Tennis

Aufg.-Nr.: 16
Bereich: vektorielle Geometrie
Kursart: GK
WTR
Tennis
Die Abbildung stellt in einem dreidimensionalen Koordinatensystem
schematisch das Spielfeld (Einzelfeld) eines Tennisplatzes dar. Das Feld wird
in der Mitte durch ein Netz unterteilt, das von den Außenpfosten AB und EF
gehalten wird. Die Netzoberkante ist in der Mitte im Punkt D niedriger als
außen in den Punkten B und F, aber ansonsten geradlinig gespannt. Die
angegebenen Maße des Platzes sind aus Vereinfachungsgründen auf ganze
Meter gerundet. Auch die Koordinaten der unten angegebenen Punkte sind in Metern zu
verstehen.
Die Bälle fliegen in unserem Modell geradlinig, wir vernachlässigen jegliche Spins oder
andere Effekte wie auch Erdanziehung oder Luftreibung! Außerdem wird der Tennisball als
Punkt aufgefasst.
Die angegebenen Punkte des Tennisfelds haben die folgenden Koordinaten:
A(0|12|0) B(0|12|1,1) C(4,5|12|0) D(4,5|12|0,9) E(9|12|0) F(9|12|1,1) P(4,5|6|0)
Q(9|6|0).
Im Punkt G(4|24|0) steht der Aufschläger, der versucht, den Tennisball vom Punkt
H(4|24|3) seines Schlägers aus geradlinig in den Eckpunkt P des gegnerischen
Aufschlagfeldes ECPQ zu schlagen.
x3
B
A
x2
P
D
C
Q
x1
F
H
G
E
a) Geben Sie die Länge und die Breite des dunkel eingefärbten Tennisfeldes an.
b) Berechnen Sie, wie viele Sekunden der Ball vom Verlassen des Schlägers im
Punkt H bis zum Aufprall auf den Boden benötigt, wenn der Ball mit einer
Geschwindigkeit von 180 km/h den Schläger verlässt und diese Geschwindigkeit auch
bis zum Aufprall auf den Boden beibehalten wird.
c) Ermitteln Sie, in welchem Winkel der
Tennisball im Punkt P auf dem Boden auftrifft.
d) Dem Aufschläger gelingt es, seinen
Aufschlag genau in dem Punkt P zu platzieren.
Von dort aus springt der Ball idealtypisch, wie in
der Abbildung rechts dargestellt, ab in Richtung
des Gegners, der auf der Grundlinie (der x1Achse) steht. I
Bestimmen Sie denjenigen Punkt S der x1x3Ebene, in dem der Schläger des Gegners den
Ball zum Rückschlag (Return) trifft.
Verlaufsweg
des Balls
H
P
Einfallswinkel =
Ausfallswinkel
Die gestrichelten
Linien sind
mögliche
Spiegelachsen
Querschnitt entlang der Ebene durch H, P und G
Zusammengestellt von den Fachdezernenten Mathematik der 5 Bezirksregierungen in NRW
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Aufg.-Nr.: 16
Bereich: vektorielle Geometrie
Kursart: GK
WTR
e) Gültig ist ein Aufschlag genau dann, wenn er innerhalb des Aufschlagfeldes ECPQ
landet (einschließlich der Berandungslinie).
Beschreiben Sie einen Lösungsweg zur Berechnung der Eckpunkte derjenigen
Teilfläche des Aufschlagfeldes, in dem der vom Punkt H aus geradlinig fliegende Ball
landen kann.
Geben Sie die geometrische Form dieser Teilfläche an.
Zeichnen Sie diese Fläche in die Vorlage einschließlich der Konstruktionslinien und der
zugehörigen Bezeichnungen ein.
x3
H
x2
x1
Zusammengestellt von den Fachdezernenten Mathematik der 5 Bezirksregierungen in NRW
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Lösung
a) Die Länge und Breite des Tennisplatzes ergibt sich aus den Koordinaten von Q oder E oder F bzw.
G oder H
Länge 24 m; Breite 9 m
b)
Definition der Geschwindigkeit v =
Weg s
=
Zeit t
s ist die Länge der Strecke PH , also d = (4,5 − 4) 2 + ( 6 − 24) 2 + ( 0 − 3) 2 ≈ 18, 26
⇒t =
s 0,01826km
=
≈ 0,37 Sekunden
km
v
180
h
c) Gesucht ist der Winkel zwischen der Geraden durch P und H und der x1 x2 -Ebene.
 0
 
Es gilt sin α =
, wobei n =  0  und u = PH
n⋅u
 1
 
n ∗u
sin α =
 0   4 − 4,5 
  

 0  ∗  24 − 6 
 1  3 − 0 
  

1 ⋅ 333, 25
3
=
333, 25
⇒ α ≈ 9,5 o
d) Der Spiegelpunkt von H an der x1 x2 -Ebene ist H’(4|24|-3).
 4 
 0,5 
 


Geradengleichung durch H und P: x =  24  + t ⋅  − 18 
 − 3
 3 
 


’
Schnitt mit der x1 x3 -Ebene mit der Gleichung x2 = 0 ergibt:
24 − 18t = 0 ⇔ t =
4
 2

⇒ S  4 | 0 | 1
3
 3

e) Es soll der Teil des Aufschlagfeldes bestimmt werden, der vom Ball bei einem gültigen Aufschlag
getroffen werden kann.
Die möglichen Flugbahnen des Tennisballs liegen in den Ebenen E1 durch H, D und B bzw. E2
durch H, D und F. Bestimme die Normalenvektoren n 1 und n 2 dieser Ebenen.
 0,5   4,5   2, 4 
 0,5   − 4,5   2,4 

 
 


 
 

n1 = HD × BD =  − 12  ×  0  =  − 9,35  n 2 = HD × FD =  − 12  ×  0  =  9,55 
 − 2,1  − 0, 2   54 
 − 2,1  − 0, 2   − 54 

 
 


 
 

© 2007 Sebastian Hoheisel
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Bestimme die Schnittgerade g der Ebenen E1 und E2 . Diese ist identisch mit der Geraden durch H
und D.
4
 0,5 
 


g : x =  24  + t ⋅  − 12 
3
 − 2,1
 


Bestimme den Schnittpunkt S der Schnittgeraden g mit der x1 x2 -Ebene.
10
 33 48 
x 3 = 0 ⇔ 3 − 2,1t = 0 ⇔ t =
⇒ S |
| 0  ; S ( 4 ,7 | 6 ,9 | 0 )
7
 7 7

Bestimme die Schnittgeraden von E1 und E2 mit der x1 x2 -Ebene. Als Ortsvektor nimmt man s und
als Richtungsvektoren jeweils das Vektorprodukt von n 1 bzw. n 2 mit dem Normalenvektor e 3 der
x1 x2 -Ebene.
 0   2,4   9,35   0   2,4   − 9,55 
  
 
   
 

 0  ×  − 9,35  =  2,4  ;  0  ×  9,55  =  2,4 
 1   54   0   1   − 54   0 
  
 
   
 

 33 
 33 
 
 
 9,35 
 − 9,55 
 7 
 7




48
48
s1 : x =   + k ⋅  2,4 
; s 2 : x =   + l ⋅  2, 4 
 7 
 7
 0 
 0 
 0 
 0




 
 
 
 
Die x1 - Koordinate muss wegen der Größe des Aufschlagfeldes die Bedingung 4,5 ≤ x1 ≤ 9
erfüllen.
Die Gerade s1 schneidet die Aufschlagmittellinie, also gilt:
33
935 9
60
+k⋅
= ⇔k =−
⇒ SP1 (4,5 | 6,8 | 0)
7
100 2
2618
Die Gerade s2 schneidet die Aufschlagaußenlinie, also gilt:
33
955
600
−l⋅
=9⇔ l = −
⇒ SP2 (9 | 5,8 | 0) ; Dieser Punkt liegt allerdings außerhalb des T7
100
1337
Feldes.
Berechne den Schnittpunkt von s2 mit der T-Linie:
48
24
5
+l⋅
=6⇔ l = −
7
10
14
Die Gerade s2 schneidet die T-Linie im Punkt SP3 (8,125 | 6 | 0)
SP3 bildet zusammen mit SP1 , S und P, die vier Ecken der Landefläche.
© 2007 Sebastian Hoheisel
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