1 Seite 1 Kapitel 2 Die rationalen und die irrationalen Zahlen Kapitel
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Kapitel Kapitel22 Die Dierationalen rationalenund unddie dieirrationalen irrationalenZahlen Zahlen Inhalt Inhalt 2.1 2.1 Was Wassind sinddie dierationalen rationalenZahlen? Zahlen? 2.2 2.2 Wie Wierechnet rechnetman manmit mitrationalen rationalenZahlen? Zahlen? 2.3 2.3 Ordnung Ordnungininden denrationalen rationalenZahlen Zahlen 2.4 2.4Dezimalbrüche Dezimalbrüche 2.5 2.5 Die DieEntdeckung Entdeckungder derIrrationalität Irrationalität 2.6 2.6 Wie Wieviele vielerationale rationaleZahlen Zahlengibt gibtes? es? Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen Seite 1 © Beutelspacher April 2005 Seite 2 1 2.1 2.1Was Wassind sinddie dierationalen rationalenZahlen? Zahlen? Erinnerung: Erinnerung: Die DieMenge Menge NN der dernatürlichen natürlichenZahlen Zahlenist istabgeschlossen abgeschlossen bzgl. Addition und Multiplikation. D.h. Summe bzw. Produkt bzgl. Addition und Multiplikation. D.h. Summe bzw. Produktvon vonjejezwei zwei natürlichen natürlichen Zahlen Zahlen ist ist wieder wieder eine eine natürliche natürliche Zahl. Zahl. Die DieMenge Menge ZZ der derganzen ganzenZahlen Zahlen ist istzusätzlich zusätzlichabgeschlossen abgeschlossen bezüglich der Subtraktion. D.h. die Differenz je zweier bezüglich der Subtraktion. D.h. die Differenz je zweierganzer ganzerZahlen Zahlen ist istwieder wiedereine eineganze ganzeZahl. Zahl. Es Esgelten geltendie diebekannten bekanntenRechenregeln. Rechenregeln.Beispiele: Beispiele: 22––33==–1, –1,–1 –1––33==–4, –4,3⋅(–5) 3⋅(–5)==–15, –15,j j(–3)⋅(–5) (–3)⋅(–5)==15, 15,usw. usw. Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen © Beutelspacher April 2005 Seite 3 Weshalb Weshalb rationale rationale Zahlen? Zahlen? Aber: Aber: Der DerQuotient Quotientzweier zweierganzer ganzerZahlen Zahlenist istjedoch jedochmeistens meistenskeine keine ganze Zahl (z.B. ist 5/3 keine ganze Zahl). Das heißt: Man kann ganze Zahl (z.B. ist 5/3 keine ganze Zahl). Das heißt: Man kann nicht nicht(ohne (ohneRest) Rest)dividieren. dividieren.Mathematisch Mathematischausgedrückt: ausgedrückt:Die DieMenge Menge ZZ der ganzen Zahlen ist nicht abgeschlossen bzgl. der Division. der ganzen Zahlen ist nicht abgeschlossen bzgl. der Division. Ziel: Ziel:Einführung Einführung der der Menge Menge der der „rationalen „rationalen Zahlen“, Zahlen“, die die bezüglich bezüglich der der Division durch jede Zahl ≠ 0 abgeschlossen ist. Division durch jede Zahl ≠ 0 abgeschlossen ist. Bemerkung: Bemerkung: In InSchulunterricht Schulunterrichtgeht gehtman manderzeit derzeitso sovor, vor,dass dassman man zunächst zunächstdie diepositiven positivenBruchzahlen Bruchzahleneinführt einführtund underst erstanschließend anschließend die diegesamten gesamtenrationalen rationalenZahlen. Zahlen.Daher Daherwird wirdder derBegriff Begriff„rationale „rationale Zahl“ oft mit „negativer Zahl“ assoziiert. Das ist aber die falsche Zahl“ oft mit „negativer Zahl“ assoziiert. Das ist aber die falsche Vorstellung. Vorstellung. Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen Seite 2 © Beutelspacher April 2005 Seite 4 2 Rationale RationaleZahlen Zahlenals alsBrüche Brüche Definition. Definition.Ein EinBruch Bruchist istein einPaar Paar (p, (p,q) q) ganzer ganzerZahlen Zahlenmit mit qq ≠≠0. 0. Wir Wirschreiben schreibendafür dafürauch auch p (manchmal (manchmalauch auch p/q). p/q). q q den Nenner dieses Bruches. Wir Wirnennen nennen pp den den Zähler Zählerund und q den Nenner dieses Bruches. Jeder JederBruch Bruchstellt stellteine eine rationale rationaleZahl Zahl(Bruchzahl) (Bruchzahl)dar. dar. (ratio (ratio(lat.) (lat.)==Verhältnis) Verhältnis) Problem: Problem:Jede Jederationale rationaleZahl Zahlkann kanndurch durchunendlich unendlichviele vieleBrüche Brüche dargestellt werden. dargestellt werden. © Beutelspacher April 2005 Seite 5 Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen Erweitern Erweiternvon vonBrüchen Brüchen p p' Definition. Definition.Zwei ZweiBrüche Brüche q und und q' stellen stellen dieselbe dieselberationale rationaleZahl Zahldar, dar, falls falls pq' pq'==p'q p'q ist. ist. p a ⋅p Es Esfolgt, folgt,dass dassfür fürjede jedeganze ganzeZahl Zahl aa ≠≠ 00 die dieBrüche Brüche q und und a ⋅ q dieselbe rationale Zahl darstellen. dieselbe rationale Zahl darstellen. Das Dasbedeutet: bedeutet:Erweitern Erweiternund undKürzen Kürzenmit miteiner einerganzen ganzenZahl Zahl≠≠ 00 ändert ändert die zugehörige Bruchzahl, also den “Wert” eines Bruches nicht. die zugehörige Bruchzahl, also den “Wert” eines Bruches nicht. Jede Jederationale rationaleZahl Zahlwird wirdalso alsodurch durchunendlich unendlichviele vieleBrüche Brüchedargestellt! dargestellt! 6 Beispiel: Beispiel:Die DieBruchzahl Bruchzahl15 wird wirdauch auchdurch durchfolgende folgendeBrüche Brüche 2 4 − 10 40000 dargestellt: dargestellt: , , , , ... 5 10 − 25 100000 Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen Seite 3 © Beutelspacher April 2005 Seite 6 3 Äquivalenz Äquivalenzvon vonBrüchen Brüchen p p' Definition. Definition.Wenn Wenndie dieBrüche Brüche q und und q' dieselbe dieselberationale rationaleZahl Zahl darstellen, schreiben wir auch darstellen, schreiben wir auch p p' = q q' und undnennen nennendie dieBrüche Brüche p p' und gleich (vorsichtiger: äquivalent). und q q' gleich (vorsichtiger: äquivalent). Jede Jede rationale rationale Zahl Zahl wird wird durch durch unendlich unendlich viele viele äquivalente äquivalente Brüche Brüche dargestellt. dargestellt. Es Esist istalso alsozunächst zunächstgefährlich gefährlichzu zusagen, sagen,eine einerationale rationaleZahl Zahl“ist” “ist”ein ein Bruch. Besser wäre es zu sagen, dass eine rationale Zahl eine Bruch. Besser wäre es zu sagen, dass eine rationale Zahl eine unendliche unendlicheMenge Menge(„Äquivalenzklasse“) („Äquivalenzklasse“)von vonBrüchen Brüchenist. ist. Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen © Beutelspacher April 2005 Seite 7 Q Qals alsErweiterung Erweiterungvon vonZZ Definition. Definition.Wir Wirbezeichnen bezeichnendie die Menge Mengealler allerrationalen rationalenZahlen Zahlenmit mit Q. Q. Beobachtung. Zahl Beobachtung.Jede Jedeganze ganze Zahlist istauch aucheine einerationale rationaleZahl, Zahl,denn denn für für z jedes z ∈ Z ist z = eine rationale Zahl. jedes z ∈ Z ist z = 1 eine rationale Zahl. Insofern Insofernist ist QQ eine eineErweiterung Erweiterungvon von Z. Z.Das Dasheißt, heißt,dass dass ZZ⊆⊆ QQ gilt. gilt. Insgesamt Insgesamthaben habenwir wiralso also NN schrittweise schrittweisewie wiefolgt folgterweitert: erweitert: NN⊆⊆ ZZ⊆⊆ Q. Q. Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen Seite 4 © Beutelspacher April 2005 Seite 8 4 2.2 2.2 Wie Wierechnet rechnetman manmit mitrationalen rationalenZahlen? Zahlen? Wir Wirhaben habendie dieMenge Mengeder derrationalen rationalenZahlen Zahlendefiniert, definiert,wissen wissenaber abernoch noch nicht, wie man mit rationalen Zahlen rechnet. nicht, wie man mit rationalen Zahlen rechnet. Bei Beider derDefinition Definitionder derRechenoperationen Rechenoperationen++ und und ⋅ ⋅ soll sollgelten: gelten: 1. 1.Die Dieüblichen üblichenGesetze: Gesetze:Assoziativgesetz, Assoziativgesetz,Kommutativgesetz, Kommutativgesetz, Distributivgesetze usw. Distributivgesetze usw. 2. 2.Als AlsSumme Summeoder oderProdukt Produktsoll sollimmer immerdie diegleiche gleicherationale rationaleZahl Zahl herauskommen, herauskommen,auch auchwenn wennman manmit mitverschiedenen verschiedenenäquivalenten äquivalenten Brüchen Brüchenstartet. startet. © Beutelspacher April 2005 Seite 9 Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen Die DieProblemstellung Problemstellung Da Dajede jederationale rationaleZahl Zahldurch durchunendlich unendlichviele vieleäquivalente äquivalenteBrüche Brüche dardargestellt werden kann, stellt sich folgendes Problem: gestellt werden kann, stellt sich folgendes Problem: p p p p 1 2 1 + 2 Ich Ichwähle wähledie dieBrüche Brüche q und und q und undberechne berechnedie dieSumme Summe q q2 1 2 1 p1 p1 ' Sie äquivalenten Bruch Siewählen wählenaber aberstatt statt q den dendazu dazu Bruch q ' und undberechberechp1 ' äquivalenten p2 1 1 + . nen entsprechend die Summe nen entsprechend die Summe q ' q 1 2 Dann Dannmuss musszwar zwarnicht nichtder dergleiche gleicheBruch, Bruch,wohl wohlaber aberdie die gleiche gleiche rationale Zahl herauskommen; denn das Ergebnis darf schließlich rationale Zahl herauskommen; denn das Ergebnis darf schließlichnicht nicht davon davonabhängen, abhängen, wer werdies diesausgerechnet ausgerechnethat! hat! Entsprechendes Entsprechendesmuss mussbeim beimProdukt Produktgelten! gelten! Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen Seite 5 © Beutelspacher April 2005 Seite 10 5 Wohldefiniertheit Wohldefiniertheit An Aneine einesinnvolle sinnvolleAddition Additionund undMultiplikation Multiplikationstellen stellenwir wirdaher daher folgende folgende Anforderungen: Anforderungen: p1 p2 p1 ' p1 Seien Seien q1 und und q2 zwei zweirationale rationaleZahlen, Zahlen,und undsei sei q ' äquivalent äquivalent zu zu q .. 1 1 Dann Dannmuss mussgelten gelten p1 p2 p1 ' p2 ++ == ++ q1 q2 q1 ' q2 p1 q1 ⋅⋅ p2 p1 ' p2 == ⋅⋅ q2 q1 ' q2 Entsprechend Entsprechendmuss mussman manauch auchden denzweiten zweitenBruch Bruchdurch durcheinen einenäquivaäquivalenten lentenersetzen ersetzenkönnen. können.Wenn Wenndiese dieseEigenschaften Eigenschaftengelten, gelten,nennt nenntman man die dieOperationen Operationen wohldefiniert. wohldefiniert. Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen © Beutelspacher April 2005 Seite 11 Multiplikation Multiplikation rationaler rationaler Zahlen Zahlen p p 1 2 Definition. und zwei Definition.Seien Seien und zweirationale rationaleZahlen. Zahlen.Wir Wirdefinieren definierenihr ihr q1 q2 Produkt durch Produkt durch p1 p2 p1 ⋅ p 2 ⋅ = . q1 q 2 q1 ⋅ q 2 Das Dasbedeutet: bedeutet:Zwei Zweirationale rationaleZahlen Zahlenwerden werdenmultipliziert, multipliziert,indem indemman man darstellende Brüche betrachtet und Zähler mit Zähler und Nenner darstellende Brüche betrachtet und Zähler mit Zähler und Nenner mit mit Nenner Nennermultipliziert. multipliziert. Bemerkung. Bemerkung. Man Mankann kannsich sichanschaulich anschaulichProdukte Produktewie wie 33 ⋅ ⋅4/7 4/7 klar klar machen, aber 1/2 ⋅1/3 ist schwierig vorzustellen. Dafür ist die machen, aber 1/2 ⋅1/3 ist schwierig vorzustellen. Dafür ist die algorithmische algorithmischeBerechnung Berechnungeinfach! einfach! Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen Seite 6 © Beutelspacher April 2005 Seite 12 6 Wohldefiniertheit Wohldefiniertheitder derMultiplikation Multiplikation 2.2.1 2.2.1Satz. Satz.Die Die Multiplikation Multiplikation von von rationalen rationalen Zahlen Zahlen ist ist wohldefiniert. wohldefiniert. p1 p1 ' p2 Beweis. Beweis. Seien Seien q1 und undq2 zwei zweirationale rationaleZahlen, Zahlen,und undsei sei q1 ' eine eine p1 rationale rationaleZahl, Zahl,die diezu zu q äquivalent äquivalentist. ist.Das Dasbedeutet bedeutet pp11⋅q⋅q11' '==pp11'⋅q '⋅q11.. 1 p1 p 2 p1 ' p 2 Wir und Wirmüssen müssenzeigen, zeigen,dass dass ⋅ und q ' ⋅⋅ ⋅q äquivalent äquivalentsind. sind. q1 q 2 1 2 © Beutelspacher April 2005 Seite 13 Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen Beweis Beweis Dies Diesfolgt folgtso: so:Nach NachDefinition Definitionder derMultiplikation Multiplikationgilt gilt p1 p 2 p1 ⋅ p2 ⋅ = q1 q 2 q1 ⋅ q2 p '⋅p p' p 1 2 1 2 und und q ' ⋅ q = q '⋅q . 1 2 1 2 Die Diebeiden beidenBrüche Brücheauf aufden denrechten rechtenSeiten Seitensind sindäquivalent, äquivalent,denn dennes es gilt gilt (p (p11⋅p⋅p22)⋅(q )⋅(q11'⋅q '⋅q22))==(p (p11⋅q ⋅q11')⋅(p ')⋅(p22⋅q⋅q22)) ==(p (p1'⋅q '⋅q1)⋅(p )⋅(p2⋅q⋅q2)) (Kommutativität (Kommutativitätinin Z) Z) (Voraussetzung) (Voraussetzung) ==(p (p11'⋅p '⋅p22)⋅(q )⋅(q11⋅q⋅q22)) (Kommutativität (Kommutativitätinin Z). Z). 1 1 2 2 Äquivalenter ÄquivalenterBruch Bruchan ander derzweiten zweitenStelle: Stelle:Übung! Übung! Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen Seite 7 © Beutelspacher April 2005 Seite 14 7 Eigenschaften Eigenschaftender derMultiplikation Multiplikation 2.2.2 2.2.2Satz. Satz.Die DieMultiplikation Multiplikationrationaler rationalerZahlen Zahlenerfüllt erfülltfolgende folgende Gesetze: Gesetze: (a) (a)Assoziativgesetz. Assoziativgesetz. (b) Kommutativgesetz. (b) Kommutativgesetz. (c) (c)Existenz Existenzeines einesneutralen neutralenElements, Elements,nämlich nämlichder derZahl Zahl 1. 1. (d) Existenz von inversen Elementen: Zu jeder rationalen Zahl (d) Existenz von inversen Elementen: Zu jeder rationalen Zahl rr ≠≠ 00 gibt gibtes eseine einerationale rationaleZahl Zahl r'r' mit mit rr' rr'==1. 1. Beweis. Beweis. (a) (a)Übungsaufgabe. Übungsaufgabe. p1 p2 p1 p2 p2 p1 (b) (b)Seien Seien q und und q zwei zweirationale rationaleZahlen. Zahlen.Zu Zuzeigen: zeigen:q ⋅ ⋅q == q ⋅ ⋅q 1 2 1 2 2 1 Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen © Beutelspacher April 2005 Seite 15 Beweis Beweis Dies Diesfolgt folgtso: so: p1 p2 p1 ⋅ p2 p2 ⋅ p1 p2 p1 ⋅ = = = ⋅ . q1 ⋅ q2 = q1 ⋅ q2 = q2 ⋅ q1 = q2 ⋅ q1 . (c) (c)Die DieZahl Zahl11erfüllt erfüllt 1⋅ p 1 p 1⋅ p p = ⋅ = = (1 (1 ist istneutrales neutralesElement Elementinin Z). Z). q 1 q 1⋅ q q (d) (d)Sei Sei rr==p/q p/q ≠≠ 0. 0.Dann Dannist istnicht nichtnur nur qq ≠≠ 0, 0,sondern sondernauch auch pp ≠≠ 0. 0. Also ist auch q/p eine rationale Zahl, und es gilt Also ist auch q/p eine rationale Zahl, und es gilt p q p ⋅q 1 ⋅ = = = 1. q p q ⋅p 1 Also Alsoist istq/p q/pdas dasmultiplikativ multiplikativinverse inverseElement Elementzu zup/q. p/q. Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen Seite 8 © Beutelspacher April 2005 Seite 16 8 Die DieSumme Summerationaler rationalerZahlen Zahlen Die DieSumme Summerationaler rationalerZahlen Zahlenist istanschaulich anschaulichvöllig völligklar: klar:Man Manaddiert addiert zwei rationale Zahlen, indem man die entsprechenden Größen zwei rationale Zahlen, indem man die entsprechenden Größen zusammenfügt. zusammenfügt. Die Dieformelmäßige formelmäßigeBerechnung Berechnungbereitet bereitetjedoch jedochSchwierigkeiten. Schwierigkeiten. p1 p2 Definition. Definition.Seien Seien q und und q zwei zweirationale rationaleZahlen. Zahlen.Wir Wirdefinieren definieren 1 2 ihre Summe durch ihre Summe durch p1 p2 p1 ⋅ q2 + p2 ⋅ q1 . + = q1 +q2 = q1 ⋅ q2 In In Worten: Worten: Wir Wir erweitern erweitern zunächst zunächst die die beiden beiden Brüche Brüche so, so, dass dass sie sie den dengleichen gleichenNenner Nenner qq1qq2 haben habenund undaddieren addierendann danndie dieZähler. Zähler. 1 2 Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen © Beutelspacher April 2005 Seite 17 Beispiele Beispiele 1 + 2 a (c) (c) b + (a) (a) 1 2 ⋅1 + 2 ⋅ 1 4 1 1 3 ⋅1 + 2 ⋅1 5 (b) = = =1 + = = (b) 2 2 ⋅2 4 2 3 2⋅3 6 a' b ⋅ a + b ⋅ a' b ⋅ (a + a' ) a + a' = = = b b ⋅b b ⋅b b In InWorten: Worten:„Gleichnamige“ „Gleichnamige“Brüche Brüchewerden werdenaddiert, addiert,indem indemman mandie die Zähler addiert. Zähler addiert. Problem Problemder derWohldefiniertheit: Wohldefiniertheit:Das DasErgebnis Ergebniseiner einerAddition Additiondarf darf nicht nicht von der Darstellung der einzelnen Summanden abhängen! von der Darstellung der einzelnen Summanden abhängen! 2.2.3 2.2.3Satz. Satz.Die DieAddition Additionrationaler rationalerZahlen Zahlenist istwohldefiniert. wohldefiniert. Beweis: Beweis:Übungsaufgabe. Übungsaufgabe. Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen Seite 9 © Beutelspacher April 2005 Seite 18 9 Eigenschaften Eigenschaftender derAddition Addition 2.2.4 2.2.4Satz. Satz.Die DieAddition Additionrationaler rationalerZahlen Zahlenerfüllt erfülltfolgende folgendeGesetze: Gesetze: (a) (a)Assoziativgesetz, Assoziativgesetz, (b) (b)Kommutativgesetz, Kommutativgesetz, (c) Existenz (c) Existenzeines einesneutralen neutralenElements, Elements,nämlich nämlichder derZahl Zahl 0, 0, (d) Existenz eines inversen Elements („negativen Elements“): (d) Existenz eines inversen Elements („negativen Elements“):Zu Zu jeder jederrationalen rationalenZahl Zahl rr gibt gibtes eseine einerationale rationaleZahl Zahl r'r' mit mit rr++r'r'==0. 0. Beweis. Beweis. (a) (a)Prinzipiell Prinzipiellso sowie wie(b), (b),aber abertechnisch technischkomplizierter. komplizierter. p1 p2 p p p p 1 (b) + 2 = 2 + 1. (b)Seien Seien q1 und und q2 rationale rationaleZahlen. Zahlen.Z.z.: Z.z.: q1 q2 q2 q1 Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen © Beutelspacher April 2005 Seite 19 Be Be weis weis Kommutativität in Z Dies Diesfolgt folgtso so p1 p2 p1 ⋅ q2 + p2 ⋅ q1 p2 ⋅ q1 + p1 ⋅ q2 p2 p1 + = = = + . q1 q2 q1 ⋅ q2 q2 ⋅ q1 q2 q1 (c) (c)Die DieZahl Zahl 00 erfüllt: erfüllt: 0+ p 0 p 0 ⋅ q + p⋅1 p = + = = . q 1 q 1⋅ q q (d) (d)Sei Sei rr==p/q p/q eine einerationale rationaleZahl. Zahl.Dann Dannist istauch auch –r –r:= :=–p/q –p/q eine eine rationale Zahl. Es gilt: rationale Zahl. Es gilt: r + ( −r ) = p − p p + (− p) 0 + = = = 0. q q q q Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen Seite 10 © Beutelspacher April 2005 Seite 20 10 Das DasDistributivgesetz Distributivgesetz Das DasDistributivgesetz Distributivgesetzverbindet verbindetdie dieAddition Additionmit mitder derMultiplikation. Multiplikation. 2.2.5 2.2.5Satz. Satz.Die DieAddition Additionund undMultiplikation Multiplikationinin QQ erfüllen erfüllendas das Distributivgesetz. Distributivgesetz.Das Dasheißt, heißt,für füralle allerationalen rationalenZahlen Zahlen r,r,s,s,tt gilt gilt r⋅(s+t) r⋅(s+t)==r⋅s r⋅s ++ r⋅t. r⋅t. Beweis. Beweis. Seien Seien p1 p 2 p , und 3 rationale rationaleZahlen. Zahlen.Wir Wirmüssen müssenzeigen, zeigen, q1 q2 q3 dass dassfolgende folgendeGleichung Gleichunggilt: gilt: p1 p2 p3 p1 p 2 p1 p3 ⋅ + = ⋅ + ⋅ . q1 q2 q3 q1 q2 q1 q3 © Beutelspacher April 2005 Seite 21 Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen Beweis Beweisdes desDistributivgesetzes Distributivgesetzes Wir Wirbeginnen beginnenmit mitder derlinken linkenSeite: Seite: p1 p2 p3 p1 p2 ⋅ q3 + p3 ⋅ q2 p1 ⋅ (p 2 q3 + p3 q2 ) p1p2 q3 + p1p3 q2 ⋅ + = ⋅ = = . q1 q2 q3 q1 q2 ⋅ q3 q1 ⋅ q2 ⋅ q3 q1 ⋅ q2 ⋅ q3 Die Dierechte rechteSeite Seiteergibt ergibtsich sichals als p1 p 2 p1 p3 p1 ⋅ p2 p1 ⋅ p3 p1p 2 ⋅ q1q3 + p 1p 3 ⋅ q1q 2 . ⋅ + ⋅ = + = q1q 2 ⋅ q1q3 q1 q2 q1 q3 q1 ⋅ q2 q1 ⋅ q3 Wir Wirmüssen müssenzeigen, zeigen,dass dassdiese diesebeiden beidenBrüche Brücheäquivalent äquivalentsind. sind.Dies Dies folgt so: folgt so: (p (p11pp22qq33+p +p11pp33qq22)q )q11qq22qq11qq33 == pp11pp22qq33⋅q⋅q11qq22qq11qq33++ pp11pp33qq22⋅q⋅q11qq22qq11qq33 ==(p (p1pp2qq1qq3 ++ pp1pp3qq1qq2)q )q1qq2qq3 .. 1 2 1 3 Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen Seite 11 1 3 1 2 1 2 3 © Beutelspacher April 2005 Seite 22 11 Der DerKörper Körperder derrationalen rationalenZahlen Zahlen Definition: Definition:Eine EineMenge Menge KK mit mit ++ und und ⋅ ⋅ bildet bildeteinen einen Körper, Körper,wenn wenn ––die beiden Operationen assoziativ und kommutativ sind, die beiden Operationen assoziativ und kommutativ sind, ––es esein einneutrales neutralesElement Element 00 bzgl. bzgl.der derAddition Additionund undein einneutrales neutrales Element 1 ≠ 0 bezüglich der Multiplikation gibt, Element 1 ≠ 0 bezüglich der Multiplikation gibt, ––jedes jedesElement Elementein einadditives additivesInverses Inversesund undjedes jedesvon von 00 verschiedene Element ein multiplikatives Inverses verschiedene Element ein multiplikatives Inverseshat, hat, ––das dasDistributivgesetz Distributivgesetzgilt. gilt. Ein EinKörper Körperist isteine eineStruktur, Struktur,ininder derman manwie wiegewohnt gewohntrechnen rechnenkann. kann. 2.2.6 2.2.6 Satz. Satz. Die Die Menge Menge QQ der der rationalen rationalen Zahlen Zahlen bildet bildet zusammen zusammen mit mit ++ und und ⋅ ⋅ einen einen Körper. Körper. (2.2.3, (2.2.3, 2.2.4, 2.2.4, 2.2.5). 2.2.5). Man Man spricht spricht auch auch vom vom Körper Körperder derrationalen rationalenZahlen. Zahlen. Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen © Beutelspacher April 2005 Seite 23 2.3 2.3Dezimalbrüche Dezimalbrüche Erinnerung Erinnerungbzw. bzw.Vorschau: Vorschau: Wir Wirberechnen berechnenDezimalbrüche Dezimalbrücheaus ausrationalen rationalenZahlen, Zahlen,indem indemwir wir dividieren: dividieren: 3/8 3/8==33::88==0,375 0,375 3/7 3/7==33::77== Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen Seite 12 © Beutelspacher April 2005 Seite 24 12 Dezimalbrüche Dezimalbrüche Definition. Definition.Ein EinDezimalbruch Dezimalbruchist isteine eineFolge Folge zz00,, zz11zz22zz33…. …. Dabei Dabeiist ist zz00 eine einenatürliche natürlicheZahl Zahl(die (die 00 sein seinkann!), kann!),und und zz11,, zz22,,zz3,3, … sind natürliche Zahlen zwischen 0 und 9 („Ziffern“). … sind natürliche Zahlen zwischen 0 und 9 („Ziffern“).Die DieFolge Folgeder der zzi kann endlich oder unendlich sein. i kann endlich oder unendlich sein. Der DerWert Wertdieses diesesDezimalbruches Dezimalbruches(die (die Dezimalzahl) Dezimalzahl)ist ist zz0 ++zz1/10 + z /100 + z /1000 + z /1044+ … 0 1/10 + z22/100 + z33/1000 + z44/10 + … Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen © Beutelspacher April 2005 Seite 25 Endliche EndlicheDezimalbrüche Dezimalbrüche Ein EinDezimalbruch Dezimalbruchheißt heißtendlich, endlich,wenn wenndie dieFolge Folgeseiner seinerZiffern Ziffern endlich ist (bzw. wenn ab einer Stelle nur noch Nullen kommen). endlich ist (bzw. wenn ab einer Stelle nur noch Nullen kommen). k–1 k–2 Klar: ⋅10 + z ] /10k.k Klar:zz00,, zz11zz22zz33…z …zkk ==zz00++[z [z11⋅10 ⋅10k–1++zz22⋅10 ⋅10k–2+…+ +…+zzk–1 k–1⋅10 + zkk] /10 . Zum ZumBeispiel: Beispiel:3,26 3,26==33++26/100; 26/100; 72,1829 72,1829==72 72++1829/10000; 1829/10000;… … Das Dasbedeutet: bedeutet:Ein Einendlicher endlicherDezimalbruch Dezimalbruchentspricht entsprichteinem einem gewöhnlichen gewöhnlichenBruch, Bruch,dessen dessenNenner Nenner(nach (nachKürzung) Kürzung)eine eineZahl Zahlist, ist, die dienur nurdie diePrimfaktoren Primfaktoren22und und55enthält. enthält. Es Esgilt giltauch auchdie dieUmkehrung: Umkehrung: Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen Seite 13 © Beutelspacher April 2005 Seite 26 13 Endliche EndlicheDezimalbrüche DezimalbrücheIIII 2.3.1 2.3.1Satz. Satz.Sei Sei p/q p/q eine einevollständig vollständiggekürzte gekürzteBruchzahl. Bruchzahl.(D.h. (D.h. ggT(p, q) = 1.) Ohne Einschränkung sei p < q (d.h. die Bruchzahl ggT(p, q) = 1.) Ohne Einschränkung sei p < q (d.h. die Bruchzahlist ist <<1). 1).Dann Danngilt: gilt:Genau Genaudann dannentspricht entspricht p/q p/q ein einendlicher endlicher Dezimalbruch, wenn q nur Primfaktoren 2 und 5 Dezimalbruch, wenn q nur Primfaktoren 2 und 5enthält. enthält. Beweis. Beweis. Die Dieeine eineRichtung Richtungwurde wurdebereits bereitsgezeigt. gezeigt. Umgekehrt Umgekehrtsei sei p/q p/q eine eineBruchzahl, Bruchzahl,die die<<11 istmöge istmöge qq nur nurdie die Primfaktoren Primfaktoren22und und55enthalten. enthalten.Dann Dannkann kannman manden denBruch Bruchso sozu zu k p‘/q‘ p‘/q‘erweitern, erweitern,dass dassder derNenner Nenner q‘q‘ eine eineZehnerpotenz Zehnerpotenz 10 10k ist. ist.Das Das k heißt p/q = p‘/q‘ = p‘/10 k . Also ist p/q = p‘/q‘ = 0, z z z …z , wobei heißt p/q = p‘/q‘ = p‘/10 . Also ist p/q = p‘/q‘ = 0, z1 z2 z3 …zk , wobei 1 2 3 k die die zzi i die dieZiffern Ziffernvon von q‘q‘ sind. sind. Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen © Beutelspacher April 2005 Seite 27 Periodische PeriodischeDezimalbrüche Dezimalbrüche Sei Sei p/q p/q eine eine„ausgekürzte“ „ausgekürzte“Bruchzahl. Bruchzahl.Man Manerhält erhältden denzugehörigen zugehörigen Dezimalbruch, Dezimalbruch,indem indemman man pp durch durch qq teilt. teilt.Dabei Dabeikönnen könnenzwei zweiFälle Fälle auftreten: auftreten: 1. 1.Fall: Fall:Irgendwann Irgendwannentsteht entstehtals alsRest Restbei beider derDivision Division0. 0.Dann Dann entstehen ab dieser Stelle immer nur Nullen. D.h. es liegt entstehen ab dieser Stelle immer nur Nullen. D.h. es liegtein ein endlicher endlicher Dezimalbruch Dezimalbruch vor. vor. 2. 2.Fall. Fall.Alle AlleReste Restesind sind ≠≠ 0. 0.Da Dadie dieReste Reste<<qqsind, sind,müssen müssensie siesich sich nach spätestens q–1 Schritten wiederholen. Es liegt ein nach spätestens q–1 Schritten wiederholen. Es liegt ein periodischer periodischerDezimalbruch Dezimalbruchvor. vor.Die DiePeriodenlänge Periodenlängeist ist≤≤q– q–1. 1. Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen Seite 14 © Beutelspacher April 2005 Seite 28 14 Rein Reinperiodische periodischeDezimalbrüche Dezimalbrüche Sei Sei 0, z1z 2 K z k ein einrein reinperiodischer periodischerDezimalbruch. Dezimalbruch.Der Derzugehörige zugehörige k −1 k− 2 z 1 ⋅ 10 + z 2 ⋅ 10 + K + z k−1 ⋅ 10 + z k gewöhnliche Bruch ist gewöhnliche Bruch ist 10 − 1 k Beispiele. Beispiele. 0, 3 = 3 1 = . 9 3 0,17 = 17 . 99 0, 875 = 875 . 999 0, 9 = Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen 9 = 1. 9 © Beutelspacher April 2005 Seite 29 Nicht Nichtperiodische periodischeDezimalbrüche Dezimalbrüche Ein Einnicht-endlicher, nicht-endlicher,nichtperiodischer nichtperiodischerDezimalbruch Dezimalbruchist isteine einereelle reelle Zahl, die nicht rational ist. Zahl, die nicht rational ist. Beispiele: Beispiele:0,1010010001000010000010000001… 0,1010010001000010000010000001… (u.ä.) (u.ä.) √2 √2==1,41421356237309504880168872420969807856967187537 1,41421356237309504880168872420969807856967187537… … ππ==3,1415926535897932384626433832795028841971693993 3,1415926535897932384626433832795028841971693993 … … Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen Seite 15 © Beutelspacher April 2005 Seite 30 15 2.4 2.4Ordnung Ordnungin inden denrationalen rationalenZahlen Zahlen Ziele: Ziele:1. 1.Einführung Einführungeiner einerOrdnungsrelation Ordnungsrelation(<): (<):Rückführung Rückführungauf auf<< inin Z. 2. Untersuchung der Eigenschaften Z. 2. Untersuchung der Eigenschaften p Sei Sei q eine einerationale rationaleZahl. Zahl.Dann Dannkann kannman manden denNenner Nennerpositiv positiv wählen. (Wenn dies nicht der Fall sein sollte, erweitert man wählen. (Wenn dies nicht der Fall sein sollte, erweitert manden den Bruch Bruchzum zumBeispiel Beispielmit mit –1). –1). p 1 Definition. Definition. Seien Seien q1 Nennern. Nennern. Wir Wirdefinieren definieren und und p2 zwei zwei rationale rationale Zahlen Zahlen mit mit positiven positiven q2 p1 p2 ⇔ pp11⋅q⋅q22<< pp22⋅q⋅q11.. q1 <<q2 ⇔ Zum ZumBeispiel Beispielist ist 1/3 1/3<<2/5, 2/5,da da 1⋅5 1⋅5<<2⋅3 2⋅3 ist. ist. © Beutelspacher April 2005 Seite 31 Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen Erste ErsteEigenschaften Eigenschaften p1 p2 •• Die DieOperation Operation << ist istwohldefiniert. wohldefiniert.Das Dasheißt: heißt:Wenn Wenn q1 << q2 ist, ist, p1 p1 ' dann erfüllt auch jeder zu äquivalente Bruch die Beziehung dann erfüllt auch jeder zu äquivalente Bruch die Beziehung p1 ' p2 << . q1 ' q2 . q1 q1 ' (Dies (Diesfolgt folgtso: so:Aus Ausder der<-Beziehung <-Beziehungfolgt folgt pp11⋅q⋅q22<< pp22⋅q⋅q11.. Da q ' > 0, gilt also auch p ⋅q ⋅q ' < Da q1 ' > 0, gilt also auch p1 ⋅q2 ⋅q1 ' < pp2⋅q⋅q1 ⋅q⋅q1'.'. 1 1 2 1 2 1 1 Die DieÄquivalenz Äquivalenzder derBrüche Brüchesagt sagt pp11⋅ ⋅qq11' '== qq11⋅p⋅p11'.'. Einsetzen Einsetzeninindie dieUngleichung: Ungleichung: qq1⋅p⋅p1 '⋅q '⋅q2 << pp2⋅q⋅q1 ⋅q⋅q1 ',', 1 1 2 2 1 1 also alsopp11'⋅q '⋅q22<< pp22⋅q⋅q11,,da da qq11>>0. 0.Das Dasist istdie dieBehauptung.) Behauptung.) •• 2. 2. Die Die Operation Operation ist ist eine eine „totale „totale Ordnung“ Ordnung“ auf auf Q. Q. D.h.: D.h.: füfürr jeje zwei zwei verschiedene verschiedenerationale rationaleZahlen Zahlen r,r,ss gilt giltentweder entweder rr<<ss oder oder ss<<r.r. Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen Seite 16 © Beutelspacher April 2005 Seite 32 16 Addition Additioneiner einerrationalen rationalenZahl Zahl 2.4.1 2.4.1Satz. Satz.Wenn Wennman manzu zubeiden beidenSeiten Seiteneiner einerUngleichung Ungleichungdieselbe dieselbe rationale Zahl addiert, bleibt die Ungleichung erhalten. rationale Zahl addiert, bleibt die Ungleichung erhalten. p1 p2 p1 p2 Das Seien Dasbedeutet: bedeutet: Seien q1 und und q2 rationale rationaleZahlen Zahlenmit mit q1 << q2 ,, p und sei eine beliebige rationale Zahl. Dann gilt und sei eine beliebige rationale Zahl. Dann gilt q Beispiel. Beispiel.Aus Aus Ungleichung Ungleichung p1 p2 p p ++ << ++ . q1 q2 q q . 5/6 5/6<<9/10 9/10 folgt folgt durch durchAddition Additionvon von –1/4 –1/4 die die 7/12 < 13/20. 7/12 < 13/20. Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen © Beutelspacher April 2005 Seite 33 Beweisvorbereitung Beweisvorbereitung Beweis. Beweis. Wir Wirkönnen könnenannehmen, annehmen,dass dassdie dieNenner Nennerpositiv positivsind. sind. Nach NachVoraussetzung Voraussetzunggilt: gilt: pp11⋅q⋅q22<< pp22⋅q⋅q11.. Wir Wirbringen bringendie dieBrüche Brücheder derBehauptung Behauptungauf aufeinen einenHauptnenner: Hauptnenner: p1q + pq1 p2 q + pq 2 << q1q q2q Nach NachDefinition Definitionlautet lautetdie dieBehauptung Behauptungjetzt: jetzt: (p (p11⋅q⋅q++ p⋅q p⋅q11)⋅q )⋅q22⋅q⋅q<< (p (p22⋅q ⋅q++ p⋅q p⋅q22)⋅q )⋅q11⋅q ⋅q.. Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen Seite 17 © Beutelspacher April 2005 Seite 34 17 Beweisdurchführung Beweisdurchführung Wir Wirformulieren formulierendies diesschrittweise schrittweiseäquivalent äquivalentum um (p (p11⋅q⋅q++ p⋅q p⋅q11)⋅q )⋅q22⋅q⋅q<< (p (p22⋅q⋅q++ p⋅q p⋅q22)⋅q )⋅q11⋅q⋅q ⇔ ⇔ pp11⋅q⋅q⋅q⋅q22⋅q ⋅q++ p⋅q p⋅q11⋅q⋅q22⋅q⋅q<< pp22⋅q⋅q⋅q ⋅q11⋅q⋅q++ p⋅q p⋅q22⋅q⋅q11⋅q ⋅q ⇔ ⇔ pp11⋅q⋅q⋅q⋅q22⋅q ⋅q<< pp22⋅q⋅q⋅q⋅q11⋅q ⋅q (entsprechendes (entsprechendesGesetz Gesetzinin Z) Z) 2 ⇔ ⇔ pp11⋅q⋅q22<< pp22⋅q⋅q11(Multiplikation (Multiplikationmit mit (1/q) (1/q)2>>0) 0).. Dies Diesist istdie dieVoraussetzung Voraussetzungdes desSatzes. Satzes.Also Alsoist istdies dieseine einerichtige richtige Aussage. Somit gilt auch die Behauptung. Aussage. Somit gilt auch die Behauptung. © Beutelspacher April 2005 Seite 35 Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen Multiplikation Multiplikationmit miteiner einerpositiven positivenrationalen rationalenZahl Zahl 2.4.2 2.4.2Satz. Satz.Wenn Wennman maneine eineUngleichung Ungleichungmit miteiner einerbeliebigen beliebigen positiven rationalen Zahl multipliziert, bleibt die Ungleichung positiven rationalen Zahl multipliziert, bleibt die Ungleichung p1 p2 erhalten. Das bedeutet: Seien und rationale Zahlen erhalten. bedeutet: p1 pDas p Seien q1 und q2 rationale Zahlen 2 mit ,,und eine mit << undsei sei eine positive positive rationale rationale Zahl. Zahl. Dann Dann gilt gilt q1 q2 q p1 p p2 p ⋅ < ⋅ . q1 ⋅ q < q2 ⋅ q . Beispiel: Beispiel:Aus Aus 1/2 1/2<<5/9 5/9 folgt folgtdurch durchMultiplikation Multiplikationmit mit 3/2 3/2 die die Ungleichung 3/4 < 5/6 . Ungleichung 3/4 < 5/6 . Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen Seite 18 © Beutelspacher April 2005 Seite 36 18 Beweis Beweis Beweis. Beweis. Wir Wir können können annehmen, annehmen, dass dass die die Nenner Nenner positiv positiv sind. sind. Dann ist auch p positiv. Dann ist auch p positiv. Nach NachVoraussetzung Voraussetzunggilt: gilt: pp11⋅q⋅q22<< pp22⋅q⋅q11.. Wir Wirwollen wollenzeigen: zeigen: p1 ⋅ p p2 ⋅ p < , q1 ⋅ q < q2 ⋅ q , das dasheißt heißt pp11⋅p⋅q ⋅p⋅q22⋅q ⋅q<< pp22⋅p⋅q ⋅p⋅q11⋅q⋅q Da Da pq pq eine einepositive positiveganze ganzeZahl Zahlist, ist,ist istdies diesgleichbedeutend gleichbedeutendmit mit pp1⋅q⋅q2 << pp2⋅q⋅q1 .. 1 2 2 1 Dies Diesgilt giltaber abernach nachVoraussetzung. Voraussetzung.Also Alsogilt giltauch auchdie dieBehauptung. Behauptung. © Beutelspacher April 2005 Seite 37 Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen Multiplikation Multiplikationmit miteiner einernegativen negativenrationalen rationalenZahl Zahl 2.4.2 2.4.2Satz. Satz.Wenn Wennman maneine eineUngleichung Ungleichungmit miteiner einerbeliebigen beliebigen negativen rationalen Zahl multipliziert, dreht sich die negativen rationalen Zahl multipliziert, dreht sich dieUngleichung Ungleichung p1 p2 um. Das Seien und rationale Zahlen um.p Dasbedeutet: bedeutet: Seien p2 p q1 und q2 rationale Zahlen 1 mit ,,und eine mit << undsei sei eine negative negativerationale rationaleZahl. Zahl.Dann Danngilt gilt q1 q2 q p1 p p2 p ⋅ > ⋅ . q1 ⋅ q > q2 ⋅ q . Beispiel: Beispiel:Aus Aus 1/2 1/2<<5/9 5/9 folgt folgtdurch durchMultiplikation Multiplikationmit mit –3/4 –3/4 die die Ungleichung –3/8 > –15/36 . Ungleichung –3/8 > –15/36 . Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen Seite 19 © Beutelspacher April 2005 Seite 38 19 Beweis Beweis Beweis. Beweis. Wir Wirkönnen könnenannehmen, annehmen,dass dassdie dieNenner Nennerpositiv positivsind. sind. Dann ist p negativ. Dann ist p negativ. Nach NachVoraussetzung Voraussetzunggilt: gilt: pp11⋅q⋅q22<< pp22⋅q⋅q11.. Wir Wirwollen wollenzeigen: zeigen: p1 ⋅ p p2 ⋅ p > , q1 ⋅ q > q2 ⋅ q , das dasheißt heißt pp11⋅p⋅q ⋅p⋅q22⋅q ⋅q>> pp22⋅p⋅q ⋅p⋅q11⋅q⋅q Da Da pq pq eine einenegative negativeganze ganzeZahl Zahlist, ist,ist istdies diesgleichbedeutend gleichbedeutendmit mit pp1⋅q⋅q2 << pp2⋅q⋅q1 .. 1 2 2 1 Dies Diesgilt giltaber abernach nachVoraussetzung. Voraussetzung.Also Alsogilt giltauch auchdie dieBehauptung. Behauptung. Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen © Beutelspacher April 2005 Seite 39 2.5 2.5Die DieEntdeckung Entdeckungder derIrrationalität Irrationalität Die DieEntdeckung Entdeckungder derIrrationalität Irrationalitätbei beiden den Pythagoräern Pythagoräern (ca. (ca.500 500v.v. Chr.) war ein Schock. Denn die Pythagoräer waren davon überzeugt, Chr.) war ein Schock. Denn die Pythagoräer waren davon überzeugt, dass dass„alles „alles Zahl Zahl ist“, ist“,und unddas dasheißt heißt„rationale“, „rationale“,und unddamit damitim im wesentlichen „ganze“ Zahl ist. wesentlichen „ganze“ Zahl ist. Die DiePythagoräer Pythagoräerentdeckten, entdeckten,dass dasses esZahlen Zahlengibt, gibt, ----die unzweifelhaft existieren, da sie geometrische die unzweifelhaft existieren, da sie geometrischeGrößen Größensind, sind, ---- von vondenen denenman manaber aberbeweisen beweisenkann, kann,dass dassman mansie sienicht nichtdurch durch einen einenBruch Bruchdarstellen darstellenkann. kann. Definition. Definition.Eine EineZahl Zahlheißt heißtirrational, irrational,wenn wennsie siekeine keinerationale rationaleZahl Zahl ist. ist. Zwei Zwei Zahlen Zahlen heißen heißeninkommensurabel, inkommensurabel,wenn wennihr ihrVerhältnis Verhältnis keine keinerationale rationaleZahl Zahlist. ist. Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen Seite 20 © Beutelspacher April 2005 Seite 40 20 Das Dasreguläre reguläreFünfeck Fünfeck Die DiePythagoräer Pythagoräerentdeckten entdecktendie dieIrrationalität Irrationalitätam amregulären regulärenFünfeck. Fünfeck. Es Esgilt giltdas dasfolgende folgendesensationelle sensationelleErgebnis: Ergebnis: 2.5.1 2.5.1Satz. Satz.Das DasVerhältnis Verhältnisvon vonLänge Längeeiner einerDiagonale Diagonalezur zur Seitenlänge Seitenlängeeines einesregulären regulärenFünfecks Fünfecksist istkeine keinerationale rationaleZahl. Zahl. Mit Mitanderen anderenWorten: Worten:Die DieSeitenlänge Seitenlängeund unddie dieDiagonalenlänge Diagonalenlängeeines eines regulären Fünfecks sind inkommensurabel. regulären Fünfecks sind inkommensurabel. Bemerkung: Bemerkung: Dieses DiesesVerhältnis Verhältnisist istder der „goldene „goldeneSchnitt“. Schnitt“. Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen © Beutelspacher April 2005 Seite 41 Beweisvorbereitung Beweisvorbereitung Beweis. Beweis. Wir Wirstellen stellenuns unsein ein „großes“ „großes“reguläres reguläresFünfeck Fünfeck vor. vor. Seien D und F die Längen der Diagonalen und der Fünfecksseite. Seien D und F die Längen der Diagonalen und der Fünfecksseite. Wenn Wennman mandie dieDiagonalen Diagonaleneinzeichnet, einzeichnet,ergibt ergibtsich sichein ein „kleines“ „kleines“ reguläres reguläresFünfeck Fünfeckmit mitSeitenlänge Seitenlänge ff und undDiagonalenlänge Diagonalenlänge d. d.Da Da das dasgroße großeund unddas daskleine kleinereguläre reguläreFünfeck Fünfeckähnlich ähnlichsind, sind,sind sind entsprechende Längenverhältnisse gleich. Daher gilt D/F entsprechende Längenverhältnisse gleich. Daher gilt D/F==d/f. d/f. Angenommen, Angenommen,das dasVerhältnis Verhältnis D/F D/F wäre wärerational. rational.Dann Dannist istdieses dieses Verhältnis ein Bruch (mit positivem Zähler und Nenner). Verhältnis ein Bruch (mit positivem Zähler und Nenner). Sei Sei p/q p/q (mit (mit pp>>q) q)dieses diesesVerhältnis Verhältnisals alsBruch Bruchmit mitpositivem positivemZähler, Zähler, so sodass dassdieser dieserkleinstmöglich kleinstmöglichist. ist.Das Dasheißt: heißt:Es Esgibt gibtkeine keine DarstelDarstellung lung von von D/F D/F als alsBruch Bruch p‘/q‘ p‘/q‘ mit mitpositivem positivem p', p',so sodass dass p'p'<<pp ist. ist. Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen Seite 21 © Beutelspacher April 2005 Seite 42 21 Der DerBeweis Beweis Wir Wirzeigen, zeigen,dass dasses esdoch dochein einsolches solches p'p' gibt. gibt. Aus der Zeichnung erkennen wir: D = 2d+f Aus der Zeichnung erkennen wir: D = 2d+f und und FF==d+f. d+f. Sei Sei gg==ggT(2d+f, ggT(2d+f,d+f). d+f).Damit Damitfolgt folgtaus aus (2d+f)/(d+f) (2d+f)/(d+f)==D/F D/F==p/q, p/q, dass 2d+f = pg und d+f = qg ist. Es folgt dass 2d+f = pg und d+f = qg ist. Es folgt dd==(2d+f) (2d+f) ––(d+f) (d+f)==pg pg––qg qg==(p–q)g (p–q)g und und ff==qg qg––dd==(2q–p)g (2q–p)g.. Daraus Darausfolgt folgt d/f d/f==(p–q)g/(2q–p)g (p–q)g/(2q–p)g==(p–q)/(2q–p). (p–q)/(2q–p). Dies Diesist isteine eineDarstellung Darstellungvon von d/f d/f(= (=D/F) D/F) als alsBruch Bruchmit mitpositivem positivem Zähler, der kleiner als p ist: Widerspruch. Zähler, der kleiner als p ist: Widerspruch. Also Alsoist ist D/F D/F tatsächlich tatsächlichkeine keinerationale rationaleZahl. Zahl. © Beutelspacher April 2005 Seite 43 Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen √2 √2 Der Derberühmteste berühmtesteIrrationalitätsbeweis Irrationalitätsbeweisist istder derfür für √2. √2. 2.5.2 2.5.2Satz. Satz.Die DieZahl Zahl √2 √2 ist istkeine keinerationale rationaleZahl. Zahl. Beweis. Beweis. Angenommen, Angenommen, √2 √2 wäre wäre rational. rational. Dann Dann gäbe gäbe es es ganze ganze Zahlen p und q mit q ≠ 0, so dass gilt √2 = p/q. Zahlen p und q mit q ≠ 0, so dass gilt √2 = p/q. Wir Wirkönnen können pp und und qq so sowählen, wählen,dass dasssie sieteilerfremd teilerfremdsind, sind,also alsoggT ggT 11 haben. Insbesondere sind nicht beide Zahlen p und q gerade. haben. Insbesondere sind nicht beide Zahlen p und q gerade. 2 Wir Wirquadrieren quadrierenobige obigeGleichung Gleichungund undmultiplizieren multiplizierendann dannmit mit qq2:: 2 2 2 22==pp22/q /q2,,also also 2⋅2⋅qq2== pp2.. Dies Diesist istdie dieSchlüsselgleichung. Schlüsselgleichung.Diese Diesemüssen müssenwir wirbetrachten! betrachten! Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen Seite 22 © Beutelspacher April 2005 Seite 44 22 Der DerBeweis Beweis Die Dielinke linkeSeite Seiteist istein einVielfaches Vielfachesvon von 2, 2,also alsoeine einegerade geradeZahl. Zahl. Also muss auch die rechte Seite eine gerade Zahl sein. Also muss auch die rechte Seite eine gerade Zahl sein. 2 Daher Daherist ist pp2 gerade, gerade,also alsomuss mussauch auch pp gerade geradesein sein(Eindeutigkeit (Eindeutigkeit der derPrimfaktorzerlegung). Primfaktorzerlegung). 2 Dann Dannist ist pp2 sogar sogardurch durch 44 teilbar. teilbar. Da Dadie dierechte rechteSeite Seitedurch durch 44 teilbar teilbarist, ist,muss mussauch auchdie dielinke linkeSeite Seite 2 2 (also 2⋅q 2 ) durch 4 teilbar sein. Also ist q 2 durch 2 teilbar, (also 2⋅q ) durch 4 teilbar sein. Also ist q durch 2 teilbar,und und daraus darausfolgt, folgt,dass dassauch auch qq durch durch 22 teilbar teilbarist. ist. Somit Somitsind sind pp und und qq beide beidedurch durch 22 teilbar: teilbar:Widerspruch Widerspruchzur zur Wahl Wahl dieser dieserZahlen! Zahlen!Also Alsoist ist √2 √2 tatsächlich tatsächlicheine eineirrationale irrationaleZahl. Zahl. Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen © Beutelspacher April 2005 Seite 45 2.6 2.6Wie Wieviele vielerationale rationaleZahlen Zahlengibt gibtes? es? Wir Wirwissen: wissen: ZZ und und NN sind sindgleichmächtig, gleichmächtig,d.h. d.h. ZZ ist ist„abzählbar. „abzählbar. Frage: Frage:Ist Ist QQ abzählbar? abzählbar? Klar: Klar: NN ist isteine eineechte echteTeilmenge Teilmengevon von Q. Q.Also Alsoist istdie dieMenge Mengeder der rationalen Zahlen viel „größer“ als die Menge der natürlichen Zahlen. rationalen Zahlen viel „größer“ als die Menge der natürlichen Zahlen. Wir Wir werden werden beweisen, beweisen, dass dass QQ und und NN gleichmächtig gleichmächtig sind, sind, also also „gleich viele Elemente“ enthalten. „gleich viele Elemente“ enthalten. Achtung! Achtung!Bei Beiunendlichen unendlichenMengen Mengensind sindDinge Dingemöglich, möglich,die diewir wir zunächst nicht für möglich halten. zunächst nicht für möglich halten. 2.6.1 2.6.1Satz. Satz.Die DieMenge Menge QQ der derrationalen rationalenZahlen Zahlenist istabzählbar. abzählbar. Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen Seite 23 © Beutelspacher April 2005 Seite 46 23 Beweisstrategie Beweisstrategie Beweis. Beweis. Z. Z.z.: z.:Man Mankann kanndie dierationalen rationalenZahlen Zahlendurchnummerieren: durchnummerieren: rationale rationaleZahl ZahlNr. Nr.1, 1, rationale rationaleZahl ZahlNr. Nr.2, 2, rationale rationaleZahl ZahlNr. Nr.3, 3,... ... Dabei Dabeimuss mussjede jederationale rationaleZahl Zahlgenau genaueinmal einmalvorkommen. vorkommen. Der DerBeweis Beweishat hatzwei zweiTeile. Teile. 1. 1.Teil Teil(trickreich): (trickreich):Man Mankann kanndie die positiven positivenrationalen rationalenZahlen Zahlen durchnummerieren. durchnummerieren. 2. 2.Teil Teil(einfach): (einfach):Man Mankann kanndie dieMenge Menge aller allerrationalen rationalenZahlen Zahlen durchnummerieren. durchnummerieren. Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen © Beutelspacher April 2005 Seite 47 Beweis: Beweis:1. 1.Teil Teil Die Diepositiven positivenrationalen rationalenZahlen Zahlenwerden werdenso soangeordnet, angeordnet,dass dassininjeder jeder Zeile Zeiledie dieZahlen Zahlenstehen, stehen,bei beidenen denendie dieSumme Summeaus ausZähler Zählerund und Nenner Nennerkonstant konstantist. ist.Jede Jederationale rationaleZahl Zahlwird wirdnur nureinmal einmalerfasst. erfasst. 1/1 1/1 1/2 1/2 2/1 2/1 (Zähler (Zähler++Nenner Nenner==2) 2) (Zähler + Nenner = 3) (Zähler + Nenner = 3) 1/3 1/3 3/1 3/1 1/4 2/3 1/4 2/3 3/2 3/2 4/1 4/1 1/5 1/5 5/1 5/1 (Zähler (Zähler++Nenner Nenner==4) 4) (Zähler + Nenner = 5) (Zähler + Nenner = 5) 1/6 1/6 2/5 2/5 1/7 3/5 1/7 3/5 ... ... 3/4 3/4 5/3 5/3 4/3 4/3 5/2 5/2 6/1 6/1 7/1 7/1 (Zähler (Zähler++Nenner Nenner==6) 6) (Zähler + Nenner = 7) (Zähler + Nenner = 7) (Zähler (Zähler++Nenner Nenner==8) 8) (Zähler + Nenner = ...) (Zähler + Nenner = ...) Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen Seite 24 © Beutelspacher April 2005 Seite 48 24 Beweis: Beweis:1. 1.Teil, Teil,Abschluss Abschluss Klar: Klar:Jede Jedepositive positiverationale rationaleZahl Zahlkommt kommtininirgend irgendeiner einerZeile Zeilevor. vor. Denn Denndie dieSumme Summeaus ausZähler Zählerund undNenner Nennerist istirgendeine irgendeinenatürliche natürliche Zahl, und in der entsprechenden Zeile kommt diese Zahl Zahl, und in der entsprechenden Zeile kommt diese Zahlvor. vor. Damit Damitergibt ergibtsich sicheine eineNummerierung Nummerierungder derrationalen rationalenZahlen: Zahlen: Zuerst kommen die Zahlen in der ersten Zeile, dann die Zuerst kommen die Zahlen in der ersten Zeile, dann dieininder der zweiten zweitenZeile, Zeile,dann danndie dieininder derdritten drittenusw. usw. © Beutelspacher April 2005 Seite 49 Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen Beweis: Beweis:2. 2.Teil Teil Zu Zuzeigen: zeigen:Die DieMenge Menge aller allerrationalen rationalenZahlen Zahlenist istabzählbar. abzählbar. Dies Diesfolgt folgtnun nuneinfach: einfach:Nach Nachdem demersten erstenTeil Teilgibt gibtes eseine eine Nummerierung Nummerierung r1r,, r2r ,, r3r ,,... ...der derpositiven positivenreellen reellenZahlen. Zahlen. 1 2 3 Daraus Darauserhalten erhaltenwir wirauf auffolgende folgendeWeise Weiseeine eineNummerierung Nummerierungaller aller rationalen Zahlen: rationalen Zahlen: 0, 0,r1r1,,–r –r11,, r2r2,,–r –r22,, r3r3,,–r –r33,,... ... In Indieser dieserFolge Folgekommt kommtjede jederationale rationaleZahl Zahlgenau genaueinmal einmalvor: vor:Die Die Null Null zuerst, jede positive rationale Zahl als r und jede negative rationale zuerst, jede positive rationale Zahl als ir und jede negative rationale i Zahl Zahlals als –r –ri.i. Also Alsoist istdie dieMenge Mengeder derrationalen rationalenZahlen Zahlenabzählbar! abzählbar! Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen Seite 25 © Beutelspacher April 2005 Seite 50 25 Wie Wieviele vieleirrationale irrationaleZahlen Zahlengibt gibtes? es? Wir Wirwerden werdenspäter späterzeigen, zeigen,dass dassdie dieMenge Menge RR der derreellen reellenZahlen Zahlen überabzählbar ist. überabzählbar ist. Daraus Darausfolgt folgtdann, dann,dass dassauch auchdie dieMenge Mengeder derirrationalen irrationalenZahlen Zahlen (d.h. die reellen Zahlen, die keine rationalen Zahlen sind) (d.h. die reellen Zahlen, die keine rationalen Zahlen sind) auch auchüberabzählbar überabzählbarist. ist. Also Alsoist ist„fast „fastjede“ jede“reelle reelleZahl Zahleine eineirrationale irrationaleZahl! Zahl! Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen Seite 26 © Beutelspacher April 2005 Seite 51 26
