Wirtschaftsmathematik - für International Management (BA) und
Werbung
Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wintersemester 2013/14 hs-augsburg.de/~ste Stefan Etschberger Hochschule Augsburg Aufgabe 7 (2.10.2013) P Gegeben sei der Ausdruck niD1 ai . Die Indizierung des Ausdrucks soll nun so verändert werden, dass die untere Summationsgrenze i D k lautet, und trotzdem die gleichen Summanden addiert werden. PLU Mathematik S Stefan Etschberger Argumentationstechniken Direkter Beweis einer Implikation A ⇒ B (analog Äquivalenz A ⇔ B): A ⇒ C1 ⇒ C2 ⇒ . . . ⇒ B 1. Aussagenlogik 1.1. Einführung Beweis von A 6⇒ B durch Gegenbeispiel 1.2. Aussagenverknüpfungen 1.3. Argumentieren Beweisprinzip der vollständigen Induktion für Allaussagen 2. Lineare Algebra Induktionsanfang: Beweis der Aussage für kleinstmöglichen Wert von n (oft n = 0 oder n = 1 ) Induktionsvoraussetzung: Annahme, dass die Aussage für n wahr ist Induktionsschluss: Beweis (unter Ausnutzung der Induktionsvoraussetzung), dass die Aussage auch für n + 1 gültig ist Beispiel (vollst. Induktion): A(n) = n P Ind.-Anfang: n = 1 : i= i=1 = i=1 Ind.-Schluss: n+1 n P P i= i + (n + 1) = i=1 i=1 (n+1)(n+2) 2 5. Finanzmathematik 6. Reelle Funktionen 7. Differenzieren 1 i=1 1 P 3. Lineare Programme 4. Folgen und Reihen n(n+1) 2 n(n+1) 2 ;n ∈ N 8. Differenzieren 2 9. Integration 1·2 2 10. DGLs =1 + (n + 1) = n(n+1)+2(n+1) 2 = 16 Beispiel: Beweis durch Gegenbeispiel PLU Mathematik S Stefan Etschberger Ausgangspunkt: Die ökonomische Gleichung 1. Aussagenlogik Gewinn = Umsatz − Kosten 1.1. Einführung 1.2. Aussagenverknüpfungen 1.3. Argumentieren Daraus: A: Für zwei Produkte stimmen Umsätze und Kosten überein B: Für zwei Produkte sind die Gewinne gleich Damit gilt: A ⇒ B , andererseits aber B 6⇒ A . Gegenbeispiel zur Bestätigung von B 6⇒ A: 2. Lineare Algebra 3. Lineare Programme 4. Folgen und Reihen 5. Finanzmathematik 6. Reelle Funktionen 7. Differenzieren 1 8. Differenzieren 2 9. Integration 10. DGLs 17 PLU Mathematik S Stefan Etschberger Beispiel: Beweis durch Gegenbeispiel Ausgangspunkt: Die ökonomische Gleichung 1. Aussagenlogik Gewinn = Umsatz − Kosten 1.1. Einführung 1.2. Aussagenverknüpfungen 1.3. Argumentieren Daraus: 2. Lineare Algebra A: Für zwei Produkte stimmen Umsätze und Kosten überein B: Für zwei Produkte sind die Gewinne gleich Damit gilt: A ⇒ B , andererseits aber B 6⇒ A . Gegenbeispiel zur Bestätigung von B 6⇒ A: Für zwei Produkte gegeben: 5. Finanzmathematik 6. Reelle Funktionen 7. Differenzieren 1 8. Differenzieren 2 9. Integration 10. DGLs Umsätze u1 = 2, u2 = 5 Kosten c1 = 1, c2 = 4 Dann ist g1 = u1 − c1 = 2 − 1 u1 6= u2 , c1 6= c2 . 3. Lineare Programme 4. Folgen und Reihen =1= u2 − c2 = 5 − 4 = g2 , aber 17 Mathematik: Gliederung 1 Aussagenlogik 2 Lineare Algebra 3 Lineare Programme 4 Folgen und Reihen 5 Finanzmathematik 6 Reelle Funktionen 7 Differenzieren 1 8 Differenzieren 2 9 Integration 10 Differentialgleichungen 2 Lineare Algebra Matrizen und Vektoren Matrixalgebra Punktmengen im Rn Lineare Gleichungssysteme Inverse Matrizen Determinanten Eigenwerte Mathematik Stefan Etschberger Warum beschäftigen wir uns mit linearer Algebra? Quantitative tabellarische Daten (Excel) sind aus betriebs- und volkswirtschaftlichen Fragestellungen nicht wegzudenken Methoden der Matrizenrechnung erleichtern beziehungsweise ermöglichen die Analyse solcher Daten Wesentliche Lernziele 1. Aussagenlogik 2. Lineare Algebra 2.1. Matrizen und Vektoren 2.2. Matrixalgebra 2.3. Punktmengen im R n 2.4. Lineare Gleichungssysteme 2.5. Inverse Matrizen 2.6. Determinanten Kennenlernen der Eigenschaften von Matrizen Beherrschen elementarer Matrixoperationen Fähigkeit, lineare Gleichungssysteme aufzustellen, zu lösen und diese Lösung darzustellen Beherrschen des Invertierens spezieller Matrizen 2.7. Eigenwerte 3. Lineare Programme 4. Folgen und Reihen 5. Finanzmathematik 6. Reelle Funktionen 7. Differenzieren 1 8. Differenzieren 2 9. Integration 10. DGLs 19 Einführung Mathematik Stefan Etschberger Beispiel 1 Eine Unternehmung stellt mit Hilfe der Produktionsfaktoren F1 , F2 , F3 zwei Produkte P1 , P2 her. Zur Produktion für jede Mengeneinheit von Pj (j = 1,2) werden aij Mengeneinheiten von Fi (i = 1,2,3) verbraucht. Verbrauch 2. Lineare Algebra 2.1. Matrizen und Vektoren 2.2. Matrixalgebra für eine Einheit des Produkts P1 P2 von Einheiten der Produktionsfaktoren F1 F2 F3 a11 a21 a31 1. Aussagenlogik 2.3. Punktmengen im R n 2.4. Lineare Gleichungssysteme a12 a22 a32 2.5. Inverse Matrizen 2.6. Determinanten 2.7. Eigenwerte 3. Lineare Programme Grafisch dargestellt: 4. Folgen und Reihen 5. Finanzmathematik a12 F1 1 a2 a F2 a 31 a F3 22 11 2 a3 P1 6. Reelle Funktionen 7. Differenzieren 1 P2 8. Differenzieren 2 9. Integration 10. DGLs 20 Einführung Mathematik Stefan Etschberger Beispiel 2 Für fünf gleichartige Produkte P1 , . . . , P5 werden drei Merkmale erhoben, und zwar der Preis, die Qualität und die Art des Kundenkreises, der das jeweilige Produkt nachfragt. Ergebnis: 1. Aussagenlogik 2. Lineare Algebra 2.1. Matrizen und Vektoren 2.2. Matrixalgebra Preis Produkte P1 P2 P3 P4 P5 Fragen: 20 18 20 16 18 Merkmale Qualität Kundenkreis 2.3. Punktmengen im R sehr gut sehr gut sehr gut mäßig ordentlich 2.5. Inverse Matrizen A B A C B n 2.4. Lineare Gleichungssysteme 2.6. Determinanten 2.7. Eigenwerte 3. Lineare Programme 4. Folgen und Reihen 5. Finanzmathematik 6. Reelle Funktionen Ähnlichkeit von Produkten 7. Differenzieren 1 Finden von Kundensegmenten 8. Differenzieren 2 Zuordnen zu diesen Segmenten 9. Integration 10. DGLs −→ Marktforschung 21
