Textskript 8 - Fakult at f ur Physik

Kapitel 8
MATERIE im Magnetfeld
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Das Magnetfeld eines Kreisstromes gleicht im Fernfeld dem eines Permanentmagneten. Das magnetische Moment einer Stromschleife der Fläche S = a b ist
µ
~ mag = I S n̂
mit der Einheit [µmag ] = Am2 .
(8.1)
Der Normalenvektor n̂ auf die Fläche S bildet mit der Umlaufrichtung von I
eine Rechtsschraube. Diese Anordnung bezeichnet man magnetischer Dipol.
~ erfährt jeder der Abschnitte a die Kraft
Im homogenen Magnetfeld B
⇣
⌘
~ .
F~mag = a I êa ⇥ B
(8.2)
êa und êb sind die Einheitsvektoren in den Abschnitten a und b der Schleife. Ist
diese drehbar um die vertikale Achse êa entsteht das Drehmoment,
~ mag = b êb ⇥ F~mag = a b I êb ⇥ êa ⇥ B
~ = I S n̂ ⇥ B
~ =µ
~.
D
~ mag ⇥ B
(8.3)
Die potentielle Energie des magnetischen Dipols im homogenen Feld beträgt
~ . Im inhomogenen Feld erfährt der magnetische Dipol die
Wmag = µ
~ mag · B
~
~
Kraft F = µ
~ · @ B/@~r. Diese makroskopischen Eigenschaften gelten auch für
atomare magnetische Momente (siehe Seite 71). Werden atomare magnetische
Momente geeignet ausgerichtet (magnetisiert), dann können sie ein äußeres Magnetfeld verstärken.
8.1
Magnetisierung
Zum Beispiel steigt das Feld eines Elektromagneten mit Weicheisenkern um den
Faktor 102 103 . Zur Charakterisierung der Feldverstärkung führt man eine
dimensionslose Größe ein, die relative Permeabilität
µ = Bmat /Bvac .
(8.4)
73
74
KAPITEL 8. MATERIE IM MAGNETFELD
Für die meisten Matrialien ist µ ⇡ 1. In der Elektrostatik fanden wir, dass Dielektrika immer in ein inhomogenes Feld hineingezogen werden. Im Zusammenhang mit
dem Magnetismus findet man Materialien, die in ein inhomogenes Feld hineingezogen werden (paramagnetische),
und andere, die aus dem Feld herausgestoßen werden
(diamagnetische). Dies zeigt ein Experiment mit Polschuhen, die einen starkem Feldgradienten erzeugen.
!
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Diamagnetisch sind zum Beispiel Wismut, H2 O, Kupfer, Blei. In diesen Fällen
liegt ohne externes Feld kein resultierendes permanentes magnetisches Dipolmoment vor. In diamagnetischen Materialien werden beim Einbringen der Substanz
in das Magnetfeld atomare Ströme induziert. Nach der Lenz’schen Regel ist die
Stromwirkung der Zunahme des externen Feldes entgegengerichtet. Das induzierte magnetische Dipolmoment ist dem äußeren Feld entgegengerichtet. Diese
Sto↵e haben µ <
⇠ 1. Der Diamagnetismus ist temperaturunabhängig.
Paramagnetisch sind z.B. Aluminium und (flüssiger) Sauersto↵. Atomare magnetische Momente sind in diesem Fall permanent vorhanden. Diese werden im
Feld ausgerichtet und verstärken das externe Feld. Die Ausrichtung der atomaren Momente wird durch thermische Bewegung behindert. Diese Sto↵e haben
µ >
⇠ 1. Ihre Permeabilität ist temperaturabhängig, µ / 1/T .
Analog zur elektrischen Polarisation definiert man eine Magnetisierung als die
Vektorsumme über alle atomaren magnetischen Momente pro Volumeneinheit:
X
~ = 1
M
µ
~ mag ,
V
(8.5)
V
mit der Einheit [M ]=A/m. Als Resultierende aller atomaren Kreisströme führen wir schematisch,
in Analogie mit dem magnetischen Moment einer
Stromschleife, einen Oberflächenstrom ein. Dieser
~|
Magnetisierungsstrom pro Längeneinheit IM = |M
hat die Einheit [IM ] =A/m. Bei Anwesenheit einer
magnetisierten oder magnetisierbaren Substanz summieren wir das Feld der externen Stromschleife mit
w Windungen pro Meter an und dem freien Strom Ifrei
und das Magnetisierungsfeld der Substanz:
B = µ0 (w Ifrei + IM ) = µ0 (w Ifrei + M ) ,
(8.6)
B/µ0
(8.7)
oder
M = w Ifrei .
~ ein,
Für den Ausdruck w Ifrei führen wir ein neues Vektorfeld H
~ 0
B/µ
~ =H
~,
M
(8.8)
die magnetische Erregung. Sie wird nur durch freie Ströme erzeugt. Die
~ ist A/m. Die Einheit von B
~ ist Vs/m2 = Tesla.
Einheit von H
8.2. PARAMAGNETISMUS
75
~ die magnetische Feldstärke, mit dem gesamten
Im Gegensatz dazu ist B,
Strom verbunden (freie und atomare Ströme). Experimentell findet man
~ =
M
~,
H
(8.9)
wobei das dimensionslose die magnetische Suszeptibilität genannt wird.
Damit gilt in Anwesenheit von Materie,
~ = µ0 (1 + ) H
~ = µ0 µ H
~,
B
wobei µ = 1 +
(8.10)
~ = µ0 H.
~
ist. Im Vakuum ist µ = 1 und es gilt B
~ ⇥H
~ = ~jfrei .
Amperesches Gesetz : r
~ vac = µ0 H,
~ in dem die MaDie freien Ströme erzeugen das äußere Magnetfeld B
~ mat = µ µ0 H.
~
terie gebadet wird. Im Inneren der Materie herrscht das Feld B
Analogie im statischen Fall:
~ steht für alle Ladungen, r
~ ⇥E
~ =0
E
~
~
~
D für die freien Ladungen, r · D = ⇢frei
8.2
~ steht für alle Ströme, r
~ ·B
~ =0
B
~
~
~ = ~jfrei
H für die freien Ströme, r ⇥ H
Paramagnetismus
Kennzeichen des Paramagnetismus sind:
>0
µ>1
Bmat > Bvac
(8.11)
Paramagnetisch sind z.B. Atome und Moleküle mit ungerader Anzahl von Elektronen. Dann treten nicht abgesättigte magnetische Momente auf. Der Paramagnetismus kann als Kopplungsenergie zwischen dem äußeren Magnetfeld und
dem mit dem Spin bzw. der Bahnbewegung verbundenen magnetischen Moment
gesehen werden,
µ
~ bahn =
e ~
L=
2m
µB ~
L.
h̄
(8.12)
Das Bohrsche Magneton µB ist definiert als
µB =
eh̄
= 9.274 ⇥ 10
2m
24
J/T = 1.4 MHz/G .
(8.13)
Die potentielle Energie des magnetischen Dipols im äußeren Magnetfeld ist
W =
~ =
µ
~ bahn · B
µB ~ ~
L·B.
h̄
(8.14)
~ =µ
~ Die VektoDas magnetische Moment erfährt ein Drehmoment D
~ bahn ⇥ B.
~
~
ren L und µ
~ bahn präzidieren auf einem Kegelmantel um die Richtung von B,
die z-Achse. Gemäß der Quantenmechanik bleiben ihre z-Komponenten zeitlich
konstant und nur solche z-Komponenten sind erlaubt, für die sich die Komponente Lz um einen Wert von h̄ unterscheidet (siehe Seite 72):
Lz = mh̄
mit
`  m  `.
(8.15)
76
KAPITEL 8. MATERIE IM MAGNETFELD
~ = {0, 0, B}, erhalDabei ist ` die Drehimpulsquantenzahl ` = 0, 1, 2, .... Für B
ten wir als zusätzliche potentielle Energie eines wassersto↵artigen Zustandes
(n, `, m) (n ist die Hauptquantenzahl) in einem Magnetfeld
Wpot = m µB B ,
(8.16)
»M » = N »Xm\»
wobei m die magnetische Quantenzahl ist. Das atomare magnetische Moment m µB ist unabhängig von B, man nennt diesen Anteil paramagnetisch.1
Die atomaren Momente zeigen ohne äußeres
> xê3
Feld in beliebige Richtungen. Ein äußeres
Feld entlang z versucht die atomaren Magnete auszurichten, die thermische Bewe1
gung verhindert die völlige Ausrichtung.
> Hcoth x- L
x
~ = N h~
Ein e↵ektives Moment M
µi verbleibt. Dieses hängt von der Temperatur ab
(Langevin-Gleichung). N ist die Atomdichte, h~
µi die mittlere z-Komponente der ato0
5
10
15
20
maren Momente. Sättigung bei hohem Feld,
x = mB B ê kB T
bzw. bei kleiner Temperatur.
Adiabatische Entmagnetisierung
~
Ein paramagnetisches Material befindet sich in einem starken B-Feld
bei sehr
kleiner Temperatur. Die Magnetisierung sei nahezu gesättigt. Jetzt unterbricht
man den Kontakt zum Kühlbad (die Probe befindet sich im Vakuum) und schaltet das Magnetfeld langsam aus. Die geringe, noch vorhandene thermische Energie wird jetzt verwendet, um die atomare Momente erneut isotrop zu verteilen.
Der damit verbundene Energieverbrauch (Entropiegewinn) erniedrigt die Temperatur der Probe. Spezielle Substanzen können mit adiabatischer Entmagnetisierung bis auf einige 10 6 K abgekühlt werden.
8.3
Ferromagnetismus
Kennzeichen des Ferromagnetismus sind:
0
µ
1
Bmat
Bvac
(8.17)
Die Magnetisierung kann um Größenordnungen über der von paramagnetischen
Sto↵en liegen (z. B. hat Mumetall, eine Mischung von Ni, Cu, Co einen Wert
~ ist keine eindeutige Funktion
von µ ⇡ 105 ). Für ferromagnetische Sto↵e ist M
des äußeren Feldes, sondern hängt von der magnetischen Vorgeschichte ab.
Man unterscheidet magnetisch
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harte (große Remanenz) und
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magnetisch weiche Materialien
!
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(kleine Remanenz). Die Fläche
Hystereseschleife ist ein Maß für
' ( )
die Remanenz. Bei ersten An'
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schalten einer magnetischen Erregung entwickelt sich das B# &
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Feld von 0 nach P1 entlang der
sogenannten Neukurve.
1 Analog
für die magnetischen Momente von Elektronenspin und Kernspin.
8.3. FERROMAGNETISMUS
77
Nach Abschalten von H fällt das B-Feld nur langsam auf den Wert Br (das
Remanenzfeld ) ab. Auf Null kommt man erst durch Anlegen einer gegenpoligen
Erregung Hk , der sogenannten Koerzitivkraft. Bei Durchlaufen der Hysteresekurve wird Energie zum Ausrichten der Dipole verwendet und in Wärmeenergie
der Probe umgewandelt. Für einen Dauermagneten fordert man große Remanenz, für den Eisenkern eines Transformators einen Werksto↵ möglichst geringer
Hysterese. In der Gasphase (einzelne Atome) ist jedes ferromagnetische Material paramagnetisch.
In Festkörpern führt die Wechselwirkung zwischen Elektronenspins benachbarter Atome zu
einer spontanten Magnetisierung, wobei eine Ausrichtung der Momente benachbarter Atome in kleinen Bereichen (Weißsche Bezirke)
erfolgt. Das Bild zeigt schematisch die mikroskopische Struktur eines Ferromagneten. Ohne
äußeres Feld sind die einzelnen Bezirke statistisch verteilt. Innerhalb eines Bezirkes sind die
magnetischen Dipolmomente ausgerichtet.
Bei Anlegen der äußeren Erregung richten sich ganze Bezirke aus. Für durchsichtige ferromagnetische Materialien (dünne Filme im Bereich von wenigen µm)
können die Grenzen der Bezirke sichtbar gemacht werden, da an den Grenzen
eine vom Bezirk unterschiedliche Polarisationsdrehung von polarisierten Licht
stattfindet (Aufnahme über Mikroskop).
1.4
1.2
1.0
M
Eine genaue Beobachtung der Hysteresekurve
zeigt, dass diese keine glatte Kurve ist, sondern
Barkhausen Sprünge aufweist. Das Umklappen ganzer Bezirke kann hörbar gemacht werden,
wenn man die statistisch ansteigende Magnetisierung über eine Induktionsspule einem Verstärker
und Lautsprecher zuführt.
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
H
Der Ferromagnetismus verschwindet oberhalb der Curie-Temperatur. Bei dieser Temperatur übersteigt die thermische Energie (kB T ) die Wechselwirkungsenergie aus der geordneten Ausrichtung der magnetischen Dipolmomente. Ferromagentische Sto↵e werden oberhalb der Curie-Temperatur paramagnetisch.
Nickel hat eine Curie Temperatur von 360 C, Eisen hat 768 C.
Das Einstein-de-Haas Experiment zeigt dass mit dem atomaren magnetischen Moment ein Drehimpuls verknpft ist. Ein an einem Torsionsfaden aufgehängter Weicheisenzylinder zeigt durch Rotation die makroskopische Drehimpulsänderung, die mit der Ausrichtung der atomaren magnetischen Dipole verknüpft ist.
Anziehende Kraft zwischen zwei Permanentmagneten :
Zwei stromführende Leiter ziehen sich an, wenn der Strom in dieselbe Richtung
fließt. Dieses Bild lässt sich auch auf atomare Kreisströme bzw. den Magnetisierungsstrom (siehe Seite 74) übertragen.
78
8.4
KAPITEL 8. MATERIE IM MAGNETFELD
Felder an Grenzflächen
Elektrostatik:
An einer Oberfläche mit der Flächenladungsdichte
macht (siehe Seite 19)
~ einen Sprung von /✏0 .
die Normalkomponente von E
Wegen der Polarisationsladungen erniedrigt sich beim Übergang vom Vakuum
in ein Medium mit der Dielektrizitätskonstante ✏ die Normalkomponente der
elektrischen Feldstärke
vac
diel
E?
= ✏ E?
.
(8.18)
~ ⇥E
~ = 0 zeigen (Seite 52) :
Mit dem Stokes’schen Satz lässt sich aus r
~ geht stetig über.
Die Tangentialkomponente von E
Im Spezialfall eines leitendes Mediums verschwindet in der Elektrostatik die
Feldstärke im Inneren des Leiters. Die freien Ladungen sitzen an der Oberfläche.
Auf einer Metalloberfläche gibt es (im statischen Fall) nur eine Normalkompo~ und diese ist durch die Flächenladungsdichte bestimmt. Eine
nente von E
~ würde zu Strömen führen. Diese verschieben die
Tangentialkomponente von E
Ladungen solange, bis diese Komponente Null ist.
Magnetostatik:
~ ⇥H
~ = ~jfrei = 0 ) gilt analog:
Wenn keine freien Ströme vorliegen (r
~ geht stetig über.
Die Tangentialkomponente von H
Daraus folgt, dass sich beim Übergang vom Vakuum in ein Material mit Permeabilität µ die Tangentialkomponente der magnetischen Feldstärke erhöht
B||vac =
1 mat
B
µ ||
(8.19)
und
vac
mat
= B?
.
B?
(8.20)
~ geht stetig über.
Die Normalkomponente von B
Diese Bedingungen führen zu einem Brechungsgesetz für die Komponenten der
magnetischen Feldstärke, das die starken magnetischen Abschirmeigenschaften
von Material mit hohem Wert von µ vorhersagt (µ-Metall).
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8.5. ELEKTROMAGNETE
8.5
79
Elektromagnete
Wir betrachten eine toroidale Spule (Radius R) mit N Windungen, durch die
ein Strom I fließt. Die Spule sei mit einem geschlossenen Weicheisenkern gefüllt.
Die große Permeabilität des Kerns (µ ⇡ 104 ) erhöht die magnetische Feldstärke
im Weicheisenring. Diese Überhöhung kann man in einen kleinen Luftspalt des
Rings auskoppeln, das Konzept warum magnetische Polschuhe verwendet wer~ ⇥H
~ = ~jfrei gilt für den geschlossenen Integrationsweg
den. Wegen r
I
~ · d~s = 2R⇡ · H = N I ,
H
(8.21)
da der Strom N -mal durch die Kreisfläche tritt. Die magnetische Erregung im
Kern ist
H=
NI
.
2⇡R
(8.22)
Die magnetische Feldstärke im Kern ist um den Faktor µ gegenüber dem Vakuumwert überhöht,
B = µ µ0
NI
.
2⇡R
(8.23)
Verwendet man nun anstelle des geschlossenen
Weicheisenkerns ein Joch mit einem kleinen
Luftspalt der Breite d, dann kann sich diese
Feldüberhöhung bis zu einem gewissen Grad in den
Luftspalt auskoppeln. Beim Joch teilt sich das Linienintegral (8.21) in einen Beitrag des Eisenjoches
und einen Beitrag des Luftspaltes:
I
~ · d~s = (2R⇡ d) · H Fe + d H vac = N I .
H
(8.24)
Mit B = µ µ0 H setzen erhalten wir
(2R⇡
d) ·
1
1
B Fe + d B vac = N I .
µ µ0
µ0
(8.25)
Das Magnetfeld steht senkrecht auf den Spaltflächen. Beim Übergang vom
~ stetig:
Eisenkern ins Vakuum ist die Normalkomponente von B
Fe
vac
B?
= B?
.
(8.26)
Die magnetische Feldstärke im Luftspalt wird damit
B vac
=
N I µ µ0
N I µ µ0
⇡
µ d + 2R⇡ d
µ d + 2R⇡
wenn
d ⌧ R.
(8.27)
Für das Verhältnis von B im Spalt mit und ohne Eisenkern ergibt sich
B(mit Kern)
µ
=
.
d
B(ohne Kern)
µ 2R⇡
+1
(8.28)
Für kleine Werte von d ist die Überhöhung des Feldes gleich dem Betrag von µ.
Für große Werte von d ist die Überhöhung nur gleich 2⇡R/d.
80
8.6
KAPITEL 8. MATERIE IM MAGNETFELD
Magnetfeld der Erde
Das Erdmagnetfeld ist näherunsgweise gleich dem Feld eines magnetischen Dipols, dessen Achse gegenüber der Erdrotationsachse um etwa 11 geneigt ist.
Am Äquator liegen die magnetischen Feldlinen etwa parallel zur Erdoberfläche.
In Freiburg ist die Inklination etwa 60 . An der Erdoberfläche ist das Feld etwa
0.5 Gauss. Abweichungen vom Dipolfeld entstehen u. A. durch lokale Schwankungen des Anteils magnetischer Mineralien in der Erdkruste. Die Magnetpole
liegen nicht bei den geographischen Polen (magnetische Deklination).
Die wichtigsten Ursachen für das Dipolfeld sind elektrische Ströme im flüssigen
Erdkern. Auf Grund des radialen Temperaturgradienten gibt es Konvektionsströme in radialer Richtung. Durch die Coriolis-Kräfte auf Grund der Erdrotation, ~v ⇥ !
~ , werden diese tangential abgelenkt und bilden eine Art Kreisstrom
um die Rotationsachse.
Der Van Allen Strahlungsgürtel in
103 104 km Höhe stellt eine magnetische Flasche dar. Das Magnetfeld ist relativ schwach in der
Äquatorgegend, aber steigt zu den
Polen hin an. In dieser Höhe bewegen sich Ladungsträger frei und
werden von der Lorentz-Kraft senkrecht zur Einschussbahn und zum
Magnetfeld abgelenkt.
*
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' "+ &
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Je nach Einschussrichtung in das Feld beschreibt ein geladenes Teilchen eine
Spiralbahn um eine Feldlinie und folgt dieser, wenn sich die Feldlinie krümmt.
Im inhomogenen Feld bewegt sich das Teilchen in einen Trichter von Feldlinien. Beim Eintreten in den Trichter erhält die Lorentz Kraft eine kleine
rücktreibende Komponente. Diese spiegelt Teilchen bei genügend kleiner Energie
und großer Inhomogenität in seiner Bewegung zurück. In der Folge beschleunigt
die Inhomogenität das Teilchen zurück zum Äquator, von wo es gegen den gegenüberliegenden Pol anläuft und dort gespiegelt wird.
Im inneren Van-Allen Gürtel finden sich Elektronen mit bis zu 0.78 MeV und
Protonen mit Energien bis 150 MeV. Die scharfe Grenzenergie der Elektronen
deutet auf einen Ursprung aus dem Zerfall eines Neutrons n ! p + e + ⌫¯ hin. Die
hohe Konzentration schneller Protonen (sie durchdringen ohne weiteres mehrere
mm Blei) macht den Strahlungsgürtel so gefährlich.
Weit von der Erde entfernt wird das Dipolfeld durch die elektrischen Ströme
des Sonnenwindes stark verändert (Magnetopause, siehe Seite 85).
8.7. DIAMAGNETISMUS
8.7
81
Diamagnetismus
Kennzeichen des Diamagnetismus sind:
⇡
10
6
<
µ⇠1
<
Bmat ⇠ Bvac
(8.29)
Diamagnetismus ist eine Induktionserscheinung, die bei allen Substanzen
auftritt. Die induzierten Dipolmomente sind dem induzierenden Feld entgegengerichtet. Das Feld im Inneren der Probe ist kleiner. Die Suszeptibilität ist klein
und negativ. Allerdings wird dieser E↵ekt überdeckt, wenn die Substanz paraoder ferromagnetisch ist. Beobachtbar ist der Diamagnetismus nur bei Substanzen, die kein permanentes magnetisches Dipolmoment besitzen.
~ ⇥E
~ = @ B/@t
~
Atomares Bild auf der Basis des 2. Gesetzes von Maxwell, r
:
Beim Einschalten des Magnetfeldes (beim Einbringen des Atoms in das Magnet~
~
feld) entsteht über @ B/@t
ein zirkulares E-Feld.
Dieses induziert einen Strom in
der Dichteverteilung der Elektronen im Atom. Dieser Strom ist rotationssymmetrisch zur Achse des magnetischen Feldes. Mit diesem Strom verbunden ist
ein magnetisches Moment, das dem äußeren Feld entgegengerichtet ist. Ein klassisches Modell geht von einem Elektron (Masse m, Ladung e) aus, das sich im
Mittel im Abstand R vom Proton befindet. Ein externes Magnetfeld wird eingeschaltet, die Induktion erzeugt ein E-Feld. Auf Grund der zeitlichen Änderung
des magnetischen Flusses durch die Bahnfläche des Elektrons, R2 ⇡, entsteht
I
~ · d~s = d m = ⇡R2 d B .
E
(8.30)
dt
dt
Entlang der Umlaufsbahn des Elektrons, 2R⇡ ensteht
R d
B.
2 dt
Das elektrische Feld bewirkt ein Drehmoment auf das Elektron,
E=
~ = eE
~ ⇥R
~.
D
(8.31)
~ = Joule
[D]
(8.32)
Dies entspricht einer zeitlichen Änderung des Drehimpulses L,
dL
e R2 d
=
B.
(8.33)
dt
2 dt
Die Integration von t = 0 (kein B-Feld) bis zum Zeitpunkt t (Feld gleich B),
ergibt die Änderung des Drehimpulses infolge der Induktion als
L=
e R2
B.
2
Das magnetische Moment aus der Bahnbewegung war µ
~ bahn =
liefert der Diamagnetismus das zusätzliche magnetische Moment
(8.34)
e ~
2m L.
Damit
e2 R 2 ~
B.
(8.35)
4m
Dieser Beitrag zum magnetischen Moment ist unabhängig vom Umlaufssinn
und Vorzeichen der Ladung. Er hängt ab von der räumlichen Ausdehnung der
Elektronendichte im Atom. Typisch liegt R für Atome im elektronischen Grundzustand2 im Bereich von etwa einem Ångstrøm (1 Å ⌘ 10 10 m).
µ
~ dia =
2 Damit
ist gemeint, dass die Elektron sich in den tiefsten Energieniveaus befinden.