Freie Themen

Prof. Dr. Klaus D. Schmidt
Aktuar (DAV)
Lehrstuhl für Versicherungsmathematik
Institut für Mathematische Stochastik
Technische Universität Dresden
Bachelorarbeiten zur Versicherungsmathematik:
Freie Themen
Binomial–Prozesse: Ein Binomial–Prozess ist ein Zählprozess in diskreter Zeit mit unabhängigen und binomial–verteilten stationären Zuwächsen.
– Charakterisierung durch die Folge der zufälligen Zeitpunkte der Sprünge des Binomial–
Prozesses.
– Charakterisierung durch die Martingaleigenschaft des an der Erwartungswertfunktion
zentrierten Zählprozesses.
Rekursion für die Verteilung des Gesamtschadens im kollektiven Modell: Das
kollektive Modell hN, {Xk }k∈N i der Schadenversicherungsmathematik besteht aus einer
Zufallsvariablen N mit Werten in N0 (Schadenzahl) und einer unabhängig und identisch
verteilten Folge {Xk }k∈N von Zufallsvariablen (Schadenhöhen), wobei N und {Xk }k∈N
unabhängig sind. Für den Fall, dass auch die Schadenhöhen nur Werte in N0 annehmen,
stellt P
sich das Problem der rekursiven Berechnung der Verteilung des Gesamtschadens
S := N
k=1 Xk .
– Rekursion für die Verteilung der Schadenzahl.
– Zugehörige Rekursion für die Verteilung des Gesamtschadens.
Stochastische Matrizen und Bonus–Malus Systeme: Eine stochastische Matrix ist
eine
Pm quadratische Matrix A = (aik )i,k∈{1,...,m} mit aik ∈ R+ für alle i, k ∈ {1, . . . , m} und
i=1 aik = 1 für alle k ∈ {1, . . . , m}.
– Stochastische, schwach ergodische und stark ergodische Matrizen.
– Konvexkombinationen, Produkte, Eigenwerte.
– Anwendung auf Bonus–Malus Systeme.
Normal–Power
Sei V eine standardnormal verteilte Zufallsvariable
PnApproximation:
k
und sei Wn := k=0 ak V .
– Bestimmung der ersten n + 1 Momente von Wn für n ∈ {1, 2, 3}.
– Bestimmung der Koeffizienten von Wn zu gegebenen ersten n + 1 Momenten.
– Vergleich mit der Normal–Power Approximation der Ordnung n.
Rückversicherung und Entlastungsfunktion: Sei X eine integrierbare positive Zufallsvariable (Risiko, Schadenhöhe) und d ∈ R+ eine variable Priorität (Selbstbehalt).
– Entlastungsfunktion d 7→ E[X ∧ d]/E[X] aus der Sicht des Rückversicherers.
– Entlastungsfunktion d 7→ E[(X − d)+ ]/E[X] aus der Sicht des Erstversicherers.
– Beschränkte Schadenhöhe.
– Spezielle Verteilungen der Schadenhöhe.
– Numerische Beispiele und graphische Darstellung.
Risikomaße und Stop–Loss Ordnungen:
– Stop–Loss Ordnungen (vgl. Schmidt: Versicherungsmathematik; DSVM 4/1998)
– Risikomaße (vgl. Dörner: Diplomarbeit)
– Beziehungen zwischen Risikomaßen und Stop–Loss Ordnungen.
Chain–Ladder Modell mit bivariaten Entwicklungsfaktoren: Das Chain–Ladder
Verfahren ist eine Methode zur Bestimmung von Reserven für Schäden, die eingetreten,
aber noch nicht abschließend reguliert sind. Diese Schäden stammen aus verschiedenen Anfalljahren und werden bis zur abschließenden Regulierung über mehrere Abwicklungsjahre
hinweg abgewickelt. Dabei geht man von einer Proportionalität der Schadenzahlungen in
den verschiedenen Abwicklungsjahren aus. Seit kurzem liegt für das Chain–Ladder Verfahren ein Regressionsmodell vor, das neben der Proportionalität der Abwicklungsjahre auch
die Proportionalität der Anfalljahre berücksichtigt. Für diese Regressionsmodell sollen die
Gauss–Markov Prädiktoren der zukünftigen Schadenzahlungen bestimmt werden.
Weitere Themen können, auch auf Anregung des angehenden Bachelors, in einem persönlichen Gespräch entwickelt werden. Dabei besteht auch die Möglichkeit, in der Bachelorarbeit ein Thema zu bearbeiten, das sich aus einem Praktikum in der Versicherungswirtschaft ergibt; Bedingung hierfür ist, dass das Thema mathematisch interessant ist und
einen Bezug zu den Lehrveranstaltungen des Bachelorstudiums aufweist.
Stand: 11. April 2013
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