3. Erste Maxwell`sche Gleichung

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Magnetics 4 Freaks
Alles rund um den Elektromagnetismus
Wintersemester 2012/13
Willkommen an der
Reinhold-Würth-Hochschule in Künzelsau
Die Kolloquiumsreihe
von Hochschule
und Industrie
Prof. Dr.-Ing. Jürgen Ulm
Institut für schnelle mechatronische Systeme (ISM)
Institut für schnelle mechatronische Systeme (ISM): Magnetics4Freaks; Prof. Dr.-Ing. Jürgen Ulm
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Programm Wintersemester 2012/13
Falls
Veranstaltung
abgesagt werden
muss…
Neuer Hinweis…
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Programm Wintersemester 2012/13
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Inhaltsverzeichnis
1. Mathematische Grundlagen
2. Klassifikation der Felder
3. Erste Maxwell‘sche Gleichung
4. Zweite Maxwell‘sche Gleichung
5. Dritte Maxwell‘sche Gleichung
6. Vierte Maxwell‘sche Gleichung
7. Magnetische Scherung
8. Magnetische Energie
9. Dauermagnete
10.Gemeinsamkeiten von Festtagsbraten und Magneten
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Inhaltsverzeichnis
1. Mathematische Grundlagen
2. Klassifikation der Felder
3. Erste Maxwell‘sche Gleichung
4. Zweite Maxwell‘sche Gleichung
5. Dritte Maxwell‘sche Gleichung
6. Vierte Maxwell‘sche Gleichung
7. Magnetische Scherung
8. Magnetische Energie
9. Dauermagnete
10.Gemeinsamkeiten von Festtagsbraten und Magneten
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1. Mathematische Grundlagen
Flächen:
Offene Fläche:
Ein Fläche heißt offen, wenn zwei Punkte,
die nicht auf der Fläche liegen, durch eine
Kurve verbunden werden können.
Geschlossene Fläche:
Eine Fläche heißt geschlossen, wenn sie den Raum
in zwei getrennte Bereiche teilt.
geschlossene Fläche
z
y
offene Fläche
z
P2
y
x
P1
Beispiel: Kugel
x
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1. Mathematische Grundlagen
Integral über eine Fläche:
Integrale:
Kurven- Linienintegral:
Der Integrationsweg ist eine Kurve.
z
O   f ( x, y )dxdy
y
y
s
ds
P2
P2
S
 f ( x, y)ds
x
P1
P1
Integral über eine geschlossene Fläche:
x
z
Umlauf- Kreisintegral:
Ein Umlaufintegral ist ein Kurvenintegral über
einen geschlossenen Integrationsweg.
O   ...dA
y
A
x
y
ds
S   f ( x, y )ds
s
x
Volumen- Dreifachintegral:
z
V     f ( x, y, z )dzdydx
y
x y z
x
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Inhaltsverzeichnis
1. Mathematische Grundlagen
2. Klassifikation der Felder
3. Erste Maxwell‘sche Gleichung
4. Zweite Maxwell‘sche Gleichung
5. Dritte Maxwell‘sche Gleichung
6. Vierte Maxwell‘sche Gleichung
7. Magnetische Scherung
8. Magnetische Energie
9. Dauermagnete
10.Gemeinsamkeiten von Festtagsbraten und Magneten
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2. Klassifikation der Felder
Quellenfelder (wirbelfreie Felder):
•elektrostatische Felder
Quellenfreie Felder (Wirbelfelder):
•Magnetische Feldlinien
•Feldlinien des induzierten elektrischen
Feldes
Eigenschaft:
Feldlinien besitzen Anfang und Ende
Eigenschaft:
Feldlinien besitzen weder Anfang noch Ende
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Inhaltsverzeichnis
1. Mathematische Grundlagen
2. Klassifikation der Felder
3. Erste Maxwell‘sche Gleichung
4. Zweite Maxwell‘sche Gleichung
5. Dritte Maxwell‘sche Gleichung
6. Vierte Maxwell‘sche Gleichung
7. Magnetische Scherung
8. Magnetische Energie
9. Dauermagnete
10.Gemeinsamkeiten von Festtagsbraten und Magneten
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3. Erste Maxwell‘sche Gleichung
James Clerk Maxwell
(1831 – 1879)
Begründer der Elektrodynamik
Maxwellsche Gleichungen – Übersicht:
1.
2.
3.
4.
Maxwell‘sche Gleichung: Durchflutungsgesetz (Ampère‘sche Gesetz)
Maxwell‘sche Gleichung: Induktionsgesetz (Faraday‘sche Gesetz)
Maxwell‘sche Gleichung: Quellenfreiheit (Divergenzfreiheit) des magnetischen Feldes
Maxwell‘sche Gleichung: quellenbehaftetes elektrisches Feld (Divergenz)
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3. Erste Maxwell‘sche Gleichung: Durchflutungsgesetz
Gerader stromdurchflossener Leiter
Rechte-Hand-Regel
Durchflutung  (Theta)
sH  I 
H [A/m],
[A],
s [m]
Feldlinienlänge x Feldstärke = Durchflutung
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3. Erste Maxwell‘sche Gleichung: Durchflutungsgesetz
Anordnungen gleicher Durchflutung:
  N I
 konstant
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3. Erste Maxwell‘sche Gleichung: Durchflutungsgesetz
Gerader stromdurchflossener Leiter
der Umfang einer Feldlinie wird bequem
mit dem Kreisintegral beschrieben
s   ...ds
damit wird das Durchflutungsgesetz
erneut formuliert…
   Hds
 NI
Zirkulation = Vektortangentialkomponente · Umfang
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3. Erste Maxwell‘sche Gleichung: Durchflutungsgesetz
Beispiel:
Feld außerhalb des Leiters
 Hds  
s
ds  r  d
2
H  r  d  
0
H  r  2  
 NI
NI
H 
2 r
r  [R;  ]
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Feld innerhalb des Leiters
 Hds  J  A
s
I
2
Hds


r
s
 R2
Mit:
 Hds  2  r  H
s
folgt
r
2 R 2
r  [0; R]
H I
Seite 15
3. Erste Maxwell‘sche Gleichung: Durchflutungsgesetz
Beispiel:

N
   Hds
Hfe
s
lfe
N  I   Hi  li
H


Legende:
 = Durchflutung (Theta) [A],
N = Windungszahl,
H = magnetische Feldstärke [A/m]
 HFe  lFe  H  l
In einem magnetischen Kreis entspricht
die Summe der magnetischen
Spannungsabfälle der Durchflutung .
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3. Erste Maxwell‘sche Gleichung: Durchflutungsgesetz
Überlagerung (Superponierung):
z
 Hds  
s
H s  N  I
I ist für alle N Windungen gleich
r1
r2
H
I
A
si  2  ri
1
  si  Hi  I
N
N
I
H
i 1 si
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3. Erste Maxwell‘sche Gleichung: Durchflutungsgesetz
Gesetz von Biot-Savart:
R0
H(P)
Z
z P
Legende:

H ( z) 

I  R0 2
2 R02  z 2

3/ 2

 ez
R0 = Spulenradius [m]
I = Strom [A]
P = Aufpunkt
z = Abstand Mittelpunkt
Spule zu Aufpunkt P
N = Anzahl Windungen
Anwendung: H-Feldberechnung einer Spule mit N Windungen
Hz
Für N Leiterschleifen
wird das Superpositionsprinzip angewendet.
Z
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3. Erste Maxwell‘sche Gleichung: Durchflutungsgesetz
H-Feld einer Spule
Magnetische Feldstärke H
(for freaks only!)
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Inhaltsverzeichnis
1. Mathematische Grundlagen
2. Klassifikation der Felder
3. Erste Maxwell‘sche Gleichung
4. Zweite Maxwell‘sche Gleichung
5. Dritte Maxwell‘sche Gleichung
6. Vierte Maxwell‘sche Gleichung
7. Magnetische Scherung
8. Magnetische Energie
9. Dauermagnete
10.Gemeinsamkeiten von Festtagsbraten und Magneten
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4. Zweite Maxwell‘sche Gleichung: Induktionsgesetz
Quelle: Internet
Linke-Hand-Regel der Induktion:
Physikalischer Inhalt der zweiten
Maxwell‘schen Gleichung:
Jede(r) sich zeitlich ändernde magnetische
Feldstärke, Fluss, Flussdichte umgibt sich
mit einem elektrischen Feld Ei, dessen
Feldlinien in sich geschlossen sind.
Daumen:
Richtung der induzierten Spannung
Verbleibende Finger:
Richtung der Flussänderung
Legende:
, magnetischer Fluss [Vs];
Ei, induziertes elektrisches Wirbelfeld [V/m];
Beispiel mit zeitlich veränderlichen Fluss
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4. Zweite Maxwell‘sche Gleichung: Induktionsgesetz
Der Stab wird durch das B-Feld
bewegt.
Die Lorentz-Kraft FL
Bewegter Leiter im zeitl. konst. Feld.
Ei
FL  Qv  B
treibt die Elektronen nach hinten.
B
B
B
Durch die Ladungsverschiebung
entsteht die elektrische Kraft Fel
FL
e
-
v
+
+
+
die einen Gleichgewichtszustand
hervorruft und den Ladungstrennungsvorgang beendet. Es verbleibt
Q = Ladung [As];
B = Flussdichte [Vs/m²];
EQ = elektr. Feldstärke (Quellenfeld) [V/m]
Ei = induziertes Feld (Wirbelfeld) [V/m]
- -
B
F
+ el
Fel  QE
FL   Fel
B
B
B
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B
B
B
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4. Zweite Maxwell‘sche Gleichung: Induktionsgesetz
Die beiden Kräfte FL und Fel werden
durch ihre elektrischen und magnetischen Größen
FL   Fel
QvB  QE
beschrieben.
Eine Wegintegration über die Leiterlänge l führt zur gesuchten induzierten
Spannung uind zwischen den Stabenden
Bewegter Leiter im zeitl. konst. Feld.
B
B
2 außen
1innen
1außen
FL
F
+ el
+
+
+
 vB dl   E dl
 uind _ außen
B
Ei
- -
E  EQ  Ei
2innen
B
B
e
EQ
-
v
2
l
1
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4. Zweite Maxwell‘sche Gleichung: Induktionsgesetz
Zeitlich veränderl. Feld, ruhender Leiter. Es
sei d/dt > 0, also zunehmender Fluss .
Induzierte Spannung:
d

i  EQ dl 
E

2 außen
uind _ außen

dt
1außen
2 innen
 E

0
Q
 Ei dl
1innen
 E  E  dl   E dl
i
i
Q
d

E
i  EQ  
 uind

2innen
-
1 innen
uind   Ei  EQ  dl
uind(t) = im Ringsegment induzierte Spannung [V],
EQ = elektrische Feldstärke (Quellenfeld) [V/m]
Ei = induziertes Feld (Wirbelfeld) [V/m]
dt
Linke-Hand Regel:
Die Richtung der im Leiter induzierten
Spannung (Daumen) ist der Richtung
der Flussänderung (Finger) so zugeordnet,
wie die Drehrichtung einer linksgängigen
Schraube.
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4. Zweite Maxwell‘sche Gleichung: Induktionsgesetz
Vom offenen Ringsegment zum geschlossenen Kreis:
Im Leiter mit der Querschnittsfläche A
stellt sich die Stromdichte J ein. Es ist
J
i
 E; J 

A
Grenzübergangsbetrachtung
Spaltbreite b0:
2
 dl   dl
1
EQ  0
damit findet ein Ladungsausgleich statt,
der einen Stromfluss zur Folge hat.
d
  E dl
dt
J
 l

iind
l
A
  A d
iind 

l
dt

 = spezifische elektrische Leitfähigkeit des Leiters [1/(m)],
J = Stromdichte [A/m²],
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Inhaltsverzeichnis
1. Mathematische Grundlagen
2. Klassifikation der Felder
3. Erste Maxwell‘sche Gleichung
4. Zweite Maxwell‘sche Gleichung
5. Dritte Maxwell‘sche Gleichung
6. Vierte Maxwell‘sche Gleichung
7. Magnetische Scherung
8. Magnetische Energie
9. Dauermagnete
10.Gemeinsamkeiten von Festtagsbraten und Magneten
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5. Dritte Maxwell‘sche Gleichung
Quellenfreiheit magnetischer Felder:
Kontrollvolumen
Die in die Volumenoberfläche eintretenden
magnetischen Feldlinien sind gleich den aus
der Volumenoberfläche austretenden
Feldlinien.
 B dA  0
A
Die Integration erfolgt über eine geschlossene Oberfläche.
Aus dieser Gleichung geht hervor, dass Magnetische Feldlinien weder Anfang noch Ende
haben und damit quellenfrei sind.
A = Oberfläche des Kontrollvolumens [m²]
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1. Mathematische Grundlagen
2. Klassifikation der Felder
3. Erste Maxwell‘sche Gleichung
4. Zweite Maxwell‘sche Gleichung
5. Dritte Maxwell‘sche Gleichung
6. Vierte Maxwell‘sche Gleichung
7. Magnetische Scherung
8. Magnetische Energie
9. Dauermagnete
10.Gemeinsamkeiten von Festtagsbraten und Magneten
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6. Vierte Maxwell‘sche Gleichung
Außerhalb
des Volumens
Innerhalb
des Volumens
Ladungszufuhr
Ladungserhöhung
durch die Oberfläche = im Volumen

Qinnen
Qzufuhr
m²
m²

Qinnen
m³
m³
D  m²

  m³
Qzufuhr
m²

m²

m³
m³
Q = elektrische Ladung [As],
 = Ladungsdichte, Raumladungsdichte [As/m³],
 = Permittivität [As/(Vm)],
D = elektrische Flussdichte [As/m²],
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6. Vierte Maxwell‘sche Gleichung
Die über eine geschlossene Oberfläche
A eintretende elektrische Ladung Q
ist gleich der Zunahme der im Volumen
befindlichen Ladungsdichte 
 D dA    dV
A
V
(Ladungserhaltungsgesetz)
Q = elektrische Ladung [As],
 = Ladungsdichte, Raumladungsdichte [As/m³],
D = elektrische Flussdichte [As/m²],
Es ist D =  E. Damit wird
  E dA   dV ,
A
V
0
was auch bedeutet, dass ein elektrisches
Feld, welches über eine Oberfläche in
ein Volumen eindringt, innerhalb des
Volumens enden kann.
Damit haben elektrische Feldlinien
einen Anfang und Ende.
Elektrische Felder sind somit Quellenfelder.
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Inhaltsverzeichnis
1. Mathematische Grundlagen
2. Klassifikation der Felder
3. Erste Maxwell‘sche Gleichung
4. Zweite Maxwell‘sche Gleichung
5. Dritte Maxwell‘sche Gleichung
6. Vierte Maxwell‘sche Gleichung
7. Magnetische Scherung
8. Magnetische Energie
9. Dauermagnete
10.Gemeinsamkeiten von Festtagsbraten und Magneten
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7. Magnetische Scherung
Definition der Scherung (Transvektion):
Unter Scherung (Transvektion) versteht man in der Geometrie die Überführung
einer zweidimensionalen geometrischen Figur in eine andere Figur unter Beibehaltung
der Höhe.
Die Gerade a ist parallel zur Geraden, die durch P und P‘ festgelegt ist. A ist der
Fußpunkt des Lots von P auf a. Der Winkel  entsteht durch Translation von P nach P‘.
Durch Anwendung der Transvektion wird ein Parallelogramm zu einem Rechteck.
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7. Magnetische Scherung
Anwendung der Scherung auf den magnetischen Kreis:
Magnetische Durchflutung:
Hfe
  Hfe  lfe  H  
mit H 
H
Bfe
0
  Hfe  lfe 
folgt
Bfe
0

durch Umstellen nach der
Flussdichte Bfe folgt
 0  lfe
0  
Bfe  
 Hfe 


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7. Magnetische Scherung
Geradensteigung:
 0  lfe
0  
Bfe  
 Hfe 


Annahme Hfe = 0:
0  
Bfe 

Annahme Bfe = 0:

Hfe 
lfe
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7. Magnetische Scherung
Scherungsgerade:
Fazit: ein Luftspalt bewirkt eine Linearisierung der Kennlinie
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7. Magnetische Scherung
Anwendung der Scherung an dem Beispiel einer nichtlinearen Werkstoffkennlinie:
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Inhaltsverzeichnis
1. Mathematische Grundlagen
2. Klassifikation der Felder
3. Erste Maxwell‘sche Gleichung
4. Zweite Maxwell‘sche Gleichung
5. Dritte Maxwell‘sche Gleichung
6. Vierte Maxwell‘sche Gleichung
7. Magnetische Scherung
8. Magnetische Energie
9. Dauermagnete
10.Gemeinsamkeiten von Festtagsbraten und Magneten
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8. Magnetische Energie
Magnetischer und verketteter magnetischer Fluss:
Legende:
, magnetischer Fluss [Vs]; , verketteter magnetischer Fluss [Vs]; A, Fläche [m²]
B, Flussdichte [Vs/m²];
N, Windungszahl [1];
N/S, Nord/Süd
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8. Magnetische Energie
Definition Energie und Co-Energie:
Magnetische Energiedichte
wmag   H dB; [J/m³]
B
Magnetische Co-Energiedichte
co
wmag
  BdH ; [J/m³]
H
Magnetische Energie
Wmag   wmag dV ; [J]
V
Magnetische Co-Energie
H [A/m];
B [Vs/m²]
co
co
Wmag
  wmag
dV ; [J]
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V
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8. Magnetische Energie
Magnetischer Fluss 
   B dA  B  A
A
Magnetische Durchflutung:
  N I
 [A];
 [Vs];
B [Vs/m²];
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8. Magnetische Energie
Wandlung magnetischer Energie in mechanische Energie:
Wmech
Mechanische Energie berechnet aus der
Co-Energie-Differenz
co
co
 min   Wmag
 max 
Wmech  Wmag
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Inhaltsverzeichnis
1. Mathematische Grundlagen
2. Klassifikation der Felder
3. Erste Maxwell‘sche Gleichung
4. Zweite Maxwell‘sche Gleichung
5. Dritte Maxwell‘sche Gleichung
6. Vierte Maxwell‘sche Gleichung
7. Magnetische Scherung
8. Magnetische Energie
9. Dauermagnete
10.Gemeinsamkeiten von Festtagsbraten und Magneten
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Seite 42
10. Dauermagnete
Aufmagnetisieren eines Permanentmagnetkreises
Durchflutungsansatz:
Legende:
H = magnetische Feldstärke [A/m];
s = Feldlinienlänge [m];
n = Windungszahl [1];
I = Strom [A];
= Durchflutung (Theta) [A]
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10. Dauermagnete
Permanentmagnetkreis ohne Luftspalt
Durchflutungsansatz:
Legende:
H = magnetische Feldstärke [A/m];
s = Feldlinienlänge [m];
n = Windungszahl [1];
I = Strom [A];
= Durchflutung (Theta) [A]
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Seite 44
10. Dauermagnete
Permanentmagnetkreis mit Luftspalt
Durchflutungsansatz:
die Geradengleichung
Legende:
H = magnetische Feldstärke [A/m];
s = Feldlinienlänge [m];  = Luftspalt [m]
n = Windungszahl [1];
I = Strom [A];
= Durchflutung (Theta) [A]
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Seite 45
10. Dauermagnete
Permanentmagnetkreis mit Luftspalt
Geradengleichung
Legende:
H = magnetische Feldstärke [A/m];
s = Feldlinienlänge [m];  = Luftspalt [m]
n = Windungszahl [1];
I = Strom [A];
= Durchflutung (Theta) [A]
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Seite 46
10. Dauermagnete
Eisenbehafteter Magnetkreis
Durchflutungsansatz:
Legende:
H = magnetische Feldstärke [A/m];
s = Feldlinienlänge [m];  = Luftspalt [m]
n = Windungszahl [1]; 0 = Permeabilität [Vs/(Am)]
I = Strom [A];
= Durchflutung (Theta) [A]
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Seite 47
10. Dauermagnete
Eisenbehafteter Magnetkreis
Durch Ausklammern folgt
Geradengleichung mit negativer
Steigung
Legende:
H = magnetische Feldstärke [A/m];
s = Feldlinienlänge [m];  = Luftspalt [m]
n = Windungszahl [1]; 0 = Permeabilität [Vs/(Am)]
I = Strom [A];
= Durchflutung (Theta) [A]
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Seite 48
10. Dauermagnete
Eisenbehafteter Magnetkreis mit
elektrischer Erregung
Durchflutungsansatz:
Legende:
H = magnetische Feldstärke [A/m];
s = Feldlinienlänge [m];  = Luftspalt [m]
n = Windungszahl [1]; 0 = Permeabilität [Vs/(Am)]
I = Strom [A];
= Durchflutung (Theta) [A]
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Seite 49
10. Dauermagnete
Eisenbehafteter Magnetkreis mit
elektrischer Erregung
Durch Umstellen folgt die
Geradengleichung
Legende:
H = magnetische Feldstärke [A/m];
s = Feldlinienlänge [m];  = Luftspalt [m]
n = Windungszahl [1]; 0 = Permeabilität [Vs/(Am)]
I = Strom [A];
= Durchflutung (Theta) [A]
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Seite 50
10. Dauermagnete
Eisenbehafteter Magnetkreis mit
elektrischer Erregung
Geradengleichung
Legende:
H = magnetische Feldstärke [A/m];
s = Feldlinienlänge [m];  = Luftspalt [m]
n = Windungszahl [1]; 0 = Permeabilität [Vs/(Am)]
I = Strom [A];
= Durchflutung (Theta) [A]
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Inhaltsverzeichnis
1. Mathematische Grundlagen
2. Klassifikation der Felder
3. Erste Maxwell‘sche Gleichung
4. Zweite Maxwell‘sche Gleichung
5. Dritte Maxwell‘sche Gleichung
6. Vierte Maxwell‘sche Gleichung
7. Magnetische Scherung
8. Magnetische Energie
9. Dauermagnete
10.Gemeinsamkeiten von Festtagsbraten und Magneten
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Seite 52
10. Gemeinsamkeiten von Festtagsbraten und Magneten
Festtagsbraten
Magnet
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Seite 53
10. Gemeinsamkeiten von Festtagsbraten und Magneten
Definition der Diffusion:
„Ein stattfindender Ausgleichsvorgang von Konzentrationsunterschieden“
Diffusionsvorgänge in der Natur:
Osmose als Beispiel einer einseitigen Diffusion von Wassermolekülen durch
eine semipermeable Membran in Richtung der niedrigeren Konzentration (bei
Regen platzen die Kirschen auf).
Regen durchdringt die trockene Erde (niedrigere Konzentration). Bei
Trockenheit verdunstet das Wasser im Boden. Die niedrigere Konzentration ist in
der Luft zu finden (Beispiel einer zweiseitigen Diffusion).
Diffusionsvorgänge in der Technik:
Wärmeleitung von Warm nach Kalt, magnetische Feldausbreitung in
Magnetwerkstoffen in Richtung niedrigerer Flussdichte.
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Seite 54
10. Gemeinsamkeiten von Festtagsbraten und Magneten
Thermisches Netzwerk:
Festtagsbraten als Anwendungsbeispiel
Legende:
Q= Wärmemenge [J];
Rth = Wärmewiderstand [K/W];
Cth = Wärmekapazität [J/K]
Pv = therm. Spannungsquelle [W];
 = Temperatur [K]
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10. Gemeinsamkeiten von Festtagsbraten und Magneten
Wärmeleitung:
Differenzialgleichung 2‘ter Ordnung
gekennzeichnet durch zwei Ortsableitungen und eine Zeitableitung.
Eindimensionale
Wärmeleitungsgleichung
 2  c 


2
x
 t
Die Temperatur ist eine skalare Größe.
Legende:
= Dichte [kg/m³];
 = Wärmewiderstand [W/(m K)];
c = spezifische Wärmekapazität [J/(kg K)]
x = Weg [m];
= Temperatur [K]
t = Zeit [s]
Angaben für Kupfer:
 = 8960 kg/m³;  = 384 W/(m K); c = 383 J/(Kg K);
Koeffizient = 8936 s/m²
einfache
Zeitableitung
Koeffizient
zweifache Ortsableitung
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Seite 56
10. Gemeinsamkeiten von Festtagsbraten und Magneten
Beispiel einer linearen, eindimensionalen Temperaturdiffusion in Kupfer
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Seite 57
10. Gemeinsamkeiten von Festtagsbraten und Magneten
Vom Elektromagneten …
… zur Felddiffusion
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Seite 58
10. Gemeinsamkeiten von Festtagsbraten und Magneten
Thermisches Netzwerk: Elektromagnet als Anwendungsbeispiel
Legende:
Q= Wärmemenge [J]; Rth = Wärmewiderstand [K/W];
Cth = Wärmekapazität [J/K]; Pv = therm. Spannungsquelle [W];
 = Temperatur [K]
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Seite 59
10. Gemeinsamkeiten von Festtagsbraten und Magneten
Felddiffusion:
Differenzialgleichung 2‘ter Ordnung
gekennzeichnet durch zwei Ortsableitungen und eine Zeitableitung.
Die Flussdichte ist eine vektorielle
Eindimensionale
Felddiffusionsgleichung


2B
B
   
2
x
t
Größe.
Legende:
B = magnetische Flussdichte [Vs/m²];
x = Weg [m];
 = Permeabilität [Vs/(Am)];
 = spezifische elektrische Leitfähigkeit [A/(Vm)];
Angaben für Kupfer:
 = 58 1E6 A/(Vm) ;  = 1,256 1E-6Vs/(A m);
Koeffizient = 73 s/m²
einfache
Zeitableitung
Koeffizient
zweifache Ortsableitung
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Seite 60
10. Gemeinsamkeiten von Festtagsbraten und Magneten
MATLAB-Ergebnis:
Beispiel einer linearen, eindimensionalen Felddiffusion in Kupfer
Im Kupfer verläuft die
magnetische Felddiffusion 122 x
schneller als die thermische
Diffusion!
Institut für schnelle mechatronische Systeme (ISM): Magnetics4Freaks; Prof. Dr.-Ing. Jürgen Ulm
Seite 61
10. Gemeinsamkeiten von Festtagsbraten und Magneten
Beispiel einer nichtlinearen
zweidimensionalen Felddiffusion im
Eisen
bla bla
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Seite 62
Programm Wintersemester 2012/13
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Seite 63
Magnetics 4 Freaks
Alles rund um den Elektromagnetismus
Wintersemester 2012/13
Willkommen an der
Reinhold-Würth-Hochschule in Künzelsau
Die Kolloquiumsreihe
von Hochschule
und Industrie
Prof. Dr.-Ing. Jürgen Ulm
Institut für schnelle mechatronische Systeme (ISM)
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Seite 64
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