Anleitung zu diesem Versuch

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VERSUCH 6:
KONDENSATOR UND INDUKTIVITÄT - WECHSELSTROM
6A Ein- und Ausschaltvorgänge
Wird ein Kondensator der Kapazität C über einen Widerstand R mit einer konstanten Spannung Uo verbunden, so lädt er
sich auf. Gemäß Maschenregel gilt:
R·I + Q/C = Uo
oder nach Differentiation nach t und Division durch R:
dI
I
+
dt RC = 0
Diese einfache Differntialgleichung wird
durch eine exponentiell abfallende Zeitfunktion gelöst, wie sich leicht durch Einsetzen bestätigen läßt:
t
I(t) = Io·e
- RC
Io := Uo/R
Io ergibt sich aus der Anfangsbedingung Q(t=0) = 0. Der Spannungsabfall am Kondensator ist anfangs 0 und die Gesamtspannung fällt am Widerstand ab. Dies verursacht aber genau den durch Io gegebenen Anfangsstrom.
Die Spannung UR am Widerstand ergibt sich beim Einschalten ganz einfach aus dem
Strom I. Zusammen mit UC muss sie sich zu Uo addieren:
t
UR = I(t)·R = Uo·e
- RC
t
UC = Uo-UR = Uo·(1 - e
- RC
)
Nach Umschalten des im Bild gezeigten Schalters entlädt sich der Kondensator. Obige
Differentialgleichung gilt nach wie vor, nur muss jetzt als Anfangsbedingung I(0) = -Io
gesetzt werden, da sofort nach dem Umschalten der Kondensator die volle Spannung
Uo besitzt (sofern man mit dem Aufladen lange genug gewartet hat). Entsprechend ergibt sich beim Ausschalten:
t
I = - Io·e
- RC
t
UR = I·R
UC = -UR = Uo·e
- RC
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Ersetzt man in obiger Schaltung den Kondensator durch
eine
Induktivität
L,
so
zeigt sich ein ganz anderes
Schaltverhalten, da die Induktivität auf große Stromänderungen mit großen induzierten Spannungen reagiert:
dI
UL = L· dt
Zusammen mit UR muss sich
beim Einschalten wieder Uo
ergeben, oder nach Division
durch R:
L
dI
R · dt + I = Io
Diese
einfache
inhomogene
Differentialgleichung
wird
gelöst durch:
R
I = Io·(1 - e
- L t
)
Damit ergeben sich beim Einschalten die Spannungen:
R
UR = Uo·(1 - e
- L t
R
)
U L = Uo - UR = Uo e
- L t
Beim Ausschalten der Spule fließt zunächst der Strom Io.
In obiger Differentialgleichung wird jetzt die rechte Seite durch 0 ersetzt und es folgt:
R
I = Io e
- L t
R
U L = - Uo e
- L t
Eine in der Zeit exponentiell abfallende Funktion kann
allgemein ~e-t/τ geschrieben werden. τ wird Zeitkonstante genannt. Der Vergleich ergibt:
im RC-Kreis
τC = RC
im RL-Kreis
τL = L/R
Nach der Zeit τ ist die jeweilige Größe U oder I auf e-1 =
37% des Ausgangswertes abgesunken.
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———>
Die Ein- und Ausschaltvorgänge in einem RC- und einem RLKreis sollen mit dem Oszillographen untersucht werden. Die
Oszillogramme werden mit Hilfe eines Druckers kopiert. Aus
ihnen lassen sich die jeweiligen Zeitkonstanten bestimmen
und mit den theoretischen Werten vergleichen.
Anstelle eines Wechselschalters wird im Versuch eine
Rechteckspannung mit 200 Hz zur Simulation des Ein- und
Ausschaltvorganges verwendet. Verdrahten Sie den Aufbau
gemäß Schaltbild und verwenden Sie für den Oszillographen
folgende Einstellungen:
Channel I + II :
1 V/cm oder 0,5V/cm
Timebase:
0.2 ms/cm calibriert (eingerastet)
X-Mag :
x1
Trigger: AT
Norm
YB : +
ALT nicht gedrückt
Speichermodus : abgeschaltet später mit „store“ und
„hold“ einschalten
Stellen Sie mit der X- und Y- Verschiebung und mit der
Amplitude der Eingangsspannung das Signal so ein, dass Sie
bei der Auswertung das Gitternetz optimal einsetzen können. Sie können außerdem mit der variablen Eingangsempfindlichkeit der Y-Verstärker die Signale so vertikal dehnen oder stauchen, dass sie die 8 Kästchen vertikal voll
ausfüllen. Für die spätere Auswertung ist die Kalibrierung
in Y- Richtung ohne Bedeutung.
Melden Sie sich beim Betreuer, nachdem Ihnen die Einstellung gelungen erscheint. Er unterweist Sie in der Bedienung des Drucker- Einschubes. Sie müssen für UC und UL je
ein Oszillogramm aufnehmen. Damit Sie jeweils abklingende
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e- Funktionen bekommen, muss beim Kondensator auf den Ausschalt- und bei der Spule auf den Einschaltzeitpunkt getriggert werden. (Wenn diese sogenannte Triggerung des
Signals Probleme bereitet, so erklärt Ihnen dies Ihr Betreuer am besten während des Versuches.)
(Ausdrucken mit „store“ und „hold“ und „print“)
__/
\/
<=>?
Logarithmiert man eine exponentiell abfallende Funktion,
so erhält man z.B.:
U = Uoe-t/τ
⇒
ln U = ln Uo - t/τ
Eine Auftragung von ln U über t führt also auf eine abfallende Gerade, deren reziproke Steigung die Zeitkonstante τ
ergibt. In der Praxis verwendet man sog. halblogarithmisches Papier, dessen logarithmische y-Achse so konstruiert
ist, dass sich im Prinzip eine lineare Auftragung von ln y
ergibt (siehe Bild). Übertragen Sie die Spannungen beider
Oszillogramme auf halblogarithmisches Papier und bestimmen
Sie die Zeitkonstante gemäß:
t -t1
τ = ln U 2- ln
U2
1
47
Vergleichen Sie τC mit dem theoretischen Wert.
Berechnen Sie aus τL die Induktivität L, wobei zum Vorwiderstand zusätzlich der ohmsche Spulenwiderstand von
berücksichtigt werden muss.
RL = 1.65kΩ
6 B Wechselstrom-Widerstände
Neben den Ein- und Ausschaltvorgängen spielen
in der Technik sinusförminge Strom- und Spannungsverläufe eine große Rolle. Sie werden allgemein Wechselströme und -spannungen genannt
und mit Kleinbuchstaben i(t) bzw. u(t) bezeichnet:
^ sin(ωt+ϕ)
i(t) = i
^ sin(ωt+ϕ)
u(t) = u
^
i bzw. ^
u kennzeichen dabei die jeweiligen Scheitelwerte, ω
die Kreisfrequenz 2πf und ϕ einen evtl. auftretenden Phasenwinkel.
^C
Liegt an einem Kondensator eine Wechselspannung uC = u
sin ωt , so beträgt die gespeicherte Ladung in jedem Moment q(t) = C·uC(t), aus der sich durch Differentiation
der Strom iC ergibt:
du
d
iC(t) = C · dtC = C · u^C dt sin ωt = ωC·u^C cos ωt
Der Strom eilt damit am Kondensator der Spannung um 90°
voraus, sein Scheitelwert beträgt ^i C = ωC·u^C. Das Verhältnis
^C wird als kapazitiver Widerstand XC bezeichnet:
^
uC / i
1
XC =
ωC
^L sin ωt ,
Fließt durch eine Induktivität der Strom iL = i
so muss an ihr die Spannung uL = L·diL/dt anliegen oder:
di
d
uL(t) = L · dtL = L · ^i L dt sin ωt = ωL·^i L cos ωt
Die Spannung eilt damit an der Induktivität dem Strom um
90° voraus, ihr Scheitelwert beträgt u^L = ωL·^i L und das Ver^ / i
^L ergibt den induktiven Widerstand XL:
hältnis u
L
XL = ωL
Da sowohl beim Kondensator als auch bei der Spule (bei
Vernachlässigung des ohmschen Widerstandes) Strom und
Spannung eine Phasenverschiebung von 90° aufweisen, wird
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in diesen Komponenten im Mittel keine Leistung verbraucht.
Man spricht daher beim kapazitiven und induktiven Widerstand von Blindwiderständen. Bei einer Reihenschaltung von
Blindwiderständen und ohmschen Widerständen fließt durch
alle Bauteile in jedem Moment derselbe Strom i. Die Gesamtspannung u ergibt sich aus der Addition der Spannungsabfälle an den Einzelkomponenten. Ist i z.B. eine reine
Sinusfunktion i = ^i sin ωt , so muss sich folgendes ergeben:
uR =
uC =
uL =
u^R sin ωt
-u^C cos ωt
u^L cos ωt
^
^ )
( uR = R·i ⇒
uR = R·i
( u^C = ^i /ωC , Strom eilt 90° voraus )
( u^L = ^i ·ωL , Spannung eilt 90°voraus)
Die Addition der Teilspannungen ist mathematisch etwas umständlich, da trigonometrische
Additionstheoreme
benutzt werden müssen. Man
macht sich daher die Vorgänge
lieber
in
sogenannten
Zeigerdiagrammen
anschaulich, in denen die Ströme
und Spannungen durch Zeiger
dargestellt werden, die mit
der
ω entsprechenden
Geschwindigkeit z.B. gegen den
Uhrzeigersinn um den Nullpunkt rotieren (also z.B.
bei Netzfrequenz mit 50 Umdrehungen pro Sekunde). Die
eigentlichen Größen ergeben
sich durch Projektion der
Zeiger auf die y-Achse.
Mit
diesen
Vereinbarungen
kann obiger Strom i durch einen Zeiger dargestellt werden,
^
der z.Zt. t=0 in x-Richtung zeigt und dessen Länge genau i
beträgt (siehe Bild). Schickt man diesen Strom nun durch
die Reihenschaltung eines ohmschen Widerstandes und eines
Kondensators, so können die Zeiger für die Teilspannungen
uR und uC in dasselbe Diagramm mit eingezeichnet werden
und zwar für uR in Richtung i und für uC in neg. y- Richtung. All diese Zeiger bilden zusammen ein Gerüst, das mit
z.B. 50Hz gegen den Uhrzeigersinn rotiert. Man überlegt
sich leicht, dass die Projektionen auf die y-Achse gerade
die richtigen, oben angegebenen Zeitfunktionen ergeben.
Der Vorteil der Zeigerdiagramme ergibt sich aus folgendem
Umstand: die Summe der Projektionen von uR- Zeiger und uCZeiger ist gleich der Projektion eines einzigen Zeigers,
49
der sich aus der Vektoraddition des uR- und uC- Zeigers
ergibt. Einen einfachen geometrischen Beweis sieht man im
gezeigten Diagramm für t>0. Dieser resultierende Zeiger
wird der Gesamtspannung u zugeordnet. Aus der Lage der
^ bestimmen:
Zeiger bei t=0 kann man leicht seine Länge u
^
^R2 + u
^C2
u 2 = u
u^
Z := ^i =
R2 +
1
(ωC)2
Z² = R²
+ XC²
Das oben definierte Verhältnis Z wird Scheinwiderstand der
Reihenschaltung genannt. Der Winkel zwischen u- Zeiger und
i- Zeiger ist der Phasenwinkel ϕ, der sich auch ganz einfach aus dem Zeigerdiagramm ergibt und mit dessen Hilfe
u(t) als u^ sin(ωt+ϕ) geschrieben werden kann:
1
X
u^
= - Rc
tan ϕ = - u^C = ωCR
R
Die Serienschaltung einer Induktivität und eines Widerstandes ergibt eine ähnliche Situation, nur dass der uLZeiger diesmal dem Strom vorauseilt. Das entsprechende
Zeigerdiagramm ist im Bild dargestellt. Aus ihm lassen
sich folgende Ergebnisse ablesen:
Z =
R2 + (ωL)2
ωL X
tan ϕ = R = RL
———>
Der Scheinwiderstand einer RCoder einer RL- Reihenschaltung soll in Abhängigkeit der Frequenz untersucht und
die Phasenverschiebungen sollen beobachtet werden.
50
Wert des Widerstandes:
Wert des Kondensators:
Wert der Induktivität:
10 Ω , 22 Ω, 47 Ω oder 63 Ω
0,10µF, 0,22µF, 0,47µF oder 0,68µF
Luftspule 500 Windungen
Einstellung des Oszillografen: A-Kanal: 0,5 V/cm B-Kanal: 1 V/cm
Die Gesamtspannung u wird mit einem Signalgenerator erzeugt. Seine Frequenz kann variiert und digital abgelesen
werden. Neben dieser Spannung beobachtet man am Oszillographen auch die Spannung uR, die ein direktes Maß für den
Strom i gemäß uR = R·i ist (Verdrahtung s. Bild). Sie können mit dem Oszillographen am bequemsten die "SpitzeSpitze-Spannung" ablesen, die gleich dem doppelten Schei^ auf einen
telwert ist. Stellen Sie am Signalgenerator u
^ = 1V.
Wert ein, mit dem Sie leicht rechnen können z.B. u
Dieser Wert driftet im Verlauf der Messung und sollte deshalb öfter kontrolliert und eventuell korrigiert werden.
Die Verstärkereingänge des Oszillographen müssen bei der
Messung unbedingt in Stellung "cal." stehen. Die Empfindlichkeit der Eingänge sollten Sie den auftretenden Signalspannungen so anpassen, daß Sie die Amplitudenwerte optimal ablesen können. Für die Zeitbasis können Sie Ablenkungen zwischen 0.2ms/cm (bei 1.5kHz) und 20 µs/cm (bei
15kHz) wählen.
Stellen Sie nun am Signalgenerator die in der Tabelle angegebenen Frequenzen ein und messen Sie mit dem Oszillo^R. Werden
graphen die zugehörigen Scheitelspannungen u
Spitze- Spitze- Werte abgelesen, so muss durch 2 geteilt
werden, um die Scheitelwerte = Amplituden zu erhalten.
51
RC-Reihenschaltung
^
C /µF:
u /mV:
R / Ω:
^R / mV
^ /mA Z / Ω XC / Ω ϕ/°
f /kHz u
i
C / µF 1/f /10-6s
1.5
2
3
4
5
6
7
8
9
10
12
15
Vervollständigen Sie die kursiv bezeichneten Spalten der
Tabellen mit Hilfe der im Theorieteil angegebenen Formeln:
î = ûR/R
oder:
Z = û/î
XC,L =
Z2-R2
C = 1/ωXC bzw. L = XL/ω
RL- Reihenschaltung
Notieren Sie in der Tabelle die geometrischen Abmessungen
l und r sowie die Windungszahl N der Spule
l/cm:
r/cm:
Windungszahl N:
u^/mV:
Spule Nr.:
R/Ω:
^
^
f/kHz
uR/mV
i /mA
Z/Ω
XL/Ω
ϕ/°
L/mH
1.5
2
3
4
5
6
7
8
9
10
12
15
Beachten Sie bei der RL- Schaltung, dass neben dem eingesetzten ohmschen Widerstand R auch die Spule einen ohmschen Widerstand RL besitzt, der aber zur Vereinfachung
gegenüber R vernachlässigt wird.
52
__/
\/
<=>?
Berechnen Sie aus den Tabellen Mittelwerte und Messunsicherheiten für C bzw. L gemäß Kapitel F.7 der Fehlerrechnung. Vergleichen Sie diese Ergebnisse mit dem aufgedruckten Wert des Kondensators bzw. mit dem theoretischen Wert
der Induktivität
L = µoN2A/l.
Stellen Sie XC(1/f) bzw. XL(f) graphisch dar und vergleichen Sie den Frequenzgang mit der Theorie.
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