren notwendig:
gAT = −gT
(2.13)
.
Die Landéfaktoren der Antiteilchen (AT) entsprechen den negativen Landéfaktoren der
Teilchen (T). Daher lässt sich die Theorie des Wasserstoffatoms auf das Antiwasserstoffatom übertragen.
In der Abbildung 2.2 sind die Energieaufspaltungen des n = 1 Niveaus eines Antiwasserstoffatoms nach der Breit-Rabi-Formel zu sehen. Die Energien der Niveaus (F = 1,
mF = 1) und (F = 0, mF = 0), sinken mit steigendem Magnetfeld und führen dazu,
dass die Atome in diesem Zustand zu stärkerem Magnetfeld streben und somit aus dem
Fallenpotential entweichen und annihilieren. Solche Zustände werden als ungefangene
Zustände bezeichnet. Die Energieaufspaltung der n = 2 Zustände ist im Anhang A in
den Abbildungen A.1 und A.2 zu finden.
2.1.2. Übergangslinienstärke
Vom Grundzustand 1S aus können verschiedene Niveaus mit elektromagnetischer Strahlung angeregt werden. Welche Übergänge dipolerlaubt und wie stark diese Übergänge
sind, lässt sich durch die Übergangslinienstärke bestimmen. Diese ist für den Grundzustand Ψ1 und einen angeregten Zustand Ψ2 gegeben durch:
SΨ1 Ψ2 = hΨ2 | D̂ |Ψ1 i2
,
(2.14)
wobei D̂ den Dipoloperator darstellt.
Durch die Betrachtung von Übergängen zwischen hyperfein aufgespaltenen Niveaus
10
2.1. Energieniveaus des Wasserstoffatoms
ΔE [10-5eV]
F=1
2
-1
mF=
mF=0
F=1
1
B [T]
1S1/2
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
-1
F=1
-2
F=0
mF=1
mF=
0
Abbildung 2.2.: Energieaufspaltung des 1S1/2 Niveaus im Magnetfeld.
Der Feinzustand 1S1/2 spaltet zunächst in die 2 Hyperfeinzustände
F = 1 und F = 0 auf. In einem externen Magnetfeld spalten diese zwei
Niveaus nach ihren magnetischen Quantenzahlen mF auf. Die Energien
der Niveaus (F = 1, mF = 1) und (F = 0, mF = 0) sinken mit wachsendem Magnetfeld. Diese Zustände sind ungefangen und führen zum
Verlust des Antiwasserstoffatoms.
müssen bei der Bestimmung der Übergangslinienstärken alle relevanten Quantenzahlen (N ,L,S,J,I,F ) berücksichtigt werden. Auf Grund des externen Magnetfeldes müssen
weiterhin die magnetischen Quantenzahlen mF beachtet werden. Damit erhält man für
die Übergangslinienstärken:
SΨ1 Ψ2 = hΨ2 | D̂ |Ψ1 i2
= hN 0 L0 S 0 J 0 I 0 F 0 m0F | D̂ |N LSJIF mF i2
.
(2.15)
Die Spinquantenzahl S und die Kernspinquantenzahl I können sich bei dipolerlaubten
Übergängen nicht ändern. Deshalb gilt:
S0 = S
I0 = I
.
(2.16)
11
2. Theorie zur Laserkühlung
Diese Übergangsmatrixelemente lassen sich aus den Wellenfunktionen in der Hyperfeinstruktur bestimmen, oder durch das Wigner-Ekhard-Theorem und die sogenannten
Wigner-3J (runde Klammer) und Wigner-6J (geschweifte Klammer) Symbole auf die
Wellenfunktion der Grobstruktur reduzieren [Sob96]:
S12 = hN 0 L0 SJ 0 IF 0 m0F | D̂ |N LSJIF mF i2
=
F
mF
1
∆mF
F0
−m0F
!2
(
J
= (2F 0 + 1)(2F + 1)
F0
hN 0 L0 SJ 0 IF 0 k D̂ kN LSJIF i2
J0
F
1
I
)2
F
mF
1
∆mF
F0
−m0F
!2
hN 0 L0 SJ 0 k D̂ kN LSJi2
)2
0
L
L
1
= (2F 0 + 1)(2F + 1)(2J 0 + 1)(2J + 1)
J0
J
S
(
)2
!2
J
J0
1
F
1
F0
hN 0 L0 k D̂ kN Li2
0
0
F
F
I
mF
∆mF
−mF
(
.
(2.17)
Dabei bezeichnet ∆mF = m0F − mF die Differenz der magnetischen Quantenzahlen und
h...k D̂ k...i das reduzierte Matrixelement, das heißt für die Berechnung wird von der
gesamten Wellenfunktion nur die radiale Wellenfunktion benötigt. Die Wigner-Symbole
lassen sich über eine Entwicklungsformel berechnen oder in der Literatur nachschlagen
[Sob96]. Aufgrund des reduzierten Matrixelements werden für die Berechnung nur die
radiale Wellenfunktion RN,L (r) der Grobstruktur benötigt [Sch02].
0
0
2
hN L k D̂ kN Li = e
2
Z
∞
3
RN 0 L0 (r)r̂ RN L (r)dr
2
(2.18)
0
Der Dipoloperator D̂ = er̂ setzt sich aus der Elementarladung e und dem Ortsoperator
r̂ zusammen.
12
2.2. Anregungsrate
Für die hier behandelte Laserkühlung werden alle Übergänge von 1S nach 2P betrachtet,
sodass für alle diese Übergänge das selbe reduzierte Matrixelement zu bestimmen ist.
2.2. Anregungsrate
Für die Simulation ist es notwendig die Anregungsrate für jeden Übergang zu berechnen.
Betrachtet man das Atom in einem Volumen V so gilt für die Anregungsrate [Sal08]:
Z
W =
0
∞
ρ(ω)V
cσ(ω)
dω
V
h̄ω
| {z } | {z }
Ω
(2.19)
.
P
Dabei bezeichnet der erste Faktor die Wahrscheinlichkeitsdichte Ω für die Anregung des
Atoms durch ein Photon im Volumen V , in die der Wirkungsquerschnitt σ(ω) und die
Lichtgeschwindigkeit c eingehen, und der zweite Faktor den Photonenfluss P, in den die
spektrale Energiedichte ρ(ω) eingeht. Im Folgenden werden diese beiden Terme getrennt
diskutiert.
2.2.1. Wahrscheinlichkeitsdichte
Für die Wahrscheinlichkeitsdichte wird der Wirkungsquerschnitt σ(ω) benötigt. Dieser
setzt sich zusammen aus der Linienform g(ω) des Übergangs und der Oszillatorstärke σ0
[Sal08]:
(2.20)
σ(ω) = σ0 g(ω) .
Die natürliche Linienform einer Spektrallinie wird durch eine Lorentzkurve beschrieben,
g(ω) =
1
1
2πτ (ω − ω12 − ω vL )2 +
c
1 2
2τ
,
(2.21)
wobei die Lebensdauer τ für die Halbwertsbreite ΓS = 1/τ eingesetzt ist und ω12 die
Übergangskreisfrequenz des angeregten Niveaus darstellt. Hierbei wird die Bewegung
des Atoms in der Falle durch die Dopplerverschiebung ∆ωD = ω/c · vL berücksichtigt.
Die Geschwindigkeitskomponente vL zeigt hierbei entgegengesetzt zur Laserrichtung. Im
Falle vieler Atome müsste die Lorentzkurve mit der Geschwindigkeitsverteilung gefaltet
13
2. Theorie zur Laserkühlung
werden. Da hier zunächst nur ein Atom betrachtet wird, reduziert sich diese Geschwindigkeitsverteilung auf eine δ-Distribution.
Die Oszillatorstärke σ0 kann durch die spontane Lebensdauer τ und diese wiederum
durch die Übergangslinienstärke S12 ausgedrückt werden [Sal08], [Hil82]:
σ0 =
πωS12
λ2
=
8πτ
30 hc
(2.22)
,
wobei 0 die Permittivität des Vakuums, h das Plancksche Wirkungsquantum und c die
Lichtgeschwindigkeit bezeichnet.
Durch Einsetzen von (2.21) und (2.22) in den ersten Term von (2.19) erhält man für die
Wahrscheinlichkeitsdichte Ω(ω):
Ω(ω) =
πωS12 1
1
30 hV 2πτ (ω − ω12 − ω vL )2 +
c
1 2
2τ
.
(2.23)
2.2.2. Photonenfluss
Um den Photonenfluss zu berechnen, muss die spektrale Energiedichte ρ(ω), welche in
eine Linienform l(ω) und die Energiedichte E zerlegt werden kann, bestimmt werden:
(2.24)
ρ(ω) = E l(ω) .
Die Linienform der Laserstrahlung lässt sich ebenfalls durch eine Lorentzkurve beschreiben [Pah02]:
l(ω) =
1
ΓL
2π (ω − ωL )2 +
ΓL 2
2
,
(2.25)
wobei ΓL die volle Halbwertsbreite und ωL die Kreisfrequenz des Laserlichts ist.
Die Energiedichte E setzt sich aus einer Energiedifferenz dE und einem Volumenelement
dV zusammen:
E=
14
dE
dV
.
(2.26)
2.2. Anregungsrate
Wird der Laserstrahl in einem Volumen dV mit einer Querschnittsfläche A (senkrecht
dz
Laserstrahl
A dV
Abbildung 2.3.: Spektrale Energiedichte.
Der Laserstrahl strahlt mit der Leistung P in einer Zeit dt durch die
Querschnittsfläche A in das Volumenelement dV ein. Die Dicke dz hängt
von der Lichtgeschwindigkeit c und der Zeit dt ab. Daraus lässt sich die
spektrale Energiedichte E = dE/dV bestimmen.
zur Ausbreitungsrichtung) und einer Dicke dz betrachtet, Abbildung 2.3, so lässt sich
die Energiedifferenz dE in diesem Volumen durch die Leistung P , die in einer Zeit dt
durch die Querschnittsfläche A einfällt, ausdrücken:
dE = P dt = I A dt ,
(2.27)
mit der Intensität I = P/A.
Die Dicke dz hängt von der Zeit dt ab, und es gilt für dV :
dV = A · dz = A · c · dt .
(2.28)
Die Energiedichte E ist somit durch die Intensität bestimmt:
E=
I
c
.
(2.29)
Durch Einsetzen von (2.25) und (2.29) in den zweiten Term von (2.19) erhält man für
den Photonenfluss P(ω):
15
2. Theorie zur Laserkühlung
P(ω) =
VI Γ
1
ch̄ω 2π (ω − ωL )2 +
Γ 2
2
(2.30)
.
2.2.3. Anregungsrate für ein Atom
Da bei den vorangegangenen Betrachtungen eine Delta-Distribution für die Geschwindigkeitsverteilung angenommen wurde, liefert das Einsetzen von (2.23) und (2.30) in
(2.19) die Anregungsrate für ein einzelnes Atom:
IΓL S12
W =
240 cπ 2 h̄2 τ
Z
0
∞
1
1
(ω − ωL )2 +
ΓL
2
2
(ω − ω12 − ωc vL )2 +
dω
1 2
2τ
.
(2.31)
Beachtet man, dass das Atom sich bewegt, so geht die stationäre Anregungsrate in eine
ortsabhängige Anregungsrate über, da sowohl die Intensität I als auch das Magnetfeld
der Falle und somit die Übergangsfrequenz ω12 nach der Breit-Rabi-Formel vom Ort
abhängen. Da je nach Polarisation des Laserlichts verschiedene Übergänge ∆m erzeugt
werden können, muss die Polarisation beachtet werden. Diese wird durch das Wigner 3J
Symbol in der Übergangslinienstärke S12 berücksichtigt. Man erhält:
I∆m (~x)S12 (∆m)ΓL
W (~x, ∆m) =
24π 2 h̄2 0 cτ
Z
0
∞
1
(ω − ωL )2 +
1
ΓL 2
2
(ω − ω12 (~x) − ωc vL )2 +
dω.
1 2
2τ
Dabei bezeichnet I∆m den Anteil der Intensität, der den Übergang ∆m erzeugt. Um diese
Anteile zu berechnen, wird im Folgenden Abschnitt die Polarisation des Laserlichts genau
betrachtet.
2.3. Die Laserlichtpolarisation
Die Polarisation eines Lasers beschreibt die Richtung der Oszillation des elektrischen
bzw. magnetischen Feldes in der senkrecht zur Ausbreitungsrichtung stehenden Ebene.
Jede Polarisation lässt sich durch die drei Basispolarisationen (linear, rechtszirkular und
linkszirkular) darstellen. Die lineare Polarisation beschreibt eine Oszillation mit konstanter Richtung. Bei den zirkularen Polarisationen drehen sich die Felder mit konstanter
16
2.3. Die Laserlichtpolarisation
Winkelgeschwindigkeit um die Ausbreitungsrichtung.
In der Atomphysik werden durch diese Polarisationen bestimmte Übergänge angeregt.
Es gilt für die magnetische Quantenzahl:
∆m = 0
π-Übergang,
∆m = +1
σ + -Übergang,
∆m = −1
σ − -Übergang.
(2.32)
Eine Herleitung der Auswahlregel (2.32) ist in der Literatur zu finden [Hak04].
Welchen Übergang das Laserlicht im Atom anregt, hängt von der Quantisierungsachse
ab. Für ein freies Atom ist der Übergang ausschließlich durch das Laserlicht definiert,
da sich die Quantisierungsachse nach der Ausbreitungsrichtung des Laserlichts ausrichtet. Da das Antiwasserstoffatom allerdings in einem Magnetfeld gefangen ist, richtet
sich die Quantisierungsachse nach dem Magnetfeld aus. Die möglichen Übergänge sind
in Abbildung 2.4 zu sehen. Durch Einstrahlen des Laserlichts können drei verschiedene
B
k
k
k
entspricht:
linkszirkular
Δm=-1
rechtszirkular
Δm=1
linear
Δm=0
Abbildung 2.4.: Übergänge im Atom bei unterschiedlichen Lichtpolarisationen.
Die Quantisierungsachse des Atoms richtet sich nach dem Magnetfeld
aus. Durch Einstrahlen des Laserlichts können drei verschiedene Übergänge angeregt werden. Um einen ∆m = −1 Übergang anzuregen, muss
linkszirkulares Licht in Magnetfeldrichtung eingestrahlt werden und für
einen ∆m = 1 Übergang rechtszirkulares Licht. Der ∆m = 0 Übergang wird durch linear polarisiertes Licht angeregt, welches senkrecht
zur Magnetfeldrichtung eingestrahlt wird.
17
2. Theorie zur Laserkühlung
Übergänge angeregt werden. Um einen ∆m = −1 Übergang anzuregen, muss linkszirkulares Licht in Magnetfeldrichtung eingestrahlt werden und für einen ∆m = 1 Übergang
rechtszirkulares Licht. Der ∆m = 0 Übergang wird durch linear polarisiertes Licht angeregt, welches senkrecht zur Magnetfeldrichtung eingestrahlt wird.
Bei dieser Laserkühlung wird der Laserstrahl immer in die gleiche Richtung eingestrahlt,
jedoch ändert sich die Richtung des Magnetfeldes innerhalb der Falle. Es ist jedoch möglich für jede Quantisierungsachse und Laserlichtpolarisation die eingestrahlte Intensität
in Anteile für jeden Übergang zu zerlegen, indem auf die drei grundliegenden Fälle (Abbildung 2.4 ) zurückgeführt wird. Dies führt dazu das der Übergang vom Winkel zwischen
Ausbreitungsrichtung des Laserlichts und der Richtung des Magnetfeldes abhängt. Im
Folgenden wird dies genau betrachtet.
Im Experiment wird der Laser in einer der drei Basispolarisationen eingestrahlt. In
Bezug auf die Anregungsrate (2.32), wird für das eingestrahlte Laserlicht die Intensität
I angenommen. Für den Einfallswinkel α gilt:
ˆ ~ˆ
α = arccos(~k · B)
,
(2.33)
ˆ
~ˆ
mit den normierten Richtungsvektoren des Laserlichts ~k und des Magnetfeldes B.
Zunächst wird das Einstrahlen von zirkular polarisiertes Licht betrachtet.
2.3.1. Einstrahlen von zirkularer Polarisation
Um die Intensität I des eingestrahlten Laserlichts anteilig auf die drei Basispolarisationen umzurechnen, muss die Intensität auf die vektorielle Größe des elektrischen Feldes
umgerechnet werden. Der Betrag des elektrischen Feldes E ist bei zirkularer Polarisation
konstant und somit proportional zur Wurzel der Intensität:
√
E=χ I
,
(2.34)
mit dem Proportionalitätsfaktor χ.
Dieses elektrische Feld wird nun in zwei Komponenten zerlegt. Die erste Komponente
parallel zur Quantisierungsachse entspricht dem linear polarisierten Anteil, die zweite
senkrecht zu Quantisierungsachse entspricht dem zirkular polarisierten Anteil. Da das
18
2.3. Die Laserlichtpolarisation
eingestrahlte zirkulare Licht zu jeder Zeit den gleichen Betrag E aufweist, gilt zu jedem
Zeitpunkt:
(2.35)
E 2 = E||2 + E⊥2 .
Daraus erschließen sich 2 extremale Einstellungen, Abbildung 2.5. Im Folgenden werden
k
k
E
E
E =E
E
ˆ ~ˆ
(a) E-Feld in der ~k,B
-Ebene
ˆ ~ˆ
(b) E-Feld senkrecht zu der ~k,B
-Ebene
Abbildung 2.5.: Extremale Einstellungen des E-Feldes
Beim Einstrahlen von zirkularpolarisiertem Licht und der Zerlegung in
senkrecht und parallel schwingende E-Feld Komponenten, entstehen 2
extremale Einstellungen. In (a) ist E|| maximal und E⊥ minimal. Zeigt
ˆ ~ˆ
das E-Feld jedoch senkrecht zur ~k,B
-Ebene (b), so ist E|| = 0 und
E⊥ = E.
die beiden Komponenten E|| und E⊥ getrennt betrachtet.
• Die E|| -Komponente
Die Amplitude der parallelen Komponente lässt sich über den Winkel α und die
Amplitude E des eingestrahlten Lasers berechnen:
E|| = sin(α)E
.
(2.36)
19
2. Theorie zur Laserkühlung
Das parallele E-Feld schwingt linear von +E|| bis −E|| . Da sich der Betrag dieser
Amplitude ständig ändert, ist die Umrechnung der Amplitude E|| auf die Intensität nicht möglich. Durch eine Zerlegung der linearen Schwingung in zwei entgegengesetzt laufenden zirkularen Schwingungen (Abbildung 2.6) kann die gesuchte
Intensität berechnet werden.
E
EZ1
EZ1
EZ2
EZ2
Abbildung 2.6.: Zerlegung einer linearen Schwingung.
Eine lineare Schwingung (Mitte) kann durch 2 entgegengesetzt laufenden zirkularen Schwingungen mit gleicher Amplitude beschrieben werden. Dabei addieren sich die Amplituden der zirkularen Schwingung im
Falle konstruktiver Interferenz zur maximalen Amplitude der linearen
Schwingung.
Für die Amplituden der beiden zirkularen Schwingungen, lassen sich zwei Bedingungen aufstellen. Im Falle konstruktiver Überlagerung muss die Summe der
Amplituden EZ1 und EZ2 der Amplitude E|| entsprechen:
EZ1 + EZ2 = E||
bei konstruktiver Überlagerung .
(2.37)
Im Falle der destruktiven Überlagerung heben sich die Amplituden auf:
EZ1 − EZ2 = 0 bei destruktiver Überlagerung .
(2.38)
Somit folgt, für die zirkularen Amplituden:
1
EZ1 = EZ2 = E||
2
20
.
(2.39)
2.3. Die Laserlichtpolarisation
Bei einer Zirkularen Schwingung lässt sich die Amplitude wieder auf eine Intensität
umrechnen, (2.34). Da der parallel Anteil der Oszillation den π-Übergang im Atom
anregt, folgt für die Intensität Iπ dieses Übergangs durch einsetzen von (2.36) und
(2.39) :
1
Iπ = IZ1 + IZ2 = I sin2 (α) .
2
(2.40)
• Die E⊥ -Komponente
Der Betrag dieser senkrechten Komponente ändert sich im Laufe eines Schwingungszyklus des eingestrahlten E-Feldes. Sein Maximum erreicht der Betrag, wenn
ˆ ~ˆ
das eingestrahlte E-Feld senkrecht zur ~k,B
-Ebene, Abbildung 2.5 (b), steht. Sein
ˆ
ˆ
~ -Ebene, Abbildung 2.5 (a), erreicht und lässt sich über
Minimum wird in der ~k,B
den Winkel α und die Amplitude E des eingestrahlten Lasers berechnen:
E⊥ = cos(α)E
.
(2.41)
Das senkrechte E-Feld beschreibt Somit eine elliptische Schwingung mit den Beträgen:
EgH = E
große Halbachse,
EkH = cos(α)E
kleine Halbachse.
(2.42)
Eine elliptische Schwingung lässt sich durch zwei entgegengesetzt laufenden zirkularen Schwingungen ausdrücken,Abbildung 2.7. Im Falle konstruktiver Überlagerung muss die Summe der Amplituden EZ1 und EZ2 der Amplitude EgH entsprechen:
EZ1 + EZ2 = EgH
bei konstruktiver Überlagerung .
(2.43)
Im Falle der destruktiven Überlagerung ist die Differenz der Amplituden zu bilden:
EZ1 − EZ2 = EkH
bei destruktiver Überlagerung .
(2.44)
21
2. Theorie zur Laserkühlung
k
(
EZ1
EZ1
E
k)
EZ2
EZ2
Abbildung 2.7.: Zerlegung einer elliptischen Schwingung.
Eine elliptische Schwingung (Mitte) kann durch 2 entgegengesetzt laufenden zirkularen Schwingungen mit unterschiedlicher Amplitude beschreiben werden. Dabei überlagern sich die zirkularen Schwingungen
konstruktiv auf der großen Halbachse und destruktiv auf der kleinen
Halbachse.
Einsetzen von (2.42) liefert:
E
(1 + cos(α)) ,
2
E
=
(1 − cos(α)) .
2
EZ1 =
EZ2
(2.45)
Diese zirkularen Amplituden lassen sich mit (2.34) in die jeweiligen Amplituden
umrechnen.
I
IZ1 = (1 + cos(α))2 ,
4
I
IZ2 = (1 − cos(α))2 .
4
(2.46)
IZ1 ist der Anteil der Intensität der mit der eingestrahlten zirkularen Polarisation
auf das Atom einstrahlt und IZ2 ist der Anteil der mit der inversen zirkularen
Polarisation auf das Atom einstrahlt. Somit gilt für die Anteile beim Einstrahlen
22
2.3. Die Laserlichtpolarisation
von rechtszirkular polarisiertem Licht:
I
I+ = (1 + cos(α))2 ,
4
I
I− = (1 − cos(α))2 ,
4
(2.47)
Strahlt man mit linkszirkular polarisiertem Licht ein, so sind die beiden Anteile
vertauscht.
2.3.2. Einstrahlen von linearer-Polarisation
Beim Einstrahlen von linear polarisiertem Licht ist zusätzlich noch die Richtung der Polarisation zu beachten, welche durch den Einheitsvektor p~ angegeben wird. Unabhängig
von der Richtung wird die lineare Polarisation zunächst in zwei entgegengesetzt laufende
zirkulare Polarisationen zerlegt. Beide Polarisationen besitzen die Hälfte der eingestrahlten Intensität, wodurch sich gemäß (2.34) die Amplituden ausrechnen lassen. Somit gilt
für die Amplitude E der linearen Polarisation:
r
E = χ2
I
2
,
(2.48)
mit dem Proportionalitätsfaktor χ.
Um die anteiligen Intensitäten, die zu Übergängen im Atom führen, auszurechnen muss
das linear schwingende E-Feld E in zwei linear schwingende E-Felder zerlegt werden. Diese E-Felder müssen phasengleich schwingen. Die Amplituden E1 und E2 dieser Schwingungen lassen sich über den Winkel β berechnen, Abbildung 2.8:
E1 = E cos(β) ,
E2 = E sin(β) .
(2.49)
Der Winkel β berechnet sich über das Skalarprodukt des Polarisationsvektors p~ und des
23
2. Theorie zur Laserkühlung
k
E1
E
E
p
e=
E2
(
k)
Abbildung 2.8.: Zerlegung einer linearen Schwingung in 2 lineare.
Eine lineare Schwingung kann in eine lineare Schwingung senkrecht zur
ˆ
~ˆ − ~k-Ebene
B
und eine zweite lineare Schwingung senkrecht zur Ersten
zerlegt werden. Dabei hängen die Amplituden der zwei linearen Schwingungen vom Polarisationswinkel β ab.
ˆ
ˆ ~ˆ
Vektors ~e, welcher senkrecht zu ~k steht und in der ~k-B
Ebene liegt:
β = arccos(~eˆ · p~ˆ) ,
ˆ
~kˆ × (B
~ˆ × ~k)
ˆ
.
mit ~e = ~ˆ
ˆ ~ˆ × ~k)
k × (B
(2.50)
Dabei sind ~eˆ und die p~ˆ die jeweiligen Einheitsvektoren zu ~e und p~ Die E1 Komponente
ˆ ~ˆ
liegt in der ~k-B
Ebene und muss somit wie in Abbildung 2.5 (a) über den Einstrahlwinkel
α in eine senkrechte und parallele Komponente zerlegt werden. Die parallele Komponen~ˆ
te E|| schwingt entlang der B-Achse
und wird deshalb analog zu 2.3.1 in den linear
polarisierten Anteil der Intensität umgerechnet:
Iπ = I sin2 (α) cos2 (β) .
24
(2.51)
2.4. Das magnetische Potential
Die restlichen Komponenten E2 und E⊥ können dann in die Anteile der zirkularen Polarisationen umgerechnet werden. Da beide Komponenten linear schwingen, und jede
lineare Schwingung durch zwei entgegengesetzt laufenden zirkularen Schwingungen ausgedrückt werden kann, müssen die Intensitäten der zwei zirkularen Anteile gleich groß
sein. Aufgrund der Energieerhaltung und somit der Intensitätserhaltung gilt:
Iσ =
I − Iπ
2
(2.52)
.
Daraus folgt:
I
sin(β)2 + cos(β)2 cos(α)2
,
2
I
.
I− = Iσ =
sin(β)2 + cos(β)2 cos(α)2
2
I+ = Iσ =
(2.53)
2.4. Das magnetische Potential
Elektrisch neutrale Atome koppeln aufgrund ihres magnetischen Moments an magnetische Felder und können somit durch ein geeignetes magnetisches Feld gefangen werden.
Durch eine geschickte Anordnung von Spulen lässt sich solch ein Magnetfeld erzeugen.
Für zu fangende Antiwasserstoffatome wird eine Ioffe-Falle verwendet.
2.4.1. Die Ioffe Falle
Die Ioffe Falle besteht aus zwei Helmholtzspulen und einer Racetrackspule [Kol11]. Das
resultierende Magnetfeld ist durch die Summe der einzelnen Magnetfelder gegeben:
~ =B
~R + B
~ H1 + B
~ H2
B
.
(2.54)
~ R das Magnetfeld der Racetrackspule und B
~ H1 bzw. B
~ H2 das MaDabei bezeichnet B
gnetfeld der zwei Helmholtzspulen.
Racetrack-Spule
In Abbildung 2.9 ist die Spulenanordnung für eine vierfach- bzw. eine achtfach Racetrackspule zu sehen. Die zwei Helmholtzspulen liegen in der x-y-Ebene und haben einen
25
2. Theorie zur Laserkühlung
(a) Vierfach Racetrack-Spule
(b) Achtfach Racetrack-Spule
Abbildung 2.9.: Schema der Ioffe Falle. Die Ioffe-Falle besteht aus zwei Helmholtzspulen und einer vier- oder achtfach Racetrackspule. Dabei liegen die zwei
Helmholtzspulen in der x-y-Ebene mit einem Abstand a zueinander und
die Stäbe der Racetrackspule zeigen in z-Richtung.
relativen Abstand a zueinander. Die Stäbe der Racetrackspule zeigen in z-Richtung.
die zwei Varianten der Racetrackspule lassen sich durch die gleiche Formel beschreiben,
[Kol11]:
B~R (ρ, φ) = BR0
ρ
RR
n2 −1 cos
n n φ ρ̂ − sin
φ φ̂
2
2
,
(2.55)
mit Radius ρ, Winkel φ und den jeweiligen Einheitsvektor in Polarkoordinaten ρ̂, φ̂. Der
Unterschied zwischen den zwei Systemen wird durch den Parameter n ausgedrückt. Für
die vierfach Racetrack-Spule gilt n = 4 und für die achtfach Racetrack-Spule n = 8.
Helmholtzspule
Für das Magnetfeld einer Helmholtzspule sind in der Literatur Lösungen für die Spulenebene und entlang der Spulenachse angegeben. In der Simulation wird das Magnetfeld
an jedem Punkt des Fallenraums benötigt, wofür in der Literatur keine Lösung gefunden werden konnte. Deshalb wird im Folgendem das Magnetfeld einer Helmholtzspule
26
2.4. Das magnetische Potential
hergeleitet und als Ansatz das Biot-Savart-Gesetz gewählt:
µ0
B~H = −I N
4π
Z
~
~rLP × dl
3
rLP
(2.56)
,
mit der magnetischen Permeabilität µ0 , dem Spulenstrom I, der Windungsanzahl N ,
dem Verbindungsvektor ~rLP vom Spulenpunkt L zum Beobachtungspunkt P und der in~ (Abbildung 2.10). Aufgrund der Symmetrie
finitesimalen tangentialen Spulenrichtung dl
z
y
P
R
x
L
dl
Helmholtzspule
Abbildung 2.10.: Skizze zur Herleitung des Magnetfeldes einer Helmholtzspule.
Die stromdurchflossene Helmholtzspule mit dem Radius R erzeugt an
jedem Raumpunkt P ein magnetisches Feld. Jeder Punkt L auf der
Helmholtzspule trägt zu diesem Magnetfeld bei und somit lässt sich
das Magnetfeld über das Bio-Savart-Gesetz berechnen.
der Spule ist es vorteilhaft Zylinderkoordinaten zu verwenden. Für den Ortsvektor des
27
2. Theorie zur Laserkühlung
Beobachtungspunktes gilt dann:


ρ cos(φ)


~rP =  ρ sin(φ)  ,
z
p
y
mit: ρ = x2 + y 2 , φ = arctan( ) .
x
(2.57)
Des weiteren lassen sich der Ortsvektor des Spulenpunktes und die infinitesimale tangentiale Spulenrichtung wie folgt ausdrücken:


R cos(φ0 )


~rL =  R sin(φ0 )  ,
0


−R sin(φ0 )dφ0

~ =
dl
 R cos(φ0 )dφ0  ,
0
(2.58)
mit dem Spulenradius R und dem Spulenpunktwinkel φ0 .
Einsetzen von (2.58) und (2.57) in (2.56) liefert:

~ H = −I N µ0
B
4π
Z
π
−π
[z 2
+
ρ2
+
R2
1
− Rρ cos(φ − φ0 )]3/2

−z cos(φ0 )


0
.
−z sin(φ0 )

 Rdφ (2.59)
ρ cos(φ − φ0 ) − R
Aufgrund der Zylindersymmetrie ist der Betrag des Magnetfeldes unabhängig vom Beobachtungswinkel φ. Um das Integral zu vereinfachen ist es deshalb möglich das Magnetfeld für den Winkel φ = 0 zu lösen. Damit liegt allerdings die Magnetfeldrichtung
in der x-z-Ebene. Im Anschluss muss dann der berechnete Magnetfeldvektor um den
Beobachtungswinkel φ um die z-Achse gedreht werden:


cos(φ) − sin(φ) 0
~
~ H (ρ, φ, z) = 
B
 sin(φ) cos(φ) 0 B
H (ρ, φ = 0, z) .
0
0
1
28
(2.60)
2.4. Das magnetische Potential
Dieses Integral ist analytisch nicht lösbar. Es kann jedoch in die elliptischen Integrale
E(x) und K(x) umgeschrieben werden:

z cos(φ)
(R2 +z2 +ρ2 )E
2Rρ
R2 +z 2 +Rρ+ρ2
−(R2 +z 2 −Rρ+ρ2 )K
2Rρ
R2 +z 2 +Rρ+ρ2

√

−
ρ(R2 +z 2 −Rρ+ρ2 ) R2 +z 2 +Rρ+ρ2





 
 z R2 +z2 +ρ2 E
2Rρ
2Rρ
2 +z 2 −Rρ+ρ2 K
−
R
sin(φ)
(
)
(
)

R2 +z 2 +Rρ+ρ2
R2 +z 2 +Rρ+ρ2
~ H (ρ, φ, z) = 4BH0 
√
B

−


ρ(R2 +z 2 −Rρ+ρ2 ) R2 +z 2 +Rρ+ρ2






2Rρ
2Rρ
2
2
2
2
2


(z +ρ )E R2 +z2 +Rρ+ρ2 −(R +z −Rρ+ρ )K R2 +z2 +Rρ+ρ2
√
(R2 +z 2 −Rρ+ρ2 )
mit:
E(x) =
R π/2
K(x) =
R π/2
0
0
,
R2 +z 2 +Rρ+ρ2
1/2
1 − x sin2 (θ)
dθ ,
1/2
−
1 − x sin2 (θ)
dθ .
(2.61)
Dabei ist es sinnvoll den Spulenstrom I durch eine magnetfeldspezifische Konstante BH0
zu ersetzten. Diese Konstante entspricht der Magnetfeldstärke im Zentrum der Helmholtzspule (ρ = 0 und z = 0). Die Berechnung wurde mit Mathematica durchgeführt.
Das Script ist im Anhang B.1 zu finden. Mit der Lösung der Helmholtzspule und der
Lösung der Racetrack-Spule lässt sich durch das Superpositionsprinzip das Potential der
Falle bestimmen.
2.4.2. Das Fallenpotential
Für die Bestimmung des Fallenpotentials muss zunächst der Ursprung des Koordinatensystems definiert werden. Die Wahl ist beliebig, jedoch ist es für die Simulation geeignet
den Ursprung in die Mitte der Falle zu legen. Die Mittelpunkte der zwei Helmholtzspulen mit einem relativen Abstand a erhalten somit die Koordinaten (0, 0, a/2) und
(0, 0, −a/2). Der Mittelpunkt der Racetrackspule liegt im Ursprung. Somit sind 2 Koordinatentransformation für die Helmholtzspulen notwendig:
~
~ R (φ, ρ, z) + B
~ H (φ, ρ, z + a/2) + B
~ H (φ, ρ, z − a/2) .
B(φ,
ρ, z) = B
(2.62)
29
2. Theorie zur Laserkühlung
Die ausführliche Formel kann über das Mathematicascript im Anhang B.1 ausgegeben
werden.
Mit Hilfe des Fallenpotentials lässt sich die Bewegung des gefangenen Antiwasserstoffatoms betrachten.
2.5. Die Bewegungsgleichung
Das Antiwasserstoffatom koppelt aufgrund seines magnetischen Moments µ
~ an das Ma~ Die potentielle Energie U eines Antiwasserstoffatoms in einem Magnetfeld
gnetfeld B.
ist gegeben durch:
~ x) .
U = −~µB(~
(2.63)
Da die Quantisierungsachse und somit die Richtung des magnetischen Moments der
Magnetfeldrichtung entspricht, lässt sich das Skalarprodukt der Vektoren in das Skalarprodukt der Beträge umschreiben. Auf das Antiwasserstoffatom wirkt wegen dieser
Kopplung eine rückstellende Kraft F , welche durch den Gradient der potentiellen Energie
bestimmt wird:
~ = ∇µB(~
~
~ x) .
F~ = −∇U
x) = µ∇B(~
(2.64)
Nach dem zweiten Newtonschen Gesetz folgt somit für die Bewegungsgleichung:
~ x) ,
F~ = M ~x¨ = µ∇B(~
(2.65)
mit der Atommasse M = me + mp .
Aufgrund des starken Magnetfeldes müssen die Zustände des Antiwasserstoffatoms in der
„strong-field“ Basis betrachtet werden (siehe Kapitel 2.1.1). Das magnetische Moment µ
ist somit durch die magnetischen Quantenzahlen mJ und mI bestimmt. Es gilt:
µ = µB (gJ mJ + gI mI ) ,
(2.66)
mit dem Landéfaktor der Hülle gJ , dem Landéfaktor des Kerns gI , und dem Bohrschen
Magneton µB .
30
2.5. Die Bewegungsgleichung
Um diese Bewegungsgleichung zu lösen werden numerische Verfahren verwendet, da für
die Bewegungsgleichung mit einem Quadrupol- bzw Oktupol Magnetfeld in Kombination
mit dem Magnetfeld der Helmholtzspulen keine analytische Lösung existiert.
31
3. Charakterisierung des
Simulationsprogramms
Um sowohl qualitative als auch quantitative Ergebnisse zum Laserkühlen von Antiwasserstoff zu erhalten ist im Rahmen dieser Arbeit eine Simulation basierend auf der
Theorie aus Kapitel 2 erstellt worden. In diesem Kapitel wird das Simulationsprogramm
charakterisiert. Dazu wird zunächst der Aufbau des Programms und der Ablauf einer
Kühlsimulation dargestellt. Um die korrekte Implementation der Theorie in das Simulationsprogramm zu überprüfen werden dann die einzelne Programmabschnitte für Energieniveauaufspaltung, Anregungsrate, Polarisationsumrechnung und Fallenpotential separat verifiziert.
3.1. Aufbau des Programms und Ablauf der
Simulation
Diese Simulation ist in der Programmiersprache C++ geschrieben worden. Die einzelnen
physikalischen Systeme sind in der Simulation in separaten Klassen realisiert. Eine Übersicht bietet Abbildung 3.1. Über die Klasse „Simulation“ werden die 3 Klassen „Laser“,
„Antiwasserstoffatom“ und „Magnetfeld“ verbunden. Dabei werden alle systemspezifischen Parameter in der jeweiligen Klasse gespeichert. Der zeitliche Ablauf des Kühlprozesses wird somit in „Simulation“ vorgegeben. Dies ermöglicht eine komfortable Erweiterung der Simulation mit zusätzlichen Lasern aus anderen Richtungen und mehreren
Atomen durch Generieren weiterer Objekte der jeweiligen Klasse.
Die Hilfsklassen „Uebergangsstaerke“ und „Zustand“ stellen kompakte Datentypen dar.
Die Klasse „Zustand“ ermöglicht das Speichern eines hyperfeinen Zustandes mit allen
seinen Quantenzahlen in einem Objekt. In „Uebergangsstaerke“ werden die Übergangslinienstärken nach (2.17) mit ihrem zugehörigen Grundzustand und angeregten Zustand
33
3. Charakterisierung des Simulationsprogramms
Simulation
Magnetfeld
Antiwasserstoffatom
Laser
Uebergangsstaerke
Zustand
Abbildung 3.1.: Datenstruktur der Simulation. Die einzelnen physikalischen Systeme sind in der Simulation in separaten Klassen „Laser“, „Antiwasserstoffatom“ und „Magnetfeld“realisiert. Diese kommunizieren über die
Klasse „Simulation“ miteinander. Zusätzliche sind 2 Hilfsklassen „Uebergangsstaerke“ und „Zustand“ vorhanden, welche kompakte Datentypen
darstellen.
gespeichert.
Der zeitliche Ablauf einer Kühlsimulation ist in Abbildung 3.2 skizziert. Anfangs werden
alle systemspezifischen Parameter für Laser und Magnetfeld gesetzt und die jeweiligen
Objekte initialisiert. Daraufhin werden die Anfangsbedingungen Temperatur, Position,
Geschwindigkeit und Hyperfeinzustand des Atoms gesetzt. Im Anschluss wird über eine vordefinierte Kühlzeit der Kühlprozess iterativ simuliert. Die Schrittgröße (Zeitintervall) der Iteration muss so gewählt werden, dass das Atom in diesem Zeitintervall
näherungsweise eine konstante Position und Geschwindigkeit aufweist. Dies liegt in der
Anregungsrate begründet, da sich diese nur für eine näherungsweise gleichbleibende Geschwindigkeit und Übergangsfrequenz, welche von der Energieniveauverschiebung und
somit von der Position des Atoms abhängt, berechnen lässt.
34
3.1. Aufbau des Programms und Ablauf der Simulation
Start
InitialisierungpderpObjekte
Atom,pMagnetfeld,pLaser
Festlegenpder
Anfangsbedingungen
Atompanregen?
zimpZeitintervallN
Nein
Atombewegungpim
PotentialpimpZeitintervall
berechnen
Nein
Ja
Impulsübertrag
berechnen
AbregenpdespAtoms
Impuls-pund
Energieübertrag
berechnen
Endzeitperreicht?
Stop
Abbildung 3.2.: Zeitlicher Ablauf einer Kühlsimulation.
Anfangs werden alle systemspezifischen Parameter gesetzt und die jeweiligen Objekte initialisiert. Daraufhin werden die Anfangsbedingungen Temperatur, Position, Geschwindigkeit und Hyperfeinzustand des
Atoms gesetzt. Im Anschluss wird über eine vordefinierte Kühlzeit der
Kühlprozess iterativ simuliert. Über die Berechnung der Anregungswahrscheinlichkeit und das Generieren von Zufallszahlen wird dann entschieden ob das Atom angeregt. Wird das Atom angeregt so erfährt es
eine Impulsänderung in Ausbreitungsrichtung des Laserlichts. Danach
fällt das Atom durch spontane Emission in einen Grundzustand zurück,
wodurch eine Impulsänderung in eine zufällige Richtung erzeugt wird.
Im Anschluss wird dann die Bewegungsgleichung gelöst und das Ganze
wiederholt bis schlussendlich die vordefinierte Kühlzeit erreicht ist.
35
3. Charakterisierung des Simulationsprogramms
Über die Berechnung der Anregungswahrscheinlichkeit (Anregungsrate mal Zeitintervall)
und das Generieren von Zufallszahlen wird dann entschieden ob das Atom angeregt wird
und in welchen Zustand es angeregt wird. Wird das Atom angeregt so erfährt es, durch
den Impuls des absorbierten Photons, eine Impulsänderung in Ausbreitungsrichtung des
Laserlichts. Danach fällt das Atom durch spontane Emission in einen Grundzustand
zurück. Das dabei emittierte Photon wird in eine zufällige Richtung emittiert und erzeugt
dabei erneut eine Impulsänderung des Atoms. Im Anschluss wird dann die neue Position
und Geschwindigkeit des Atoms durch das Lösen der Bewegungsgleichung bestimmt
und für diese Werte das Ganze wiederholt bis schlussendlich die vordefinierte Kühlzeit
erreicht ist.
3.2. Energieaufspaltung des Antiwasserstoffatoms
Da das Antiwasserstoffatom in einer magnetischen Falle gefangen ist, spalten sich die
Energieniveaus in der Hyperfeinstruktur nach ihren magnetischen Quantenzahlen auf.
Diese Aufspaltung wird durch die Brei-Rabi-Formel beschrieben. In der Literatur ist
diese Formel und deren Herleitung für eine feste Gesamtdrehimpulsquantenzahl J = 1/2
und eine variable Kernspinquantenzahl I zu finden [Ste12]. Für das Antiwasserstoffatom
werden allerdings auch die Energieaufspaltungen der angeregten Niveaus benötigt. Das
2P3/2 Niveau ist aufgrund der Gesamtdrehimpulsquantenzahl J = 3/2 nicht mit dieser
Formel beschreibbar. Deshalb ist in dieser Arbeit die Breit-Rabi-Formel (2.12) speziell
für das Wasserstoff bzw. Antiwasserstoffatom hergeleitet. Diese beiden Formeln sind hier
gegenübergestellt:
Theorie:
EHFS
Literatur:
EHFS
12
1
∆EHFS
2mJ + 1
∆EHFS
2
+ µB gJ (mJ + )B ±
1 − 2x
+x
=−
2(2J + 1)
2
2
2J + 1
12
∆EHFS
1
∆EHFS
2mI + 1
2
=−
+ µB gI (mI + )B ±
1 + 2x
+x
2(2I + 1)
2
2
2I + 1
mit x =
µB (gJ − gI )B
∆EHFS
.
(3.1)
Um die Konsistenz der beiden Formeln zu zeigen, lässt sich die Aufspaltung des Grund-
36
3.2. Energieaufspaltung des Antiwasserstoffatoms
niveaus 1S vergleichen. Alternativ ist der Vergleich eines anderen J = 1/2 Niveaus
möglich, da die Formeln unabhängig von der Hauptquantenzahl n und Bahndrehimpulsquantenzahl l sind.
Die beiden Formeln können im Allgemeinen nicht analytisch ineinander überführt werden. Niveaus mit einer magnetische Hyperfeinstrukturquantenzahl mF = 0, und somit
mJ = −mI , sind beide Formeln identisch. Die übrigen Niveaus mF = 1 oder mF = −1
müssen numerisch verglichen werden. Die Differenz der Energieaufspaltung nach den
beiden Formeln für diese zwei Fälle ist in Abbildung 3.3 dargestellt.
E [10-20eV]
0
0.2
mF =1
0.4
0.6
E [10-20eV]
0.8
1.0
B [T]
2
-1
1
-2
0
-3
-1
(a) Differenz der mF = 1 Niveaus
mF =- 1
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0 B [T]
(b) Differenz der mF = −1 Niveaus
Abbildung 3.3.: Konsistenzüberprüfung der Breit-Rabi-Formeln.
Die Differenz zwischen den zwei Breit-Rabi-Formeln für das (J = 1/2,
mF = 1) und das (J = 1/2, mF = −1) Niveau liegt in der Größenordnung
10−20 eV. Verglichen mit der Energieaufspaltung entspricht das einem
relativen Fehler von 10−15
Die Abbildung zeigt, dass die Formeln nicht exakt übereinstimmen. Die Differenz nimmt
mit ansteigendem Magnetfeld zu, die Größenordnung der Differenz 10−20 eV bleibt jedoch gleich. Da die Energieaufspaltung eine Größenordnung von 10−5 eV aufweist, entspricht das einem relativen Fehler von 10−15 . Dies entspricht der Genauigkeit des in der
Simulation verwendeten Datentyps „double“, mit 15 signifikanten Stellen. Bezüglich der
Rechengenauigkeit stimmt die hergeleitete Breit-Rabi-Formel (2.12) mit der Literaturformel numerisch überein.
37
3. Charakterisierung des Simulationsprogramms
3.3. Anregungsrate des Antiwasserstoffatoms
Um ein Antiwasserstoff in der Falle zu kühlen muss ihm Energie entzogen werden. Beim
Laserkühlen wird das Atom durch das Laserlicht angeregt und zerfällt nach einer Zeit
durch spontane Emission. Wird die Strahlungsfrequenz rotverstimmt, so ist die Energie
der Strahlung zu gering um das Atom anzuregen. Besitzt das Atom die passende Geschwindigkeit so kann es aufgrund der Dopplerverschiebung mit der geringeren Energie
angeregt werden. Bei der spontanen Emission wird dann die volle Energie des Übergangs
abgegeben. Die Differenz der Zerfallsenergie und der Anregungsenergie ist der Energiebetrag den das Atom leisten muss und wird somit bei diesem Prozess dem Atom entzogen.
Um die Anregungsrate zu überprüfen wird ein sinusförmiger Geschwindigkeitsverlauf
entlang der Strahlachse angenommen:
~v (t) = v0 sin(t)eˆL
.
Dabei ist v0 die Geschwindigkeitsamplitude und eˆL der Einheitsvektor in Strahlungsrichtung. Da die Simulation mit einer Schrittgröße dt = 0,0001 s durchgeführt wird, geht die
Anregungsrate in eine Anregungswahrscheinlichkeit (Anregungsrate mal Schrittgröße)
über. In Abbildung 3.4 sind die Anregungswahrscheinlichkeit und der Geschwindigkeitsverlauf dargestellt, dabei wurden für die Parameter die Werte in Tabelle 3.1 angenommen
und der Übergang vom Grundniveau (1S1/2 F = 1, mF = 1) in das angeregte Niveau
(2P3/2 F = 2, mF = 2) betrachtet. Dabei ist zu beachten dass die Strahlungsleistung in
der Größenordnung mW angegeben ist und somit deutlich größer ist als die experimentell
erreichten Leistungen in der Größenordnung nW.
Tabelle 3.1.: Parameter zur Berechnung der Anregungsrate.
Die Differenz zwischen Übergangsfrequenz ω12 und Laserlichtfrequenz ωL
wird als Verstimmungsfrequenz δ angegeben.
Geschwindigkeitsamplitude
Verstimmungsfrequenz
Strahlungsleistung
Laserlinienbreite
v0
δ
I
Γ
111 m/s
3 GHz
5 mW
10 MHz
In der Abbildung ist zu sehen, dass bei zwei Geschwindigkeiten Maxima für die Anre-
38
3.3. Anregungsrate des Antiwasserstoffatoms
Anregungswahrscheinlichkeit
[%]
Anregungswahrscheinlichkeit
0,020
Geschwindigkeit
Geschwindigkeit
[m/s]
200
0,015
150
0,010
100
0,005
50
1/2 π
π
3/2 π
t
vm
-100
Abbildung 3.4.: Anregungsrate mit sinusförmigem Geschwindigkeitsverlauf.
Bei Annahme eines sinusförmigen Geschwindigkeitsverlaufs entlang der
Strahlachse, besitzt die Anregungswahrscheinlichkeit nach (2.32) ein
Maximum bei der Geschwindigkeit vm . Diese Geschwindigkeit ist negativ und somit entgegen der Laserrichtung gerichtet.
gungswahrscheinlichkeit existieren. Beide maximalen Werte liegen bei der Geschwindigkeit vm . Das Antiwasserstoffatom wird demnach bevorzugt bei der negativen Geschwindigkeit vm angeregt und verliert somit aufgrund der Dopplerverschiebung Energie. Die
Energie des Atoms, und somit seine Temperatur, lässt sich demnach durch rotverstimmtes Laserlicht reduzieren. Um die korrekte Implementation der Formel nachzuvollziehen,
kann zum einen die Geschwindigkeit vm betrachtet werden und zum anderen die Peakhöhe der Anregungswahrscheinlichkeit. Dazu muss die Peakposition bestimmt werden.
Dafür werden zunächst die Maxima der Anregungswahrscheinlichkeit in der durch das
Simulationsprogramm erzeugten Liste gesucht. Diese liegen bei einer Geschwindigkeit
vm = −58,12 m/s und betragen 0,0226 %. Durch Einsetzen der Geschwindigkeit in die
Formel für die Anregungsrate ergibts sich eine Anregungswahrscheinlichkeit von ebenfalls 0,0226 %. Des weiteren lässt sich die Geschwindigkeit vm aufgrund der Dopplerverschiebung in eine Verstimmungsfrequenz umrechnen. Es gilt:
δ = ~k · ~v = k · vm
(3.2)
39
3. Charakterisierung des Simulationsprogramms
Die Berechnung der Verstimmungsfrequenz über die Wellenzahl k und der Geschwindigkeit vm ergibt δ = 3,001 GHz und stimmt somit mit der Verstimmungsfrequenz aus
Tabelle 3.1 im Rahmen der Rechengenauigkeit überein. Die Formel der Anregungsrate
ist daher korrekt implementiert.
3.4. Polarisation bei variierender Magnetfeldrichtung
Um ein Atom anzuregen wird eine passende Übergangsfrequenz der elektromagnetischen
Strahlung benötigt. Befindet sich das Atom in einem Magnetfeld, so spalten die Energieniveaus nach ihren magnetischen Quantenzahlen m auf und somit muss die Polarisation
der Strahlung betrachtet werden. Je nach Polarisation sind durch die Auswahlregeln
(2.32) bestimmte Übergänge erlaubt. Dabei sind diese Auswahlregeln für eine Quantisierungsachse in Strahlrichtung gültig. Da im Potential der realen Ioffe-Falle die Magnetfeldrichtung variiert, verändert sich auch die Quantisierungsachse. Die anteiligen
Intensitäten beim Einstrahlen von rechtszirkular polarisiertem Laserlicht, die zu den
jeweiligen Atomübergängen führen, sind in Abbildung 3.5 zu sehen.
Bei einem Einfallswinkel α = 0 ist die Intensität vollständig im σ + Anteil enthalten. Der
Anteil in σ + nimmt mit steigendem Einfallswinkel stetig ab und der Anteil in σ − steigt
stetig an. Der π Anteil steigt bis zum Einfallswinkel α = 90◦ an und fällt für größere
Winkel gleichermaßen ab. Wird statt rechtszirkular polarisiertem Licht linkszirkular polarisiertes Licht eingestrahlt, so lässt sich dieses Diagramm analog erstellen.
Beim Einstrahlen von linear polarisiertem Licht muss zusätzlich die Richtung der Polarisation betrachtet werden, welche sich durch den Winkel β zwischen Polarisationsrichtung
und der durch Laser- und Magnetfeldrichtung aufgespannten Ebene beschreiben lässt,
Abbildung 2.8. In Abbildung 3.6 und 3.7 sind die Anteile für jeden Übergang, in Abhängigkeit vom Einfallswinkel α und dem Polarisationswinkel β, dargestellt.
Der Anteil der linearen Polarisation ist für den Einfallswinkel α = 0◦ und α = 180◦
bei 0%, unabhängig vom Polarisationswinkel. Bis zu einem Einfallswinkel von 90◦ steigt
dieser Anteil auf das Maximum an und fällt für größer Winkel bis 180◦ gleichermaßen
ab. Der Maximalwert hängt vom Polarisationswinkel ab. Für β = 0◦ und β = 180◦ ist
das Maximum bei 100% und fällt bis zum Polarisationswinkel 90◦ auf 0% ab.
Die σ − und σ + Anteile sind identisch. Dies folgt aus der Theorie, da sich jede lineare
40
3.4. Polarisation bei variierender Magnetfeldrichtung
Anteil an der Intensität
100 [%]
80
σ+ Anteil
π Anteil
σ- Anteil
60
40
20
α [°]
0
45
90
135
180
Abbildung 3.5.: Anteilige Intensität bei Einstrahlen von rechtszirkular polarisiertem Licht.
Das Diagramm zeigt die Anteile der Intensität der drei Basispolarisationen in Abhängigkeit vom Einfallswinkel α. Der σ + Anteil fällt mit
zunehmendem Winkel ab und gleichzeitig steigt der Anteil in σ − . Die
π Anteil ist maximal wenn die Richtungsvektoren senkrecht zueinander
stehen.
Polarisation in zwei gegenläufige zirkulare Polarisationen zerlegen lässt. Der σ ± Anteil
ist für den Einfallswinkel α = 0◦ und α = 180◦ bei 50%, unabhängig vom Polarisationswinkel. Bis zu einem Einfallswinkel von 90◦ fällt dieser Anteil auf das Minimum ab
und steigt für größer Winkel bis 180◦ gleichermaßen an. Der Maximalwert hängt vom
Polarisationswinkel ab. Für β = 0◦ und β = 180◦ ist das Minimum bei 0% und steigt
bis zum Polarisationswinkel 90◦ auf 50% an.
41
3. Charakterisierung des Simulationsprogramms
Abbildung 3.6.: Anteil der Intensität für den π-Übergang bei Einstrahlen von
linear polarisiertem Licht.
Der Anteil der linearen Polarisation ist für den Einfallswinkel α = 0◦
und α = 180◦ bei 0%, unabhängig vom Polarisationswinkel. Bis zu einem
Einfallswinkel von 90◦ steigt dieser Anteil auf das Maximum an und fällt
für größer Winkel bis 180◦ gleichermaßen ab. Der Maximalwert hängt
vom Polarisationswinkel ab. Für β = 0◦ und β = 180◦ ist das Maximum
bei 100% und fällt bis zum Polarisationswinkel 90◦ auf 0% ab.
42
3.4. Polarisation bei variierender Magnetfeldrichtung
Abbildung 3.7.: Anteil der Intensität für die σ-Übergange bei Einstrahlen von
linear polarisiertem Licht.
Der Anteil der zirkularen Polarisation ist für den Einfallswinkel α = 0◦
und α = 180◦ bei 50%, unabhängig vom Polarisationswinkel. Bis zu
einem Einfallswinkel von 90◦ fällt dieser Anteil auf das Minimum ab und
steigt für größer Winkel bis 180◦ gleichermaßen an. Der Maximalwert
hängt vom Polarisationswinkel ab. Für β = 0◦ und β = 180◦ ist das
Minimum bei 0% und steigt bis zum Polarisationswinkel 90◦ auf 50%
an.
43
3. Charakterisierung des Simulationsprogramms
3.5. Potential der realen Ioffe-Falle
Das magnetische Potential der Ioffe-Falle setzt sich aus aus den zwei Helmholtzspulen
und einer vier- bzw. achtfach Racetrackspule zusammen. Die Parameter, die bei der
Berechnung des Potentials nach (2.62) verwendet werden, sind in Tabelle 3.2 zu finden.
Tabelle 3.2.: Parameter zur Berechnung des Potentials
Magnetfeld im Zentrum der Helmholtzspule:
Radius der Helmholtzspulen:
Abstand der Helmholtzspulen:
Magnetfeld der Racetrackspule:
Radius der Racetrackspule:
z [m]
3T
2,1 cm
50 cm
1T
2,5 cm
BH0
RH
a
BC0
RC
Helmholtzspule
I
0,2
0
a
-0,2
x [cm]
-3
-2
-1
0
1
2
3
Abbildung 3.8.: Vektorfeld des magnetischen Potentials in der z-x-Ebene.
Die zwei Helmholtzspulen mit dem relativen Abstand a erzeugen ein
bezüglich der z-Achse rotationssymmetrisches magnetisches Potential.
Bezüglich der z-Richtung besitzt diese Potential ein Minimum bei z = 0.
44
3.5. Potential der realen Ioffe-Falle
Die Helmholtzspulen, mit dem relativen Abstand a, erzeugen ein rotationssymmetrisches
Magnetfeld bezüglich der z-Achse, siehe Abbildung 3.8. Die Dichte der Magnetfeldlinien
zeigt, dass dieses Potential ein Minimum bezüglich der z-Richtung bei z = 0 besitzt. Das
Potentialminimum in den anderen Richtungen wird durch die Racetrackspule erzeugt.
Da die Stäbe der Racetrackspule parallel zur z-Achse ausgerichtet sind, liegen die Magnetfeldvektoren in der x-y-Ebene. In Abbildung 3.9 sind die Vektorfelder für das Quadrupol - und das Oktupolfeld dargestellt. Für beide Varianten ist ein Minimum bei
x = y = 0 zu finden. In Kombination mit dem Feld der Helmholtzspule ergibt sich
2
y [cm]
Spulenstäbe
2
y [cm]
Spulenstäbe
I
I
1
1
0
0
-1
-1
-2
x [cm]
-2
-1
0
1
(a) Vektorfeld der vierfach Racetrackspule
2
-2
-2
-1
0
1
x [cm]
2
(b) Vektorfeld der achtfach Racetrackspule
Abbildung 3.9.: Vektorfeld des magnetischen Potentials in der x-y-Ebene.
Die Racetrackspule erzeugt ein Magnetfeld mit einem Minimum bei x =
y = 0. In rot sind die jeweiligen Richtungen des durchfließenden Stroms
dargestellt.
ein dreidimensionales Potential mit einem Minimum im Ursprung. Die Berechnung des
Quadrupol- bzw Oktupolfeld im Ursprung ergibt Null, das Helmholtzfeld an diesem Ort
ist von dem Abstand der Spulen abhängig. Da die Energieniveaus des Antiwasserstoffatoms für geringe Magnetfelder teilweise entartet sind, ist es möglich in verschiedene
und somit auch ungefangene Zustände anzuregen. Um dies zu unterdrücken ist es nötig ein zusätzliches Offset-Magnetfeld B~0 anzulegen, sodass im Potentialminimum die
45
3. Charakterisierung des Simulationsprogramms
Entartung der Energieniveaus aufgehoben wird. Das Offset-Magnetfeld erhöht das Magnetfeld an jedem Punkte der Falle um einen konstanten Wert und hebt die Entartung
der Energieniveaus auf. Die Formel (2.62) erweitert sich somit um das konstante Magnetfeld B~0 .
3.6. Lösung der Bewegungsgleichung
Die Kopplung des magnetischen Moments des Antiwasserstoffatoms führt auf die Bewegungsgleichung (2.65). Eine analytische Lösung der Gleichung ist für das Potential
der Ioffe-falle nicht möglich. Deshalb muss auf ein numerisches Lösungsverfahren zurückgegriffen werden. In das Simulationsprogramm sind zwei Lösungsverfahren explizit
implementiert. Eines basiert auf dem Runge-Kutta-Verfahren vierter Ordnung mit adaptiver Schrittgröße [Pre03]. Bei diesem Verfahren wird neben der vierten auch die fünfte
Ordnung berechnet, um über die Differenz zwischen vierter und fünfter Ordnung die
Schrittgröße anzupassen. Ist die Differenz größer als ein definierter Schwellwert, so wird
die Berechnung über zwei aufeinander folgende Schritte mit je halber Schrittgröße berechnet. Der Schwellwert dieses Verfahrens ist durch die Genauigkeit des verwendeten
Datentyps „double“ (15 signifikante Stellen) limitiert und wird deshalb auf den Wert
10−13 festgesetzt. Das andere Verfahren ist das Symplectic-Integrator-Verfahren. Näheres zu diesem Verfahren ist in der Literatur zu finden [Yos90]. Dieses Verfahren wurde
auch für die Simulation mit gepulstem Laserlicht verwendet [DFR13], allerdings ist die
genaue Implementation bei dieser Simulation nicht gezeigt. Beide Verfahren sind für die
hier entwickelte Simulation ungeeignet, da sie über eine simulierte Zeit von 1000 s deutliche Abweichungen aufweisen. Abbildung 3.10 zeigt die Abweichung der Temperatur eines
Antiwasserstoffatom im Verlauf der simulierten Zeit, berechnet über das implementierte
Runge-Kutta-Verfahren. Die Abweichung schwankt stark und beträgt teilweise 30 mK
und ist somit um ein vielfaches höher als die Temperaturänderung von ≈ 5 mK bei Absorption und Emission eines Photons. Dies führt dazu, dass bei der Bewegung des Atoms
im Potential, berechnet über eines dieser Verfahren, die Gesamtenergie des Atoms nicht
erhalten ist und somit physikalische Ergebnisse verfälschen. Aus diesem Grund wird
für die Simulation ein Lösungsverfahren aus der Bibliothek der Numerical Algorithms
Group (NAG) verwendet [Num12]. Diese bietet neben verschiedenen numerischen Lösungsverfahren für Differentialgleichungen auch numerische Berechnungen für elliptische
46
3.6. Lösung der Bewegungsgleichung
Temperaturabweichung
[mK]
20
10
t [s]
200
400
600
800
1000
-10
Abbildung 3.10.: Temperaturabweichung erzeugt durch das implementierte
Runge-Kutta-Verfahren bei einer Simulation ohne Laserlichtanregung.
Die Abweichung der Temperatur schwankt stark und beträgt teilweise
30 mK. Diese Abweichung ist um ein vielfaches höher als die Temperaturänderung von ≈ 5 mK bei Absorption und Emission eines Photons.
Integrale, welche für die Berechnung des Magnetfeldes nötig sind, und numerische Ableitungsverfahren, welche im Hinblick auf die Erweiterung der Simulation mit anderen
Potentialen von Nutzen sind.
Im Simulationsprogramm wird ein Verfahren der NAG-Bibliothek verwendet, welches auf
dem Runge-Kutta-Verfahren, beruht. Das gewählte Verfahren „nag_ode_ivp_rk_onestep“
ist in der Softwaredokumentation der NAG-Bibliothek unter der Bezeichnung „d02pdc“
zu finden und ist mit der präzisesten Einstellung „Nag_RK_7_8“ initialisiert. Um das
Lösungsverfahren der NAG-Bibliothek zu testen wird ein dreidimensionales harmonisches Potential angenommen in dem ein thermisches Antiwasserstoffatom gefangen ist.
Für diese System ist eine analytische Lösung der Bewegungsgleichung zu finden [Nol06],
was eine Verifizierung der numerischen Lösung ermöglicht. Da in der Bewegungsgleichung
die Richtung des Magnetfeldes irrelevant ist, reicht es aus das harmonische Magnetfeld
47
3. Charakterisierung des Simulationsprogramms
im Betrag anzugeben:
(3.3)
BH = B0 (x2 + y 2 + z 2 ) .
Eingesetzt in die Bewegungsgleichung (2.65) folgen somit 3 unabhängige gewöhnliche
Differentialgleichungen:
2 µ B0
~x(t) = −A~x(t) ,
~x¨(t) =
M
(3.4)
Als Anfangsbedingungen für die Verifizierung wird das thermische Antiwasserstoffatom
ins Potentialminimum ~x(0) = ~0 gesetzt und die Starttemperatur T0 = 0,5 K gewählt. Die
thermische Energie entspricht dann der kinetsichen Energie, sodass sich der Geschwindigkeitsvektor ~v0 aus der Starttemperatur und einem zufällig generierten Richtungsvektor
festlegen lässt. Für die Amplitude des Magnetfeldes wurde B0 = 0,5 T gewählt. Aus
diesen Anfangsbedingungen ergibt sich die Lösung der Bewegungsgleichung:
√ v~0
At
~x(t) = √ sin
A
.
(3.5)
In Abbildung 3.11 sind die analytische und numerische Lösung für ~x(t) zu sehen. Nach
2000 s beträgt die mittlere relative Abweichung der Lösungen ≈ 0,05%. Für die Geschwindigkeit ~x˙ (t) liegt die mittlere relative Abweichung in der selben Größenordnung.
Aufgrund der Energieerhaltung bietet die Gesamtenergie des Systems eine zusätzliche
Überprüfung. Die Gesamtenergie setzt sich aus der potentiellen Energie des Atoms, durch
die Position im Magnetfeld, und der kinetischen Energie des Atoms zusammen. Die relative Abweichung der Gesamtenergie ist in Abbildung 3.12 zu sehen. Es ist ein Anstieg
der relativen Abweichung zu erkennen. Nach einer Simulationszeit von 2000 s beträgt
diese weniger als 10−9 % und ist im Vergleich zur relativen Energieänderung bei der Absorption und Emission eines Photon mit ≈ 1 % gering. Da die Simualtionszeit von 2000 s
in etwa der doppelten zur Zeit experimentell möglichen Speicherzeit von Antiwasserstoff
in der Ioffe-Falle entspricht [The11], ist der Fehler des numerischen Lösungsverfahren
aktzeptabel.
48
3.6. Lösung der Bewegungsgleichung
x [m]
analytische Lösung
numerische Lösung
1,0
t [s]
0,0
1999,94
1999,97
2000,00
-1,0
Δx [m]
5 10-4
t [s]
-5 10-4
Abbildung 3.11.: Vergleich von analytischer und numerischer Lösung der DGL
im harmonischen Potential.
Nach 2000 s ist auf den ersten Blick kein Unterschied zwischen der
numerischen Lösung und der analytischen Lösung zu erkennen. Im unteren Diagramm ist dann die relative Abweichung der beiden Lösungen
aufgetragen. Die relative mittlere Abweichung beträgt ≈ 0,03%.
49
3. Charakterisierung des Simulationsprogramms
8
relative Abweichung
[10-10 %]
6
4
2
t [s]
500
1000
1500
2000
Abbildung 3.12.: Relative Abweichung der Gesamtenergie bei numerischem Lösungsverfahren.
Es ist ein Anstieg der relativen Abweichung der Gesamtenergie zu erkennen. Dieser beträgt nach 2000 s weniger als 10−9 % und ist somit
im Vergleich zur relativen Energieänderung bei der Absorption und
Emission eines Photon mit ≈ 1 % vernachlässigbar.
50
4. Laserkühlung von Antiwasserstoff
in einer Ioffe-Falle
In diesem Kapitel wird die Laserkühlung von Antiwasserstoff im Potential der IoffeFalle simuliert, um daraus erste Aussagen über das zukünftige Experiment zu treffen.
Alle Frequenzen sind dabei inklusive dem Faktor 2π angegeben.
4.1. Trajektorie von Antiwasserstoff in der Ioffe-Falle
ohne Laserlichtanregung
Bevor ein Kühlprozess über eine Zeit von 2000 s mit Laserlichtanregung simuliert wird,
wird zunächst die Gesamtenergie und die Trajektorie des Antiwasserstoffatoms betrachtet. Ohne das Einstrahlen des Laserlichts muss die Gesamtenergie des Antiwasserstoffatoms, zusammengesetzt aus der kinetischen Energie und der potentiellen Energie, erhalten bleiben. Für das Potential der Ioffe-Falle werden die Parametern aus Tabelle 4.1
verwendet [ZCFW13]. Da im magnetischen Potential der Ioffe-Falle keine analytische
Tabelle 4.1.: Parameter der Simulation
Magnetfeld im Zentrum der Helmholtzspule:
Radius der Helmholtzspulen:
Abstand der Helmholtzspulen:
Magnetfeld der Racetrackspule (Quadrupolfeld):
Radius der Racetrackspule:
Magnetfeld Offset:
Starttemperatur:
BH0
RH
a
BC0
RC
B0
T
2,5 T
10,4 cm
20 cm
3,0 T
6 cm
1T
0,5 K
Lösung der Bewegungsgleichung existiert wird die Bewegungsgleichung mit dem nume-
51
4. Laserkühlung von Antiwasserstoff in einer Ioffe-Falle
rischen Lösungsverfahren gelöst. Dabei wird die Bewegungsgleichung schrittweise für ein
Zeitintervall dt = 0,0001 s gelöst. Die Größe des Zeitintervalls ist für das Lösungsverfahren aus der NAG-Bibliothek zwar irrelevant, da es intern mit einer adaptiven Schrittgröße arbeitet, jedoch spielt sie für eine Kühlsimulation mit Laserlichtanregung eine Rolle,
da Position und Geschwindigkeit des Atoms zur Berechnung der Anregungsrate in diesem Zeitintervall näherungsweise konstant sein müssen. Deshalb wird die Schrittgröße
konsistent zur Kühlsimulation mit Laserlichtanregung gesetzt.
relative Abweichung
[%]
0,8
0,6
0,4
0,2
t [s]
500
1000
1500
2000
Abbildung 4.1.: Relative Abweichung der Gesamtenergie in der Ioffe-Falle ohne Laserlichtanregung.
Durch das numerische Lösen der Bewegungsgleichung entsteht eine Abweichung der Gesamtenergie. Das Diagramm zeigt die relative Abweichung der Gesamtenergie in Abhängigkeit von der simulierten Zeit t im
Potential der Ioffe-Falle ohne das Einstrahlen des Laserlichts.
In Abbildung 4.1 die relative Abweichung der Gesamtenergie des Atoms, bezüglich der
Gesamtenergie zu Beginn, gegen die Zeit aufgetragen. Es ist in nahezu linearer Anstieg
der Abweichung zu erkennen. Bei einer Anfangstemperatur von 500 mK entsteht eine
Standardabweichung von ≈ 1, 3 mK. Die relative Abweichung steigt monoton mit der
Zeit t an und beträgt ≈ 0, 95 % nach einem 2000 s langen, simulierten Zeitintervall und
entspricht somit in etwa der relativen Energieänderung bei der Absorption und Emission
52
4.2. Kühlprozess von Antiwasserstoff im Potential der Ioffe-Falle mit Laserlichtanregung
eines Photon mit ≈ 1 %. Während des Kühlprozess über 2000 s werden mehr als eine
Absorption erwartet, sodass dieser Fehler für die Simulation aktzeptabel ist.
Die Betrachtung der Gesamtenergie ermöglicht keine Aussage über die Trajektorie des
Antiwasserstoffatoms im Potential der Ioffe-Falle. Um zu zeigen dass das Antiwasserstoffatom in der Ioffe-Falle gefangen bleibt, wird deshalb zusätzlich die Trajektorie des
Atoms betrachtet, siehe Abbildung 4.2. In der Abbildung sind des weiteren die zwei
Helmholtzspulen (rot) und drei von vier Stäben der Racetrackspule (grün) nach den
Fallenparametern in Tabelle 4.1 dargestellt. Es ist zu erkennen, dass sich das Atom innerhalb der Spulengeometrie bewegt und somit die Annihilation an den Fallenwänden
verhindert wird.
4.2. Kühlprozess von Antiwasserstoff im Potential
der Ioffe-Falle mit Laserlichtanregung
Da das Atom ohne das Einstrahlen des Laserlichts in der Ioffe-Falle gefangen bleibt,
ist es nun möglich den Kühlprozess mit Laserlichtanregung zu simulieren. Dazu sind
zunächst einige Vorüberlegungen bezüglich des Anfangszustandes des Antiwasserstoffatoms und des Laserlichts notwendig. Aufgrund der Energieniveauverschiebung im magnetischen Feld besitzt das Atom ungefangene Zustände. Deshalb gilt es, das Abregen
in einen ungefangenen Zustand zu vermeiden. Es wird demnach ein angeregter Zustand
benötigt, der durch spontane Emission nicht in ungefangene Zustände zerfallen kann.
Der Zustand 2P3/2 (F = 2, mF = −2) kann aufgrund der Auswahlregeln für spontane
Emission nur in den gefangen Grundzustand 1S1/2 (F = 1, mF = −1) zerfallen. Von diesem Grundzustand ausgehend wird linkszirkular polarisiertes Licht benötigt um in den
geeigneten Zustand anzuregen. Durch die variierende Magnetfeldrichtung regt das linkszirkular polarisierte Licht im Allgemeinen nicht ausschließlich den ∆m = −1 Übergang
im Antiwasserstoffatom an. Die anderen zwei Übergänge π und σ + sind in Abhängigkeit
vom Einstrahlwinkel α nach der Polarisationsbetrachtung (Kapitel 2.3) ebenfalls möglich und somit kann das Atom durch einen π-Übergang in den 2P3/2 (F = 2, mF = −1)
bzw. durch einen σ + -Übergang in den 2P3/2 (F = 2, mF = 0) Zustand angeregt werden. Diese Zustände können in andere Grundzustände zerfallen und können mit der Zeit
in ungefangene Zustände gelangen, was zum Verlust des Antiwasserstoffatoms aus der
53
4. Laserkühlung von Antiwasserstoff in einer Ioffe-Falle
Abbildung 4.2.: Trajektorie des Antiwasserstoffatoms in der Ioffe-Falle ohne
Laserlichtanregung.
Das Diagramm zeigt eine Bewegung eines Antiwasserstoffatoms im Potential der Ioffe-Falle. In rot sind die zwei Helmholtzspulen und in grün
drei der vier Stäbe der Racetrackspule nach den Fallenparametern in
Tabelle 4.1 dargestellt. Es ist zu erkennen, dass sich das Atom innerhalb der Spulengeometrie bewegt und somit die Annihilation an den
Fallenwänden verhindert wird.
Ioffe-Falle führt. Um den Verlust gering zu halten ist es nötig die Magnetfeldrichtung im
Fallenpotential möglichst konstant zu halten. Da das Magnetfeld der Helmholtzspulen
in z-Richtung zeigt ist es sinnvoll das Offsetmagnetfeld in die gleiche Richtung zeigen zu lassen. Diese beiden Magnetfelder dominieren zusammen das Gesamtmagnetfeld,
wodurch die Grundrichtung des Magnetfeldes festgelegt ist. Die Magnetfeldrichtung der
54
4.2. Kühlprozess von Antiwasserstoff im Potential der Ioffe-Falle mit Laserlichtanregung
Racetrackspule liegt in der x-y-Ebene, sodass die resultierende Magnetfeldrichtung größtenteils in z-Richtung zeigt. Wird das Laserlicht ebenfalls in z-Richtung eingestrahlt, so
erzeugt das eingestrahlte linkszirkular polarisierte Licht bevorzugt ein ∆m = −1 Übergang und die anderen Übergänge werden unterdrückt.
Des Weiteren ist für eine Kühlung eines Antiwasserstoffatoms im magnetischen Potential die Rotverstimmung des Laserlichts erforderlich. Da sich die Energieniveaus des Antiwasserstoffatoms im Magnetfeld verschieben, steigt die Übergangsfrequenz zwischen
Grundzustand und angeregtem Zustand mit steigendem Magnetfeld an. Um für jede beliebige Position des Antiwasserstoffatoms im magnetischen Potential das Licht
rotverstimmt einzustrahlen, muss die minimale Übergangsfrequenz rotverstimmt eingestrahlt werden. Die minimale Übergangsfrequenz ist im Potentialminimum zu finden.
Bezüglich des Potentials nach Tabelle 4.1 beträgt die Laserlichtfrequenz im Minimum
ωL = 15.495.033,261 GHz. In Abbildung 4.3 ist die Simulation eines Kühlprozesses mit
der Verstimmungsfrequenz δ = 800 MHz und der, über die Querschnittsfläche konstanten
Leistung P = 5 mW zu sehen. Dabei ist die Temperatur, welche sich aus der Gesamtenergie des Atoms berechnen lässt, gegen die Kühlzeit aufgetragen.
Das Diagramm zeigt, dass die Temperatur des Atoms mit der Zeit abfällt und somit
eine Kühlung im Potential der Ioffe-Falle prinzipiell möglich ist. Auffällig ist der Temperaturverlauf zwischen 410 mK und 250 mK. Ein linearer Fit des Bereiches zeigt das
der Temperaturabfall eine Größenordnung größer ist als in den umliegenden Bereichen,
Tabelle 4.2.
Tabelle 4.2.: Temperaturabfall des Kühlprozesses
Temperaturbereich [mK]
500- 410
410- 250
250- 150
Temperaturabfall [ mK
]
s
0, 426 (±0, 003)
4, 430 (±0, 053)
0, 141 (±0, 001)
Dass die Temperatur in diesem Bereich schneller abfällt, lässt vermuten dass die Anregungsrate zwischen 410 mK und 250 mK höher ist. Um dies zu überprüfen werden weitere Simulationen mit den identischen Parametern durchgeführt. Abbildung 4.4 zeigt vier
Kühlkurven (1)-(4) und die Referenzkurve (R) aus Abbildung 4.3. Bei den simulierten
Kühlprozessen (1)-(3) ist ein Temperaturabfall zu erkennen, allerdings ist gelegentlich
55
4. Laserkühlung von Antiwasserstoff in einer Ioffe-Falle
T [mK]
600
Simulierter Kühlprozess
500
Lineare Fits
400
300
200
100
t [s]
0
200
400
600
800
1000
Abbildung 4.3.: Eine Kühlsimulation in der Ioffe-Falle.
Das Diagramm zeigt den zeitlichen Verlauf der Temperatur eines Antiwasserstoffatoms, für eine Simulation. Das Laserlicht ist hierbei um
800 MHz rotverstimmt und strahlt mit einer über die Querschnittsfläche konstanten Leistung von P = 5 mW ein.
auch ein Anstieg der Temperatur zu sehen. Ein Anstieg der Temperatur entsteht durch
die Anregung des Antiwasserstoffatoms mit einer blauverstimmten Frequenz, also einer
höheren Frequenz bezüglich der Übergangsfrequenz. Aufgrund der lorentzförmigen Frequenzverteilung des eingestrahlten Lichtfeldes mit einer Linienbreite von 10 MHz sind
blauverstimmte Frequenzen nur in einem sehr geringen Anteil enthalten. Dies kann dazu
führen, dass effektiv keine Kühlung des Antiwasserstoffatoms stattfindet, z.B. Kurve 1.
Der starke Temperaturabfall der Referenzkurve ist in keiner der vier Kühlprozesse zu
erkennen und lässt sich daher nicht auf die Anregungsrate zurückführen. Über die Anregungsrate wird in der Simulation die Anregungswahrscheinlichkeit für jeden angeregten
Zustand berechnet. Ob und in welchen Zustand dann angeregt wird, wird durch die
Generierung von Zufallszahlen entschieden. Der starke Temperaturabfall ist daher eine
statistische Schwankung.
Der sehr unterschiedliche Verlauf der Kühlkurven, insbesondere Kurve (1) und (R), zei-
56
4.2. Kühlprozess von Antiwasserstoff im Potential der Ioffe-Falle mit Laserlichtanregung
T [K]
0,6
1
0,5
0,4
2
3
0,3
4
0,2
R
0,1
t [s]
0
200
400
600
800
1000
Abbildung 4.4.: Kühlsimulationen in der Ioffe-Falle.
Das Diagramm zeigt den zeitlichen Verlauf der Temperatur des Antiwasserstoffatoms für vier zusätzlich Simulationen (1)-(4) und die Referenzkurve (R) aus Abbildung 4.3.
gen das eine größere Statistik nötig ist um präzisere Aussagen zu treffen.
Die Dauer der Kühlung ist vor allem von der Anregungsrate bestimmt. Um die Kühldauer zu reduzieren wird eine Erhöhung der Anregungsrate angestrebt, welche aufgrund der
Dopplerverschiebung von der Verstimmung der Laserfrequenz und der Geschwindigkeit
des Antiwasserstoffatoms abhängt. Auf die Geschwindigkeit des Atoms besteht kein direkter Einfluss. Durch die Starttemperatur ist die maximale Geschwindigkeit zwar vorbestimmt, der Verlauf der Geschwindigkeit ist jedoch durch die Trajektorie im Potential
bestimmt. Daher lässt sich nur die Verstimmung der Laserfrequenz zur Optimierung
der Anregungsrate verwenden. Dafür wird eine Simulation für verschiedene Verstimmungen der Laserfrequenz mit identischen Anfangsbedingungen durchgeführt. Dabei
wird angenommen, dass das Antiwasserstoff im Potentialminimum startet und somit die
thermische Energie der kinetischen Energie entspricht. Für das Potential der Ioffe-Falle
werden die Parameter aus Tabelle 4.1 verwendet und das Laserlicht mit gleichbleibender Frequenz und Leistung eingestrahlt. Da die Bewegung des Antiwasserstoffatoms im
Potential der Ioffe-Falle im Allgemeinen nicht zyklisch ist, wird die Bewegung über eine
57
4. Laserkühlung von Antiwasserstoff in einer Ioffe-Falle
simulierte Zeit von 25 s beobachtet. Dabei wird die Zeit in Intervallen von dt = 0.0001 s
iterativ durchlaufen und die Anregungswahrscheinlichkeit berechnet. Da für verschiedene
Temperaturen ein Antiwasserstoffatom eine andere maximale Geschwindigkeit erreichen
kann und diese Einfluss auf die Anregungsrate hat, wird die Anregung durch das Laserlicht verboten.
ΔP [%]
4
T=0,5=K
T=0,4=K
T=0,3=K
T=0,2=K
T=0,1=K
3
2
1
-1
-1
-2
blauverstimmt
0
1
2
Verstimmungsfrequenz=[GHz]
rotverstimmt
-3
Abbildung 4.5.: Differenz der Anregungswahrscheinlichkeit für verschiedenen
Temperaturen.
Das Diagramm zeigt die Differenz ∆P zwischen Kühl- und Erhitzungsanregungswahrscheinlichkeit in Abhängigkeit von der Verstimmungsfrequenz für verschiedene Temperaturen des Antiwasserstoffatoms. Dabei
sind die Anregungsraten über eine simulierte Zeit von 25 s aufsummiert.
In Abbildung 4.5 ist die Differenz ∆P zwischen Kühl- und Erhitzungsanregungswahrscheinlichkeit, welche über die simulierte Zeit von 25 s aufsummiert sind, gegen die Verstimmungsfrequenz aufgetragen. Für rotverstimmte Frequenzen ist diese Differenz stets
positiv und steigt für kleiner werdende Verstimmungen an. Je nach Temperatur ist ein
Maximum zwischen 100 MHz und −50 MHz zu erkennen. Wird die Frequenz blau verstimmt, so fällt die Differenz der Anregungswahrscheinlichkeiten ins Negative ab. Das
bedeutet dass der Erhitzungseffekt dominiert. Dass der Nulldurchgang für die verschiedenen Temperaturen bei unterschiedlichen Blauverstimmungen zu finden ist, lässt sich
58
4.2. Kühlprozess von Antiwasserstoff im Potential der Ioffe-Falle mit Laserlichtanregung
durch die Energieniveauverschiebung begründen. Durch die Bewegung des Atoms wirkt
auf das Antiwasserstoffatom ein unterschiedlich starkes Magnetfeld, wodurch die Energieniveaus des Atoms verschoben werden. Für höhere Temperaturen kann das Atom ein
höheres Magnetfeld erreichen. Demzufolge wirkt auf das Atom gemittelt über die 25 s ein
größeres Magnetfeld, wodurch sich der Nulldurchgang der Anregungswahrscheinlichkeit
verschiebt.
Für die gewählten Startbedingung wäre eine Verstimmungsfrequenz im Bereich von
0 MHz − 100 MHz optimal. Da bei dieser Simulation für jede Temperatur nur eine bestimmte Trajektorie betrachtet wurde, ist eine Aussage über die optimale Verstimmungsfrequenz mit diesen Daten allein nicht möglich. Eine allgemeine Analyse erfordert eine
Simulation für eine große Menge statistisch verteilter Startbedingungen, was zukünftig
durchgeführt werden muss.
59
5. Ausblick
In dieser Arbeit wurde ein Simulationsprogramm entwickelt um eine Laserkühlung von
Antiwasserstoff zu simulieren. Es wurde gezeigt das eine Kühlung auf dem 1S1/2 (F =
1, mF = −1) - 2P3/2 (F = 2, mF = −2) Übergang prinzipiell möglich ist. Zukünftig
können mit diesem Simulationsprogramm Kühlprozesse für unterschiedliche Parameter
untersucht werden, um sobald experimentell eine ausreichende Menge von Antiwasserstoff zur Verfügung steht diese Atome zu kühlen und zu vermessen.
Der nächste Schritt, der in Angriff genommen werden muss, ist die Parallelisierung des
Simulationsprogramm, da im Experiment keine einzelnen Atome, sondern eine Atomwolke in einer Ioffe-Falle gefangen ist. Da die Antiwasserstoffatome elektrisch neutral
sind, kann die Wechselwirkung zwischen den Atomen vernachlässigt werden. Demnach
ist es möglich jedes Atom separat zu betrachten, wodurch softwaretechnisch einige Vorteile entstehen. Für parallele Berechnungen werden viele Prozessoren benötigt, da jeder
Prozessor nur sequenziell Berechnungen ausführen kann. Neben Clustern besteht die
Möglichkeit dieses Programm für Grafikkarten zu parallelisieren, da die Berechnung für
jedes Atom strikt separat durchgeführt werden kann. Im Idealfall reduziert sich die benötigte Zeit für die Simulation einer Laserkühlung einer Atomwolke auf die benötigte
Zeit für ein einzelnes Atom. Die entstehende Statistik ermöglicht dann eine allgemeine
Untersuchung der verschiedenen Parameter. Ebenso kann dann eine Verlustrate der Antiwasserstoffatome, welche durch das Zerfallen in ungefangene Zustände zustande kommt,
bestimmt werden.
Des weiteren kann das Programm anwenderspezifisch angepasst werden. Da die physikalischen Komponenten, wie Lasersystem, Magnetfalle und Antiwasserstoffatom durch
einzelne Klassen realisiert sind, ist es möglich das Programm für andere Systeme anzupassen. Durch das Generieren eines zweiten Objekts der Klasse „Laser“ kann zum
Beispiel der Kühlprozess mit zwei aus verschiedenen Richtungen einstrahlenden Lasern
realisiert werden.
61
5. Ausblick
Zusammenfassend bildet das im Rahmen dieser Arbeit entwickelte Programm die Möglichkeit ein Laserkühlprozess von Antiwasserstoff in der Ioffe-Falle zu simulieren und
gleichzeitig eine Grundlage für die Simulation von anderen Laserkühlungen.
62
A. Energieaufspaltung
ΔE [10-6eV]
3
=-1
F=1 m F
=0
F=1 m F
1
B [T]
2S1/2
0,01
-1
0,02
0,03
0,04
0,05
F=1 m
F =1
F=0 m
F =0
-3
2P1/2
-5
F=1 mF=-1
F=1 mF=0
F=1 mF=1
F=0 mF=0
Abbildung A.1.: Energieaufspaltung des 2S1/2 - und 2P1/2 Niveaus im Magnetfeld.
Die Feinzustände 2S1/2 und 2P1/2 spalten zunächst in die 2 Hyperfeinzustände F = 1 und F = 0 auf. In einem externen Magnetfeld spalten
diese zwei Niveaus nach ihren magnetischen Quantenzahlen mF weiter
auf.
63
A. Energieaufspaltung
ΔE [10-8eV]
=-2
F=2 m F
-1
F=2 mF=
10
5
F=2 mF=0
F=2 mF=1
2P3/2
-5
- 10
0,2
0,5
=-1
F=1 m F
F=1 mF=0
F=2 m
F =2
0,8
B [mT]
F=1 m
F =1
-15
Abbildung A.2.: Energieaufspaltung des 2P3/2 Niveaus im Magnetfeld.
Der Feinzustand 2P3/2 spaltet zunächst in die 2 Hyperfeinzustände F =
2 und F = 1 auf. In einem externen Magnetfeld spalten diese zwei
Niveaus nach ihren magnetischen Quantenzahlen mF weiter auf.
64
B. Mathematica-Scripte
B.1. Fallenpotential
Ÿ Berechnung des Magnetfeldes einer Helholtzspule
Lösung des Integrals der Helmholtzspule
bvec = 8Integrate@Hz ^ 2 + Ρ ^ 2 + R ^ 2 - R Ρ Cos@ΦDL ^ H- 3  2L * H- z Cos@ΦD RL,
8Φ, - Π, Π <, Assumptions ® 8Q Î Reals, z Î Reals, R > 0, Ρ > 0<D,
Integrate@Hz ^ 2 + Ρ ^ 2 + R ^ 2 - R Ρ Cos@ΦDL ^ H- 3  2L * H- z Sin@ΦD RL,
8Φ, - Π, Π <, Assumptions ® 8Q Î Reals, z Î Reals, R > 0, Ρ > 0<D,
Integrate@Hz ^ 2 + Ρ ^ 2 + R ^ 2 - R Ρ Cos@ΦDL ^ H- 3  2L * H Ρ Cos@ΦD R - R ^ 2L,
8Φ, - Π, Π <, Assumptions ® 8Q Î Reals, z Î Reals, R > 0, Ρ > 0<D<;
Drehung aufgrund der Zylindersymmetrie
B = FullSimplify@8bvec@@1DD * Cos@QD, bvec@@1DD Sin@QD, bvec@@3DD<D
Koordinatentransformation und Superposition
BG = HB . z ® z + a  2L + HB . z ® z - a  2L;
BHelm = FullSimplify@
- B0 * R  2  Π BG . 8Ρ ® Sqrt@x ^ 2 + y ^ 2D, Q ® ArcCos@x  Sqrt@x ^ 2 + y ^ 2DD * y  Abs@yD<D;
Ÿ Magnetfeld der Racetrackspule
BCoil@n_D := FullSimplify@FullSimplify@HBC0 HΡ  REL ^ Hn - 1L
HCos@n QD * 8 Cos@QD, Sin@QD, 0< - Sin@n QD * 8- Sin@QD, Cos@QD, 0<LLD .
8Ρ ® Sqrt@x ^ 2 + y ^ 2D, Q ® ArcCos@x  Sqrt@x ^ 2 + y ^ 2DD * y  Abs@yD<D
Ÿ Magnetfeld der Ouadrupolfalle
BQuad = HBCoil@2D + BHelmL . 8a ® aaa, R ® RHelm, RE ® RCoil, BC0 ® BCoil0, B0 ® BHelm0<
Ÿ Magnetfeld der Octopolfalle
BOct = HBCoil@4D + BHelmL . 8a ® aaa, R ® RHelm, RE ® RCoil, BC0 ® BCoil0, B0 ® BHelm0<
65
B. Mathematica-Scripte
B.2. Polarisation
B.2.1. Einstrahlen von zirkularer Polarisation
In[1]:=
L1, L2, L3 ;
l
b
B1, B2, B3 ;
L l Sqrt l.l ;
B b Sqrt b.b ;
I
Int 2 Sin
^2
FullSimplify;
I
Int 4 1 Cos
^2
FullSimplify;
I
Int 4 1 Cos
^2
FullSimplify;
R _ :
Cos
, Sin
, 0 , Sin
, Cos
, 0 , 0, 0, 1 ;
Bstart
0, 1, 0 ;
Manipulate Ltemp R
.Bstart;
Grid
"", "Numerisch" , MatrixForm "I ", "I ", "I " ,
MatrixForm
N I .
ArcCos L.B
. L1 Ltemp 1 , L2 Ltemp 2 , L3 Ltemp 3 , B1
Bstart 1 , B2 Bstart 2 , B3 Bstart 3 , Int 1,
ArcCos L.B
,
N I .
ArcCos L.B
. L1 Ltemp 1 , L2 Ltemp 2 ,
L3 Ltemp 3 , B1 Bstart 1 , B2 Bstart 2 , B3 Bstart 3 ,
Int 1,
ArcCos L.B
,N I .
ArcCos L.B
.
L1 Ltemp 1 , L2 Ltemp 2 , L3 Ltemp 3 , B1 Bstart 1 ,
B2 Bstart 2 , B3 Bstart 3 , Int 1,
ArcCos L.B
, Grid
Plot I . L1 Ltemp 1 , L2 Ltemp 2 ,
L3 Ltemp 3 , B1 Bstart 1 , B2 Bstart 2 ,
B3 Bstart 3 , Int 1,
,
a , a, 0,
,
Plot I . L1 Ltemp 1 , L2 Ltemp 2 , L3 Ltemp 3 , B1 Bstart 1 ,
B2 Bstart 2 , B3 Bstart 3 , Int 1,
,
a , a, 0,
,
Plot I . L1 Ltemp 1 , L2 Ltemp 2 , L3 Ltemp 3 , B1 Bstart 1 ,
B2 Bstart 2 , B3 Bstart 3 , Int 1,
,
a , a, 0,
, 0, "Winkel l,b " , 0, 2 ,
16
,
zirkular
I .
ArcCos L.B
FullSimplify,
I .
ArcCos L.B
FullSimplify, I .
66
ArcCos L.B
FullSimplify ;
B.2. Polarisation
B.2.2. Einstrahlen von linearer Polarisation
2
In[25]:=
L1, L2, L3 ;
B1, B2, B3 ;
P1, P2, P3 ;
Cross l, Cross l, b
Sqrt Cross l, Cross l, b .Cross l, Cross l, b
FullSimplify;
L l Sqrt l.l ;
B b Sqrt b.b ;
P p Sqrt p.p ;
II
Int Sin
^ 2 Cos
^2
FullSimplify;
II
Int 2 Sin
^ 2 Cos
^ 2 Cos
^2
FullSimplify;
II
Int 2 Sin
^ 2 Cos
^ 2 Cos
^2
FullSimplify;
Bstart
0, 1, 0 ;
Manipulate Ltemp R
.Bstart;
Grid
"", "Numerisch" , MatrixForm "I ", "I ", "I " ,
MatrixForm
N II . L1 Ltemp 1 , L2 Ltemp 2 , L3 Ltemp 3 , B1 Bstart 1 ,
B2 Bstart 2 , B3 Bstart 3 , Int 1,
,
,
N II . L1 Ltemp 1 , L2 Ltemp 2 , L3 Ltemp 3 , B1 Bstart 1 ,
B2 Bstart 2 , B3 Bstart 3 , Int 1,
,
,
N II . L1 Ltemp 1 , L2 Ltemp 2 , L3 Ltemp 3 , B1 Bstart 1 ,
B2 Bstart 2 , B3 Bstart 3 , Int 1,
,
, Grid
Plot II . L1 Ltemp 1 , L2 Ltemp 2 ,
L3 Ltemp 3 , B1 Bstart 1 , B2 Bstart 2 ,
B3 Bstart 3 , Int 1,
,
a , a, 0,
,
Plot II . L1 Ltemp 1 , L2 Ltemp 2 , L3 Ltemp 3 , B1 Bstart 1
B2 Bstart 2 , B3 Bstart 3 , Int 1,
,
a , a, 0,
,
Plot II . L1 Ltemp 1 , L2 Ltemp 2 , L3 Ltemp 3 , B1 Bstart 1
B2 Bstart 2 , B3 Bstart 3 , Int 1,
,
a , a, 0,
l
b
p
ep
,
,
,
, 0, "Winkel l,b " , 0, 2 ,
16 ,
, 0 , 0, 2 ,
16
linear
II .
ArcCos L.B ,
ArcSin P.ep
FullSimplify,
II .
ArcCos L.B ,
ArcSin P.ep
FullSimplify,
II .
ArcCos L.B ,
ArcSin P.ep
FullSimplify
;
67
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71
Abbildungsverzeichnis
1.1. Schema der relevanten Energieniveaus von Quecksilber . . . . . . . . . .
3
2.1. Energieaufspaltung des Wasserstoffatoms . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.2. Energieaufspaltung des 1S1/2 Niveaus im Magnetfeld . . . . . . . . . . .
11
2.3. Spektrale Energiedichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2.4. Übergänge im Atom bei unterschiedlichen Lichtpolarisationen . . . . . .
17
2.5. Extremale Einstellungen des E-Feldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.6. Zerlegung einer linearen Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
2.7. Zerlegung einer elliptischen Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
2.8. Zerlegung einer linearen Schwingung in 2 lineare . . . . . . . . . . . . . .
24
2.9. Schema der Ioffe Falle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
2.10. Skizze zur Herleitung des Magnetfeldes einer Helmholtzspule . . . . . . .
27
3.1. Datenstruktur der Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
3.2. Zeitlicher Ablauf einer Kühlsimulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
3.3. Konsistenzüberprüfung der Breit-Rabi-Formeln
. . . . . . . . . . . . . .
37
3.4. Anregungsrate mit sinusförmigem Geschwindigkeitsverlauf . . . . . . . .
39
3.5. Anteilige Intensität bei Einstrahlen von rechtszirkular polarisiertem Licht
41
3.6. Anteil der Intensität für den π-Übergang bei Einstrahlen von linear polarisiertem Licht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
3.7. Anteil der Intensität für die σ-Übergange bei Einstrahlen von linear polarisiertem Licht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
3.8. Vektorfeld des magnetischen Potentials in der z-x-Ebene . . . . . . . . .
44
3.9. Vektorfeld des magnetischen Potentials der in der x-y-Ebene . . . . . . .
45
3.10. Temperaturabweichung erzeugt durch das implementierte Runge-KuttaVerfahren bei einer Simulation ohne Laserlichtanregung . . . . . . . . . .
47
73
Abbildungsverzeichnis
3.11. Vergleich von analytischer und numerischer Lösung der DGL im harmonischen Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.12. Relative Abweichung der Gesamtenergie bei numerischem Lösungsverfahren 50
74
4.1. Relative Abweichung der Gesamtenergie in der Ioffe-Falle ohne Laserlichtanregung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Trajektorie des Antiwasserstoffatoms in der Ioffe-Falle ohne Laserlichtanregung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3. Eine Kühlsimulation in der Ioffe-Falle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4. Kühlsimulationen in der Ioffe-Falle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5. Differenz der Anregungswahrscheinlichkeit für verschiedenen Temperaturen
54
56
57
58
A.1. Energieaufspaltung des 2S1/2 - und 2P1/2 Niveaus im Magnetfeld . . . . .
A.2. Energieaufspaltung des 2P3/2 Niveaus im Magnetfeld . . . . . . . . . . .
63
64
52