1. Aufgabenblatt

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Fachhochschule Pforzheim
Dipl.-Phys. F. Schmidt
- Elektrotechnik / Informationstechnik -
1. Aufgabenblatt
zur Vorlesung PHYSIK I für Maschinenbauer / Wirtschaftingenieure
Nr. 1
Eine Rakete, die mit konstant a = 45 m/s2 beschleunigt, hat die Geschwindigkeit
v = 900 m/s erreicht. Welche Strecke s legt sie in den nächsten 2.5 s zurück?
Nr. 2
Ein Fahrzeug vermindert durch Abbremsen mit der Verzögerung a = 1.6 m/s2 seine
Geschwindigkeit auf v2 = 36 km/h. Wie groß ist seine Anfangsgeschwindigkeit v1 ,
wenn die Bremsstrecke s = 70 m beträgt?
Nr. 3
Ein Sprinter legt die Strecke s = 100 m in t1 = 10.4 s zurück, davon die ersten 50 m
gleichmäßig beschleunigt und den Rest mit konstanter Geschwindigkeit. Wie groß sind
die erreichte Höchstgeschwindigkeit v und die Beschleunigung a ?
Nr. 4
Ein Sportflugzeug mit der Geschwindigkeit vF legt eine Strecke von 5 km gegen die
frontal anliegende Windgeschwindigkeit vW innerhalb von 20 Minuten und während des
Rückfluges (jetzt mit Rückenwind) in 10 Minuten zurück. Wie groß ist die Windgeschwindigkeit vW ?
Nr. 5
Welche Beschleunigung a kann einem Fahrzeug von m = 500 kg mit der Kraft F =
2000 N erteilt werden, wenn beim Beschleunigungsvorgang ein Steigungswinkel von
α = 15◦ zu überwinden ist?
Nr. 6
An einer über eine Rolle laufende Schnur hängen links die Masse m1 = 0.3 kg und rechts
m2 = 0.32 kg. Mit welcher Beschleunigung a setzen sich die Massen in Bewegung? Wie
groß muss die rechts hängende Masse sein, damit sich die Beschleunigung verdoppelt?
Nr. 7
1.5 Meter über dem Boden wird eine Kugel waagerecht abgeschleudert. Sie fliegt in
horizontaler Richtung 4 Meter weit, bevor sie auf dem Boden auftrifft.
a) Wie lange war sie unterwegs? b) Mit welcher Geschwindigkeit wurde sie abgeschossen?
c) Unter welchem Winkel gegen die Horizontale trifft sie auf dem Boden auf?
Nr. 8
Ein unter einem Winkel α = 20◦ aufwärts gestelltes Förderband wirft Schutt mit der
Anfangsgeschwindigkeit v = 2.2 m/s in eine 4 Meter tiefer gelegene Grube. Wie groß
ist die Wurfweite s ?
Nr. 9
Aus einem Wasserschlauch der Feuerwehr tritt der Wasserstrahl mit der Geschwindigkeit
v0 = 18 m/s aus. Er soll ein 6 m entferntes Haus in einer Höhe von 12 m treffen. Unter
welchem Winkel α muss der Schlauch nach oben gehalten werden?
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2. Aufgabenblatt
zur Vorlesung PHYSIK I für Maschinenbauer / Wirtschaftingenieure
Nr. 1
Ein Auto der Masse m = 800 kg wird durch Blockieren aller Räder gebremst. Wie
groß sind die verzögernde Gleitreibungskraft ( fgl = 0.5 ), die Bremsbeschleunigung, die
Bremszeit und der Bremsweg bei v0 = 30 km/h bzw. 50 km/h auf waagerechter Straße?
Nr. 2
In der Schweiz ist gesetzlich vorgeschrieben, dass auf unbefestigten Gebirgsstraßen der
Bremsweg bei Talfahrt unter 6 m liegen muss. Mit welcher Geschwindigkeit v0 darf man
also höchstens zu Tal fahren, wenn das Gefälle 18◦ beträgt und die Gleitreibungszahl
aufgrund von Rollsplit auf 0.4 gesunken ist?
Nr. 3
Die Antriebsräder eines Autos der Masse 1200 kg erfahren 60% der Gewichtskraft als
Achslast. Das Auto zieht einen Anhänger der Masse 400 kg, dessen Bremsen blockiert
sind ( fh = 0.65 ; fgl = 0.5 ). Wie groß ist die größtmögliche Beschleunigung (unmittelbar nach dem Anfahren) a) auf waagerechter Straße?
b) bei 10◦ Neigungswinkel abwärts?
c) bei 5◦ Steigungswinkel aufwärts?
d) Bei welchem Steigungswinkel ist die Beschleunigung gerade Null?
Nr. 4
Ein Körper bewegt sich auf einer Kreisbahn mit dem Radius r = 20 m. Er hat die
konstante Bahngeschwindigkeit v = 50 m/s. Bestimmen Sie die Winkelgeschwindigkeit
ω, die Drehfrequenz n und die Umlaufdauer T des Körpers.
Nr. 5
Ein Mensch (m = 75 kg) befindet sich am Äquator. Wie groß ist die Zentripetalkraft
Fz , die nötig ist, damit er die Erdrotation mitmacht? (Die Erde sei als Kugel mit Radius
6370 km angenommen). Wie groß ist Fz bei uns in Mitteleuropa (50◦ nördlicher Breite)?
Nr. 6
In einen 1000 m tiefen, am Äquator gelegenen Schacht lässt man einen Stein fallen.
Wie groß ist die durch die Erdumdrehung verursachte Abweichung von der Senkrechten
bezüglich des Auftreffpunktes?
Nr. 7
Ein Elektromotor führt innerhalb der ersten 10 s nach dem Einschalten 280 Umdrehungen aus, wobei er die Drehbewegung 5 s gleichmäßig beschleunigt und danach gleichförmig
dreht. Welche Drehzahl n hat der Motor erreicht?
Nr. 8
Bei einer Hochgeschwindigkeitsrennstrecke soll eine Steilkurve vom Radius r = 1 km
mit einer maximalen Geschwindigkeit v = 306 km/h durchfahren werden. Welchen
Neigungswinkel α muss die Kurve haben, damit die Rennautos ohne Reibungskräfte
durch die Kurve fahren?
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3. Aufgabenblatt
zur Vorlesung PHYSIK I für Maschinenbauer / Wirtschaftingenieure
Nr. 1
Ein Körper durchläuft im freien Fall im zeitlichen Abstand von ∆t = 2 s die beiden
Punkte P1 und P2 , die vom Ausgangspunkt die Entfernungen h1 und h2 haben. Seine
kinetische Energie ist im Punkt P2 doppelt so groß wie im Punkt P1 . Wie groß sind
die beiden Fallstrecken h1 und h2 ?
Nr. 2
Ein Wagen rollt eine s = 200 m lange Strecke, deren Gefälle 4 % beträgt, abwärts und
auf einer gleich großen Steigung anschließend wieder nach oben. Welche Strecke x legt
er auf der Steigung zurück (Fahrwiderstandszahl µ = 0.03)?
Nr. 3
Welche Kraft ist notwendig, um einen Körper beim Zurücklegen der Strecke s = 10 m
einen Impuls p = 500 kg m/s und die kinetische Energie E = 250 J zu erteilen? Wie
groß ist die Masse m?
Nr. 4
Der Impuls eines frei fallenden Körpers beträgt nach einer Fallstrecke h1 = 6 m
p = 20 kg m/s. Wie groß ist dessen Masse m und die gesamte Fallhöhe h , wenn beim
Aufschlagen am Boden eine kinetische Energie des Körpers E = 400 J registriert wird?
Nr. 5
Zwei Körper der Massen m1 = 0.12 kg und m2 = 0.3 kg werden durch eine sich
entspannende Feder in entgegengesetzter Richtung horizontal weggeschleudert. Mit welchen Geschwindigkeiten v1 bzw. v2 werden sie davongeschleudert, wenn die Energie
der Feder im gespannten Zustand E = 5 J betrug?
Nr. 6
Ein Geschoss der Masse m1 = 10 g dringt in einen Holzklotz der Masse m2 = 600 g,
der auf einer horizontalen Tischplatte liegt und dadurch s = 5.5 m unter dem Einfluss
der Reibungszahl µ = 0.4 fortrutscht. Welche Geschwindigkeit v hatte das Geschoss ?
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4. Aufgabenblatt
zur Vorlesung PHYSIK I für Maschinenbauer / Wirtschaftingenieure
Nr. 1
Welchen Durchmesser d hat eine Kreisscheibe der Masse m = 8 kg, deren Trägheitsmoment J = 1.69 kg · m2 beträgt?
Nr. 2
Um welche Länge l muss ein l1 = 0.75 m langer, um seinen Mittelpunkt rotierender
Stab verlängert werden, damit sich sein Trägheitsmoment J verdoppelt?
Nr. 3
Welche Energie E enthält eine Kreisscheibe der Masse m = 8 kg und dem Durchmesser
d = 0.5 m, wenn sie mit einer Drehzahl von n = 500 min−1 rotiert?
Nr. 4
Die in einem Schwungrad mit dem Innenradius ri = 0.5 m,
m
dem Außenradius ra = 0.6
1
2
2
−1
und der Drehzahl n = 500 min gespeicherte Energie es gilt J = 2 m (ri + ra ) soll
unter Abbremsen bis zum Stillstand während t1 = 30 s die mittlere Leistung P = 12 kW
liefern. a) Welche Masse m muss das Schwungrad haben?
b) Welche Anlaufzeit t2 ist bei Verwendung eines Motors notwendig, der die mittlere
Leistung P = 3 kW entwickelt?
Nr. 5
Ein aufrecht stehender Stab der Masse m trägt am oberen Ende ein punktförmig zu
denkendes Gewichtsstück der gleichen Masse m . Welche Länge l besitzt der Stab, wenn
sein Endpunkt beim Umfallen mit der Geschwindigkeit v = 3 m/s auf den Boden trifft?
Nr. 6
Mit welchem Drehmoment M muss ein Kreisel vom Trägheitsmoment J = 0.04 kg · m2
angetrieben werden, der innerhalb von t = 15 s die Drehzahl n = 4000 min−1 erreichen
soll?
Nr. 7
Wie groß ist das Trägheitsmoment J des Ankers eines Elektromotors, dessen Drehzahl
infolge der Lagerreibung (Reibungsmoment M = 0.82 Nm) innerhalb t = 4.5 s von
n1 = 1500 min−1 auf n2 = 400 min−1 abnimmt?
Nr. 8
Auf einer gemeinsamen Welle befinden sich zwei massive Schwungscheiben mit der Masse
m1 = 12 kg, dem Durchmesser d1 = 0.6 m bzw. m2 = 8 kg und d1 = 0.4 m. Die zweite
rotiert mit der Drehzahl n2 = 200 min−1 und die erste steht zunächst still. Welche
gemeinsame Drehzahl n haben die Scheiben, wenn sie plötzlich miteinander gekoppelt
werden?
Nr. 9
Ein homogener Stab der Länge l = 0.8 m schwingt als Pendel um einen Punkt, der
l1 = 0.2 m unterhalb des oberen Endes liegt. Welche Periodendauer T hat diese Pendel?
Nr. 10
Ein Rad der Masse 20 kg wird an einer Achse parallel zur Symmetrieachse aufgehängt
und führt in einer Minute 32 Schwingungen aus. Wie groß ist J bzgl. des Schwerpunktes,
wenn der Abstand vom Aufhängepunkt bis zum Schwerpunkt e = 0.8 m beträgt?
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5. Aufgabenblatt
zur Vorlesung PHYSIK I für Maschinenbauer / Wirtschaftingenieure
Nr. 1
Ein Körper schwingt harmonisch mit der Frequenz f = 0.8 Hz und der Amplitude
ŷ = 10 cm. Welche Geschwindigkeit hat er in der Gleichgewichtslage?
Bei welcher Auslenkung y ist die Geschwindigkeit v = 0.25 m/s?
Nr. 2
An eine Schraubenfeder (D = 100 N/m) wird ein Körper der Masse 800 g gehängt, dann
4 cm aus seiner Gleichgewichtslage nach unten gezogen und losgelassen.
a) Mit welcher Frequenz schwingt der Körper?
b) Wie groß ist die Geschwindigkeit und die Beschleunigung des Körpers 3 cm oberhalb
der Gleichgewichtslage? Welche Zeit braucht er vom unteren Umkehrpunkt bis zu dieser
Stelle?
Nr. 3
Die Auslenkung eines harmonischen Oszillators beträgt 0.2 s nach dem Nulldurchgang
y = 4 cm. Die Amplitude ist 6 cm. Berechnen Sie Frequenz und Periodendauer.
Nr. 4
Zu welchen Zeiten nach dem Nulldurchgang erreicht die Auslenkung einer harmonischen
Schwingung mit yb = 5 cm und f = 0.4 Hz die Werte
a) y1 = 8 mm ; b) y2 = 2 cm ; c) y3 = 4 cm?
Nr. 5
Die Amplituden der 3. und 4. Schwingung eines Pendels betragen 8 cm bzw. 7 cm. Wie
groß ist die Amplitude der 1. Schwingung?
Nr. 6
Die Amplitude der 10. Schwingung eines gedämpften Oszillators ist halb so groß wie die
Amplitude der 1. Schwingung. Bei der wievielten Schwingung beträgt die Amplitude ein
Zehntel des Anfangswertes?
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6. Aufgabenblatt
zur Vorlesung PHYSIK I für Maschinenbauer / Wirtschaftingenieure
Nr. 1
Lichtleiter: a) Welche Brechzahl muss ein zylindrischer Stab mindestens haben, wenn
alle in seine Basis eintretenden Strahlen innerhalb des Stabes durch Totalreflexion fortgeleitet werden sollen? b) Wie groß ist der maximale Eintrittswinkel bei n = 1.33 ?
Nr. 2
Welche Wellenlängen aus dem sichtbaren Bereich des Spektrums werden bei der Reflexion an einer 750 nm dicken Seifenlamelle (n = 1.35) bei senkrechtem Strahleneinfall
a) ausgelöscht b) verstärkt?
Nr. 3
Unter welchem Winkel muss ein Lichtstrahl auf Glas (n = 1.5) fallen, wenn reflektierter
und eindringender Strahl senkrecht aufeinander stehen sollen (Brewster-Winkel)?
Nr. 4
Wie groß ist der Durchmesser des Kreises, durch den ein 12 m unter Wasser (n = 1.33)
befindlicher Taucher den Himmel sehen kann?
Nr. 5
Wie lang muss man eine gedackte Pfeife machen, damit die 2. Harmonische um 400 Hz
höher klingt als die 1. Harmonische?
Welche Frequenzen haben dann die beiden Eigenschwingungen (cSchall = 340 m/s)?
Nr. 6
In einem 40 cm langen, beiderseits offenen Glasrohr bilden sich bei der Frequenz f1 =
1222 Hz an vier Stellen (einschließlich beider Enden) und bei f2 = 1634 Hz an fünf Stellen
jeweils im gleichen Abstand Bäuche der Kundt’schen Staubfiguren aus. Berechnen Sie
die Schallgeschwindigkeit cSchall als Mittelwert beider Messungen.
Nr. 7
Ein Messingstab der Länge l = 30 cm, dessen Ende mit Stempel in eine Kundt’sche
Röhre gesteckt ist, wird zu Schwingungen in der Grundfrequenz erregt. Es ergeben sich
in der Röhre Kundt’sche Staubfiguren im Abstand von ∆s = 3.0 cm. Berechnen Sie die
Schallgeschwindigkeit in Messing (in Luft gilt: cSchall = 340 m/s).
Nr. 8
Welchen Ton hört ein Beobachter, an dem eine pfeifende Lokomotive (1500 Hz) mit
einer Geschwindigkeit von 120 km/h vorbeifährt, vorher und nachher?
Nr. 9
Die Hupe eines stehenden Autos besitze eine Frequenz von 440 Hz. Welche Frequenz
nimmt ein Autofahrer wahr, der sich mit 100 km/h nähert (entfernt)?
Nr. 10
Beim Annähern eines Rennwagens nimmt ein Beobachter einen Ton wahr, der um eine
harmonische Quart (f1 : f2 = 4 : 3) höher ist als der Ton beim Entfernen des Wagens.
Welche Geschwindigkeit v hat der Rennwagen?
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7. Aufgabenblatt
zur Vorlesung PHYSIK I für Maschinenbauer / Wirtschaftingenieure
Nr. 1
Sonnenlicht trifft senkrecht auf eine Linse von 7 cm Durchmesser und wirft auf einen
4 cm dahinter stehenden Schirm einen Schein von 5 cm Durchmesser. Wie groß ist die
Brennweite der Linse?
Nr. 2
Welche Brennweite muss das Objektiv eines Filmvorführgeräts haben, wenn das 18 mm
hohe Filmbild auf der 35 m entfernten Leinwand 2.5 m hoch erscheinen soll?
Nr. 3
Welchen Durchmesser muss ein kreisförmiger Fleck haben, wenn er für das Auge in der
deutlichen Sehweite (25 cm) ebenso groß erscheint wie der Mond am Himmel (Mondentfernung 384400 km, Monddurchmesser 3480 km)?
Nr. 4
Wie viel Quadratkilometer Erdoberfläche werden von einer Luftbildkamera der Brennweite f = 50 cm bei einem Bildformat von 18 cm × 18 cm aus 4000 m Höhe abgebildet?
Nr. 5
Welche Brennweite bzw. wieviel Dioptrien muss eine Brille haben, um die deutliche
Sehweite a) von 18 cm eines Kurzsichtigen, b) von 60 cm eines Weitsichtigen auf den
normalen Wert von 25 cm zu korrigieren?
Nr. 6
Die Objektivbrennweite eines Fernrohrs ist 1 m. Berechnen Sie die Okularbrennweite
für eine 20-fache Vergrößerung. Um wieviel cm muss das Fernrohr verlängert werden,
wenn ein 25 m entfernter Gegenstand betrachtet wird?
Nr. 7
Bei einem Mikroskop besitzen die Mittelebenen von Objektiv (f1 = 3 mm) und Okular (f2 = 50 mm) einen Abstand von 143 mm. Berechnen Sie die Bildweite des Zwischenbildes! Wie groß ist die Gegenstandsweite? Berechnen Sie die Vergrößerung dieses
Mikroskops.
Nr. 8
Es soll nachgewiesen werden, dass das rote Ende (λ1 = 700 nm) des Spektrums 2.
Ordnung eines Beugungsgitters vom violetten Ende des Spektrums 3. Ordnung (λ2 = 400
nm) überlappt wird.
Nr. 9
Paralleles weißes Licht (λ = 350...750 nm) fällt senkrecht auf ein Beugungsgitter. Unmittelbar dahinter steht eine Sammellinse (f = 150 cm) und entwirft in ihrer Brennebene
ein Spektrum 1. Ordnung von 6 cm Breite. Wie groß ist die Gitterkonstante?
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8. Aufgabenblatt
zur Vorlesung PHYSIK I für Maschinenbauer / Wirtschaftingenieure
Für Wasser gilt:
Allgemein gilt:
c = 4.18 kJ/(kg · K)
b 273.15 K
0 ◦C =
;
; r = 2257 kJ/kg ; s = 332 kJ/kg
R = 8.31 J/(mol · K) ; NA = 6.022 · 10 23
1
mol
Nr. 1
Wie viele Moleküle enthält 1 cm3 eines idealen Gases bei der Temperatur 15 ◦ C und
dem Druck 10−6 Pa?
Nr. 2
Aus einer unter 7 MPa Druck stehenden, 40 Liter fassenden Gasflasche werden bei einem
Luftdruck von 100 kPa 80 Liter Gas entnommen. Auf welchen Betrag sinkt der Druck
in der Flasche?
Nr. 3
Hülle und Zubehör eines 160 m3 fassenden Heißluftballons haben zusammen die Masse
45 kg. Auf welche Temperatur muss die Innenluft bei 10 ◦ C (Molmasse von Luft ca.
28.975 g) Außentemperatur und 97 kPa mindestens erhitzt werden, damit der Ballon
sich vom Boden erheben kann?
Nr. 4
In einer Badewanne befinden sich 200 Liter Wasser von 65 ◦ C. Wie viel kaltes Wasser
von 5 ◦ C muss zugegossen werden, damit eine Mischtemperatur von 45 ◦ C ensteht?
Nr. 5
1 kg Eis der Temperatur 0 ◦ C werden in 5 kg Wasser der Temperatur 40 ◦ C geworfen.
Wie hoch ist die Mischtemperatur?
Nr. 6
Welche Anfangstemperatur hat eine glühende Kupferkugel der Masse m = 63 g (cCu =
0.385 kJ/(kg · K)), die in 300 g Wasser von 18 ◦ C geworfen dieses auf 37 ◦ C erwärmt?
Nr. 7
Wie viel Wasser verdampft, wenn in 3 kg Wasser ( der Temperatur 20 ◦ C ) 6 kg glühender
Stahl (cStahl = 0.5 kJ/(kg · K)) von 1200 ◦ C gebracht wird?
Nr. 8
6.474 · 10 20 Moleküle eines Gases sind im Volumen 20 cm3 eingeschlossen und haben die
kinetische Energie 5 J. Wie groß sind Druck und Temperatur des Gases?
Nr. 9
Auf wie viel Grad Celsius muss die Temperatur eines Gases erhöht werden, damit sich
die bei 20 ◦ C vorhandene Molekülgeschwindigkeit verdoppelt?
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Aufgaben zur Klausurvorbereitung
zur Vorlesung PHYSIK I für Maschinenbauer / Wirtschaftingenieure
(unverbindliche Auswahl einiger bisheriger Klausuraufgaben)
Nr. 1
Aufgaben aus dem Themenbereich Bahn:
a) Bei Querwind wird die Rauchfahne eines 90 m langen Zuges, der mit 70 km/h fährt,
abgetrieben. Die Rauchfahne ist am Zugende 30 m seitwärts. Welche Geschwindigkeit
hat der Wind?
b) In sträflichem Leichtsinn werfen Sie (rechtwinklig und horizontal) eine Bierflasche aus
einem fahrenden Zug. Sie fällt auf eine 4 m unter dem Abwurfpunkt gelegene Wiese.
Der Auftreffpunkt liegt 20 m in Fahrtrichtung und 8 m entfernt vom Abwurfpunkt. Berechnen Sie die Geschwindigkeit des Zuges, die Abwurf und die Auftreffgeschwindigkeit
der Flasche.
Nr. 2
In einer Kabine, welche im Abstand von 10 m um eine feste Achse rotiert, werden für die
Astronautenausbildung hohe Beschleunigungskräfte simuliert. Die Kabine soll aus dem
Stillstand in 20 s bei gleichmäßiger Beschleunigung eine solche Drehzahl erreichen, dass
die Astronauten eine Zentrifugalbeschleunigung von 10-fachen der Erdbeschleunigung
erfahren.
a) Wie groß ist die erforderliche Drehzahl?
b) Berechnen Sie die Tangentialgeschwindigkeit v bei dieser Drehzahl.
c) Wie groß ist die Winkelbeschleunigung?
d) Berechnen Sie die Gesamtumdrehungen nach 20 s.
Nr. 3
Auf einer schiefen Ebene befindet sich ein Körper mit der Masse m1 = 5 kg, welcher über
eine Schnur (masselos) und über eine Umlenkrolle mit einer hängenden 2. Masse m2 = 2
kg verbunden ist. Die Umlenkrolle wird als masselos und reibungslos angenommen. Der
Winkel der schiefen Ebene zur x-Achse sei α = 45◦ . Die Höhe sei h. Die Masse m2
hängt berührungsfrei. Stellen Sie die Bewegungsgleichung ohne Reibung der Masse m1
auf. Lösen Sie die Bewegungsgleichung mit Integrationskonstanten, um v(t) und x(t) zu
ermitteln. Die Anfangsbedingungen lauten: bei t = 0 sei x0 = 0 und v = 0. Um wie
viel Meter hat sich das System nach 3 s bewegt? Wie hoch ist zu diesem Zeitpunkt die
Geschwindigkeit? Wie verändert sich die Bewegungsgleichung, wenn der Körper m1 eine
Festkörperreibung mit dem Koeffizienten µ erfährt?
Nr. 4
Ein Taucher blickt aus einer Wassertiefe von 10 m nach oben ( nLuf t = 1 , nW asser = 1.33 )
a) Welchen Teil des Himmels über der Wasseroberfläche sieht er?
b) Ab welchem Winkel gegen das Lot sieht der Taucher nur noch den Grund des Sees
und keinen Himmel mehr?
c) Welchen Durchmesser hat der helle Fleck an der Wasseroberfläche, unter dem der
Taucher den Himmel sieht?
Nr. 5
Eine Linse hat die Brennweite 10 cm. In einem Abstand von 0.4 m steht eine Kerze, die
10 cm hoch ist. Lösen Sie die Aufgabe zeichnerisch und rechnerisch.
a) Wie groß ist die Bildweite?
b) Wie groß ist das Bild der Kerze?
c) Wie groß ist die Vergrößerung?
Nr. 6
Drei aufeinanderfolgende Resonanzfrequenzen einer Orgelpfeife wurden mit 1310 Hz,
1834 Hz und 2358 Hz gemessen.
a) Ist die Pfeife an einem Ende geschlossen oder an beiden Enden offen?
b) Wie hoch ist ihre Grundfrequenz?
c) Wie lang ist die Pfeife bei einer Schallgeschwindigkeit von 330 m/s?
Nr. 7
Auf ein Beugungsgitter mit der Gitterkonstante g = 4 µm falle grünes Licht (λ = 550 nm).
Unter welchem Winkel beobachtet man das 2. Intensitätsmaximum?
Nr. 8
Ein Voll- und ein dünnwandiger Hohlzylinder gleichen Gewichtes und mit gleichem Radius werden auf einer Schiefen Ebene losgelassen. Sie rollen ohne zu rutschen.
a) Begründung ohne Rechnung: Welcher Zylinder ist schneller?
b) Wie verhalten sich die Translations-Geschwindigkeiten der Körper zueinander?
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Lösungen zum 1. Aufgabenblatt
zur Vorlesung PHYSIK I für Maschinenbauer / Wirtschaftingenieure
Nr. 1
geg.: a = 45 m/s2 ; v0 = 900 m/s ; t = 2.5 s
ges.: s
Lsg.: s(t) = v0 t + 12 a t2
Ergebnis: s ≈ 2391 m
Nr. 2
geg.: a = 1.6 m/s2 ; v2 = 10 m/s ; s = 70 m
ges.: v1
Lsg.: Es gelten I) v2 = v1 − a t und II) s = v1 t − 12 a t2
I) liefert t = a1 (v1 − v2 ) Einsetzen in II) ergibt (nach einigem Rechnen)
√
Ergebnis: v1 = 18 m/s
s = 21a (v1 2 − v2 2 ) ⇐⇒ v1 = 2 a s + v2 2
Nr. 3
geg.: s = 100 m ; t1 = 10.4 s ; s = sa + sb mit sa = sb = 50 m
ges.: v und a
Lsg.: Es gelten I) sa = 21 v t0 und II) sb = v (t1 − t0 ) (aus v-t-Diagramm)
I) liefert t0 = 2 vsa In II) einsetzen ergibt v = 2 sat1+sb
Ergebnis: v ≈ 14.42 m/s ; t0 ≈ 6.93 s ; a ≈ 2.08 m/s2
Nr. 4
geg.: s = 5 km ; t1 = 20 min ; t2 = 10 min
ges.: Windgeschwindigkeit vW
Lsg.: I) s = v1 t1 = (vf − vw ) t1 und II) s = v2 t2 = (vF + vW ) t2
Zusammen vW = 2s ( t12 − t11 )
Ergebnis: vW = 7.5 km/h
Nr. 5
geg.: F = 2000 N ; m = 500 kg ; α = 15◦
ges.: Beschleunigung a
Lsg.: Fres = F − FH = F − m g sin α und Fres = m a
F
res
Ergibt a = Fm
=m
− g sin α
Ergebnis: a ≈ 1.46 m/s2
Nr. 6
geg.: Links m1 = 0.3 kg und rechts m2 = 0.32 kg
ges.: Beschleunigung a und m3 für doppeltes a
Lsg.: mges = m1 + m2 ; Fges = F2 − F1 = (m2 − m1 ) g ; Fges = mges a
Fges
1) g
Ergibt a = m
= (mm21−m
Ergebnis: a ≈ 0.32 m/s2
+m2
ges
Doppeltes a, wenn m2 durch m3 ersetzt wird: (m1 + m3 ) 2 a = (m3 − m1 ) g
g+2 a
m3 = m1 ( g−2
)
Ergebnis: m3 ≈ 0.34 kg
a
Nr. 7
geg.: y0 = 1.5 m ; xmax = 4 m ; ϕ = 0◦
ges.: tges ; v0 ; α
q
Lsg.: Aus ϕ = 0◦ folgt v0y = 0 m/s und tges = 2 gy0
Ergebnis: tges ≈ 0.55 s
Ergebnis: v0 ≈ 7.23 m/s
xmax = v0x tges ⇐⇒ v0 = v0x = xtmax
ges
√
y0 g
y0
ges
ges )
= gvt0x
= 2v0x
= x2max
⇐⇒
tan α = vvxy (t
(tges )
◦
tan α = 0.75
Ergebnis: α ≈ 36.87
Nr. 8
geg.: y0 = 4 m ; ϕ = 20◦ ; v0 = 2.2 m/s
ges.: xmax
Lsg.: v0y = v0 sin
ϕ und v0x = v0 cos ϕ
q
1
tges = g (v0y ± v0y 2 + 2 g y0 ) ⇐⇒ tges ≈ 0.98 s
xmax = v0x tges
Ergebnis: xmax ≈ 2.03 m
Nr. 9
geg.: v0 = 18 m/s ; xP = 6 m ; yP = 12 m
ges.: ϕ
Lsg.: v0y = v0 sin ϕ und v0x = v0 cos ϕ
Es gelten I) xP = v0 cos ϕ tP und II) yP = v0 sin ϕ tP − 12 g tP 2
q
√
I) liefert cos ϕ = vx0Ptp und damit sin ϕ = 1 − cos2 ϕ = 1 − ( vx0 PtP )2
In II) einsetzen
yP = v0
q
1 − ( vx0 PtP )2 tP − 21 g tP 2
⇐⇒
2
yP 2 + yP g tP 2 + 14 g 2 tP 4 = v0 2 (tP 2 − xvP0 2 ) ⇐⇒
2
2
( g4 ) tP 4 + (g yP − v0 2 ) tP 2 + (y
+ xP 2 ) = 0 ⇐⇒
qP
(tP 2 )1,2 = g22 (v0 2 − g yP ) ± (v0 2 − g yP )2 − g 2 (yP 2 + xP 2 )
(tP 2 )1 ≈ 7.588 s2 oder (tP 2 )2 ≈ 0.986 s2 ⇐⇒
tP,1 ≈ 2.755 s oder tP,2 ≈ 0.993 s
cos ϕ = vx0 PtP
liefert die beiden
Ergebnisse: ϕ1 ≈ 83.05◦ oder ϕ2 ≈ 70.39◦
⇐⇒
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Lösungen zum 2. Aufgabenblatt
zur Vorlesung PHYSIK I für Maschinenbauer / Wirtschaftingenieure
Nr. 1
geg.: m = 800 kg ; fgl = 0.5 ; v0 = 30 km/h (bzw. 50 km/h)
ges.: Fgl ; a ; Bremszeit t ; Bremsweg s
Lsg.: Fgl = fgl FN = fgl m g =⇒ Ergebnis: Fgl = 3924 N
a = fgl g =⇒
t = v0 /a =⇒
s = v0 t − 12 a t2
Ergebnis: a = 4.905 m/s2
Ergebnis: t ≈ 1.70 s (bzw. 2.83 s)
=⇒ Ergebnis: s ≈ 7.08 m (bzw. 19.66 m)
Nr. 2
geg.: ϕ = 18◦ ; fgl = 0.4 ; s = 6 m
ges.: v0
Lsg.: Kraft beim Bremsen Fres = Fgl − FH = fgl m g cos α − m g sin α
res
Bremsbeschleunigung a = Fm
= g (fgl cos α − sinqα)
√
2
v0
t = v0 /a liefert s = 2·a ⇐⇒ v0 = 2 a s = 2 g s (fgl cos α − sin α)
b 10.44 km/h)
Ergebnis: v0 ≈ 2.90 m/s (=
Nr. 3
geg.: Masse des Wagens mW = 1200 kg ; Anteil der Antriebsräder ist 0.6 ;
Masse des Anhängers mA = 400 kg ; fh = 0.65 ; fgl = 0.5
ges.: a) a bei ϕ = 0◦ ; b) a bei ϕ = 10◦ abwärts ; c) a bei ϕ = 5◦ aufwärts
d) Winkel ϕ, für den a = 0 m/s2 ist
Lsg.: a) Fres = Fh − Fgl = g (fh 0.6 mW − fgl mA ) und a = mWFres
+mA
2
1
a = mW +m
g
(f
0.6
m
−
f
m
)
Ergebnis:
a
≈
1.64
m/s
h
W
gl
A
A
b) Fres = FH + Fh − Fgl =g ((mW + mA ) sin ϕ + fh 0.6 mW cos ϕ − fgl
m cos ϕ)
A
mA
0.6 mW
a = Fres /(mW + mA ) = g sin ϕ + mW +mA fh cos ϕ − fgl mW +mA cos ϕ
Ergebnis: a ≈ 3.32 m/s2 bergab
c) Fres = Fh − FH − Fgl =g (fh 0.6 mW cos ϕ − (mW + mA ) sin ϕ − fgl mA cos ϕ)
mW
A
a = Fres /(mW + mA ) = g fh m0.6
cos ϕ − sin ϕ − fgl mWm+m
cos ϕ
W +mA
A
2
Ergebnis: a ≈ 0.78 m/s bergauf
d) Bedingung: Fres = 0 N, d.h. Fh = FH + Fgl ⇐⇒
sin ϕ
1
tan ϕ = cos
= mW +m
(fh 0.6 mW − fgl mA )
Ergebnis: ϕ ≈ 9.51◦
ϕ
A
Nr. 4
geg.: v = 50 m/s ; r = 20 m
ges.: Winkelgeschw. ω ; Drehfrequenz n ; Umlaufdauer T
Ergebnis: ω = 2.5 1s
Lsg.: v = ω r ⇐⇒ ω = vr
T = 2ωπ
n = T1
Nr. 5
Ergebnis: T ≈ 2.51 s
Ergebnis: n ≈ 0.40 1s
geg.: T = 24 h = 86400 s ; r = 6370 km ; m = 75 kg ; ϕ = 0◦ (bzw. 50◦ )
ges.: Zentripetalkraft Fz
Lsg.: Fz = m ω 2 r = m
Bei uns:
Fz = m cos ϕ
2π
T
2
2π
T
r
2
Ergebnis:
r
Ergebnis:
Fz ≈ 2.53 N (am Äquator)
Fz ≈ 1.62 N (in Mitteleuropa)
Nr. 6
geg.: rE = 6370 km ; s = 1000 m ; T = 86400 s
ges.: Abweichung ∆x
q
Lsg.: s = 12 g t2 ⇐⇒ Fallzeit t = 2gs
vx,oben = ω rE ; vx,unten
= ω (rE − s) ; ∆v = vx,oben − vx,unten = ω s
q
2π
∆x = ∆v t = ω s t = T s 2gs
Ergebnis: ∆x ≈ 1.04 m
Nr. 7
geg.: tges = 10 s ; Gesamtzahl der Umdrehungen 280 ; t1 = 5 s
ges.: Drehzahl n
Lsg.: Aus dem n-t-Diagramm sieht man: 280 = 12 n t1 + n (tges − t1 )
1
280 = 32 n (5 s) ⇐⇒ n = 2·280
Ergebnis: n = 37.3 1s = 2240
3·5 s
Nr. 8
1
min
geg.: r = 1 km ; v = 306 km/h = 85 m/s
ges.: Neigungswinkel α
Lsg.: Der Wagen spürt in der Kurve (zusätzlich zur Gewichtskraft) die zur Zentripetalkraft entgegengesetzte Fliehkraft Fzf , Zentrifugalkraft genannt. Sie ist gleich groß wie
die Zentripetalkraft Fz .
Reibung ist nicht vorhanden, wenn gilt:
2
−→ −
→ −→
F
v2
Fzf + FG = FN
⇐⇒
tan α = Fzf
= ω g·r = r·g
G
Ergebnis: α ≈ 36.37◦
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Dipl.-Phys. F. Schmidt
- Elektrotechnik / Informationstechnik -
Lösungen zum 3. Aufgabenblatt
zur Vorlesung PHYSIK I für Maschinenbauer / Wirtschaftingenieure
Nr. 1
geg.: t2 = t1 + ∆t mit ∆t = 2 s ; Ekin,2 = 2 Ekin,1
ges.: h1 und h2
Lsg.: Ekin,2 = 2 Ekin,1 ⇐⇒ 12 m v2 2 = m v1 2 ⇐⇒ v2 2 = 2 (v1 )2
v = g t liefert t2 2 = 2 t1 2 ⇐⇒ (t1+ ∆t)2 = 2 t1 2 ⇐⇒
√
0 = t1 2 − (4 s) · t1 − (4 s)2 ⇐⇒ t1 = 2 + 8 s
h1 = 21 g t1 2 ; h2 = 12 g (t1 + ∆t)2
Ergebnis: h1 ≈ 114.35 m ; h2 ≈ 228.71 m
Nr. 2
geg.: s = 200 m ; tan ϕ = 0.04 ; µ = 0.03
ges.: Strecke x
Lsg.: Energieerhaltung liefert, dass die Differenz der Lageenergien gerade in Reibungsarbeit umgesetzt wurde: Epot,vorher = Epot,nachher + WReib
⇐⇒
m g (s − x) sin ϕ = µ m g (s + x) cos ϕ ⇐⇒
ϕ−µ
(s − x) sin ϕ = (s + x) µ cos ϕ ⇐⇒ x = s tan
Ergebnis: x ≈ 28.60 m
tan ϕ+µ
Nr. 3
geg.: s = 10 m ; p = 500 kg m/s ; E = 250 J
ges.: Kraft F ; Masse m
Lsg.: Es gelten p = m v und E = 12 m v 2
2
2
Zusammen: E = 2pm ⇐⇒ m = 2pE
Ergebnis:
E
E = F s ⇐⇒ F = s
Ergebnis: F = 25 N
Nr. 4
geg.: h1 = 6 m ; p1 = 20 kg m/s ; Ekin = 400 J
ges.: Masse m ; gesamte Fallhöhe h
Lsg.: Aus p = m v ; v = g t und h = 12 g t2
m = pv1 = gpt1 = √ p1
Ergebnis: m = 500 kg
1
Ekin = Epot
m = 500 kg
folgt
2 h1 g
⇐⇒
Ekin = m g h
⇐⇒
h=
Ekin
mg
Ergebnis:
h ≈ 22.12 m
Nr. 5
geg.: m1 = 0.12 kg ; m2 = 0.3 kg ; ESpann = 5 J
ges.: Geschwindigkeiten v1 und v2
m1 v1 + m2 v2 = 0 ⇐⇒
Lsg.: Impulserhaltung:
1
Energieerhaltung: E = 2 m1 v1 2 + 21 m2 v2 2 ⇐⇒
v1 =
v2 =
Nr. 6
q
2 E m2
m1 m2 +m1 2
1
−m
v
m2 1
1
v
v2 = − m
m2 1 1
E = 2 m1 v1 2 1 +
m1
m2
⇐⇒
Ergebnis: v1 ≈ 7.72 m/s
Ergebnis: v2 ≈ −3.05 m/s
geg.: m1 = 0.01 kg ; m2 = 0.6 kg ; s = 5.5 m ; µ = 0.4
ges.: Geschwindigkeit v
Lsg.: Inelastischer Stoß, d.h. es gilt m1 v = (m1 + m2 ) u (u ist dabei die Geschwin1
digkeit direkt nach dem Stoß) ⇐⇒ u = v m1m+m
2
Energieerhaltung: Die kinetische Energie direkt nach dem Stoß geht in Reibungsarbeit
⇐⇒
über: 12 (m1 + m2 ) u2 = (m1 + m2 ) g µ s
√
√
2
2gµs
Ergebnis: v ≈ 401 m/s
u = 2 g µ s ⇐⇒ v = m1m+m
1
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Dipl.-Phys. F. Schmidt
- Elektrotechnik / Informationstechnik -
Lösungen zum 4. Aufgabenblatt
zur Vorlesung PHYSIK I für Maschinenbauer / Wirtschaftingenieure
Nr. 1
geg.: m = 8 kg ; J = 1.69 kg m2
ges.: Durchmesser d
Lsg.: J = 12 m r2
d=2
q
2J
m
mit
Ergebnis:
r=
d
2
folgt
J = 21 m
2
d
2
⇐⇒
d ≈ 1.30 m
Nr. 2
geg.: l1 = 0.75 m
ges.: Verlängerung l = l2 − l1 , damit J sich verdoppelt
1
1
Lsg.: J1 = 12
m1 l1 2 und J2 = 12
m2 l2 2
Es gilt J2 = 2 J1 ⇔ m2 l2 2 = 2 m1 l2 2 und m2 = ll21 m1
√
Zusammen l2 3 = 2 l13 ⇐⇒ l2 = 3 2 l1 und mit l = l2 − l1
√
folgt l = l1 3 2 − 1
Ergebnis: l ≈ 0.195 m
Nr. 3
1
= 8.3 1s
geg.: m = 8 kg ; d = 0.5 m ; n = 500 min
ges.: Rotationsenergie ERot
Lsg.: ERot = 21 J ω 2 mit r = d/2 ; ω = 2 π n und
Folgt ERot = 14 m d 2 π 2 n2
Ergebnis: ERot ≈ 342.70 J
J = 12 m r2
Nr. 4
1
geg.: ri = 0.5 m ; ra = 0.6 m ; n = 500 min
= 8.3 1s ; t1 = 30 s ; P1 = 12 kW
ges.: a) Masse m und b) t2 bei P2 = 3 kW
Lsg.: a) Es gilt J = 12 m (ri 2 + ra 2 ) ; ERot = 21 J ω 2 ; ERot = P1 t1 ; ω = 2 π n
Folgt P1 t1 = 14 m (ri 2 + ra 2 ) · (2 π n)2 ⇐⇒ m = (ri 2 +rPa12t)1 π2 n2
Ergebnis: m ≈ 861.06 kg
b) ERot = P2 · t2 = P1 · t1 ⇔ t2 = PP1 ·t2 1 Ergebnis: t2 = 120 s = 2 min
Nr. 5
geg.: Stab der Masse m und Punktmasse m obendrauf ; v = 3 m/s
ges.: Stablänge l
Lsg.: Die potentielle Energie vom Stab (sein Schwerpunkt ist auf halber Höhe) und der
Punktmasse gehen über in Rotationsenergie von Stab und Punktmasse
Epot = m g l + m g 2l = 32 m g l ; ERot = 12 J ω 2
Gleichsetzen Epot = ERot mit J = JStab + JP unkt = 13 m l2 + m l2 = 43 m l2
und ω = vl folgt 32 m g l =
Ergebnis: l ≈ 0.41 m
1 4
2 3
m l2
2
v
l
⇐⇒
l=
4 v2
9g
Nr. 6
1
= 66.6 1s ; J = 0.04 kg · m2 ; t = 15 s
geg.: n = 4000 min
ges.: Drehmoment M
Lsg.: M = J α mit α = ω̇ = 2 πt n
Folgt M = J 2 πt n
Ergebnis: M ≈ 1.117 Nm
Nr. 7
1
geg.: M = 0.82 Nm ; t = 4.5 s ; n1 = 1500 min
= 25
ges.: Trägheitsmoment J
= 2 π (nt1 −n2 ) folgt
Lsg.: M = J α mit α = ∆ω
∆t
t
J = 2 π (nM1 −n
Ergebnis: J ≈ 0.032 kg · m2
2)
Nr. 8
M =J
1
min
= 6.6
2 π (n1 −n2 )
t
1
s
⇐⇒
n ≈ 0.762
1
s
=
ˆ 45.71
1
min
geg.: Stab der Länge l = 0.8 m ; l1 = 0.2 m
ges.: Periodendauer T des physikalischen Pendels
Lsg.: Abstand vom Schwerpunkt zum neuen Drehpunkt s = 0.2 q
m
Jges
1
2
2
Gesamtträgheitsmoment Jges = 12 m l + m s
und T = 2 π m
gs
r
T = 2π
Nr. 10
; n2 = 400
geg.: m1 = 12 kg ; d1 = 0.6 m ; n1 = 0 1s ;
1
m2 = 8 kg ; d2 = 0.4 m ; n2 = 200 min
= 3.3 1s
ges.: gemeinsame Drehzahl n
Lsg.: Drehimpulserhaltung, d.h. Gesamtdrehimpuls vorher ist gleich dem Gesamtdrehimpuls nachher: Lvorher = Lnachher ⇐⇒ J2 ω2 = (J1 + J2 ) ω
mit ω = 2π n und J = 21 m r2 folgt
2
m2 d2 2 n2 = m1 d1 2 + m2 d2 2 n ⇐⇒ n = n2 · m1 d1m22+d2m2 d2 2
Ergebnis:
Nr. 9
1
s
1
12
m l2 +m s2
mgs
r
= 2π
1 2
l +s2
12
Ergebnis:
gs
1
= 0.53
geg.: m = 20 kg ; n = 32 min
ges.: J bzgl. des Schwerpunktes
Lsg.: Jges = J + m e2
2
und
J = Jges − m e = m e g
1
n2π
1
=
n
2
1
s
T ≈ 1.37 s
; e = 0.8 m
T = 2π
q
Jges
mge
⇐⇒
−e
Ergebnis:
Jges = m g e
J ≈ 1.18 kg · m2
1
n2π
2
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Dipl.-Phys. F. Schmidt
- Elektrotechnik / Informationstechnik -
Lösungen zum 5. Aufgabenblatt
zur Vorlesung PHYSIK I für Maschinenbauer / Wirtschaftingenieure
Nr. 1
geg.: f = 0.8 Hz ; yb = 0.1 m
ges.: v im Nulldurchgang und y bei v = 0.25 m/s
Lsg.: y(t) = yb sin(ωt) mit ω = 2 π f ; v(t) = yb(t) = ω yb cos(ωt) ergibt
v(0s) ≈ 0.50 m/s ; v(t? ) = 0.25 m/s = ω yb cos(ωt? ) ⇐⇒ t? ≈ 0.21 s
y(t? ) = yb sin(ωt? ) ; Ergebnis: y(t? ) ≈ 0.087 m
Nr. 2
geg.: D = 100 N/m ; m = 0.8 kg ; yb = −0.04 m
ges.: Frequenz
f ; v und a bei y(t) = 0.03 q
m (positives y zeigt nach oben)
q
D
ω
1
D
Lsg.: ω = m und f = 2π ergibt f = 2π m
Ergebnis: f ≈ 1.78 1/s
y(t) = yb cos(ω t) ; v(t) = ẏ(t) = −ω yb sin(ω t) ; a(t) = ÿ(t) = −ω 2 yb cos(ω t)
y(t? ) = 0.03 m , d.h. − 34 = cos(ω t? ) ⇐⇒ ω t? ≈ 2.419 ⇐⇒ t? ≈ 0.216 s
Ergebnisse: v(t? ) ≈ 0.295 m/s ; a(t? ) = −3.75 m/s2
Nr. 3
geg.: y(0.2 s) = 0.04 m ; yb = 0.06 m
ges.: Frequenz f und Periodendauer T
Lsg.: y(t) = yb sin(ω t) ; f = 2ωπ ; T = f1
2
= sin(ω (0.02 s)) ⇔ ω ≈ 36.486 1/s ; Ergebnisse:
3
f ≈ 5.81 Hz ;
T ≈ 0.172 s
Nr. 4
geg.: yb = 0.05 m ; f = 0.4 Hz
ges.: t1 mit y(t1 ) = 0.008 m ; t2 mit y(t2 ) = 0.02 m ; t3 mit y(t3 ) = 0.04 m
Lsg.: ω = 2 π f ; y(t) = yb sin(ω t) ⇐⇒ y(tbyi ) = sin(ω ti )
Ergebnisse: t1 ≈ 0.064 s
t2 ≈ 0.164 s
t3 ≈ 0.369 s
Nr. 5
geg.: yb3 = 0.08 m ; yb4 = 0.07 m
Lsg.: k = bbyy34 = 78 ⇐⇒ yb1 = k 2 yb3
Nr. 6
geg.: Verhältnis
ges.: n , damit
ges.: yb1
; Ergebnis:
yb1 ≈ 0.10449 m
b
y10
= 21
b
y1
b
yn
1
≈ 10
b
y1
Lsg.: Von 1 zu 10 sind es 9 Schritte, d.h. es gilt
1
n−1
ybi = yb1 ·
i−1
1
k
1
und damit k = 2 9
Es folgt k n−1 = 10 ⇔
29
= 10 ⇔ n − 1 = ln 101 ⇔ n = 1 + 9 · lnln10
2
ln 2 9
Ergebnis: n ≈ 31 , d.h. bei der 31. Schwingung beträgt die Amplitude noch ca. 1/10
des Wertes der ersten Amplitude
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- Elektrotechnik / Informationstechnik -
Lösungen zum 6. Aufgabenblatt
zur Vorlesung PHYSIK I für Maschinenbauer / Wirtschaftingenieure
Nr. 1
a) geg.: Einfallswinkel α1 = 90◦
ges.: Brechungsindex n
α1
Lsg.: Snellius n = sin
und sin α1 = 1 ergibt n · sin β1 = 1
sin β1
(ebenso n·sin
β2 = 1 beiqder anschließenden Brechung an der Innenseite des Lichtleiters)
q
cos β1 = 1 − sin2 β1 = 1 − n12 und cos β1 = sin β2 ergibt zusammen:
q
√
√
n · 1 − n12 = 1 ⇐⇒
n2 − 1 = 1 ⇐⇒ n = 2
b) geg.: Brechzahl n = 1.33 ; β2 = 90◦
ges.: Grenzwinkel α1
α2
Lsg.: Snellius n = sin
und sin α2 = 1 ergibt sin β2 = n1
sin β2
Mit
1
n
und mit
= sin β2 = cos β1 =
q
1 − sin2 β1
sin α1 = n · sin β1 = n ·
q
1−
1
n2
q
folgt sin β1 = 1 − n12
√
= n2 − 1 ⇐⇒ α1 ≈ 61.30◦
Nr. 2
geg.: d = 750 nm ; n = 1.35
ges.: Wellenlängen aus dem sichtbaren Spektrum (ca. 380 nm bis 780 nm), die
a) ausgelöscht oder b) verstärkt werden
Lsg.: Auslöschung bei ∆s = λ2 (2k − 1) ; Verstärkung bei ∆s = k · λ ; k ∈ N
Der Gangunterschied beträgt ∆s = 2nd − 12 λ
a) Auslöschung bei ∆s = 12 λ ; 23 λ ; 25 λ etc., d.h. 2nd − 12 λ = λ2 (2k − 1) ⇔ λ = 2nd
k
Für k = 3 ; k = 4 ; k = 5 ergeben sich Wellenlängen λ, die im sichtbaren Spektrum
liegen: λk=3 = 675 nm , λk=4 = 506.25 nm , λk=5 = 405 nm
4nd
b) Verstärkung bei 2nd − λ2 = kλ ⇐⇒ λ = 2k+1
Für k = 2 ; k = 3 ergeben sich Wellenlängen λ, die im sichtbaren Spektrum liegen:
λk=2 ≈ 578.57 nm , λk=3 = 450 nm
Nr. 3
geg.: n = 1.5
ges.: Einfallswinkel α1 so, dass Ausfallswinkel α2 mit α2 + α1 = 90◦
α1
Lsg.: Brechungsgesetz von Snellius: n = sin
; mit α2 = 90◦ − α1 folgt
sin α2
sin α1
sin α2 = cos α1 und damit n = cos
= tan α1 = 1.5 ⇐⇒ α1 ≈ 56.31◦
α1
Nr. 4
geg.: n2 = 1.33 ; h = 12 m
ges.: Durchmesser d des Kreises, unter dem der Horizont zu sehen ist
Lsg.: Es liegt Totalreflexion vor, d.h. Lichtstrahlen, die vom Horizont aus die Grenzschicht Luft-Wasser treffen (Einfallswinkel α1 = 90◦ ), treffen unter Ausfallswinkel α2
α1
Mit n1 = 1 und sin α1 = 1 folgt
den Taucher. Snellius liefert nn12 = sin
sin α2
1
◦
= 1.33 ⇐⇒ α2 ≈ 48.75 ; d = 2 · r = 2 · h · tan α2 ≈ 27.37 m
sin α2
Nr. 5
geg.: ∆f = f2 − f1 = 400 Hz ; cSchall = 340 m/s
ges.: Länge l der gedackten Pfeife
Lsg.: Für die harmonischen Schwingungen gilt fn =
c
∆f = f2 − f1 = 2cl ⇐⇒ l = 2 ∆f
= 0.425 m
3c
5c
f1 = 4 l = 600 Hz und f2 = 4 l = 1000 Hz
(2n+1) c
4l
Nr. 6
geg.: l = 0.4 m ; f1 = 1222 Hz ; f2 = 1634 Hz
ges.: Schallgeschwindigkeit cSchall als Mittelwert
Lsg.: Bei f1 4 Knoten, d.h. 32 · λ1 = l und bei f2 5 Knoten, d.h. 2 · λ2 = l
Mit c = λ · f folgt c1 = 32 · f1 · l ≈ 325.87 m/s bzw. c2 = 21 · f2 · l = 326.8 m/s
Der Mittelwert dieser beiden Werte ist dann 326.3 m/s
Nr. 7
geg.: ∆s = 0.03 m ; l = 0.3 m ; c = 340 m/s (in Luft)
ges.: cM essing
Lsg.: Messingstab schwingt in Grundschwingung mit 2 offenen Enden, d.h. λ2M = l
c
Folgt f = λcM
= c2Ml
In der Röhre gilt ebenso λ2 = ∆s und f = 2 ∆s
M
c
l
⇐⇒ cM = c · ∆s
= 3400 m/s
Vergleich ergibt c2Ml = 2 ∆s
Nr. 8
geg.: fQ = 1500 Hz ; vQ = 120 km/h = 33.3 m/s ; c = 340 m/s
ges.: fB1 (Quelle bewegt sich auf Beobachter zu) bzw. fB2 (vom Beobachter weg)
f
f
Lsg.: fB1 = 1−QvQ ≈ 1663.047 Hz bzw. fB2 = 1+QvQ ≈ 1366.07 Hz
c
c
Nr. 9
geg.: fQ = 440 Hz ; vB = 100 km/h = 27.7 m/s ; c = 340 m/s
ges.: fB1 (Beobachter
bewegt
sich auf Quelle zu) bzw. fB2 (von
derQuelle weg)
vB
Lsg.: fB1 = fQ · 1 + c ≈ 475.95 Hz bzw. fB2 = fQ · 1 − vcB ≈ 404.05 Hz
Nr. 10
geg.: f1 /f2 = 4/3 ; c = 340 m/s
ges.: vQ
v
fQ ·(1+ Q )
Lsg.: 43 = ff12 = f · 1− vcQ
⇐⇒ 4 · (c − vQ ) = 3 · (c + vQ )
Q (
c )
vQ = 17 · c Ergebnis: vQ ≈ 48.57 m/s ≈ 174.86 km/h
⇐⇒
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- Elektrotechnik / Informationstechnik -
Lösungen zum 7. Aufgabenblatt
zur Vorlesung PHYSIK I für Maschinenbauer / Wirtschaftingenieure
Nr. 1
geg.: Durchmesser der Linse d1 = 7 cm ; Durchmesser des Bildes d2 = 5 cm ; Abstand
Linse-Schirm e = 4 cm
ges.: Brennweite f
f
1 ·e
Lsg.: Strahlensatz liefert dd21 = f −e
⇐⇒ d1 · (f − e) = d2 · f ⇐⇒ f = d1d−d
2
Ergebnis: f = 14 cm
f
1 ·e
Oder: dd12 = e−f
⇐⇒ d1 · (e − f ) = d2 · f ⇐⇒ f = d1d+d
2
Ergebnis: f = 2.3 cm
Nr. 2
geg.: Gegenstandshöhe G = 18 mm ; Bildhöhe B = 2.5 m ; Bildweite b = 35 m
ges.: Brennweite f
Lsg.: Es gelten B
= gb = 2500
und f1 = g1 + 1b
G
18
18
+ 1b = 2518
⇐⇒ f = 2518
·b
Ergebnis: f ≈ 250.2 mm
Zusammen f1 = 2500
18·b
18·b
Nr. 3
geg.: Abstand Erde-Mond bM = 384400 km ; Monddurchmesser dM = 3480 km ; deutliche Sehweite s0 = 0.25 m
ges.: Kreisdurchmesser d
Lsg.: Strahlensatz liefert ddM = bsM0
⇐⇒ d = dM · bsM0
Ergebnis: d ≈ 2.26 mm
Nr. 4
geg.: Brennweite f = 0.5 m ; Bildhöhe B = 0.18 m ; Gegenstandsweite g = 4000 m
ges.: Gegenstandshöhe G und damit
die
abgebildete Fläche G 2
Lsg.: f1 = g1 + 1b liefert 1b = f1 − g1
und damit G = gb · B = g · f1 − g1 · B
Ergebnis: G ≈ 1439.82 m und Fläche G 2 ≈ 2.073 km2
Nr. 5
geg.: deutliche Sehweite eines gesunden Auges s0 = 0.25 m ;
Kurzsichtiger s1 = 0.18 m ; Weitsichtiger s2 = 0.6 m
ges.: Jeweilige Brennweite fBrille (bzw. Brechkraft DBrille ) einer benötigten Brille
1
1
Lsg.: Linsensystem: fges
= f10 + fBrille
(mit f0 als Brennweite des gesunden Auges)
1
1
1
krankes Auge ohne Brille: f10 = b11 + s11 (∗)
gesundes Auge: f0 = b0 + s0
1
1
krankes Auge mit Brille: fges
= b11 + s10 ⇐⇒ f10 + fBrille
= b11 + s10 ⇐⇒
1
1
1
= b11 + s10 − fBrille
Vergleich mit (∗) liefert b11 + s11 = b11 + s10 − fBrille
⇐⇒
f0
−1
1
DBrille = fBrille
= s10 − s11 ⇐⇒ fBrille = s10 − s11
Ergebnisse: Kurzsichtig: DBrille = −1.5 m1 ; fBrille ≈ −0.643 m
Weitsichtig: DBrille = 2.3
Nr. 6
1
m
; fBrille ≈ 0.429 m
geg.: Objektivbrennweite fOb = 1 m ; Vergrößerung V = 20
ges.: Okularbrennweite fOk bzw. Verlängerung, damit ein g = 25 m entfernter Gegenstand scharf abgebildet wird
Ob
Lsg.: Vergrößerung V = ffOk
⇐⇒ fOk = fVOb
Ergebnis: fOk = 0.05 m
−1
1
− g1
= 25
m liegt.
Mit g = 25 m folgt, dass das Zwischenbild bei b = fOb
24
1
Der Abstand der beiden Linsen muss also um 24
m ≈ 0.0412 m vergrößert werden.
Nr. 7
geg.: Brennweite Objektiv f1 = 3 mm ; Brennweite Okular f2 = 50 mm ; Abstand
Objektiv-Okular 143 mm
ges.: Bildweite des Zwischenbildes bz ; Gegenstandsweite g ; Vergrößerung V
Lsg.: Das Zwischenbild muss in der Brennebene des Okulars erscheinen, d.h. (vom Objektiv aus gemessen) bz = 143 mm − 50 mm = 93 mm
Gegenstandsweite g mit g1 = f11 − b1z ⇐⇒ g = 3.1 mm
Vergrößerung V = bgz · fs02 = 30 · 5
Ergebnis: V = 150
Nr. 8
geg.: Beugung am Gitter mit Gitterkonstante g ; 2. Max. mit λ1 = 700 nm und 3. Max.
mit λ2 = 400 nm
ges.: Nachweis, dass die beiden Maxima sich überlappen
Lsg.: Für das k. Maxima gilt g · sin α = k · λ d.h. für die beiden Max. gilt
k = 2 : sin α = 1400gnm und k = 3 : sin α = 1200gnm
und damit 1400 nm > 1200 nm d.h. größerer Winkel α und damit Überlappung
Nr. 9
geg.: Welllenlängen λ1 = 350 nm und λ2 = 750 nm ; Brennweite f = 1.5 m ; Abstand
a2 − a1 = 0.06 m
ges.: Gitterkonstante g
folgt
Lsg.: Mit g · sin α = k · λ und der Näherung für kleine α: sin α = tan α
f
λ1
a1
λ2
a2
λ2 −λ1
= f
und
= f
⇐⇒
a2 − a1 = g · (λ2 − λ1 ) ⇐⇒ g = f · a2 −a1
g
g
Ergebnis: g = 0.01 mm
Fachhochschule Pforzheim
Dipl.-Phys. F. Schmidt
- Elektrotechnik / Informationstechnik -
Lösungen zum 8. Aufgabenblatt
zur Vorlesung PHYSIK I für Maschinenbauer / Wirtschaftingenieure
Für Wasser gilt:
Allgemein gilt:
c = 4.18 kJ/(kg · K)
b 273.15 K
0 ◦C =
;
; r = 2257 kJ/kg ; s = 332 kJ/kg
R = 8.31 J/(mol · K) ; NA = 6.022 · 10 23
1
mol
Nr. 1
geg.: ideales Gas mit V = 1 cm3 = 1 · 10−6 m3 ; T = 15 ◦ C = 288.15 K ; p = 1 · 10−6 Pa
ges.: Zahl der Moleküle
Lsg.: Gleichung fürs ideale Gas p · V = n · R · T
p ·V
≈ 4.18 · 10−16 mol
Mit n (Teilchenzahl in mol) folgt n = R·T
1
Dies entspricht n · NA ≈ 4.18 · 10−16 · 6.022 · 10 23 mol
≈ 2.52 · 10 8 Teilchen in 1 cm3
Nr. 2
geg.: p1 = 7 MPa = 7 · 106 Pa ; V1 = 40 l = 4 · 10−2 m3 ; p2 = 100 kPa = 1 · 105 Pa ;
V2 = 80 l = 8 · 10−2 m3
ges.: px , d.h. der in der Flasche verbleibende Druck
1 ·V1
2
Lsg.: Stoffmenge vorher in der Flasche: n1 = pR·T
; rausgelassen: n2 = pR2 ·V
·T
1
x ·V1
damit bleibt in der Flasche: n1 − n2 = R·T
· (p1 · V1 − p2 · V2 ) = pR·T
⇐⇒
V2
px = p1 − p2 · V1 = 6.8 MPa
Nr. 3
geg.: mB = 45 kg ; VB = 160 m3 ; Ta = 283.15 K ; p = 97 kPa = 9.7 · 104 Pa ;
Molmasse von Luft 28.975 g
ges.: Ti , damit der Ballon fliegt
Lsg.: allgemeine Gasgleichung: p · V = n · R · T
p·V
Stoffmenge der Luft im Ballon bei 10 ◦ C: n = R·T
≈ 6596 mol
g
Die Masse dieser Stoffmenge ist ca. 6596 mol · 28.975 mol
≈ 191.11 kg
Die Masse der erhitzten Luft muss um 45 kg geringer sein,
d.h. mi ≈ 146.11 kg, dies ergibt ni ≈ 5043 mol
b 97.20 ◦ C)
≈ 370.35 K (=
Hieraus folgt Ti ≈ np·V
i ·R
Nr. 4
geg.: V1 = 200 l (d.h. m1 = 200 kg); ϑ1 = 65 ◦ C ; ϑ2 = 5 ◦ ; ϑM = 45 ◦ C
ges.: m2
Lsg.: Ansatz cW · m1 · (ϑ1 − ϑM ) = cW · m2 · (ϑM − ϑ2 ) ⇔ m2 = m1 ·
Ergebnis: m2 = 100 kg
ϑ1 −ϑM
ϑM −ϑ2
Nr. 5
geg.: m1 = 1 kg ; ϑ1 = 0 ◦ C ; m2 = 5 kg ; ϑ2 = 40 ◦ C
ges.: Mischungstemperatur ϑM
Lsg.: Ansatz cW · m1 · (ϑM − ϑ1 ) + s · m1 = cW · m2 · (ϑ2 − ϑM )
ϑM = cW ·(m11 +m2 ) · (cW · m1 · ϑ1 + cW · m2 · ϑ2 − s · m1 ) ≈ 20.10 ◦ C
⇐⇒
Nr. 6
J
geg.: cCu = 0.385 g·K
; mCu = 63 g ; mW = 300 g ; ϑW = 18 ◦ C ; ϑmisch = 37 ◦ C
ges.: ϑCu
Lsg.: aufgenommene Energie gleich abgegebener Energie, d.h. Qauf = Qab ⇐⇒
cW · mW · (ϑmisch − ϑW ) = cCu · mCu · (ϑCu − ϑmisch ) ⇐⇒
W ·mW
ϑCu = ϑmisch + ccCu
· (ϑmisch − ϑW ) ≈ 1019.31 ◦ C
·mCu
Nr. 7
kJ
geg.: m1 = 6 kg ; ϑ1 = 1200 ◦ C ; c1 = 0.5 kg·K
; mW = 3 kg ; ϑW = 20 ◦ C
ges.: mDampf
Lsg.: aufgenommene Energie gleich abgegebener Energie, d.h. Qauf = Qab
c1 · m1 · (ϑ1 − 100 ◦ C) = cW · mW · (100 ◦ C − ϑW ) + r · mDampf ⇐⇒
mDampf = 1r · (c1 · m1 · (ϑ1 − 100 ◦ C) − cW · mW · (100 ◦ C − ϑW )) ≈ 1.02 kg
Nr. 8
geg.: Teilchenzahl N = 6.474 · 10 20 ; V = 20 cm3 = 20 · 10−6 m3 ; Ekin = 5 J
ges.: Druck p und Temperatur T
6.474·1020
Lsg.: Aus N erhält man die Molzahl n = NNA = 6.022·10
≈ 1.075 · 10−3 mol
23 1
Mit
p=
Nr. 9
⇐⇒
Ekin = 23 · p · V = 23 · n · R · T folgt
2·U
2·U
≈ 166.7 kPa und T = 3·n·R
≈ 373.12 K
3·V
mol
geg.: T1 = 20 ◦ C = 293.15 K
ges.: Temperatur T2 , bei der sich die bei T1 vorh. Mol.geschw. verdoppelt hat
Lsg.: Ekinq= 12 · m · v 2 = 32 · k · T
v2
b 899.45 ◦ C)
= 2 = TT21 ⇔ T2 = 4 · T1 = 1172.6 K (=
v1
Fachhochschule Pforzheim
Dipl.-Phys. F. Schmidt
- Elektrotechnik / Informationstechnik -
Lösungen zu den Aufgaben zur
Klausurvorbereitung
zur Vorlesung PHYSIK I für Maschinenbauer / Wirtschaftingenieure
Nr. 1
a) geg.: Zuglänge l = 90 m ; Zuggeschwindigkeit vZ = 70 km/h = 19.4 m/s ; seitliche
Ablenkung des Rauchs d = 30 m
ges.: Windgeschwindigkeit vW
Lsg.: Das Verhältnis der Strecken l/d ist gleich dem Verhältnis der Geschwindigkeiten
b 6.481 m/s
vZ /vW , d.h. dl = vvWZ
⇔ vW = vZ · dl = vZ · 13 = 23.3 km/h =
b) geg.: Abwurfhöhe h = 4 m ; seitliche Wurfweite x = 8 m ; Wurfweite in Zugrichtung
y = 20 m
ges.: Zuggeschwindigkeit vZ ; Abwurfgeschwindigkeit v0 ; Auftreffgeschwindigkeit v
q
Lsg.: Zur Seite liegt ein waagerechter Wurf vor, d.h. es gelten h = 21 g t2 ⇔ t = 2gh
und x = v0 t ; in Zugrichtung liegt eine gleichf. Bew. vor, d.h. es gilt y = vZ t
q
q
Damit folgt vZ = yt = y 2gh ≈ 79.73 km/h und v0 = xt = x 2gh ≈ 31.89 km/h
Die Auftreffgeschw.
v ergibt sich aus dem Pythagoras aus allen 3 Geschwindigkeiten
q
2
2
v = v0 + vZ + (g · t)2 ≈ 91.60 km/h
Nr. 2
geg.: Radius r = 10 m ; t = 20 s ; az = 10 g
ges.: Drehzahl n, Tangentialgeschwindigkeit v und Gesamtzahl der Umdrehungen N
nach 20 Sekunden ; Winkelbeschleunigung α
q
Lsg.: Aus der Zentripetalkraft FZ = m ω 2 r folgt aZ = ω 2 r = 10 g ⇔ ω = 10r g
Mit ω =
2π
T
= 2πn
⇐⇒
n=
ω
2π
=
1
2π
q
10 g
r
≈ 0.498
1
s
√
≈ 29.91
1
min
Tangentialgeschwindigkeit nach 20 Sekunden v = ω r = 10 g r ≈ 31.32 m/s
Winkelbeschleunigung ω = α t ⇐⇒ α = ωt ≈ 1.5664 1/s2
Gesamtzahl der Umdrehungen N = 12 n t ≈ 4.985
Nr. 3
geg.: m1 = 5 kg ; m2 = 2 kg ; α = 45◦ ; x(t = 0 s) = v(t = 0 s) = 0
ges.: Bewegungsgl. der Masse m1 ; Weg x und Geschw. v nach 3 Sekunden ;
Neue Bewegungsgl., wenn m1 eine Reibung mit Koeffizient µ erfährt
Lsg.: Gesamtkraft Fges = m1 g sin α − m2 g = mges a = (m1 + m2 ) a ⇐⇒
α−m2
a = g · m1msin
≈ 2.152 m/s2 ; Bew.gl.: v(t) = a t und x(t) = 12 a t2
1 +m2
Folgt quad x(3 s) ≈ 9.684 m und v(3 s) ≈ 6.456 m/s
Mit Reibung gilt Fges = m1 g sin α − µ m1 g cos α − m2 g = (m1 + m2 ) a ⇐⇒
cos α)−m2
a = g · m1 (sin α−µ
; v(t) und x(t) bleiben gleich.
m1 +m2
Nr. 4
geg.: nLuf t = 1 ; nW asser = 1.33 ; Tiefe s = 10 m
ges.: Welchen Teil des Himmels sieht der Taucher, ab welchem Sichtwinkel β sieht er
keinen Himmel mehr und welchen Durchmesser hat der helle Fleck über dem Taucher?
Lsg.: Der Taucher sieht den ganzen Himmel, da egal unter welchem Winkel zum Lot
die Lichtstrahlen parallel auf die Wasseroberfläche fallen immer mindestens ein Strahl
so gebrochen wird, dass er ins Auge des Tauchers fällt.
1
α
; mit α = 90◦ folgt sin β = nW asser
⇐⇒ β ≈ 48.75◦
Snellius: nW asser = sin
sin β
tan β = rs ⇔ r = s tan β und Kreisdurchmesser d = 2 r = 2 s tan β ≈ 22.81 m
Nr. 5
geg.: Brennweite f = 0.1 m ; Gegenstandsweite g = 0.4 m ; Gegenstandshöhe g = 0.1 m
ges.: Bildweite b ; Bildhöhe B ; Vergrößerung V
Lsg.: Abbildungsgleichung
= gb
Abbildungsmaßstab B
G
Vergrößerung V = B
= 13
G
1
f
= g1 + 1b ⇔ b = f1 − g1
⇔ B = G · gb = 0.03 m
−1
= 0.13 m
Nr. 6
geg.: fn = 1310 Hz ; fn+1 = 1834 Hz ; fn+2 = 2358 Hz ; cSchall = 330 m/s
ges.: Ein Ende offen oder beide geschlossen ; Grundfrequenz f0 ; Länge L der Pfeife
Lsg.: Abstand zweier benachbarter Resonanzfrequenzen ist ∆f = 524 Hz ; sowohl bei
c
halboffener als auch bei geschlossener Pfeife gilt ∆f = 2cL ⇔ L = 2 ∆f
≈ 0.315 m
Zieht man wiederholt 524 Hz ab, so landet man bei der Grundfrequenz f0 = 262 Hz ,
was für eine halboffene Pfeife spricht, da hier gilt f0 = 4cL = ∆f
2
Nr. 7
geg.: Gitterkonstante g = 4 µm = 4 · 10−6 m ; Wellenlänge λ = 550 nm = 5.5 · 10−7 m
ges.: Winkel α, unter dem das 2. Beugungsmaxima zu sehen ist
Lsg.: Gangunterschied beim 2. Max. beträgt ∆s = 2 λ
Mit sin α = ∆s
= 2gλ = 0.275 folgt α ≈ 15.96◦
g
Nr. 8
geg.: Vollzylinder hat Trägheitsmoment JV = 12 m r2 ; Hohlzylinder JH = m r2
ges.: Welcher rollt schneller eine schiefe Ebene herab und wie ist das Verhältnis der
Translationsgeschwindigkeiten zueinander?
Lsg.: Der Vollzylinder rollt schneller die schiefe Ebene herunter, da bei ihm relativ zum
Vollzylinder weniger Energie in der Rotation des Zylinders steckt und damit mehr Energie in die Translationsbewegung des Schwerpunkts geht (die Massen sind ja identisch).
Energieansatz ergibt:
Epot = Ekin,V + Erot,V = Ekin,H + Erot,H
Mit ω = vr folgt
1
2
m vV 2 + 21 JV
vV 2 m +
vV
vH
=
q
4
3
JV
r2
vV
r
2
= 21 m vH 2 + 12 JH
= vH 2 m +
≈ 1.15
JH
r2
⇐⇒
vH
r
2
vV 2 32
⇐⇒
m = vH 2 2 m
⇐⇒
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