Theoretische Grundlagen der Supraleitung - mmch.uni

Theoretische Grundlagen der Supraleitung
Elektrische Eigenschaften von Stoffen
Bandlückenbreite zur Klassifizierung von elektrischen Leitern
Materialien werden hinsichtlich ihrer elektrischen Eigenschaften in Isolatoren, Halbleiter und
Metalle eingeteilt. Eine einfache Unterscheidung kann im Rahmen der Bändertheorie über die
Energielücke (Bandlücke) zwischen Valenz- und Leitungsband getroffen werden.
Die Energie der Bandlücke wird dabei oftmals in Anlehnung an das englische Wort „gap“ mit
Eg (Energy gap) gekennzeichnet.
Große Bandlücken finden sich bei den Isolatoren wie beispielsweise Diamant, weswegen
derartige Stoffe in der Regel transparent sind und den elektrischen Strom nicht leiten.
Halbleiter wie beispielsweise Silicium sind undurchsichtig und besitzen eine kleine
Energielücke zwischen Valenz- und Leitungsband. Damit diese elektrisch leitend werden,
muss einem Halbleiter Energie, beispielsweise in Form von Wärme zugeführt werden, damit
Elektronen vom Valenz- ins Leitungsband gelangen. Dies ist der Grund dafür, dass die
elektrische Leitfähigkeit in Halbleitern mit zunehmender Temperatur größer wird.
In Metallen ist das Valenzband nur teilweise gefüllt oder es kommt zu einer Überlappung von
Valenz- und Leitungsband. Derartige Stoffe leiten den elektrischen Strom daher schon bei
Raumtemperatur. Im Gegensatz zu den Halbleitern nimmt die elektrische Leitfähigkeit beim
Abkühlen zu und der Widerstand ab. Dies liegt daran, dass die Beweglichkeit der Elektronen
in Metallen durch die, mit tieferer Temperatur, abnehmenden Kollisionen mit den Atomen
zunimmt. Die thermische Bewegung der Atome in einem Festkörper, welche für den
elektrischen Widerstand verantwortlich ist, wird zunehmend eingefroren.
Bandlückenbreite und Metallcharakter - Gruppe 14 als Beispiel
Die Bandlücke zwischen Valenz- und Leitungsband bestimmt den metallischen Charakter
eines Elementes. Innerhalb der Gruppe 14 des Periodensystems (4. Hauptgruppe) nimmt der
Metallcharakter von oben nach unten zu. Dies korreliert mit den aufgefundenen Bandlücken
in den Festkörpern: So beträgt die Bandlücke im Diamanten 5.2 eV, im Silicium (Sin) 1.09
eV, im Germanium (Gen) 0.60 eV, im α-Zinn (α-Snn) nur noch 0.08 eV und im Blei (Pbn),
einem typischen Metall, ist sie mit 0 eV nicht mehr vorhanden.
Widerstands-Temperaturkurven für verschiedene Metalle
Wird nun der elektrische Widerstand, beispielsweise von Silber und Zinn in Abhängigkeit der
Temperatur gemessen, so nimmt dieser für beide Metalle mit fallender Temperatur zunächst
ab. Beim weiteren Abkühlen strebt der Widerstand für Silber einem Grenzwert zu,
wohingegen dieser für Zinn beim Übergang von dem normalleitenden in den supraleitenden
Zustand praktisch auf Null abfällt. Das Verschwinden des elektrischen Widerstandes hat zur
Folge, dass in einem Supraleiter ein Strom ohne Energieverlust beliebig lange fließen kann.
Wird die Stromstärke jedoch über einen kritischen Wert (kritische Stromstärke Ic) erhöht,
bricht die Supraleitung zusammen. Nach seinem Entdecker wird diese Erscheinung als
Silsbee-Effekt bezeichnet. Eine besonders hohe kritische Stromdichte weisen beispielsweise
Supraleiter auf der Basis von Oxocupraten auf, weswegen diese für Anwendungen von
besonderem Interesse sind.
Magnetische Eigenschaften von Stoffen
Diamagnetismus und Paramagnetisumus
Stoffe können hinsichtlich ihrer magnetischen Eigenschaften zunächst einmal in
diamagnetische und paramagnetische Stoffe unterteilt werden. Diese können anhand ihrer
Wechselwirkung mit einem magnetischen Feld unterschieden werden. Wird ein
diamagnetischer Stoff in ein Magnetfeld gebracht, so werden die magnetischen Feldlinien aus
seinem Inneren verdrängt, wohingegen bei einem paramagnetischen Stoff die Anzahl der
Feldlinien erhöht wird.
Werden diamagnetische Stoffe nun in ein Magnetfeld gebracht, so werden diese vom
Magnetfeld abgestossen, wohingegen paramagnetische Stoffe zum Ort mit der größten
Feldliniendichte hingezogen werden.
Messung magnetischer Eigenschaften
Experimentell kann man zwischen paramagnetischen und diamagnetischen Stoffen
unterscheiden, indem die Kraft gemessen wird, mit der diese vom Magnetfeld abgestoßen
oder angezogen werden. Hierzu wird der zu untersuchende Stoff an einer Waage aufgehängt
und in ein Magnetfeld gebracht. Wird der Stoff aus dem Magnetfeld verdrängt, also scheinbar
leichter, liegt Diamagnetismus vor. Wird dieser in das Magnetfeld hineingezogen, d. h.
scheinbar schwerer, liegt Paramagnetismus vor. Quantitativ beschrieben werden kann dieses
Verhalten durch den Wert der magnetischen Suszeptibilität χ. Für diamagnetische Stoffe ist χ
> 0 und für paramagnetische Stoffe ist χ < 0.
Bei diesem Verfahren kann zwischen zwei verschiedenen Methoden unterschieden werden.
Bei der Methode nach Gouy wird ein homogenes Magnetfeld verwendet, wohingegen sich die
Probe bei der Methode nach Faraday in einem inhomogenen Magnetfeld befindet. Ein
Nachteil der Methode nach Gouy besteht darin, dass große Probenmengen zur Verfügung
stehen müssen, da ein Teil der Probe aus dem Magnetfeld herausragen muss.
Magnetische Eigenschaften von Supraleitern
Beim Übergang eines Stoffes in den supraleitenden Zustand sinkt die magnetische
Suszeptibilität unterhalb der Sprungtemperatur (Tc) stark ab und nimmt negative Werte an.
Dieses Verhalten entspricht dem eines sehr starken Diamagneten, der die Feldlinien aus
seinem Inneren verdrängt. Die Feldlinien werden bis auf einen dünnen Randbereich
vollständig aus dem Inneren des Supraleiters verdrängt. Daraus resultiert beispielsweise das
Schweben einer Supraleitertablette über einem Magneten (Schwebeversuch)
Supraleiter 1. und 2. Art
Neben dem Überschreiten der Sprungtemperatur Tc, oder der kritischen Stromstärke Ic kann
der supraleitende Zustand auch durch ein Magnetfeld zerstört werden. Da ein in einem Leiter
fließender Strom immer auch ein Magnetfeld erzeugt, ist es unerheblich, ob es sich dabei um
ein externes Magnetfeld handelt oder ob das Magnetfeld vom Supraleiter selbst erzeugt wird.
Für praktische Anwendungen sind natürlich solche Materialien von Interesse, deren
Supraleitfähigkeit auch in Gegenwart sehr starker Magnetfelder und sehr starker Ströme
erhalten bleibt.
Die Magnetfeldstärke, bei der der supraleitende Zustand aufgehoben wird, wird als kritische
Magnetfeldstärke Hc bezeichnet. Hinsichtlich des Übergangsverhaltens in Abhängigkeit der
Magnetfeldstärke wird zwischen Supraleitern 1. und 2. Art unterschieden. Bei Supraleitern 1.
Art erfolgt beim Überschreiten von der kritischen Magnetfeldstärke Hc ein scharfer Übergang
in den normalleitenden Bereich. Beim Unterschreiten von Hc setzt die Supraleitung plötzlich
wieder ein. Zu diesem Typ gehören supraleitende Elemente wie beispielsweise Vanadium
(V), Zinn (Sn) oder Quecksilber (Hg).
Bei Supraleitern 2. Art setzt der Übergang eher schleppend nach dem Überschreiten von Hc1
ein. Im Übergangsbereich zwischen Hc1 und Hc2 (Shubnikov-Phase) dringt magnetischer Fluss
mit zunehmender Magnetfeldstärke fortschreitend in das supraleitende Material ein, bis die
Supraleitung zusammenbricht. In diesem Zwischenzustand wird der Supraleiter nicht
gleichmäßig
vom Magnetfeld
durchsetzt. In
dieser
Shubnikov-Phase
koexistieren
normalleitende und supraleitende Bereiche. Da die supraleitenden Bereiche feldfrei sein
müssen, kann sich der magnetische Fluss nur in den normalleitenden Bereichen befinden. Die
Feldlinien durchziehen die normalleitenden Bereiche in Richtung des angelegten Feldes und
sind von Kreisströmen umgeben, die dafür sorgen, dass der Rest des Supraleiters feldfrei
bleibt. Da die magnetischen Feldlinien den Supraleiter in einzelnen nebeneinander
verlaufenden Schläuchen durchlaufen, werden diese als Flussschläuche bezeichnet. Diese
Flussschläuche können mit Hilfe der magnetischen Dekoration sichtbar gemacht werden.
Hierfür wird auf einen Supraleiter in der Shubnikov-Phase ein ferromagnetisches Pulver
aufgebracht. Das Pulver wird aus den supraleitenden Bereichen verdrängt und sammelt sich in
den Bereichen hoher Magnetfeldstärke an und markiert so die Flussschläuche. Bei Erhöhung
der Magnetfeldstärke nimmt die Flusschlauchdichte immer mehr zu, bis bei Hc2 keine
supraleitenden Bereiche mehr vorhanden sind. Diese kritische Feldstärke ist bei Supraleitern
2. Art um ein Vielfaches höher als Hc bei Supraleitern 1. Art. Da die Supraleitung auch bei
hohen Feldstärken erhalten bleibt, sind Supraleiter 2. Art, wie beispielsweise die Oxocuprate,
die für mögliche Anwendungen interessantesten Verbindungen.
Die Flusschläuche in einem Supraleiter 2. Art sind jedoch nicht statisch, sondern können sich
durch diesen bewegen. Diese Bewegung wird durch den fließenden Strom verursacht und
äußert sich in einer Erwärmung des Supraleiters und damit verbunden, in einem
Energieverlust. Die Wanderung der Flussschläuche kann jedoch in intermetallischen Phasen
durch absichtlich erzeugte normalleitende Ausscheidungen unterbunden werden (Pinning).
Die Flussschläuche sind dann an diese Ausscheidungen verhaftet. Bei Oxocupraten liegt die
Kohärenzlänge (s.u.) jedoch im nm-Bereich und es müssen Pinning-Zentren von atomarer
Größenordnung eingeführt werden. Dies können Kristalldefekte oder Dotierungen mit
paramagnetischen Ionen sein. Da durch das Pinning magnetischer Fluss im Supraleiter
verbleibt, zeigt sich neben dem abstoßenden Meissner-Ochsenfeld-Effekt auch ein, durch das
Pinning entstandener, anziehender Effekt.
Theoretische Erklärung der Supraleitung: Die BCS-Theorie
Die größten Änderungen beim Übergang vom normalleitenden in den supraleitenden Zustand
finden bei den elektrischen und den magnetischen Eigenschaften statt. Es lag daher Nahe,
dass für die Supraleitung ein spezifisches Ordnungsphänomen der Leitungselektronen
verantwortlich ist.
Bereits im Jahre 1950 wurde auch entdeckt, dass die Sprungtemperatur verschiedener Isotope
des gleichen Elements von der Masse der Gitterbausteine abhängt (Isotopeneffekt). Daraus
wurde gefolgert, dass die Supraleitung mit den Gitterschwingungen (Phononen)
zusammenhängt. Es wurde angenommen, dass es bei den Supraleitern zu einer starken
Elektronen-Phononen-Wechselwirkung
kommt. Stark vereinfacht, kann man sich den
Mechanismus folgendermaßen vorstellen. Bewegt sich ein Elektron durch einen Festkörper,
so tritt eine Coulombsche Anziehung zu den positiv geladenen Gitterkationen auf, die dazu
führt, dass das Gitter verzerrt und polarisiert wird. Dadurch wird auf ein zweites Elektron mit
entgegengesetztem Spin eine Anziehungskraft ausgeübt, die dazu führt, dass sich, durch die
Gitterschwingungen vermittelt, ein Elektronenpaar bildet.
Zur Deutung dieser Vorgänge haben Bardeen, Cooper und Schrieffer im Jahre 1957 ihre
BCS-Theorie entwickelt. Sie gingen davon aus, dass unter bestimmten Bedingungen wegen
der Wechselwirkung mit den Gitterschwingungen in einem Festkörper die Anziehung
zwischen zwei Leitungselektronen im Festkörper größer ist als die Coulombsche Abstoßung
zwischen diesen. Diese schwach aneinander gebundenen Elektronen werden Cooper-Paare
genannt und sind für die Supraleitung verantwortlich. Wenn ein elektrisches Feld angelegt
wird, werden die zweifach negativ geladenen Cooper-Paare zum Pluspol hin beschleunigt.
Eine Wechselwirkung mit dem Gitter ist nur dann möglich, wenn genügend Energie zur
Verfügung steht um die Copper-Paare aufzubrechen. Da alle Cooper-Paare die gleiche
Energie besitzen, brechen alle gleichzeitig auf, wenn ihre kinetische Energie größer als ihre
Bindungsenergie ist. Dabei ist es völlig unerheblich, ob die kinetische Energie durch Wärme
oder durch Beschleunigung in einem elektrischen oder magnetischen Feld zugeführt wird.
Neben einer kritischen Temperatur existiert daher auch ein kritischer Strom oder ein
kritisches Magnetfeld, bei dem die Supraleitung zusammenbricht.
Die Elektronen eines Cooper-Paares sind sehr weit voneinander entfernt. Deren Ausdehnung,
Kohärenzlänge genannt, beträgt zwischen 0.1 und 1 mm.
Mit Hilfe der BCS-Theorie kann beispielsweise die Übergangstemperatur zwischen
normalleitendem und supraleitendem Zustand berechnet werden. Daraus ergibt sich, das hohe
Sprungtemperaturen unter anderem bei den Stoffen erwartet werden können, die eine
besonders starke Elektron-Phonon-Wechselwirkung aufweisen. Metalle zeigen aber oftmals
eine nur schwache Elektronen-Phonon-Kopplung, so dass die metallischen ElementSupraleiter alle nur Übergangstemperaturen unterhalb von rund 9.3 K aufweisen. Die
Legierung Nb3Sn zeigt eine starke Elektron-Phonon-Kopplung und ein Tc von 18 K. Die
höchste Übergangstemperatur für metallische Systeme von 39 K wird von Magnesiumdiborid
(MgB2) erreicht.
Die BCS-Theorie erlaubt nur die Berechnung der Parameter für schwach gekoppelte
Supraleiter. Mit der erweiterten BCS-Eliashberg-Theorie können auch die TC-Werte für die
Oxocuprate berechnet werden. Eine Voraussetzung für die Vorhersage der Sprungtemperatur
ist, dass man ein geeignetes Modell für die Berechnung hat. Dazu müssen auch die
Normalleitereigenschaften des Leiters bekannt sein. Eine früher vorgenommene Abschätzung
gab als Obergrenze eine maximale kritische Temperatur von TC ≈ 35 K an. Diese Berechnung
galt aber nur für "niobartige" Supraleiter. Für noch unbekannte Stoffe, kann eine derartige
Vorhersage nicht gelingen. Daher gibt es im Grunde keine Begrenzung für die kritische
Temperatur unbekannter Systeme.