magnetostatik - Fakult at f ur Physik

Kapitel 7
MAGNETOSTATIK
Magnetismus ist schon seit dem Altertum bekannt, aber ein Grundgesetz ließ
sich lange nicht angeben. Beobachtung: Es gibt keine freien magnetischen Ladungen. Jeder Magnet besitzt einen Nord und einen Südpol, ungleichnamige
Pole ziehen sich an.
Oersted 1820: Magnetnadel wird durch elektrischen Strom beeinflußt.
Ampere 1820: Hypothese: Magnetismus wird durch inneratomare Ströme hervorgerufen.
Alle magnetischen Erscheinungen sind Ausdruck bewegter Ladungen.
Magnetostatik erscheint dann als widersprüchlich.
Magnetostatik bedeutet: Magnetismus stationärer Ströme.
7.1
Lorentz-Kraft
!
"
! + !v × B
!
F! = q E
(7.1)
Die Dimension für B ergibt sich damit als
[B] =
N ·s
V A s2
V ·s
= [T esla]
= 2
=
m·C
m ·C
m2
1 T = 104 Gauss
→
Supraleitende Spulen erreichen Magnetfelder im Bereich einiger T esla.
Das Erdmagnetfeld beträgt etwa 0.5 Gauss.
Wir berechnen die magnetische Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiter
mit dem Querschnitt A. Die Dichte der Ladungsträger ist N .
Die Kraft auf den Draht pro Längeneinheit ist
!
"
! ∆V
∆F! = N q !v × B
!
"
! A ∆L
!j × B
=
!
"
! ∆L
=
I! × B
!
"
$
Daraus schließen wir: die Kraft hängt nur vom
Gesamtstrom ab, der Mechanismus des Ladungstransportes ist irrelevant.
57
! #
!
58
KAPITEL 7. MAGNETOSTATIK
Elektronenstrahl: nach Beschleunigung eines geladenen Teilchens über die
Potentialdifferenz U ergibt sich aus der Bedingung für die kinetische Energie
1
2
2 mv = eU für seine Geschwindigkeit
#
v = 2eU/m
(7.2)
"
In einem zu dieser Geschwindigkeit senkrechten Magnetfeld wirkt auf das Teilchen die
Lorentz-Kraft als Zentripetalkraft:
$
!
#
!
%
Bev = mv 2 /R
(7.3)
Damit ergibt sich der Krümmungsradius
$
1
m
R=
2U
(7.4)
B
e
Bei bekannter Teilchenenergie kann aus dem
Krümmungsradius e/m bestimmt werden
(Massenspektrometer). Bei schrägem Einschuß ins Magnetfeld ergibt sich eine Spiralbahn (Die Geschwindigkeitskomponente par! bleibt unbeeinflusst). Zur magneallel zu B
tischen Fokussierung von Elektronen in Fernsehbildröhre, Elektronenmikroskop.
"
"
#
!
!
$
%
"
Hall-Effekt: In einem Halbleiter mit dem Querschnitt b × d und der Dichte von
Ladungsträgern N fließt ein Strom I = j · b · d mit der Stromdichte j = N · e · v.
Durch ein senkrecht zum Strom angelegtes Magnetfeld werden Ladungsträger
zur Oberfläche des Materials abgelenkt und es baut sich eine Potentialdifferenz,
die Hallspannung auf.
Ein Gleichgewicht zwischen der Lorentzkraft
und dem Gegenfeld durch die Hallspannung
stellt sich ein (im folgenden verwenden wir die
Kraft pro Volumeneinheit)
!
"
! = !j × B
!
F!L = N e !v × B
&
F!C
Uhall
! hall = F!L
= N eE
! hall · !b = I |B|
= E
Ne d
Bei bekannter Dichte N der freien Ladungsträger, die am Stromtransport teilnehmen,
und bekkannter Dicke d der Hallsonde kann
über die Hallspannung Uhall die Magnetfeldstärke bestimmt werden. Verwendet als
Magnetfeldsonde.
%
"
!
#
$
59
7.1. LORENTZ-KRAFT
Wien-Filter: Geschwindigkeitsfilter durch Kombination von elektrischem Feld
und dazu senkrechtem magnetischen Feld. Nur für eine bestimmte Kombination
!
von E und B Feld durchfliegen Teilchen einer Geschwindigkeit das Filter ohne abgelenkt zu wer!
den. Diese Bedingung
"
!
! + !v × B
! =0
F! = q E
&
! "# $ % #
! "# $ % #
! ⊥ B.
!
ist erfüllt, wenn v = |E|/|B| und E
Kreisbeschleuniger: Ein geladenes Teilchen der Energie 12 mv 2 = eU läuft im
homogenen Magnetfeld auf einer Kreisbahn mit dem Bahnradius R, die Umlaufsfrequenz ist ωz = v/R. Wegen Bev = mv 2 /R gilt R = mv
eB und damit ist
die Umlaufsfrequenz (die Zyklotronfrequenz) unabhängig von der Teilchengeschwindigkeit v.
ωz =
e
B
m
(7.5)
Prinzip eines Kreisbeschleunigers: Teichen auf Kreisbahn fliegt bei jedem Umlauf durch eine Beschleunigungsstrecke. Bei festem Magnetfeld vergrößert sich
nach jeder Beschleunigung der Bahnradius.
Ein Zyklotron wurde erstmals von Lawrence 1932 realisiert. In einem zylindrischen Hohlraumresonator aus 2
Hälften findet jeweils eine Beschleunigung im Spalt zwischen beiden Hälften
statt, wenn die Frequenz der Wechselspannung, die an den Hälften anliegt,
der Zyklotronfrequenz (≈ M Hz) entspricht.
Bei einer Wechselspannungsamplitude
von 100 kV und einem Bahnradius von
1 m sind so Energien im Bereich von
50 M eV erreichbar.
! " # $ %&' ( ) ' * + ,
- ' # $ . ' /. 0 1 * * ) * 2
3
4
5
6
4
7
Die Grenzenergie ist durch den maximalen Bahnradius (Größe des Magneten)
und durch die relativistische Massenzunahme
m0
mv = #
(7.6)
1 − v 2 /c2
(ωz ändert sich doch mit der Geschwindigkeit!) gegeben.
Synchrozyklotron In diesem Fall wird Frequenz des Beschleunigungsfeldes
synchron mit der Massenzunahme erniedrigt (siehe Gl.7.5 und 7.6).
Synchrotron Fester Sollradius R, Führungsmagnete und Beschleunigungsstrecken wechseln sich ab. |B| muss mit wachsendem Impuls der Teilchen ansteigen.
60
KAPITEL 7. MAGNETOSTATIK
7.2
Magnetfeld stationärer Ströme
In Anwesenheit eines Magnetfeldes besteht eine magnetische Kraft auf einen
stromführenden Leiter. Wirkt umgekehrt eine Kraft vom stromführenden Leiter auf die Quelle des Magnetfeldes ? In der Magnetostatik gilt:
Dynamik
Statik
! ·B
! =0
∇



! ·B
! =0
∇
!
! ×B
! = µ0 !j + 1 ∂ E
∇
c2 ∂t


! ×B
! = µ0 !j
∇
Magnetostatik
!
Da für jeden beliebigen Vektor B
!
"
!· A
!×B
! =0
A
gilt, ist
!
"
! · ∇
! ×B
! =0
∇
bzw.
(7.7)
!
"
! · rot
! =0
! B
div
! ×B
! = µ0 !j folgt also
Aus demGesetz der Magnetostatik, ∇
! · !j = 0
∇
(7.8)
(7.9)
Das bedeutet eigentlich stationäre Ströme (Ladungen fließen mit konstanter
Geschwindigkeit in einem geschlossenen Kreis, siehe Gleichung 3.10). In diesem
!
Fall ist das E-Feld
zeitlich konstant.
Mit dem magnetischer Kraftfluß
)
! · dS
!
Φm = B
(7.10)
beschreibt man die Zahl der magnetischen Kraftlinien, die durch die Fläche S
treten. Die Dimension des magnetischen Kraftflusses ist
[Φm ] = 1 T m2 = 1 V s = 1Weber = 1Wb
(7.11)
! ·B
! = 0 ist, dass Magnetfeldlinien geschlosDie Aussage des zweiten Gesetzes ∇
sen sind. Der Gauß’sche Satz:
) !
*
"
! · dS
!=
! ·B
! dV = 0
Φm =
B
(7.12)
∇
S
V
bedeutet hier, dass der magnetische Fluß durch die geschlossene Oberfläche S
gleich Null ist. Genausoviele Feldlinien fließen hinein wie heraus. Für das elektrische Feld gilt das nur, wenn keine Ladungen vorhanden sind.
Magnetfeldlinien:
Darstellung mit Eisenfeilspänen.
Ein langer gerader Draht und eine
stromdurchflossene Spule (ähnlich
dem Dipolfeld eines Stabmagneten).
!
61
7.3. BERECHNUNG EINFACHER MAGNETFELDER
Amperesches Gesetz:
*
C
! · d!s =
B
) !
S
Mit dem Stokes’schen Satz erhalten wir aus
! ×B
!
∇
"
! ×B
! · dS
!
∇
= µ0!j
)
! = µ0 IC
= µ0 !j · dS
(7.13)
(7.14)
S
wobei IC den Strom bezeichnet, der innerhalb der Umrandung C fließt. Das
Wegelement der Umrandung ist d!s, die Umrandung C schliesst die Fläche S
ein.
Die Größe µ0 ist die Induktionskonstante
µ0 =
1
c2 #0
= 4π 10−7
Beispiele für
a
*
C
! · d!s = 0
B
!
aI
7.3
Vs
Am
!
(7.15)
Beispiele für
*
C
! · d!s '= 0
B
!
!
kennzeichnet den Stromfluss senkrecht zur Bildebene.
Berechnung einfacher Magnetfelder
Ein gerader Stromleiter mit dem Radius R führt den Gesamtstrom
I. Für die
+
! · d!s = 2rπB.
Magnetfeldstärke auf einem Kreisring mit dem Radius r gilt B
• außerhalb des Leiters (r > R) gilt
I
Ba = µ0
2rπ
!
!
# !
"
• Zur Berechnung der Feldstärke im Inneren des Drahtes gehen wir von einer
homogenen Stromdichte über den Querschnitt des Leiters aus, j = I/(R2 π).
Der für r < R eingeschlossene Strom ist
Ii = jr2 π = I r2 /R2 . Damit ist die Magnetfeldstärke im Inneren des Leiters
Bi = µ0
Ir
2πR2
"
$ %"
"
&
"
In Inneren steigt die Magnetfeldstärke linear mit dem Abstand von Zentrum
des Drahtes an, außerhalb des Leiters fällt das Feld mit 1/r ab.
62
KAPITEL 7. MAGNETOSTATIK
%
!
"
Eine sehr lange Spule führt den Strom I.
#
$
$
Die Integrationswege ⊥ zur Spulenachse (BC und DA) liefern entgegengesetzt gleiche Beiträge. Wenn der Spulendurchmesser viel kleiner ist als die Spulenlänge, dann ist das Magnetfeld im Außenraum der Spule sehr klein und man
kann den Beitrag des Weges CD vernachlässigen. Damit erhalten wir
) B
*
! · d!s ≈
B
B ds = B L = µ0 N I
(7.16)
A
Führt man mit w =
sich
B = µ0
N
L
die Anzahl der Windungen pro Meter ein, dann ergibt
N
I = µ0 w I
L
(7.17)
Am Spulenende laufen die Feldlinien auseinander und zurück zum Spulenanfang.
Kraft zwischen zwei stromführenden Leitern Zur experimentellen Bestimmung von µ0 benutzt man am einfachsten die Erscheinung, dass sich zwei
parallele stromführende Drähte anziehen. Offensichtllich führt die Bewegung von
Ladungen im Draht zur beobachteten Kraftwirkung (siehe Experiment auf Seite
8). Jeder Draht erzeugt am Ort des anderen (Drahtabstand R) das Magnetfeld
B=
µ0
I
2πR
(7.18)
Nach Gleichung 7.2 ist die Kraftwirkung auf einen stromführenden Draht der
Länge ∆L im Magnetfeld
F = ∆L · B · I
(7.19)
Daraus ergibt sich, dass sich beide Leiter jeweils mit der Kraft
F = ∆L
µ0 2
I
2πR
(7.20)
anziehen. Die Drähte sind elektrisch neutral, sodass elektrostatische Kraftwirkungen
offensichtlich keine Rolle spielen.
7.4
Vektorpotential
Ein Abschnitt mit vielen Formeln, vielleicht erhalten Sie ein Gefühl dafür, wie
man in der Physik Probleme auf allgemeine Art lösen kann, mit Größen, die
nicht experimentell meßbar sind, die man aber einführt, um Parallen mit bekannten Verfahren ausnützen zu können.
7.4. VEKTORPOTENTIAL
63
Das elektrostatische Potential für eine gegebene Ladungsverteilung kann mit
der Poisson-Gleichung
ρ
∆φ = −
(7.21)
#0
berechnet werden. Eine Potentialdifferenz ist direkt meßbar bzw. aus der Poisson
Gleichung abzuleiten. Aus dem Potential folgt das elektrische Feld mit .
! = −∇
! φ
E
! gefragt. B
! kann aus der
Ein ähnliches Vorgehen wäre für das Magnetfeld B
Stromdichteverteilung j mit der Gleichung
! ×B
! = µ0!j
∇
(7.22)
! kann aber nicht als Gradient eines skalaren Feldes f anberechnet werden. B
gegeben werden, denn für beliebige skalare Funktionen f gilt:
! × (grad f ) = ∇
! × (∇
! f) = 0
∇
(7.23)
! ×∇
! = 0.
weil immer ∇
! ×B
! '= 0 ist. Da aber auch die Beziehung
Wir müssen aber fordern, dass ∇
!
! als Rotation eines Vektorfeldes A,
!
div B = 0 eingehalten werden muss, kann B
dem sogenannten Vektorpotential geschrieben werden:
! =∇
! ×A
!,
B
(7.24)
denn es gilt immer (siehe Gleichung 7.7):
!
"
! · ∇
! × beliebiger = 0
∇
Vektor
(7.25)
! = 0 ist.
Die Definition (7.24) garantiert damit, daß div B
! ist damit aber noch nicht eindeutig festgelegt, da der
Das Vektorpotential A
"
!
!
! =∇
! ×A
! " erfüllt.
erweiterte Ansatz A = A + grad f ebenfalls die Gleichung B
Man hat eine sogenannte Eich-Freiheit. Aus Quellen und Wirbeln ist ein Vektorfeld !a(!r) erst dann eindeutig bestimmbar, wenn div !a und rot !a vorgegeben
sind.
!
Eine Eichung erreicht man indem man vorschreibt, welchen Wert div A
haben soll. Diese zusätzliche Eichbedingung in der Magnetostatik ist
!=0
div A
(Coulomb-Eichung)
(7.26)
Mit diesem Ansatz läßt sich das Vektorpotential bekannter Ströme, und mit
! =∇
! ×A
! die magnetische Feldstärke berechnen. Wir setzen B
! =∇
! ×A
! in
B
!
!
!
∇ × B = µ0 j ein, verwenden den Entwicklungssatz
d! = !a × !b × !c
= !b(!a · !c) − (!a · !b)!c
und erhalten
! ×∇
! ×A
!
∇
! − (div grad)A
!
= grad(div A)
!
"
Eichung
! 2A
!
= 0
−∇
div A = 0
64
KAPITEL 7. MAGNETOSTATIK
! ×B
! = µ0!j für das Vektorpotential
Damit ergibt sich an Stelle von ∇
! = −µ0 !j
∆A
(7.27)
Diese ist formal analog zur Poisson-Gleichung für das elektrostatische Potential
∆φ = −
1
ρ
#0
(7.28)
Deshalb müssen die Gleichungen 7.27 und 7.28 analoge Lösungen haben.
Für das elektrische Potential am Orte (1)
auf Grund einer Ladungsverteilung am Orte (2) hatten wir die Lösung
)
1
1
ρ(2) dV2
φ(1) =
4π#0
|r|
!
$% &
#
! "
In Analogie ist das Vektorpotential am Ort
(1) auf Grund einer Stromverteilung am
Ort (2)
)
µ0
1
Ax (1) =
jx (2) dV2
4π
|r|
)
1
µ0
jy (2) dV2
Ay (1) =
4π
|r|
)
µ0
1
Az (1) =
jz (2) dV2
4π
|r|
!
%& '
$
" #
beziehungsweise vektoriell für eine allgemeine Stromverteilung
µ0
!
A(1)
=
4π
) !
j(2)
dV2
|r|
(7.29)
Stromführender Leiter Jetzt überlegen wir uns den Ausdruck 7.29 für einen
stromführenden Leiter konstanten Querschnittes.
In einen dünnen Draht mit Querschnitt
A fließt die homogene Stromdichte !j. Das
Volumenelement des Drahtes ist dV2 =
A·ds2 , also ist !j ·dV2 = I ·d!s2 . Bei konstantem Strom ist der Beitrag des Leiterstückes
der Richtung und Länge d!s zur dazu parallelen Komponente des Vektorpotentiales
durch das Linienintegral gegeben:
µ0
!
A(1)
=
I
4π
)
d!s2
|r|
"
# $
!
%
&' (
(7.30)
65
7.5. GESETZ VON BIOT-SAVART
7.5
Gesetz von Biot-Savart
! aus Gleichung 7.30 in
Nach Einsetzen von A
folgt
!
! × A(1)
!
B(1)
= ∇
µ0
!
I
B(1)
=
4π
)
(7.31)
! × d!s2
∇
|r|
(7.32)
wobei der Nablaoperator auf die Koordinates des Aufpunktes (1) wirkt und
nicht auf die Koordinaten des Wegelementes d!s2 .
Mit
r=
#
(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (y2 − y1 )2
ergibt sich für
1
! × d!s2 = d!s2 × !r
∇
|r|
|r|3
(7.33)
und für die Magnetfeldstärke das Gesetz von Biot-Savart
)
µ0
d!s2 × !r
!
B(1)
=
I
4π
|r|3
(7.34)
Langer, gerader Draht Wir wenden jetzt das Gesetz von Biot-Savart an
um das Magnetfeld eines stromführendenden langen Drahtes zu betsimmen.
Das Ergebniss kennen wir bereits aus der einfachen Überlegung auf Seite 9.
Der Strom fließt entlang der z-Achse. Es
gelten die Beziehungen
!r
|r|
cos α
d!s2 ×
!
= êϕ sin β dz
= sin β = R/r
Mit z = R tan α wird dz = Rdα/ cos α2
und
)
cos α
µ0 I
!
dz
B(R)
=
êϕ
4π
|r|2
) π/2
µ0 I
=
êϕ
cos α dα
4π R
−π/2
µ0 I
êϕ
=
2π R
!$ #
" #
!
&
'
"
#
!" #
$
%
!
Die Komponenten des Vektorpotentials sind gemäß Gl. 7.30
! = {0, 0, Az } .
A
DieÄquipotentialflächen des Vektorpotentials sind demnach Zylindermantelflächen,
die den Draht konzentrisch umschließen.
1 Siehe
z.B. Langkau, Scobel und Lindström, Physik kompakt 2 Springer, Seite 99.
66
KAPITEL 7. MAGNETOSTATIK
7.6
Magnetischer Dipol
Wir untersuchen das Magnetfeld einer kreisförmigen Stromschleife (Radius R). Im Zentrum der Schleife gilt nach Gleichung 7.34
)
µ0 I
µ0 I R2 π
Bx=0 =
.
Rds
=
2
4π R3
2π R3
"
$ %
!
&
(
'
#
#
)* +
!
Auf der Schleifenachse im Abstand x von
der Schleifenmitte gilt:
dB = −
Wegen
"
I
!r
µ0
d!s2 ×
4π x2 + R2
|r|
!
! )* + (
$ %
! =√ R
sin θ = Bx /|B|
x2 + R2
#
#
&
'
!
" # $ !
$ (
wird
µ0
IR
Bx =
2
4π (x + R2 )3/2
)
ds2 =
I R2 π
µ0
.
2π (x2 + R2 )3/2
(7.35)
,
-3/2
Im Grenzfall R ) x wird x2 + R2
≈ |x3 | und die Magnetfeldstärke
Bx (x * R) ≈
=
µ0 I R2 π
2π |x3 |
µ0 µmag
.
2π |x3 |
(7.36)
Ein Vergleich mit Gleichung 5.12 zeigt, dass in großer Entfernung die Feldlinien
des elektrischen und magnetischen Dipols identisch sind.
In der Nahzone hingegen sind beide Felder völlig verschieden.
!
"
67
7.6. MAGNETISCHER DIPOL
Kraft auf einen magnetischen Dipol Wir betrachten eine rechteckige Leiterschleife, drehbar in einem äußerem homogenen Feld. Auf Grund der gewählten
Drehachse kommen nur die magnetischen Kräfte auf die Leiterstücke der Seitenlänge a zum tragen. Die Summe der Kräfte auf die rechteckige Leiterschleife
(Fläche S = a b) ist Null, denn F!1 = −F!2 = I a B.
Es besteht aber ein Drehmoment auf
Grund der Kraftarme der Länge b/2:
!
! = I a B b sin α
|D|
= I S B sin α
!
Mit der Definition des magnetischen
Momentes
µ
! mag = I S n̂
"
(7.37)
#
wobei n̂ in Richtung der Flächennormalen zeigt, ergibt sich für das
Drehmoment
! mag = µ
!
D
! mag × B
!
"
!
(7.38)
'
Im Vergleich dazu war (siehe Seite 42)
! el = p!el × E
!
D
!
(7.39)
#
"
$ % &
Das magnetische Drehmoment wird zur Strommessung in einem Drehspulamperemeter ausgenützt: Eine Spule befindet sich drehbar in einem radial
homogenen Magnetfeld. Ein Drehmoment besteht durch Stromfluß, ein rücktreibendes Drehmoment durch eine Feder begrenzt den Zeigerausschlag.
Wie beim elektrischen Dipol erscheint zusätzlich zum Drehmoment eine Kraft
in Richtung des Vektorgradienten, wenn ein inhomogenes Magnetfeld vorliegt.
!
∂B
F! = µ
! mag ·
∂r
(7.40)
z.B.
Fz = µx ·
∂Bz
∂Bz
∂Bz
+ µy ·
+ µz ·
∂x
∂y
∂z
(7.41)
Energie des elektrischen und magnetischen Dipols
el
Wpot
mag
Wpot
!
= −!
pel · E
!
= −!
µmag · B
mit
mit
p!el = q d!
µ
! mag
!
=IS
(7.42)
(7.43)
68
7.7
KAPITEL 7. MAGNETOSTATIK
Atomare magnetische Momente
Das klassische Bild des Atoms, indem Elektronen auf Kreisbahnen den positiven
Atomkern umlaufen, erlaubt eine anschauliche Interpretation einiger magnetischer Eigenschaften von Atomen. Wenn wir den Kreisstrom eines umlaufenden
v
Elektrons als I = −eν bezeichnen, wobei die Umlaufsfrequenz ν = 2rπ
ist, gilt
ev
I=−
(7.44)
2rπ
$
!
Damit besteht durch den Umlauf der Ladung ein magnetisches Moment
1
µ
! = Iπr2 n̂ = − evrn̂
2
"
#
(7.45)
!
! = m!r × !v den Bahndrehimpuls des umlaufenden Elektrons
Wenn wir mit L
kennzeichnen, gilt
µ
! bahn = −
e !
L
2m
(7.46)
Das Verhältnis
e
|!
µbahn |
=
!
2m
|L|
(7.47)
e !
S
m
(7.48)
wird gyromagnetisches Verhältnis genannt. Dabei ist e die Elementarladung und
m die Elektronenmasse. Der Drehimpuls ist eine Erhaltungsgröße, also ist auch
µ
! bahn in einem abgeschlossenen System zeitlich konstant.
Im atomaren Bereich gibt es noch zwei weitere permanente magnetische
! (Spin) liefert einen Beitrag
Momente. Der Eigendrehimpuls des Elektrons S
µ
! spin = −
! und L
! koppeln zum Gesamtdrehimpuls J!
Im Atom koppeln S
! +S
!
J! = L
(7.49)
!
wobei sich insgesamt
µ
! gesamt
e !
= −g
J
2m
"
(7.50)
#
ergibt. Dabei ist g der Lande-Faktor (1 < g < 2). Zusätzlich haben die Kernbausteine auch ein magnetisches Moment (I! = Kernspin) mit
µ
! kern = gk
e !
I
2M
(7.51)
Dabei ist M die Nukleonenmasse und der gk -Faktor ist 2 × 2.79 für Protonen
und −2 × 1.93 für Neutronen. Auf Grund der höheren Masse in Gl.(7.51) ist der
Kernmagnetismus erheblich kleiner als der elektronische Beitrag.
69
7.7. ATOMARE MAGNETISCHE MOMENTE
Einige wichtigen Eigenschaften des Drehimpulses aus der Quantenmechanik:
#
! = J(J + 1)h̄.
• Betrag des Drehimpulses ist |J|
Dabei ist J die Drehimpulsquantenzahl. Diese
'
kann nur ganz- oder halbzahlige Werte annehmen.
• die Zahl der möglichen Einstellungen des Drehimpulses auf eine ausgezeichnete Achse (eine durch
das Experiment definierte Quantisierungsachse)
ist endlich, und zwar sind insgesamt nur (2J + 1)
Einstellungen möglich.
• Zeichnet man eine bestimmte Achse aus, z.B. die
z-Achse, dann kann die Projektion des Drehimpulses J! auf diese Achse, Jz , nur die diskreten Werte
Jh̄, (J − 1)h̄, (J − 2)h̄, . . . , −Jh̄, (insgesamt 2J + 1
Werte) annehmen.
! " #
(
! $#
%
&$#
&" #
Der Stern-Gerlach Versuch (1923) lieferte die erste Beobachtung, daß der
Drehimpuls quantisiert ist. Stern und Gerlach beobachteten die Bahn von Silberatomen im inhomogenen Magnetfeld. Ag hat in der äußeren Schale ein 4sElektron mit L = 0 und S = 21 . Das Atom erfährt eine Ablenkung im inhomogenen Magnetfeld M mit der Kraft (Gleichung 7.40)
Fz = µz .
∂Bz
∂z
(7.52)
Die Silberatome aus dem Atomofen O haben eine willkürliche räumliche Orientierung der magnetischen Momente. Klassisch wurde daher eine Verschmierung
im Auftreffort am Detektor D entlang der Richtung des Magnetfeldgradienten
z erwartet. Beobachtet wurde aber die Aufteilung in zwei Strahlenbündel. Das
Geschwindigkeitsfilter S erlaubt eine Klasse von Silberatomen relativ konstanter Geschwindigkeit zu selektieren.
Die Methodik der Ablenkung eines Atoms im inhomogenen Magnetfeld auf
Grund des atomaren Dipolmomentes bildet die Grundlage für sogenannte Atomuhren. Dank ihrer hohen Genauigkeit wurde das GPS-System möglich.
!
!
"
#
$