MATERIE im MAGNETFELD - Fakult at f ur Physik

Kapitel 13
!
MATERIE im
MAGNETFELD
"
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"
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Das Magnetfeld einer Stromschleife gleicht im Fernfeld dem Feld eines Permanentmagneten. Das magnetische Moment einer Stromschleife mit einer einzelnen
Windung um die Fläche S = a · b ist
µ
! mag = I S n̂
(13.1)
Der Normalenvektor n̂ auf die Fläche S bildet mit der Umlaufrichtung von I
eine Rechtsschraube. Diese Anordnung bezeichnet man magnetischer Dipol.
! verbunden ist,
Das atomare magnetische Moment, das mit dem Drehimpuls L
beträgt
µ
! bahn = −
e !
L
2m
(13.2)
Neben dem Bahndrehimpuls liefert auch der Eigendrehimpuls des Elektrons
(Spin) einen Beitrag zum magnetischen Moment eines Atoms (siehe Seite 69).
! erfährt jeder der Abschnitte a dieser
In einem homogenen äußerem Magnetfeld B
Stromschleife die Kraft
!
"
!
F!mag = a I êa × B
(13.3)
Mit êa und êb bezeichnen wir die Einheitsvektoren in den Abschnitten a und b
der Schleife. Ist die Stromschleife drehbar um die vertikale Achse (parallel zu
111
112
KAPITEL 13. MATERIE IM MAGNETFELD
den Vektoren êa ) entsteht das Drehmoment:
! mag
D
"
!
"
b !
!
êb × F! = a b I êb × êa × B
2 !
"
! =µ
!
= I S n̂ × B
! mag × B
= 2
(13.4)
Die potentielle Energie des Dipols im homogenen Feld beträgt
!
Wmag = −!
µmag · B
(13.5)
Im inhomogenen Feld erfährt der magnetische Dipol die Kraft (siehe Seite 67)
!
∂B
F! = µ
!·
∂!r
13.1
(13.6)
Magnetisierung
Das Magnetfeld einer Spule kann verstärkt werden, wenn man in die Spule
ein geeignetes Material einbringt. Zum Beispiel steigt das Feld eines Elektromagneten mit Weicheisenkern um den Faktor 102 − 103 . Wir zeigen das an
einem Induktionsexperiment. Zur Charakterisierung der Feldverstärkung führt
man eine dimensionslose Größe ein, die relative Permeabilität
Bmat
µ=
(13.7)
Bvac
Für die meisten Matrialien ist µ ≈ 1. In der Elektrostatik fanden wir, dass Dielektrika immer in ein inhomogenes Feld hineingezogen werden.
Im Zusammenhang mit dem Magnetismus findet man
Materialien, die in ein inhomogenes Feld hineingezogen werden (paramagnetische), und andere, die aus
dem Feld herausgestoßen werden (diamagnetische).
Dies zeigt ein Experiment mit Polschuhen, die einen
starkem Feldgradienten erzeugen.
!
"
Diamagnetisch sind zum Beispiel Wismut, H2 O, Kupfer, Blei. In diesen Fällen
liegt ohne externes Feld kein resultierendes permanentes magnetisches Dipolmoment vor. In diamagnetischen Materialien werden beim Einbringen der Substanz
in das Magnetfeld atomare Ströme induziert. Nach der Lenz’schen Regel ist die
Stromwirkung der Zunahme des externen Feldes entgegengerichtet. Das induzierte magnetische Dipolmoment ist dem äußeren Feld entgegengerichtet. Diese
Stoffe haben µ <
∼ 1. Der Diamagnetismus ist temperaturunabhängig.
Paramagnetisch sind zum Beispiel Aluminium und (flüssiger) Sauerstoff. Atomare magnetische Momente sind permanent vorhanden. Diese atomaren Momente werden im Feld ausgerichtet und verstärken das externe Feld. Die Ausrichtung der atomaren Momente wird durch thermische Bewegung behindert.
Diese Stoffe haben µ >
∼ 1. Ihre Permeabilität ist temperaturabhängig, µ ∝ 1/T .
113
13.1. MAGNETISIERUNG
Analog zur elektrischen Polarisation definiert man eine Magnetisierung. Die
Magnetisierung ist die Vektorsumme über alle atomaren magnetischen Momente
pro Volumeneinheit:
#
! = 1
M
µ
! mag
V
(13.8)
V
Schematisch lässt sich für eine magnetisierte Substanz ein Oberflächenstrom
(als Resultierende aller atomaren Kreisströme) einführen.
Wenn wir das gesamte magnetische Moment eines Zylinders der Länge L und der
! V =M
! L S einführen, dann können wir in Analogie
Querschnittsfläche S mit M
mit dem magnetischen Moment der Stromschleife einen Magnetisierungsstrom
! |. Das folgt aus der Definition des
pro Längeneinheit einführen als IM = |M
magnetischen Momentes pro Längeneinheit als IM S und des gesamten magnetischen Momentes des Zylinders (Volumen V = L S), IM L S
!
"
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!
%
Für das Magnetfeld einer Spule in Anwesenheit einer magnetisierten (oder magnetisierbaren) Substanz summieren wir das Feld der externen Stromschleife1 und das Magnetisierungsfeld der Substanz:
B = µ0 (w If rei + IM ) = µ0 (w If rei + M )
(13.9)
oder
B
− M = w If rei
µ0
(13.10)
! ein,
Für diesen Ausdruck führen wir ein neues Vektorfeld H
!
B
! =H
!
−M
µ0
(13.11)
die magnetische Erregung.2 Sie wird nur durch die freien Ströme erzeugt.
! ist A/m. Die Dimension von B
! ist V s/m2 = T esla.
Die Dimension von H
!
Im Gegensatz dazu ist B, die magnetische Feldstärke, mit dem gesamten
Strom verbunden (freie und atomare Ströme). Experimentell findet man
! = χH
!
M
(13.12)
wobei χ die magnetische Suszeptibilität genannt wird. Damit gilt in Anwesenheit
von Materie:
! = µ0 (1 + χ) H
! = µ0 µ H
!
B
(13.13)
1 w gibt die Zahl der Windungen pro Meter an und I
f rei den freien Strom, der durch die
Windungen fließt.
2 Häufig wird in der Literatur für H
! der Name magnetische Feldstärke und für B
! die
Bezeichnung magnetische Flussdichte oder magnetische Induktion verwendet.
114
KAPITEL 13. MATERIE IM MAGNETFELD
! = µ0 H.
!
wobei µ = 1 + χ ist. Im Vakuum hingegen ist µ = 1 und es gilt B
! ×H
! = !jf rei . Die freien Ströme erzeuAmperesches Gesetz für Materie: ∇
!
!
gen das äußere Magnetfeld Bvac = µ0 H, in dem die Materie gebadet wird. Im
! mat = µ µ0 H.
!
Inneren der Materie herrscht das Feld B
Analogie:
! steht für alle Ladungen,
E
! für die freien Ladungen.
D
! steht für alle Ströme,
B
! für die freien Ströme.
H
13.2
Diamagnetismus
Kennzeichen des Diamagnetismus sind:
χ ≈ −10−6
<
µ∼1
<
Bmat ∼ Bvac
(13.14)
Diamagnetismus ist eine Induktionserscheinung, die bei allen Substanzen
auftritt. Allerdings wird dieser Effekt überdeckt, wenn die Substanz paramagnetisch oder ferromagnetisch ist. Beobachtbar ist der Diamagnetismus nur bei
Substanzen, die kein permanentes magnetisches Dipolmoment besitzen. Die induzierten Dipolmomente sind dem induzierenden Feld entgegengerichtet. Das
Feld im Inneren der Probe ist kleiner. Die Suszeptibilität ist klein und negativ.
Atomares Bild: Beim Einschalten des Magnetfeldes (beim Einbringen des Atoms
!
!
ein zirkulares E-Feld.
Dieses induziert
in das Magnetfeld) entsteht über ∂ B/∂t
einen Strom in der Elektronendichteverteilung im Atom. Dieser Wahrscheinlichkeitsstrom ist rotationssymmetrisch zur Achse des magnetischen Feldes. Mit
diesem Strom verbunden ist ein magnetisches Moment, das dem äußeren Feld
entgegengerichtet ist.
Ein klassisches Modell geht von einem Elektron der Masse m und Ladung e
aus, das sich im Mittel im Abstand R vom Proton befindet. Ein externes Magnetfeld wird eingeschaltet, die Induktion erzeugt ein E-Feld. Aus der zeitlichen
Änderung des magnetischen Flusses
$
! · d!s = − d Φm = −πR2 d B
E
(13.15)
dt
dt
erhalten wir
E=−
R d
B
2 dt
(13.16)
Das elektrische Feld bewirkt ein Drehmoment auf das Elektron
! = eE
! ×R
!
D
(13.17)
Das entspricht einer zeitlichen Änderung des Drehimpulses
dL
e R2 d
=−
B
dt
2 dt
(13.18)
115
13.3. PARAMAGNETISMUS
Die Integration von t = 0 (kein B-Feld) bis zum Zeitpunkt t (Feld gleich B),
ergibt die Änderung des Drehimpulses infolge der Induktion als
∆L = −
e R2
B
2
(13.19)
e !
L. Damit
Das magnetische Moment aus der Bahnbewegung war µ
! bahn = − 2m
liefert der Diamagnetismus immer folgendes zusätzliches Moment:
µ
! dia = −
e2 R2 !
B
4m
(13.20)
Dieser Beitrag zum magnetischen Moment ist unabhängig vom Umlaufssinn
und Vorzeichen der Ladung. Er hängt ab von der räumlichen Ausdehnung der
Elektronendichte im Atom. Typisch liegt R für Atome im elektronischen Grundzustand3 im Bereich von etwa einem Ångstrøm (1 Å ≡ 10−10 m).
13.3
Paramagnetismus
Kennzeichen des Paramagnetismus sind:
χ>0
µ>1
Bmat > Bvac
(13.21)
Paramagnetisch sind z.B. Atome und Moleküle mit einer ungeraden Anzahl von
Elektronen. Dann besitzen sie nicht abgesättigte magnetische Momente. Der
Paramagnetismus kann als Kopplungsenergie zwischen dem äußeren Magnetfeld
und dem mit der Bahnbewegung (bzw. dem Spin) verbundenen magnetischen
Moment angesehen werden.
µ
! bahn = −
e !
µB !
L=−
L,
2m
h̄
(13.22)
wobei das Bohrsche Magneton definiert ist als
µB =
eh̄
= 9.274 J/T
2m
(13.23)
Die potentielle Energie des magnetischen Dipols im äußeren Magnetfeld ist
! =−
W = −!
µbahn · B
µB ! !
L·B.
h̄
(13.24)
! =µ
! Die Vektoren
Das magnetische Moment erfährt ein Drehmoment D
! bahn × B.
!
L und µ
! bahn präzidieren auf einem Kegelmantel um die z-Achse. Gemäß der
Quantentheorie bleiben ihre z-Komponenten zeitlich konstant und nur solche
z-Komponenten sind erlaubt, für die sich die Komponente Lz um einen Wert
von h̄ unterscheidet (siehe Seite 69):
Lz = mh̄
mit
− % ≤ m ≤ %.
(13.25)
! = {0, 0, B}, erhalten wir als zusätzliche potentielle Energie eines wasFür B
serstoffartigen Zustandes (n, %, m) in einem Magnetfeld
Wpot = −m µB B
3 Damit
(13.26)
ist gemeint, dass die Elektron sich in dem tiefsten Energieniveaus befinden.
116
KAPITEL 13. MATERIE IM MAGNETFELD
wobei m die magnetische Quantenzahl ist. Dieses atomare magnetische Moment ist unabhängig von B, man nennt diesen Anteil paramagnetisch.4
Die atomaren Momente zeigen ohne
äußeres Magnetfeld in beliebige Raumrichtungen. Wenn ein Magnetfeld ein- ) ! " #
geschaltet wird, versucht es, die atomaren Magnete über das Drehmoment
(10.3) auszurichten. Die thermische Bewegung verhindert die völlige Ausrich! " # % &' (
tung, sodass ein effektives magnetisches
!
"
#
$
Moment
! = N )!
M
µ*
(13.27)
entsteht, das von der Temperatur abhängt. N gibt die Dichte der paramagnetischen Atome an und )µ* die mittlere z-Komponente der magnetischen Momente
der Atome (das externe Magnetfeld ist entlang z angenommen). Bei hohem Feld,
bzw. bei kleiner Temperatur tritt Sättigung durch die maximal erlaubte Ausrichtung ein.
Adiabatische Entmagnetisierung
!
Ein paramagnetisches Material befindet sich in einem starkem B-Feld
bei sehr
kleiner Temperatur. Die Magnetisierung ist nahezu gesättigt. Jetzt unterbricht
man den Kontakt zum Kühlbad (die Probe befindet sich im Vakuum) und schaltet das Magnetfeld langsam aus. Die geringe, noch vorhandene thermische Energie wird jetzt verwendet, um die atomare Momente isotrop zu verteilen. Der damit verbundene Energieverbrauch (Entropiegewinn) erniedrigt die Temperatur
der Probe. Spezielle Substanzen können mit adiabatischer Entmagnetisierung
bis auf einige 10−6 K abgekühlt werden.
13.4
Ferromagnetismus
Kennzeichen des Ferromagnetismus sind:
χ+0
µ+1
(13.28)
Bmat + Bvac
Die Magnetisierung kann um Größenordnungen über der bei paramagnetischen
Stoffen liegen (z. B. hat Mumetall, eine Mischung von N i, Cu, Co einen Wert
! ist keine eindeutige Funktion
von µ ≈ 105 ). Für ferromagnetische Stoffe ist M
des äußeren Magnetfeldes, sondern hängt von der magnetischen Vorgeschichte
des Materials ab.
!
!
Man unterscheidet magnetisch
!
#
!
harte (große Remanenz) und
!
magnetisch weiche Materialien
'
'
)
'
(kleine Remanenz). Die Fläche
Hystereseschleife ist ein Maß für
#
#
die Remanenz.
Bei ersten Anschalten einer magnetischen Erregung entwickelt sich das B-Feld
"
$
"
(
&
%
4 Unter Berücksichtigung des Spins gelten analoge Überlegungen für das magnetische Mo! +S
! verbunden ist.
ment, das mit dem Gesamtdrehimpuls J! = L
117
13.4. FERROMAGNETISMUS
von 0 nach P1 entlang der sogenannten Neukurve. Nach Abschalten von H fällt
das B-Feld nur langsam auf den Wert Br (das Remanenzfeld ) ab. Auf Null
kommt man erst durch Anlegen einer gegenpoligen Erregung Hk , der sogenannten Koerzitivkraft.
Bei Durchlaufen der Hysteresekurve wird Energie zum Ausrichten der Dipole verwendet und in Wärmeenergie der Probe umgewandelt. Für einen Dauermagneten fordert man große Remanenz, für den Eisenkern eines Transformators
einen Werkstoff möglichst geringer Hysterese. In der Gasphase (einzelne Atome)
ist jedes ferromagnetische Material paramagnetisch.
In Festkörpern führt die Wechselwirkung
zwischen Elektronenspins benachbarter
Atome zu einer spontanten Magnetisierung, wobei eine Ausrichtung der
Momente benachbarter Atome in kleinen
Bereichen (Weiß’sche Bezirke) erfolgt.
Das Bild zeigt die mikroskopische Struktur eines Ferromagneten, die Weiß’schen
Bezirke. Ohne äußeres Feld sind einzelne Weiß’sche Bezirke statistisch verteilt.
Innerhalb des Bezirkes sind die Dipolmomente ausgerichtet.
Bei Anlegen der äußeren Erregung richten sich ganze Bezirke aus. Für durchsichtige ferromagnetische Materialien (dünne Filme im Bereich von wenigen µm)
können die Grenzen der Bezirke sichtbar gemacht werden, da an den Grenzen
eine vom Bezirk unterschiedliche Polarisationsdrehung von polarisierten Licht
stattfindet (Aufnahme über Mikroskop).
Eine genaue Beobachtung der Hysteresekurve zeigt, dass diese keine glatte Kurve ist, sondern Barkhausen Sprünge
aufweist. Das Umklappen ganzer Bezirke kann hörbar gemacht werden, wenn
man die statistisch ansteigende Magnetisierung über eine Induktionsspule einem
Verstärker und Lautsprecher zuführt.
!
"
Der Ferromagnetismus verschwindet oberhalb der Curie-Temperatur. Bei der
Curietemperatur übersteigt die thermische Energie (kT ) die Wechselwirkungsenergie aus der geordneten Ausrichtung der magnetischen Dipolmomente. Ferromagentische Stoffe werden oberhalb der Curie-Temperatur paramagnetisch. Mit
dem Einstein-de-Haas Experiment konnte man zeigen, daß der Ferromagnetismus seinen Ursprung im Spin der Elektronen hat.
118
13.5
KAPITEL 13. MATERIE IM MAGNETFELD
Felder an Grenzflächen
Elektrostatik:
An einer Oberfläche mit der Flächenladungsdichte σ macht (siehe Seite 16)
! einen Sprung von σ/'0 .
die Normalkomponente von E
Wegen der Polarisationsladungen erniedrigt sich beim Übergang vom Vakuum
in ein Medium mit der Dielektrizitätskonstante ' die Normalkomponente der
elektrischen Feldstärke
vac
diel
E⊥
= ' E⊥
(13.29)
! ×E
! = 0 zeigen (siehe Seite 49):
Mit dem Stokes’schen Satz lässt sich aus ∇
! geht stetig über.
Die Tangentialkomponente von E
Im Spezialfall eines leitendes Mediums verschwindet in der Elektrostatik die
Feldstärke im Inneren des Leiters. Die freien Ladungen sitzen an der Oberfläche.
! und dieAuf einer Metalloberfläche gibt es nur eine Normalkomponente von E
se ist durch die Flächenladungsdichte σ bestimmt. Eine Tangentialkomponente
! würde zu Strömen führen. Diese verschieben die Ladungen solange, bis
von E
diese Komponente Null ist.
Magnetostatik:
! ×H
! = !jf rei = 0 ) gilt analog:
Wenn keine freien Ströme vorliegen (∇
! geht stetig über.
Die Tangentialkomponente von H
Daraus folgt, dass sich beim Übergang vom Vakuum in ein Material mit der
Permeabilität µ die Tangentialkomponente der magnetischen Feldstärke erhöht
B||vac =
1 mat
B
µ ||
(13.30)
und
vac
mat
B⊥
= B⊥
(13.31)
! geht stetig über.
Die Normalkomponente von B
Diese Bedingungen führen zu einem Brechungsgesetz für die Komponenten der
magnetischen Feldstärke, das die starken magnetischen Abschirmeigenschaften
von Material mit hohem Wert von µ vorhersagt (µ-Metall).
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119
13.6. ELEKTROMAGNETE
13.6
Elektromagnete
Wir betrachten eine toroidale Spule (Radius R) mit N Windungen, durch die
ein Strom I fließt. Die Spule ist mit einem geschlossenen Weicheisenkern gefüllt.
Die große Permeabilität des Kerns (µ ≈ 104 ) erhöht die magnetische Feldstärke
im Weicheisenring. Diese Überhöhung kann man in einen kleinen Luftspalt des
Rings auskoppeln, das Konzept hinter magnetischen Polschuhen.
! ×H
! = !jf rei gilt für den geschlossenen Integrationsweg
Auf Grund von ∇
$
! · d!s = 2Rπ · H = N I
(13.32)
H
da der Strom I N -mal durch die Kreisfläche tritt. Die magnetische Erregung im
Kern ist
NI
H=
(13.33)
2πR
Die magnetische Feldstärke im Kern ist um
den Faktor der relativen Permeabilität gegenüber
dem Vakuumwert überhöht:
B = µ µ0
NI
2πR
(13.34)
Verwendet man nun anstelle des geschlossenen Weicheisenkerns ein Joch mit einem kleinen Luftspalt der Dicke d, dann kann sich diese
Feldüberhöhung bis zu einem gewissen Grad ins
Vakuum auskoppeln. Damit teilt sich das Linienintegral (13.32) in einen Beitrag des Eisenjoches
und einen Beitrag des Luftspaltes:
$
! · d!s = (2Rπ − d) · H F e + d H vac = N I
H
Indem wir B = µ µ0 H setzen erhalten wir
1
1
B F e + d B vac = N I
(2Rπ − d) ·
µ µ0
µ0
!
"
!
#$% &
(13.35)
(13.36)
Das Magnetfeld steht senkrecht auf den Spaltflächen. Beim Übergang vom Ei! stetig:
senkern ins Vakuum ist die Normalkomponente von B
Fe
vac
B⊥
= B⊥
(13.37)
B(mitKern)
µ
=
d
B(ohneKern)
µ 2Rπ
+1
(13.39)
Die magnetische Feldstärke im Luftspalt wird damit
N I µ µ0
B vac =
µ d + 2Rπ − d
N I µ µ0
wenn d , R
≈
(13.38)
µ d + 2Rπ
Für das Verhältnis von B im Luftspalt mit und ohne Eisenkern ergibt sich
Für kleine Werte von d ist die Überhöhung des Feldes gleich dem Betrag von µ.
Für große Werte von d ist die Überhöhung nur gleich 2πR/d.
120
13.7
KAPITEL 13. MATERIE IM MAGNETFELD
Magnetfeld der Erde
Das Erdmagnetfeld ist näherunsgweise gleich dem Feld eines magnetischen Dipols, dessen Achse gegenüber der Erdrotationsachse um etwa 11o geneigt ist.
Am Äquator liegen die magnetischen Feldlinen etwa parallel zur Erdoberfläche.
In Freiburg ist die Inklination etwa 60o . An der Erdoberfläche ist das Feld
etwa 0.5 Gauss. Abweichungen vom Dipolfeld entstehen durch lokale Schwankungen des Anteils magnetischer Mineralien in der Erdkruste. Die Magnetpole
fallen nicht mit den geographischen Polen zusammen (magnetische Deklination).
Die wichtigsten Ursachen für das Dipolfeld sind elektrische Ströme im flüssigen
Erdkern. Auf Grund des radialen Temperaturgradienten gibt es Konvektionsströme in radialer Richtung. Durch die Coriolis-Kräfte auf Grund der Erdrotation !v × ω
! werden diese tangential abgelenkt und bilden eine Art Kreisstrom
um die Rotationsachse.
Geladene Teilchen von der Sonne treffen in das inhomogene Erdmagnetfeld.
Sie sind Ursache für Leuchterscheinungen wie die Aurora. Weit von der Erde
entfernt wird das Dipolfeld durch die elektrischen Ströme des Sonnenwindes
stark verändert (Magnetopause, siehe Seite 73).
Der Van Allen Strahlungsgürtel in
103 − 104 km Höhe stellt eine magnetische Flasche dar. Das Magnetfeld ist relativ schwach in der
Äquatorgegend, aber steigt zu den
Polen hin an. In dieser Höhe bewegen sich Ladungsträger frei und
werden von der Lorentz-Kraft senkrecht zur Einschussbahn und zum
Magnetfeld abgelenkt.
*
! "# $# % & %
' "+ &
' (& ) $"# % & %
Je nach Einschussrichtung in das Feld beschreibt ein geladenes Teilchen eine Spiralbahn um eine Feldlinie und folgt dieser, wenn sich die Feldlinie krümmt. Im
inhomogenen Feld bewegt sich das Teilchen in einen Trichter von Feldlinien,
sodass rücktreibende Kräfte entstehen, die das Teilchen (bei benügend kleiner
Energie und genügend großer Inhomogenität) zurückspiegeln. In der Folge beschleunigt die Inhomogenität das Teilchen zurück zum Äquator, von wo es gegen
den gegenüberliegenden Pol anläuft und dort gespiegelt wird.
Im inneren Van-Allen Gürtel finden sich Elektronen mit bis zu 0.78 MeV und
Protonen mit Energien bis 150 MeV. Die scharfe Grenzenergie der Elektronen
deutet auf einen Ursprung aus dem Zerfall eines Neutrons n → p + e + ν̄ hin. Die
hohe Konzentration schneller Protonen (sie durchdringen ohne weiteres mehrere
mm Blei) macht den Strahlungsgürtel so gefährlich.