Mitschrift Elektrotechnik II

Mitschrift Elektrotechnik II
Peter Turczak
3. Mai 2006
Inhaltsverzeichnis
Vektorrechnung
0.1 Dreidimensionaler Vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.2 Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.3 Vektorprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 Das langsam veränderliche elektrische Feld
1.1 Qasistationäre Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Kondensator an Zeitabhängiger Spannung . . . . . . . . . .
1.2.1 Bereich 0 ≤ t < 10ms . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Bereich 10 ≤ t < 15ms . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Bereich 15 ≤ t < 25ms . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Der Verschiebungsstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Definition des Verschiebungsstroms . . . . . . . . . .
1.3.2 Der Knotensatz bei zeitabhängigen Strömen . . . . .
1.3.3 Das Durchflutungsgesetz bei zeitabhängigen Strömen
1.3.4 Ströme in realen Isolierstoffen . . . . . . . . . . . . .
1.4 Auf- und Entladung eines Kondensators . . . . . . . . . . .
1.5 Leistung und Energie eines Kondensators . . . . . . . . . . .
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2 Das statische Magnetfeld
2.1 Allgemein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Kräftewirkung im Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Kraft auf einem stromdurchflossenen Leiter . . . . . . . . .
2.2.2 Kraft auf eine bewegte Ladung im Magnetfeld . . . . . . .
2.3 Hall-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Magnetische Flussdichte und magnetische Feldstärke . . . . . . .
2.5 Magnetischer Fluss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Durchflutungsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Anwendung des Durchflutungsgesetzes auf technische Anwendungen
2.7.1 Magnetfeld eines langen, geraden Leiters . . . . . . . . . .
2.7.2 Magnetfeld einer Koaxialleitung . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.3 Magnetfeld innerhalb einer Kreisringspule . . . . . . . . .
2.7.4 Das Magnetfeld innerhalb einer Zylinderspule . . . . . . .
i
iii
iii
iii
iii
1
1
1
2
3
3
3
3
4
4
5
5
6
9
9
9
9
10
10
11
12
12
13
13
13
15
15
INHALTSVERZEICHNIS
ii
2.8
Das Gesetz von Biot-Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.1 Magnetfeld eines endliche langen Leiters . . . . . . . . . .
2.8.2 Magnetfeld im Mittelpunkt einer kreisförmigen Leiterschleife
2.9 Materie im Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9.1 Magnetismus und elementarer Aufbau . . . . . . . . . . .
2.9.2 Diamagentismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9.3 Paramagnetismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9.4 Ferromagnetismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10 Energiedichte im Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.11 Der magnetische Kreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.11.1 Magnetischer Kreis und magnetische Ersatzschaltung . . .
2.11.2 Feldgrößen an Grenzflächen . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.11.3 Kräfte auf der Trennfläche . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.11.4 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Zeitabhängige magentische Felder
3.1 Indunktionsgesetz und LENTZsche Regel .
3.2 Selbstinduzierte Spannung . . . . . . . . .
3.3 Bewegungsspannung . . . . . . . . . . . .
3.4 Erzeugung einer Sinusspannung . . . . . .
3.5 Selbstinduktivität . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Induktivität von praktischen Anwendungen
3.7 Zusammenschaltung von Induktivitäten . .
3.8 Gegeninduktion und Gegeninduktivität . .
16
16
16
17
17
17
17
17
19
19
19
21
22
22
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23
23
24
24
25
26
27
28
28
4 Dreh- und Wechselstromtechnik
4.1 Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
31
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Vektorrechnung
0.1
Dreidimensionaler Vektor
~a = ax · e~x + ay cot e~y + az · e~z
= (ax , ay , az )
(1)
(2)
Hierbei werden e~x , e~y , e~z als Einheitsvektoren bezeichnet.
0.2
Skalarprodukt
c = ~a · ~b = |~a| · ~b · cos φ
(3)
= ax · bx + ay · by + az · bz
(4)
Wobei φ den spitzen Winkel zwischen ~a und ~b mit 0o ≤ φ ≤ 180o bezeichnet.
0.3
Vektorprodukt
~c = ~a × ~b
=
|~c| =
(5)
ay · bz − az · by , az ḃx − ax · bz, ax · by
|~a| × ~b
= |~a| · sin φ
(6)
(7)
Das Vektorprodukt oder Kreuzprodukt ist nur im 3-dimensionalen Raum definiert. ~c steht senkrecht auf ~a und auf ~b und somit auf der durch ~a und ~b definierten
Ebene. Die Richtung von ~c ist durch die folgende Regel gegeben.
~a, ~b, ~c bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem.
iii
Kapitel 1
Das langsam veränderliche
elektrische Feld
1.1
Qasistationäre Felder
Unterscheidung:
1. Stationäre Vorgänge:
Die physikalischen Größen sind zeitlich konstant.
2. Zeitabhängige Vorgänge:
(a) Zeitlich langsam (Quasistationär):
der Einfluss der räumlichen Ausdehnungsgeschwindigkeit sämtlicher
Größen ist vernachlässigbar. In diesem Fall können für jede Berechnung konzentrierte Bauelemente verwendet werden. Dies ist der Fall,
wenn die Verzögerungszeit δt sehr viel kleiner ist, als die kleinste Periodendauer T eines Stroms oder Spannung ist.
(b) Sehr schnelle Änderungen:
Anwendung der vollständigen Maxwell’schen Gleichungen (DGL) und
der Ausbreitungsgeschwindigkeit der Ströme und Spannungen.
1.2
Kondensator an Zeitabhängiger Spannung
Bezugspfeilsystem an C: Verbraucherzählsystem (VZS). Zu jeder Zeit gilt
Q(t) = C · uc (t)
Mit Q = Ladung des Kondensators.
1
(1.1)
KAPITEL 1. DAS LANGSAM VERÄNDERLICHE ELEKTRISCHE FELD 2
Eine kleine Spannungsänderung duc bewirkt eine proportionale Ladungsänderung dQ:
dQ = C · duc
(1.2)
Diese Ladungsänderung erfolgt durch den Stromfluss innerhalb der Zeit dt:
ic =
dQ
dt
(1.3)
Mit (1.2) → (1.3):
ic = C ·
duc
dt
(1.4)
Aus dieser Gleichung geht hervor, dass sich die Spannung an einer Kapazität
nicht sprunghaft ändern kann, da sonst der Strom unendlich groß werden würde.
Die Stromstärke ist proportional zur Geschwindigkeit der Spannungsanderung.
Durch Umformen und Integrieren erhält man aus Gleichung (1.4):
duc
1
1 Z
=
ic dt + u0 1
· ic dt 7→ ac =
C
C
(1.5)
Übung
An einer Kapazität C = 0, 2µF liegt die abgebildete zeitabhängige Spannung
uc . Berechnen und zeichnen Sie die zugehörige Zeitfunktion des Stromes i im
Zeitintervall 0 ≤ t ≤ 30ms.
ic = C ·
duc
dt
Da es sich um lineare Kurvenabschnitte handelt, gilt:
ic = C ·
1.2.1
duc
u c − u c2
=C· 1
dt
t2 − t1
Bereich 0 ≤ t < 10ms
ic = 0, 2 · 10− 6F ·
5V − 0V
10ms − 0ms
5
· 10−3
10
= 1 · 10−4 A
= 0, 2 ·
KAPITEL 1. DAS LANGSAM VERÄNDERLICHE ELEKTRISCHE FELD 3
1.2.2
Bereich 10 ≤ t < 15ms
ic = 0, 2 ·
1.2.3
5V − 5V
=0
15ms − 10ms
Bereich 15 ≤ t < 25ms
0V − 5V
15ms − 25ms
−5V
= 0, 2 · 10−6 ·
−10ms
ic = 0, 2 · 10−6 ·
Übung 1-2
Mittels 1.5:
uc
1.3
1.3.1
1 Z
ic dt + Uo
=
C
Z t
1
− 2,5ms
−6
=
−40
·
10
A
·
e
dt + Uo
10 · 10−9 F
Der Verschiebungsstrom
Definition des Verschiebungsstroms
Annahme: Idealer Plattenkondensator gemäß Bild 1-2. Es gilt für die Ladung
~ ·A
~
Q = D
D=
Q
A
~ = E
~
D
~
dQ
dD
~
=
·A
dt
dt
Die Größe
~
dD
dt
(1.6)
hat die Einheit einer Stromdichte und deshalb definiert man:
~
dD
= s~v
dt
~
~
dD
dE
= ·
= s~v
dt
dt
(1.7)
(1.8)
KAPITEL 1. DAS LANGSAM VERÄNDERLICHE ELEKTRISCHE FELD 4
Die Verschiebungsstromdichte, bzw. der Verschiebungsstrom existiert immer
dann, wenn sich im Raum die Feldstärke ändert.
Verschiebungsstrom:
iv =
Z
A
~
s~v · dA
(1.9)
Der Leitungsstrom im Leiter des Bildes 1-2 setzt sich im Dielektrikum als
Verschiebungsstrom fort.
1.3.2
Der Knotensatz bei zeitabhängigen Strömen
Für den idealen Plattenkondensator gemäß Bild 1-3 ist die Hüllfläche A mit ihren
ihren Teilflächen A1 und A2 dargestellt.
Der Knotensatz lautet bei zeitunabhängigen Strömen:
il = iv
(1.10)
Im Allgemeinen gilt: Die Summe der Leitungs und Verschiebungsströme in einem
Knoten ist 0.
X
il m + iv n
(1.11)
m=1..M,n=1..N
Mithilfe der Stromdichte lautet der Knotensatz:
I A
1.3.3
~ = 0
S~l + S~v · A
(1.12)
Das Durchflutungsgesetz bei zeitabhängigen Strömen
Jeder Strom erzeugt ein Magnetfeld, d.h. sowohl der Leitungsstrom als auch der
Verschiebungsstrom erzeugen ein Magnetfeld nach folgendem Durchflutungsgesetz:
I
~ · ds = il
H
(1.13)
I
~ · d~s = iv
H
(1.14)
H
d~s
:
:
Magnetische Feldstärke
Wegelement
In allgemeiner Form lautet das Durchflutungsgesetz mithilfe der Stromdichten
(1. Maxwellsche’sche Gleichung).
I
~ · d~s =
H
Z
A
~+
S~l · dA
Z
A
~
s~v · dA
(1.15)
KAPITEL 1. DAS LANGSAM VERÄNDERLICHE ELEKTRISCHE FELD 5
1.3.4
Ströme in realen Isolierstoffen
Wir betrachten einen Plattenkondensator mit einem reellen Dielektrikum (Bild
1-5). Das Dielektrikum2 hat eine endliche Leitfähigkeit σ und somit setzt sich die
gesamte Stromdichte ~s aus folgenden Anteilen zusammen:
~s =
~
σ
·E
+
| {z
}
Leitungsstromdichte
~
dE
| {zdt}
Verschiebungsdichte
·
(1.16)
: Dielektrizitätskonstante
σ: Elektrische Leitfähigkeit
Übung 1-4
1.4
Auf- und Entladung eines Kondensators
Ein Kondensator gemäß Bild 1-6 liegt seit langer Zeit an der Spannungsquelle
UA und nimmt daher ihre Spannung an : UC (t < 0) = UA . Zur Zeit t = 0 wird
der Schalter von 1 nach 2 umgelegt und der Kondensator lädt sich auf die neue
Spannung UE um. UC (t → ∞) = UE .
Maschengleichung für t ≥ 0:
Re · iC + UC = UE
(1.17)
Gleichung 1-4 eingesetzt:
duc
+ UC = UE
dt
{z
}
|
DGL 1. Ordnung
RE · C
(1.18)
Für t → ∞ gilt
duc
= 0
dtc
(1.19)
Zeitkonstante des Ladevorgangs:
τ·
τ = RE · C
(1.20)
duc
+ UC = UE
dt
(1.21)
Allgemeine Lösung:
t
UC = UE − K · e− τ
2
=Isoliermittel
(1.22)
KAPITEL 1. DAS LANGSAM VERÄNDERLICHE ELEKTRISCHE FELD 6
K wird mithilfe der Ausgangsbedingung (t = 0) bestimmt:
UC (0) = UA = UE − K · 1
K = UE − UA
(1.23)
(1.24)
t
Lösung: UC = UE + (UA − UE ) · e− τ
IC ||UC → IC = +C
(1.25)
duc
dt
Mit (1-26) und (1-4) erhält man IC :
ic = −
t
UA
RE · e− τ
UE
(1.26)
Sonderfälle:
• Ungeladener Kondensator wir aufgeladen (UA = 0):
t
UC = UE · 1 − e− τ
IC =
UE − t
·e τ
RE
(1.27)
(1.28)
ICmax = IC (t = 0) =
UE
RE
(1.29)
Eine ungeladene Kapazität wirkt im Schaltzeitpunkt wie ein Kurzschluss.
• Entladung eines Kondensators (UE = 0; UA 6= 0):
t
UC = UA · e− τ
UA − t
·e τ
IC =
RE
1.5
(1.30)
(1.31)
Leistung und Energie eines Kondensators
Nach Bild 1-1 gilt für die Leistung die ein Kondensator aufnimmt:
P = UC · IC = UC · C ·
duc
dt
(1.32)
Annahme: Ein Kondensator wird in einer Zeit von t = 0 bis te von einer
Spannung U = 0 bis UE aufgeladen. Die die dafür benötigte Energie beträgt:
W =
Z te
0
=
Z Ue
0
P · dt =
Z te
·C ·
0
˙ c·C =
UC du
duc
· dt
dt
1
· C · Ue2
2
(1.33)
KAPITEL 1. DAS LANGSAM VERÄNDERLICHE ELEKTRISCHE FELD 7
Mit Gleichung 1-1 gilt auch:
1 Q2e
·
2 C
W =
(1.34)
Für die Energiedichte im Dielektrikum eines Kondensators gilt:
w =
Z Ee
D · dE =
Z Ee
0
0
1
1 De2
· E = Ee2 =
2
2 E
(1.35)
3
~ D
~
Hier Annahme : = Konstant und E||
Allgemein gilt:
w =
1~ ~
E·D
2
(1.36)
Die gesamte Energie eines Raumes erhält man, durch Integration über den
gesamten Raum:
W =
Z
w · dV
(1.37)
V
Übung 1-5
Übung 1-8
Lösungsansatz: Einfache Schaltungen wie 1-8 versucht man auf die allgemeine
Lösung für Bild 1-6 zurückzuführen. d.h.:
1. UA bestimmen.
2. UE bestimmen.
3. Alle Spannungsquellen kurzschließen und alle Stromquellen leerlaufen lassen4 .
4. Formel ansetzen:
t
uc = UE + (UA − UE ) · e− τ
3
4
Nun folgt eine Nummerierungslücke, wahrscheinlich muss setcounter durchgeführt werden...
Entfernen
KAPITEL 1. DAS LANGSAM VERÄNDERLICHE ELEKTRISCHE FELD 8
Im Stationären Zustand vor dem Umschalten ist der Kondensator auf UA
aufgeladen.
i1 = ic = 0
Unmittelbar nach dem Umschalten hat der Kondensator die Spannung
U (t = 0) = UA = UB
Im stationären Zustand nach dem Umschalten gilt:
ic = 0
und folgende vereinfachte Schaltung:
R3
· UB = 100V
R12 + R3
1
=
= 300Ω
1
1
1
+ 2kΩ
+ 500Ω
1.2kΩ
u3 =
R1 ||R2 ||R3
τ = Rges · C
= 300Ω · 10−6 F = 3 · 10− 4s
t
u1 = UE + (UA − UE ) · e− τ
t
= (100V + 450V ) · e− τ
t
i3
Bei t < 0 gilt:
t
uc
(100V + 150V ) · e− τ
=
=
= 0.2A + 0.3A · e− τ
R3
500Ω
UB
R1 +R2
=
250V
2500Ω
i3 (t = 0) = 0.2A + 0.3A = 0.5A
i3 (t → ∞) = 0.2A + 0A
Kapitel 2
Das statische Magnetfeld
2.1
Allgemein
Natürliche Magnetfelder wie z.B. Magneteit (F e3 O4 ) üben Anziehungskräfte auf
Eisenteile aus. Ein Magnet besitzt ein Magnetfeld. Magnetfelder sind Wirbelfelder, d.h. die Feldlinien sind immer in sich geschlossen. Magnetfelder sind immer
das Produkt eines Stromes; bei Dauermagneten ist die Ursache ein atomarer
Strom (Elektronenfluss und Elektronenspin). Der Zusammenhang zwischen der
Richtung eines Stromes und eines magnetischen Feldes ist durch die Regeln im
Bild 2-4 gegeben.
2.2
2.2.1
Kräftewirkung im Magnetfeld
Kraft auf einem stromdurchflossenen Leiter
Auf einem stromdurchflossenen Leiter im Magnetfeld gemäß Bild 2-5 wird folgende Kraft ausgeübt.
F = B · I · l · sin α
(2.1)
B: Magnetisches Flußdichte oder magnetische Induktion
Für α = 90o ergibt sich die definition und die Einheit in
F
I ·l
N
[B] = 1
A·M
= 1Tesla = 1T
B =
(2.2)
(2.3)
Älterer Einheit: Gauss
1G = 10−4 T
9
(2.4)
KAPITEL 2. DAS STATISCHE MAGNETFELD
10
HIER FEHLT ETWAS!
Allgmeine Formel der Kraft:
~
F~ = I · ~l × B
Merkregel: 3-Finger Regel (Bild 2-6)
Daumen
=
ˆ Leiter (Strom)
Zeigefinger =
ˆ Magnetfeld
Mittelfinger =
ˆ Kraft
2.2.2
(2.5)
~l (I)
~
B
F~
Kraft auf eine bewegte Ladung im Magnetfeld
Die Kraft, die auf einen stromdurchflossenen Leiter im Magnetfeld, kommt durch
die Bewegung von Ladung zu Stande. Ersetzt man die Stromstärke durch die
Ladungsmengen und Ladungsgeschwindigkeit, so erhält man die folgende Beziehung:
~
F~ = Q · ~v × B
Q : Ladung
~v : Geschwindigkeit der Ladungen
F~ : Die so genannte Lorentzkraft
(2.6)
~ sind konstant im betrachteten Bereich.
Annahme: ~v und B
2.3
Hall-Effekt
Eine leitende Platte (Metall oder Halbleiter) befindet sich in einem Magnetfeld
mit der senkrechten Komponente B~n . Ein weiterer Strom I entspricht einer bestimmten Geschwindigkeit ~v negativer Ladungen. Auf diese Ladungen wirkt die
Lorentzkraft F~L . Durch die Anhäufung der Ladungen auf der rechten Seite entsteht ein Elektronenmangel auf der linken Seite. Das so verursachte elektrische
Feld erzeugt eine Kraft F~ entgegengesetzt zu F~L .
~
F~E = −e · E
F~E = −e · ~v × B~n ⇒
|F~L | = e · v · Bn
e : Hier: Die elementarladungskonstante
(2.7)
(2.8)
Es gilt:
I = e·n·A·v
n : Anzahl der Ladungen pro Volumeneinheit
A : Leitungsquerschnitt
(2.9)
KAPITEL 2. DAS STATISCHE MAGNETFELD
|F~L | = |F~E | ⇒
I
1
· · Bn (Im Gleichgewichtszustand)
E =
e·n A
Die Leerlauf-Hallspannung beträgt:
UH0 = E · b
1
I · Bn
UH0 =
·
e·n
d
I · Bn
= RH ·
d
RH : Hallkonstante (Materialkonstante)
11
(2.10)
(2.11)
(2.12)
Da die gesamte Polspannung umgekehrt proportional zur Ladungsdichte ist,
bevorzugt man Halbleiter gegenüber Metallen bei Hallsonden. Anwendungen:
• Magnetfeldmessung
• Elektrischer Multiplizierer, z.B. zur Leistungsberechnung: s = U · I
• Kontaktlose Signalgabe, z.B. für Annäherungsschalter und Drehzahlmesser.
2.4
Magnetische Flussdichte und magnetische
Feldstärke
Das Magnetfeld eines stromdurchflossenen Leiters hängt vom Strom ab (einschließlich der Leitergeometrie) und vom magnetischen Verhalten des Materials
um den Leiter herum. Zur vereinfachten Berechnung des Magnetfeldes führt man
~ die magnetische Feldstärke. Die materieine materialabhängige Größe ein: H,
~ die magnetische Indukalabhängige und physikalisch interessante Größe ist B,
tion oder magnetische Flussdichte. Der Zusammenhang zwischen diesen beiden
Größen ist durch die Materialeigenschaft gegeben:
~ = µ·H
~
B
(2.13)
Wobei µ im Allgemeinen von der magnetischen Feldstärke H abhängig ist. Es
wird definiert:
µ = µr · µ0
V ·s
µ0 = 4 · π · 10−7
A·m
≈ 1, 257 · 10−6 f racV · sA · m
µ : Permeabilität (eines Materials)
µ0 : Magnetische Feldkonstate
µr : Permiabilitätszahl
(2.14)
(2.15)
KAPITEL 2. DAS STATISCHE MAGNETFELD
12
Für Vakuum gilt: µr = 1, für Luft gilt: µr ≈ 1
2.5
Magnetischer Fluss
~ wird als magnetischer Fluss bezeichnet φ.
Der Fluss des Vektors B
φ =
Z
~ · dA
~
B
(2.16)
A
φ gibt die Gesamtheit des magnetischen Feldes an, welches durch eine Fläche A
hindurchgeht. Die Einheit von φ ist :
V ·s
· m2
2
m
= 1V · s = 1Weber = 1W b
[φ] = 1
(2.17)
~ welches schräg durch eine Fläche A hindurchgeht gilt:
Für ein homogenes Feld B
~ ·A
~
φ = B
~ A
~
= A · B · cos 6 B,
(2.18)
~ senkrecht auf einer Fläche A so gilt:
Bild 2-10 b). Steht B
~ ·A
~ = B · A · cos 0o = B · A
φ = B
(2.19)
Fall 2-10 a).
Da die Magnetfeldlinien immer in sich geschlossen sind, folgt daraus: Feldlinien der Flussdichte, die in die geschlossene Hüllfläche eines Volumengebietes
eintreten, kommen an anderer Stelle wieder heraus:
I
~ · dA
~=0
B
(2.20)
A
2.6
Durchflutungsgesetz
Wir betrachten einen beliebig gekrümmten Leiter mit der Stromstärke I und
bilden das Umlaufintegral der magnetischen Feldstärke entlang eines beliebigen
Weges. Dabei stelle man fest:
I
~ · d~s = I = θ
H
θ : Durchflutung
I : Vom Umlaufweg umschlossene Strom
(2.21)
KAPITEL 2. DAS STATISCHE MAGNETFELD
13
Werden mehrere Leiter vom Umlaufweg umschlossen, so gilt:
I
n
X
~ · d~s =
Hd
Ik = θ
(2.22)
k=1
Für (2-11) und (2-22) gilt: Die mit dem Integrationsweg im Sinne einer Rechtsschraube verknüpften Ströme erhalten ein positives Vorzeichen, die anderen ein
negatives Vorzeichen. H ist ist Summe aller umschlossenen Ströme.
2.7
2.7.1
Anwendung des Durchflutungsgesetzes auf
technische Anwendungen
Magnetfeld eines langen, geraden Leiters
Es wird ein unendlich langer, gerader und zylindrischer Leiter betrachtet. Aus
Symmetriegründen folgt:
1. Die Magnetfeldlinien sind konzentrische Kreise um die Leiterachse.
2. Der Betrag der magnetischen Feldstärke H ist auf einem solchen Kreis
konstant.
3. Die Richtung des Feldes ist tangential zu diesem Kreis
2.7.2
Magnetfeld einer Koaxialleitung
Innerhalb des Leiters
I
~ i · d~s =
H
I
Hi · ds ·
cos 6
|
=1(Da
⇒
I
Hi · ds = Hi ·
I
~ i , d~s
H
{z
}
der Winkel 0o )
ds
= ZHi · 2 · π · r
Z
~ =
~s · dA
A
s · dA · cos 0o
A
Unter der Annahme s sei über den Leiter konstant (nur bei Gleichstrom!).
⇒ =
=
A
:
S
:
Z
ZA
S · dA = s ·
Z
dA = S · A(r)
A
I(ra )2 · π · r2 · π
die gesamte, umschlossene Fläche
Gesamtstrom
Gesamtfläche
KAPITEL 2. DAS STATISCHE MAGNETFELD
14
Beide Gleichungen gleichsetzen:
Hi · 2 · π · r =
I
·π · r2
π · ra2
| {z }
=s
ˆ
Hi =
ra2
r
I
· (Gerade)
·π 2
(2.23)
Außerhalb des Leiters
I
~a · d~s = Ha 2̇ · π · r = I
H
Außerhalb des Leiters ,,sieht” bzw. umschließt man I.
Ha =
I
2·π·r
(2.24)
Treffen sich die Funktionen bei r = ra ?
I · ra
I
=
2
2 · π · ra
2 · π · ra
I
Ha (r = ra ) =
2 · π · ra
Hi (r = ra ) =
Also springt die Feldstärke am Übergang Leiter-Luft nicht!
Es wird ein Koaxialkabel mit einer gleichmäßigen Stromverteilung angenommen. Der Innenleiter stellt den Hin-Leiter und der Außenleiter den Rückleiter für
den Strom I dar.
I
2 · π · r12
I
Im Zwischenraum: H =
2·π·r
I
r32 − r2
Im Außenleiter: H =
·
2 · π · r2 r32 − r22
Im Außenraum: H = 0
Im Innenleiter: H =
(2.25)
(2.26)
(2.27)
(2.28)
KAPITEL 2. DAS STATISCHE MAGNETFELD
2.7.3
15
Magnetfeld innerhalb einer Kreisringspule
Annahme: Die Spule ist dicht gewickelt und es gilt:
D >> d
D : Durchmesser der Spule
d : Windungsdurchmesser
Unter dieser Voraussetzung kann man näherungsweise von einem kreisförmigen Magnetfeld ausgehen:
0o

I
~ · d~s =
H
I


~

H · ds · cos 6 
H, ds
|
I

z }| {
H · ds = H ·
I
{z
}
1
ds = H · s = H · 2 · π · r = N · I = θ
(2.29)
Allgemein gilt:
N ·I
2·π·r
H =
(2.30)
Näherung: Falls D >> d, dann kann man von einem näherungsweise konstanten Feld ausgehen im gesamten Spannungsbereich:
N ·I
π·D
H ≈
2.7.4
(2.31)
Das Magnetfeld innerhalb einer Zylinderspule
Annahme: Die Länge der Spule ist wesentlich größer als ihr Durchmesser und sie
ist dicht gewickelt. Es wird vorausgesetzt, dass das Feld im inneren der Spule
homogen und viel stärker als im Außenraum ist.
I
~
Hds
=
Z
li
~i +
H
Z
la
~a · d~s
H
|
=
Z
li
{z
≈0
Hi · ds · cos 6
= Hi ·
|
Z
= H ·I
N ·I
Hi = H =
l
}
~ i , d~s = H
H
{z
1
}
ds
(2.32)
(2.33)
KAPITEL 2. DAS STATISCHE MAGNETFELD
2.8
16
Das Gesetz von Biot-Savart
Das Durchflutungsgesetz lässt sich nur für einfache, symmetrische Anodnungen
erfolgreich einsetzen. Bei komplizierteren Anordnungen kann man das Biot-Savart
Gesetz anwenden. (Siehe Bild 2-21) Für einen unendlich dünnen Leiter lautet das
Biot-Savart Gesetz:
Z ~
~ = µ · I · dl × ~r
B
4·π
r3
bzw.
~
~ = µ · I · dl × ~r
dB
4·π
r3
r : Aufpunkt
~r : Längenvektor, gerichtet von d~l zu P
(2.34)
(2.35)
~ ermittelt man mithilfe der 3-Finger Regel: dB
~ stet senkrecht auf der
dB
Fläche, die von d~l und ~r aufgespannt wird.
2.8.1
Magnetfeld eines endliche langen Leiters
Mithilfe des Biot-Savart Gesetzes lässt sich das Magnetfeld eines beliebig langen,
geraden und unendlich langen Leites berechnen:
B =
2.8.2
µ·I
· (cos α1 − cos α2 )
4·π·d
(2.36)
Magnetfeld im Mittelpunkt einer kreisförmigen Leiterschleife
Annahme: Dünne, kreisförmige Leiterschleife. Die Magnetfelder der Zuleitungen
heben sich gegenseitig auf, wenn die Leiter sehr eng beieinander liegen.
Auf dem gesamten Integrationsweg gilt:
α = 90o ⇒ sin α = 1
r = const
µ · I Z d~l × ~r
~
B =
·
4 · π l r3
~ sind parallel, da d~l ×~r immer eine Richtung → Man kann algebraisch
Alle dB
addieren:
=1
B =
µ·I
·
4·π
Z
l
z }| {
dl · r · sin α
r3
KAPITEL 2. DAS STATISCHE MAGNETFELD
µ·I
=
4·π
µ·I
=
4·π
2.9
2.9.1
1 Z
· 3 · dl
r
l
2·π·r
µ·I
·
=
2
r
2·r
17
(2.37)
Materie im Magnetfeld
Magnetismus und elementarer Aufbau
Jede bewegete Ladung erzeugt auch ein Mangetfeld. Somit entstehen durch die
Rotation eines Elektrons um einen Atomkern sowie durch den Elektronenspin
(Rotation um die eigene Achse) elementare Magnetfelder.
2.9.2
Diamagentismus
Bringt man einen diamagnetischen Werkstoff in ein homogens Feld mit der Flußdichte B0 , so stellt sich eine schwächere Flußdichte B < B0 ein. Die Permiabilität
eines diamagnetischen Werkstoffes erfüllt die Bedingung:
µr =
B0
:
B
<0
B0
Flussdichte im Vakuum
(2.38)
1
2.9.3
Paramagnetismus
Bringt man einen paramagnetischen Werkstoff in ein homogenes Magnetfeld, das
im Vakuum die Flußdichte B0 aufweist, so stellt sich in diesem Stoff die Flussdichte B > B0 ein:
µr =
2.9.4
B
>0
B0
(2.39)
Ferromagnetismus
In einem ferromagnetischen Stoff existieren viele kleine Bezirke, sogenannte Weiß’sche
Bezirke in denen die magnetischen Momente der Atome durch gegenseitige Wechselwirkungen völlig parallel liegen. Weiß’sche Bezirke sind 0, 01 bis 0, 007mm2
groß und enthalten 106 bis 109 Elementarmagneten.
Ferromagnetismus gibt es nur bei bestimmten Kristallstrukturen von festen
Körpern. Oberhalb der Curie-Temperatur verschwindet der Ferromagnetismus
1
ACHTUNG Gl. 40 fehlt!
KAPITEL 2. DAS STATISCHE MAGNETFELD
18
restlos, da die Wärmebewegung die Ausrichtung aufhebt.
µ =
B
6= const bei ferromagnetischen Werkstoffen
H
(2.40)
Typisch µr ≈ 100 − 100000.
Die absolute Permiabilität ist definiert als:
µ =
B
H
(2.41)
In Werkstofftabellen wird anstelle von µ die relative Permiabilität angegeben:
µr =
µ
µ0
(2.42)
Die differentielle Permiabilität:
µdiff =
1 dB
·
µ0 dH
(2.43)
Ferromagnetische Werkstoffe zeigen die Eigenschaft der Hypothese:
Br : Remanenzflussdichte:
Restflussdichte nachdem der Strom abgeschaltet wurde (I = 0 ⇒ H = 0)
Br : Korezitivfeldstärke
Feldstärke, bei der das Magnetfeld im Eisen verschwindet (B = 0)
Die Neukurve ergibt sich beim erstmaligen Magnetisierung eines entmagnetisierten Werkstoffes. Er ergibt sich aus der Verbindung der Endpunkte aller
möglichen Hystereseschleifen.
Magnetische Werkstoffe werden in zwei Gruppen eingeteilt:
1. Magnetisch weiche Stoffe: Hc klein
⇒ leicht (ent-) magnetisierbar. z.B. ,,Elektrobleche” in elektrischen Maschinen.
2. Magnetisch feste Werkstoffe: Hc groß
⇒ schwer (ent-) magnetisierbar z.B. für Dauermagnete
Ferrite: Ferromagnetische Werkstoffe mit sehr niedriger Leitfähigkeit für HochfrequenzAnwendungen.
AlN iCo-Legierungen bestehen vor allem aus: Aluminium, Nicket und Kobalt
plus Eise.
KAPITEL 2. DAS STATISCHE MAGNETFELD
2.10
19
Energiedichte im Magnetfeld
Ohne Beweis gilt für die Energiedichte im Magnetfeld:
Z Bi
wm =
H · dB
(2.44)
0
Die gesamte Energie in einem inhomogenen Feld ist:
Z
Wm =
V
V
:
wm · dV
(2.45)
V olumen
(2.46)
Allgemein: H(B) nicht linear, d.h. µ = const! Ist die Permiabilität µ konst. so
gilt vereinfacht:
wm =
1 ZB
B2
·
B · dB =
µ 0
µ·2
(2.47)
Bemerkung: Ist die Permiabilität nicht konstant, so muß man die Energiedichte graphisch oder numerisch aus der entspr. Kennlinie ermitteln. (Bild 2-31b)
1 → 2 : dB > 0
2 → 1 : dB < 0
, H > 0 ⇒ wm > 0
, H < 0 ⇒ wm < 0
Bild 2-32: Bei vollständigem und einmaligen Druchlaufen der Hystereseschleife verbraucht man eine Energie, die der eingeschlossenen Fläche entspricht. Erklärung siehe obigen Gleichungsblock.
2.11
Der magnetische Kreis
2.11.1
Magnetischer Kreis und magnetische Ersatzschaltung
Einfache Kreise mit Eisen
Annahme eines einfachen magnetischen Kreises in Form einer Kreisringspule mit
D >> d. Daraus folgt, dass man näherungsweise mit der mittleren Magnetischen
Feldstärke rechenen kann:
N ·I
π·D
θ
=
π·D
θ
=
l
H ≈
(2.48)
KAPITEL 2. DAS STATISCHE MAGNETFELD
20
H konstant entlang A und H senkrecht zu H.
φ = B·A
= µr · µ0 · H · A
µr + µ0 · A
=
= θ2
l
(2.49)
(2.50)
Definition Λ
1
θ
µr · µ0 · A
=
2
1
=
Rm
Rm : Magnetischer Widerstand
Λ : Magnetischer Leitwert
Λ =
(2.51)
Zum Vergleich Relation:
Rel = ρ ·
l
A
l
κ·A
κ·A
G =
l
=
Dazu kann geschrieben werden:
θ = Rm · φ
l = l Analogie
U = R·I
(2.52)
Man führt eine Analogie von dem elektrischen Kreis zu magnetisches Ersatzschaltbild ein. Dieses erleichtert die Berechnung des magnetischen Kreises.
Vm12 : Magnetische Spannung zwischen 1 und 2
Vm12 :
Z 2
~ · d~s
H
1
Dies entspricht:
U12 =
Z 2
1
~ · d~s
E
KAPITEL 2. DAS STATISCHE MAGNETFELD
21
Kreis mit Eisen und Luft
Es wird eine Kreisringspule mit einem Luftspalt angenommen. (Bild 2-32a) Aufgrund der Kontinuitätsbedingung ist der Fluss im Eisen und Luftspalt gleich groß.
Vereinfacht wird angenommen, daß das Feld im Eisen und in der Luft homogen
ist und dass es keine Streuung gibt.
φF e =
⇒
⇒
⇒
µr F e
φL
BF e · AF e = BL · AL
BF e · A = BL · A
µF e · µ0 · H F e · A
µr F e · µ0 · H F e · A · 1 · µ0 · H L · A
HL
>> 1 ⇒ HF e =
⇒ HF e << HL
µr F e
(2.53)
(2.54)
Aber: BF e = BL
Das Durchflutungsgesetz liefert für diesen Kreis:
I
~ · d~s =
H
Z
+
Z
lF e
lF e
lL
~ s
Hd~
Ll
= HF e · lF e + HL · lL = θ = N · I
: Mittlere Länge des Eisenwegs
: Mittlere Länge des Luftwegs
(2.55)
Allgemein gilt im Magnetkreis: Es gilt der Kontenpunktsatz bezüglich der
magnetischen Flüsse. Es gilt der Maschensatz bzgl. der Durchflutung (Magnetische Spannungshülle (s. Gl. 2-56). Zusätzlich sind die Materialeigenschaften zu
berücksichtigen.
2.11.2
Feldgrößen an Grenzflächen
Tritt ein Magnetfeld durch eine Grenzfläche zwischen zwei Materialien mit verschiedenen Permiabilitäten so gilt für die Feldgrößen:
B1n
B1t
B2t
H1t
H1m
H2m
tan α1
tan α2
= B2n
µ1
=
µ2
= H2t
µ2
=
µ1
µ1
=
µ2
(2.56)
(2.57)
(2.58)
(2.59)
(2.60)
KAPITEL 2. DAS STATISCHE MAGNETFELD
22
Aus den Kontinuitätsbedingungen kann man folgen:
1. Aus Stoffen hoher Permiabilität treten die Induktionslinien nahezu senkrecht aus.
2. Die magnetischen Induktionslinien werden durch Stoffe hoher Permiabilität
gefühert, so wie Strom durch einen metallischen Leiter geführt wird.
2.11.3
Kräfte auf der Trennfläche
Polfläche: Die Oberfläche eines ferromagnetischen Körpers, durch die ein Magnetfeld in eine nichtferromagnetische Umgebung austritt.
Auf der Polfläche wirkt eine Kraft, die vom ferromagnetischen Material zur
nichtferromagnetischen Umgebung gerichtet ist.
Annahmen:
1. Das Magnetfeld tritt senkrecht durch die Polfläche
2. Das Magentfeld ist in der Luft homogen
AL · BL2
2 · µ0
BL : Magnetische Induktion in der Luft
BL : Gesamte Polfläche
1 l
Rm =
·
µ A
θ = φ · Rm =U
ˆ =R·I
F =
2.11.4
Anwendungen
• Relais: Bild (2-40)
• Sch—ütz: Bild (2-44)
• Lautsprecher: Bild (2-45)
¿¿¿¿¿¿¿ 1.6
(2.61)
Kapitel 3
Zeitabhängige magentische Felder
3.1
Indunktionsgesetz und LENTZsche Regel
Es wird eine Anordnung gemäß Bild (3-1) betrachtet. Der Magnet mit seinem inhomogenen Feld bewegt sich in Richtung der Leiterschleife. Auf die Zunahme des
magnetischen Flusses reagiert die Schleife mit einem Strom, der der Flussänderung entgegenwirkt.
Lentzsche Regel: Ein Induzierter Strom fließt stets so, dass sein Magnetfeld
der induzierenden Feldänderung entgegewirkt.
Induktionsgesetz: (1. Maxwellsche Gleichung)
ui =
ui
Ei
ψ
:
:
:
Z
~ i · d~s = − d B
~ · dA
~ = −ψ
E
dt
dt
Induzierte Spannung
Elektrische Feldstärke
Verkettungsfluss
I
(3.1)
Bei Gleichung 3.1 ist zu Beachten:
~ ist mit dem aus den Elementen s~s zusammengesetzten
Der Flächenvektor dA
Weg s rechtssinnig verknüpft.
Bild 3-2 : Selbst in einem isolierten Medium wird bei einer Flussänderung ein
elektrisches Feld bzw. eine Spannung induziert, in diesem Fall kann aber kein
induzierter Strom fließen. Nur bei Vorhandensein einer elektrischen Leitfähigkeit
κ kann es zu einem Strom kommen.
Gehen durch die verschiedenen Windungen einer Spule unterschiedliche Flüsse,
so ergibt sich der gesamte mit der Anordnung verkettete Fluss zu:
ψ =
N
X
φk
(3.2)
k=1
φ
ψ
:
:
Elektrischer Fluss innerhalb Windung k
Verkettungsfluss
23
KAPITEL 3. ZEITABHÄNGIGE MAGENTISCHE FELDER
24
Geht der selbe Fluss durch alle N Windungen, so gilt:
ψ = N ·φ
(3.3)
Regel zum Induktionsgesetz bezüglich der Richung der induzierten Spannung:
Ausgehend von der Richtung des Flusses ψT wird die induzierte Klemmenspannung ui (t) rechtssinnig1 um den Fluss angesetzt. Dann gilt:
ui = +u12 = −
dψ
dt
(3.4)
Man definiert:
uL = −ui = Induzierte Spannung
dψ
uL = u21 = +
dt
(3.5)
Übung 3-1
3.2
Selbstinduzierte Spannung
Fließt durch eine Spule ein Strom, so erzeugt er ein Magnetfeld und diese induziert in der Spule eine Spannung (Voraussetzung für Wechelstrom). Man spricht
von der Selbstinduktion (Bild 3-5). Unabhängig vom Wickelsinn wird der Bezugspfeil der induzierten Spannung UL parallel zum Bezugspfeil des Stromes I
angenommen. Und es gilt:
UL = N ·
dφ
dt
(3.6)
Daher kann man, ohne den Winkelsinn zu kennen, vom Bild 3-6 ausgehen.
Bei gleichem Fluss durch alle N Windungen einer Spule gilt dann:
UL = N ·
dφ
dt
(3.7)
Übung 3-3
Übung 3-4
3.3
Bewegungsspannung
Annahme: Ein gerader Leiter der Länge l bewegt sich mit einer konstanten Ge~ Für die induktive Spannung
schwindikeit v in einem homogenen Magnetfeld B.
1
Also nach der ,,Rechte-Hand-Regel” mit Daumen=Fluss (ψ)
KAPITEL 3. ZEITABHÄNGIGE MAGENTISCHE FELDER
25
gilt:
~ · (~v × ~l)
UL = B
~v : Geschwindigkeit des Leiters
(3.8)
Vereinfachung:
• ~v ⊥ ~l
~ ⊥ ~u und B
~ ⊥ ~l
• B
~ u × ~l)
⇒ B||(~
⇒ UL = B · v · l
(3.9)
Die Gleichung 3.8 kann auch mithilde der Lorentzkraft auf im Magnetfeld
bewegte Ladungen herleiten2 :
~
F = Q · (~u × B)
3.4
(3.10)
Erzeugung einer Sinusspannung
Annahme: Eine Leiterschleife mit N Windungen rotiert mit einer konstanten
Winkelgeschwindigkeit ω in einem homogenen und zeitlich konstanten Magnetfeld
B
Über die Schleifkontakte misst man die induzierte Spannung. Zur Zeit t = 0
soll die Wicklung den Winkel von φ(0) gegenüber der Horizontalen haben.
~ ·A
~ = |B|
~ · |A|
~ · cos α(t)
φ(t) = B
α(t) = ω · t + φ0
dφ
UL = N ·
= N · B · A · (− sin (ω · t + φ0 )) · ω
dt
π
= N · B · A · ω · cos ω · t + φ0 +
2
(3.11)
(3.12)
(3.13)
Bild 3-8: Für φ0 = 0!
Die induzierte Spannung ist sinusförmig und um 90o gegenüber dem Fluss
phasenverschoben. Ihre Frequenz entspricht der Freqenz der Drehbewegung. Ihr
Betrag hängt ab von N, B, A, und ω
2
WTF? Hier fehlt etwas!
KAPITEL 3. ZEITABHÄNGIGE MAGENTISCHE FELDER
3.5
26
Selbstinduktivität
Durch eine Schleife wird ein Wechselstrom I geschickt: Dieser erzeugt eine induktive Spannung und einen Ohm’schen Spannungsfall entlang der Schleife:
u = R · i + Ul
dψm (i)
= R·i+
(3.14)
dt
Wegen der Selbstinduktion kann sich der Strom in einem elektrischen Kreis
niemals sprunghaft ändern, da sonst unendliche Spannung induziert werden würde.
Definition:
ψm = L · i
(3.15)
L : Selbstinduktivität (abhängig von Geometrie und Materialeigenschaften)
di
⇒ UL = L ·
(3.16)
dt
Zu beachten ist: Der Zusammenhang zwischen Fluss und Strom ist im allgemeinen nicht linear:
1. Bei para- und diamagnetischen Werkstoffen gilt
L ≈ konst. bzw µ ≈ konst
2. Bei ferromagnetischen Werkstoffen gilt im Allgmeinen:
L 6= konst. bzw µ = konst
Für eine Spule mit N Windungen gilt :
N ·φ
L =
i
In einem magnetischen Kreis gilt somit:
N ·φ
L =
i
θ·Λ
= N·
i
N ·i·Λ
= N ·θ·
i
= N2 · Λ
(3.17)
(3.18)
Man definiert folgende Induktivitäten:
Gleichstrominduktivität:
ψ0
I0
(3.19)
dψ0
∆ψ0
|0 =
dI0
∆I0
(3.20)
L0 =
Differentielle Induktivität:
Ld =
KAPITEL 3. ZEITABHÄNGIGE MAGENTISCHE FELDER
3.6
27
Induktivität von praktischen Anwendungen
Berechnung der Induktivität einer Leiteranordnunge
Der mit der Leiteranordnung insgesamt verkettete Fluss wird ermittelt und durch
den ihn erzeugenden Strom dividiert.
Es gibt zwei Arten von Induktivitäten:
1. Die äußere Induktivität (La ):
Sie ist die Induktivität aufgrund des Flusses im Feldraum außerhalb der
Leiters.
2. Die innere Induktivität (Li ):
Es ist die Induktivität aufgrund des Flusses im Inneren des Leiters. Diese
Flussanteil ist nicht mit dem gesamten Strom verkettet und daher komplizierter zu berechnen.
Die Gesamtinduktivität ergibt sich zu:
L = Li + La
(3.21)
Kreisringspule
Vereinfachende Annahmen: Alle Windungen mit demselben Fluss verkettet. Der
mittlere Spulendurchmesser D ist groß gegen den Windungsdurchmesser. µ =
konst. Vernachlässigung der inneren Induktivität. Aus Gleichung (2-33):
N ·I
π·D
ψ = N ·φ
= N ·B·A
H ≈
(3.22)
(3.23)
Zylinderspule
Analoge vereinfachende Annahmen führen zu:
La =
ψ
I
= N2 · µ ·
A
l
(3.24)
KAPITEL 3. ZEITABHÄNGIGE MAGENTISCHE FELDER
28
Doppelleiter
xl −
Ul
=ω·L
i
ψ
µ·l
a − rl
=
· ln
I
π
rl
µ·l
ψ
=
Li =
I
8π
µ·l
a − rl
L = La + Li1 + Li2 =
· ln
+ 0 25
π
rl
La =
3.7
(3.25)
(3.26)
(3.27)
Zusammenschaltung von Induktivitäten
Für eine konstate Selbstinduktivität gilt (Vgl. Bild 3-12):
u = L·
di
dt
(3.28)
Die folgenden Überlegungen gelten nur unter der Voraussetzung, dass das
Magnetfeld einer Spule die evtl. vorhandenen anderen Spulen nicht durchsetzt.
Für eine Reihenschaltung gilt:
Le =
n
X
Li
(3.29)
i=1
Für eine Parallelschaltung gilt:
1
1
1
1
1
=
+
+
+ ... +
Le
L1 L2 L3
Ln
1
Le = Pn 1
(3.30)
(3.31)
i=1 Li
3.8
Gegeninduktion und Gegeninduktivität
Es werden zwei magnetisch gekoppelte Spulen betrachtet, d.h. das Magentfeld
einer Spule durchsetzt auch teilweise die andere Spule und induziert somit in ihr
eine Spannung. Man spricht von der magnetischen Kopplung und der gegenseitigen Induktion. (Engl.: Mutual Inductance M )
Annahme: Strom nur durch Spule 1
ψ11
ψ12
:
:
Fluss in der Spule 1, erzeugt in 1
Fluss in der Spule 1, erzeugt in 2
KAPITEL 3. ZEITABHÄNGIGE MAGENTISCHE FELDER
dφ11
dt
u 1 = i1 · R 1 +
u2 =
ψ1
ψ2
:
:
u1 =
u2 =
ψ1 =
ψ2 =
dψ21
dt
Gesamter Fluss in der Spule 1
Gesamter Fluss in der Spule 2
dψ
i1 · R 1 +
dt
dψ
i2 · R 2 +
dt
ψ11 + ψ12
ψ21 + ψ22
29
(3.32)
(3.33)
(3.34)
(3.35)
(3.36)
(3.37)
Definition der Gegeninduktivitäten:
ψ12
i2
ψ21
=
i
L12 =
(3.38)
L21
(3.39)
Selbstinduktivitäten:
ψ11
i1
ψ22
=
i2
L1 =
(3.40)
L2
(3.41)
Es gilt allgemein der Zusammenhang bei konstantem µ:
L12 = L21
(3.42)
Während die Selbstinduktion immer positiv ist, kann die Gegeninduktivität positiv oder negativ sein (Bilder 3-16 und 3-16a) gleichsinnige Kopplung: ψ1 und
ψ2 gleich gerichtet:
ψ21
>0
i1
ψ21
=
>0
i2
L21 =
(3.43)
L12
(3.44)
Bild 3-16a: gegensinnige Kopplung: (ψ1 und ψ2 sind entgegengesetzt gerichtet)
ψ21
i1
ψ21
=
i2
L21 =
(3.45)
L12
(3.46)
KAPITEL 3. ZEITABHÄNGIGE MAGENTISCHE FELDER
30
NICHT LESBAR!!!
ψ1 = L1 · i1 + L12 · i2
ψ2 = L21 · i1 + L2 · i2
(3.47)
(3.48)
Klemmspannung:
di1
di2
+ L2
dt
dt
di1
di2
= i2 R 1 + L 2
+ L2
dt
dt
u 1 = i1 R 1 + L 1
(3.49)
u2
(3.50)
Für die Reihenschaltung von zwei gekoppelten Spulen gilt (Bilder 3-18, 3-19):
u = i (R1 + R2 ) + (L1 + L2 )
di
di
di
+ L12 + L21
dt
dt
dt
(3.51)
Wegen L12 = L21 folgt:



u = i (R1 + R2 ) + 
L1 + L2 + 2 · L12 
|
{z
}
di
dt
(3.52)
Le
(3.53)
Ersatzinduktivität:
Le = L1 + L2 + 2 · L12
(3.54)
Bei gleichsinniger Kopplung (Bild 3-18):
L12 > 0 ⇒ Le > L1 + L2
(3.55)
Bei gegensinniger Kopplung (Bild 3-19):
L12 < 0 ⇒ Le < L1 + L2
(3.56)
Kapitel 4
Dreh- und Wechselstromtechnik
4.1
Komplexe Zahlen
Eine komplexe Zahl besteht aus zwei Zahlen, von denen eine als Realteil und die
andere als Imaginärteil bezeichnet wird:
z
z
Re(z)
Im(z)
j
=
=
=
=
:
(x, y)
x+j·y
x Realteil
y Imaginärteil
Imaginäre Einheit
(4.1)
(4.2)
(4.3)
(4.4)
Definition:
j 2 = −1
bzw.
j=
√
−1
(4.5)
(4.6)
Eine komplexe Zahl kann man in der Komplexen Ebene durch einen Zeiger
darstellen, siehe Bild (4-1). Mathematisch gibt es folgende Darstellungsformen:
• Kartesische Form: x, y
• Polarform: |z| = z oder r, φ
z =
=
=
=
x+j·i
r · cos φ + j · r · sin φ
r (cos φ + j · sin φ)
r·jφ
(4.7)
• Eulersche Form:
ej·φ = cos φ + j · sin φ
31
(4.8)
KAPITEL 4. DREH- UND WECHSELSTROMTECHNIK
32
Betrag:
|z| = z =
q
x2 + y 2
(4.9)
Polarform:
q
r = UNLESBAR x2 + y 2
y
tan φ =
x
(4.10)
(4.11)
Bei der Berechnung des Winkels φ ist die Lage in den vier Quadranten zu
berücksichtigen:
y
+ 2π
x
y
φ = arctan
x
φ = 2π
φ=0
y
φ = arctan + π
x
3π
φ=
2
φ = arctan
falls
x > 0; y < 0
falls
x > 0; y ≥ 0
falls
falls
x = 0; y > 0
x = 0; y = 0
falls
x<0
falls
x = 0; y < 0
(4.12)
Index
Kondensator
Ladestrom (IC ), 2
Ladung
-Anderung (dQ), 2
Definition (Q), 1
Verschiebungsstrom
-Knotensatz, 4
-dichte (s~v ), 3
Vektor
Rechtssystem, iii
Skalarprodukt, iii
Vektorprodukt, iii
33