Versuch 4 - Physik - Universität Regensburg

UNIVERSITÄT
REGENSBURG
Naturwissenschaftliche Fakultät II - Physik
Anleitung zum Anfängerpraktikum A2
Versuch 4 - Wechselstromverhalten des RLC-Kreises
23. überarbeitete Auflage vom 13. Mai 2014
Dr. Stephan Giglberger
Prof. Dr. Christian Schüller
Prof. Dr. Jascha Repp
Inhaltsverzeichnis
4
Wechselstromverhalten des RC- und RLC-Kreises
3
4.1
Vorbereitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
4.1.1
Grundlagen und Lernziele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
4.1.2
Hinweise zu Vorbereitung und Durchführung . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4.1.3
Rauschen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
4.1.4
Aufgaben zur Vorbereitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
Versuchsdurchführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
4.2.1
RC- und RL-Kreise / Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
4.2.2
RLC-Kreise / Resonanzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
4.3
Anhang: komplexe Größen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
4.4
Anhang: Benutzte Software . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
4.2
-2-
4 Wechselstromverhalten des RC- und
RLC-Kreises
4.1 Vorbereitung
Im Versuch 3 wurden der RC- und RLC-Kreis bereits kurz bearbeitet. Die besonderen Eigenschaften
dieser Schaltungen sollen in diesem Versuchsteil nun näher untersucht werden.
RC- und RL-Schaltungskombinationen sind technisch als Frequenzfilter (Hochpass, Tiefpass, Bandpass) von besonderer Bedeutung. Die Wirkungen dieser Filter sollen Sie experimentell überprüfen.
Das Experiment gestattet die Bestimmung der Ausgangsspannung dieser Filterschaltungen nach Amplitude und Phasenlage im Vergleich zum Eingangssignal und bietet damit eine Überprüfung der
Rechnungen mit komplexen Widerständen.
Werden Widerstand, Kondensator und Spule zu einem Schwingkreis verschaltet ist die Untersuchung
von Abklingzeit und Eigenfrequenz des Kreises besonders interessant. Das Phänomen der Resonanz
spielt in allen Gebieten der Physik eine entscheidende Rolle.
4.1.1 Grundlagen und Lernziele
1. Wechselstromwiderstand in der komplexen Zahlenebene
2. Kirchhoff’sche Gesetze für den Wechselstromkreis
3. Hochpass, Tiefpass, Grenzfrequenz
4. Bandfilter, Pandpaß, Bandsperre
5. freie Schwingung des RLC-Kreises
6. erzwungene Schwingung des Harmonsichen Oszillators
7. Güte und Resonanzverhalten von Schwingkreisen
Hinweis: FALLS S IE EINEN MP3-P LAYER BESITZEN BRINGEN S IE IHN BITTE ZUR V ERSUCHS DURCHFÜHRUNG MIT !
-3-
Versuch 4
4.1.2 Hinweise zu Vorbereitung und Durchführung
Komplexe Zahlenebene: am Ende dieser Versuchsanleitung finden Sie eine kurze Zusammenfassung
über das Rechnen mit Komplexen Größen, z.B. Z ∈ C.
Vierpol: Unter einem Vierpol versteht man ganz allgemein eine Schaltung mit einem (zweipoligen)
Eingang und einem (zweipoligen) Ausgang - dazwischen sitzt eine black box. In der Elektrodynamik
Abbildung 4.1: Vierpol als black box
wirkt dieser Vierpol je nach interner Beschaltung mit Widerstand, Kondensator und Spule auf die
Frequenz der Eingangsspannung und läßt an seinem Ausgang ein gefiltertes Signal anstehen. Entsprechend wird die Eingangsspannung mit UE , die Ausgangsspannung mit UA bezeichnet.
Bestimmung der Grenzfrequenz νg : Wird das Spannungsverhältnis UA /UE als Funktion der Frequenz ν doppeltlogarithmisch aufgetragen (siehe Abb. 4.2), kann die Grenzfrequenz νg als Abszisse
des Schnittpunktes der Extrapolationsgeraden für ν νg mit der Geraden UA =UE abgelesen werden. Die Ausgangsspannung UA ist bei der Frequenz νg auf 71 % der Eingangsspannung UE gesun-
Abbildung 4.2: Doppeltlogarithmische Auftragung von UA /UE gegen ν
ken. Diese Art der Bestimmung der Grenzfrequenz leuchtet nach Betrachtung folgender Rechnung
-4-
Wechselstromverhalten des RLC-Kreises
ein (Beispiel RC-Tiefpass):
− 21
UA 1 = − ln 1 + (ω RC)2
ln = ln 1 + (ω RC)2
UE
2
(4.1)
Für ω RC 1 gilt:
UA 1
ln ≈ − ln (ω RC)2
UE
2
= − ln (ω RC)
= − ln RC − ln ω
(4.2)
Gleichung (4.2) stellt also als Funktion von ln ω eine Gerade dar.
Für ω RC 1 gilt:
UA 1
ln = − ln 1 = 0
UE
2
(4.3)
Gleichung (4.3) beschreibt für kleine Frequenzen eine horizontale Gerade durch 0, d.h. durch den
Punkt UA = UE .
Bestimmung der Phasenverschiebung: Den Phasenwinkel ϕ zwischen UA und UE erhält man aus
der Lissajous-Ellipse auf dem Oszilloskop. Legen Sie hierzu UA an den y- und UE an den x-Eingang
des Oszilloskops.
Abbildung 4.3: Lissajous-Ellipsen auf dem Oszilloskop
Mit x = x0 sin ωt und y = y0 sin (ωt + ϕ) gilt:
x(0) = 0
y(0) = y0 sin ϕ
y(0)
=⇒ ϕ = arcsin
y0
-5-
(4.4)
Versuch 4
4.1.3 Rauschen
Unter dem Begriff Rauschen versteht die Physik allgemein eine Störgröße mit einem unspezifischem
Frequenzspektrum. Rauschen tritt im Alltag beispielsweise bei einem nicht oder schlecht eingestellten
Radiosender auf.
Weiÿes Rauschen
Unter Weißem Rauschen (engl. white noise) versteht man ein stochastisches Signal mit konstanter
Amplitude im Leistungsdichtespektrum. Vereinfacht: alle Frequenzen sind gleich stark vorhanden.
„Konstante Amplitude“ bezieht sich hierbei (Stochastik!) natürlich nicht auf eine Momentaufnahme
(siehe Abb. 4.4) sondern auf ein (zeitlich) gemitteltes Signal. Der Begriff „weiß“ folgt dabei der
Anlehnung an die Farbe Weiß.
Abbildung 4.4: Weißes Rauschen: physikalisches Rauschen mit konstanter Amplitude
Beispiel für Weißes Rauschen: thermisches Rauschen (z.B. am Widerstand), Johnson-R., Nyquist-R.
Rosa Rauschen
Das Lautstärke-Empfinden des Ohres skaliert logarithmisch mit der Frequenz: hohe Töne werden bei
gleichem Schalldruck als lauter wahrgenommen. Beim Rosa Rauschen (engl.: pink noise) nimmt die
Leistungsdichte bei wachsender Frequenz mit 3dB pro Oktave ab, so dass das Lautstärke-Empfinden
des Ohres nun alle Frequenzbereiche des Schallspektrums als gleich laut einstuft. Andere Bezeichnung: 1/ f -Rauschen
Beispiel für Rosa Rauschen: Widerstandsrauschen (Metallgitter), MOSFET-Rauschen
-6-
Wechselstromverhalten des RLC-Kreises
4.1.4 Aufgaben zur Vorbereitung
RC- und RL-Kreise / Vierpole
1. Folgende Vierpole wirken als frequenzabhängige Spannungsteiler. Argumentieren Sie qualitativ, welche der Schaltungen eher die hohen, welche eher die tiefen Frequenzen passieren läßt.
Abbildung 4.5: Hochpaß und Tiefpaß aus RC- und RL-Kombinationen
2. Leiten Sie für den RC-Tiefpass und den RL-Hochpass das Verhältnis |UA /UE | und den Phasenwinkel ϕ der komplexen Aus- und Eingangsspannung und die Grenzfrequenz νg ab. Berechnen
Sie den Phasenwinkel ϕg bei der Grenzfrequenz νg .
Verwenden Sie für die Berechnung der Grenzfrequenz νg folgende Zahlenwerte:
R = 1kΩ (±5%), C = 470nF (±10%), L = 0.05H(±5%)
3. Zeigen Sie, dass man die Grenzfrequenz νg eines RL-Hochpasses graphisch durch doppeltlogarithmische Auftragung bestimmen kann (siehe Kap. 4.1.2).
RLC- Kreise / Resonanzen
4. Bei der Serienschaltung von Spule, Kondensator und Widerstand (siehe Abb. 4.6) erhält man
den Gesamtwiderstand Z durch Addition der einzelnen komplexen Widerstände. Belegen Sie
Abbildung 4.6: zu Aufgabe 4: Serienschaltung von R, L und C
folgende Aussage anhand einer Skizze: In der komplexen Zahlenebene wandert die Spitze des
-7-
Versuch 4
Widerstandspfeils auf einer Geraden parallel zur imaginären Achse im Abstand R, wenn sich
die Frequenz verändert. Durchläuft ω den Bereich von 0 bis ∞, so bewegt sich die Spitze von Z
auf einer Geraden „von oben nach unten“.
5. Liegt Z auf der reellen Achse ist |Z| minimal, der Strom I und die Spannung UR am ohm’schen
Widerstand sind maximal. Die zugehörige Kreisfrequenz ω0 ist die Resonanzfrequenz.
Wie hängt ganz allgemein ω0 von L und C ab?
6. Resonanzfrequenzen (nur Bachelor!):
Berechnen Sie Lage (Resonanzfrequenzen ωRf ) und Höhe der Amplitudenmaxima von UL und
UC .
7. Kreisgüte:
Bei ω0 sind die Spannungen UL und UC entgegengesetzt gleich hoch (warum?) und die Spannung am Widerstand ist gleich der Spannung des „Generators“, auch stimmt deren Phasenlage
überein. Dennoch kann UC weitaus größer als UG sein (Spannungsresonanz!). Den Quotienten
|UC /UG | bezeichnet man mit Kreisgüte Q.
Berechnen Sie ganz allgemein die Güte eines Serienschwingkreises.
8. Bandfilter:
Kombiniert man die frequenzabhängigen Eigenschaften von Kondensator und Spule können
sog. Bandfilter erzeugt werden. Je nachdem, ob die unmittelbare Umgebung einer bestimmten
Frequenz (=Frequenzband) ungedämpft durchgelassen oder eben bedämpft werden soll, spricht
man von Bandpaß bzw. Bandsperre.
Der serielle RLC-Kreis läßt sich als Bandfilter verwenden, und zwar als Durchlaßfilter des
Stromes für eine bestimmte Frequenz mit einer bestimmten Frequenzbreite.
Das Bandfilter wird durch zwei Größen beschrieben: der Frequenz ω0 , bei der es sperrt bzw.
durchläßt („Mittenfrequenz“), und den Abstand ∆ω = ω2 − ω1 der beiden Frequenzen, bei
√
denen die Durchlässigkeit bzw. die Sperrung den Faktor 1/ 2 bzw. 70,7 % des Höchstwertes
der Spannungs- bzw. Stromamplituden beträgt. Dies entspricht einer Dämpfung von 3dB.
Die Größe ∆ω nennt man Bandbreite. Die Kreisgüte wird durch
Q=
ω0
B
(4.5)
definiert.
q
Aufgabe: bestätigen Sie, dass für die Güte eines Serienschwingkreises Q = R1 CL gilt. Entspreq
chend gilt für die des Parallelschwingkreises: Q = R CL (kein Nachweis nötig).
Hinweis: Java-Applet zum Schwingkreis: http://www.walter-fendt.de/ph14d/schwingkreis.htm
-8-
Wechselstromverhalten des RLC-Kreises
Abbildung 4.7: Bandpaß: die Frequenzen ober- und unterhalb der Mittenfrequenz werden gedämpft
4.2 Versuchsdurchführung
4.2.1 RC- und RL-Kreise / Filter
Benutzen Sie für die nachfolgenden Versuche zunächst den Frequenzgenerator, den Sie aus den vergangenen Versuchen bereits kennen.
1. Messen Sie die Frequenzabhängigkeit des Spannungsverhältnisses UA /UE für den RC-Tiefpaß
(R = 1kΩ, C = 470nF) und den RL-Hochpaß (R = 1kΩ, L = 0.05H) bis zu einer Frequenz
von 10 kHz. Tragen Sie UA /UE gegen ν auf und bestimmen Sie die Grenzfrequenz νg .
Hinweis: Das einfachste Vorgehen dabei ist, die Eingangsspannung UE des Vierpols, also die
Ausgangsspannung des Frequenzgenerators, durch Nachregeln auf einem konstanten Wert, z.B.
3Vpp , zu halten.
2. Tiefpass 2. Ordnung
Ein Tiefpass 2. Ordnung erhält man, wenn der Widerstand des RC-Tiefpasses durch eine Reihenschaltung von R mit einer Spule L ersetzt wird, da diese eine - zum Kondensator gegenläufige - Frequenzabhängigkeit besitzt. Somit fällt die Ausgangsspannung oberhalb der Grenzfrequenz noch wesentlich schneller, nämlich mit 12 dB/Oktave.
Die Übertragungsfunktion dieses Tiefpasses ist
H=
iX C
R + i (X L + X C )
-9-
(4.6)
Versuch 4
wobei X L = ωL, X C = −1/(ωC) und ω = 2π f .
Der Betrag der Übertragungsfunktion lautet
|H| =
|X C |
UA
=q
UE
R 2 + (X L + X C )2
(4.7)
Skizzieren Sie die Schaltung. Berechnen Sie die Werte von Kondensator und Widerstand so,
dass bei einer Frequenz von 1kHz der Betrag der Übertragungsfunktion den Wert 0,5 annimmt.
Bauen Sie den Tiefpass zweiter Ordnung mit der vorhandenen Spule, der Widerstands- und der
Kondensatorkaskade auf und schließen Sie an den Eingang ein Musiksignal (z.B. MP3-Player),
an den Ausgang den Lautsprecher (Kopfhörer).
Ändern Sie die Werte von C und R und beschreiben Sie qualitativ die Wirkung des Filters.
3. Spannungsformen - Klang
Stellen Sie am Frequenzgenerator nacheinander Sinus-, Dreieck- und Rechtecksignale ein. Betrachten Sie die Signalform am Oszilloskop und legen Sie das Signal gleichzeitig auf den Lautsprecher / Kopfhörer.
Beschreiben Sie qualitativ den Klang der drei Signalformen mit und ohne Tiefpass. Finden Sie
eine Erklärung für den Klangunterschied!
4.2.2 RLC-Kreise / Resonanzen
4. Messen Sie im Serienschwingkreis (siehe Abb. 4.6, mit den Werten R = 10 Ω, L = 0, 05 H,
C = 0, 47 µF) die Spannung UC am Kondensator als Funktion der Frequenz f und bestimmen
Sie daraus die Resonanzfrequenz f0 sowie die Güte Q des Schwingkreises. Vergleichen Sie die
experimentellen Werte mit den theoretisch berechneten.
Computergestützte Frequenzbandanalysen
Für die folgenden Versuche wird das Programm Visual Analyser von sillanumsoft.org verwendet. Die
Software ist kostenlos und frei im Netz erhältlich. Sie umfasst einen umfangreichen Frequenzgenerator sowie Zweikanal-Oszilloskop und Frequenzanalyzer, Aus- und Eingabe der Signale erfolgen über
die Soundkarte des Rechners. Die wichtigsten Funktionen des Visual Analysers werden im Kap. 4.4
erläutert
Mit diesem Programm ist es nun einfach, die Wirkung von RC-, RL-, RLC- Schaltungen wie Schwingkreis, Filter, Bandpass, Bandsperre etc. qualitativ sichtbar zu machen (Abb. 4.8):
4. Stellen Sie einen Sinus von 500 Hz ein, betrachten Sie die Schwingung auf dem Oszilloskop
- 10 -
Wechselstromverhalten des RLC-Kreises
Abbildung 4.8: Verschaltungsschema der Komponenten
und gleichzeitig auf dem Spektrum-Analyser. Stellen Sie die Amplitude mithilfe der Dämpfungsregler des WaveGenerators bzw. der Soundeigenschaften von Windows so ein, dass das
Signal nicht übersteuert.
• Skizzieren Sie das Frequenzspektrum.
• Ändern Sie nun die Quelle zunächst auf Dreieck-, dann auf Rechteckform. Skizzieren Sie
das Frequenzspektrum und erklären Sie die Unterschiede und deren Ursache.
5. Stellen Sie den Frequenzgenerator auf Weißes Rauschen ein. Beschreiben Sie den Klang und
skizzieren Sie Signalform sowie Frequenzverlauf.
6. Geben Sie Weißes Rauschen an den Eingang des Serienschwingkreises (siehe Aufgabe 4 und
Abb. 4.6). Beobachten Sie den Frequenzverlauf am Spektrumsanalyser. Variieren Sie die frequenzbestimmenden Werte des Bandpasses und treffen Sie eine Aussage über die daraus resultierenden Eigenschaften des Frequenzverlaufes. Verwenden Sie dabei die Fachbegriffe Bandpaß, Mittenfrequenz, Bandbreite, Dämpfung etc.
Beschreiben Sie die Klangveränderungen.
- 11 -
Versuch 4
4.3 Anhang: komplexe Gröÿen
Eine sinusförmige zeitlich veränderliche Größe, z. B. eine Wechselspannung U = U0 cos (ωt + ϕ),
kann durch die Operation U = Re Ũ (U ist der Realteil von Ũ) der komplexen Größe
Ũ
= U0 [cos(ωt + ϕ) + i · sin(ωt + ϕ)]
= U0 e i(ω t+ϕ)
(4.8)
zugeordnet werden.
Die Berücksichtigung der komplexen Größen ist hier ein mathematischer Kunstgriff, der die folgenden Rechnungen wesentlich vereinfacht: lineare Differentialgleichungen, wie sie in der Wechselstromtechnik auftreten, werden so nämlich besonders einfach in algebraische Gleichungen umgewandelt, denn es gilt:
d Ũ
= iω Ũ
dt
(4.9)
In Wechselstromkreisen mit Ohmschem Widerstand R, Induktivität L und Kapazität C gelten komplexe Widerstände („Impedanzen“):
ZR = R
Z L = iωL = iXL
1
−i
=
= iX C
ZC =
iω C ω C
(4.10)
Das X in Gl. (4.10) bezeichnet hierbei den frequenzabhängigen „Blindwiderstand“ (Einheit Ω) von
Kondensator und/oder Spule. Er entspricht dem Imaginärteil des komplexen Widerstands Z:
X L = 2π f L = ωL
1
1
=−
XC = −
2π fC
ωC
(4.11)
Der Realteil von Z wird mit „Wirkwiderstand“ R bezeichnet, die geometrische Summe von Wirkund Blindwiderstand ist der „Scheinwiderstand“ Z (siehe Abb. 4.9):
~Z = ~u = R + iX
~i
- 12 -
(4.12)
Wechselstromverhalten des RLC-Kreises
Abbildung 4.9: Vektoraddition der Widerstände in der komplexen Zahlenebene
Für den Betrag des Widerstandes und den Phasenwinkel ϕ zwischen Strom und Spannung gilt:
|~Z| =
tan ϕ =
q
p
(ReZ)2 + (Im Z)2 = Z 2 + X 2
Im Z
ReZ
(4.13)
Entsprechend gilt wiederum für den Blindwiderstand:
X = Z sin ϕ =
p
Z 2 − R2
(4.14)
Das Ohmsche Gesetz und die Kirchhoffschen Gesetze gelten auch für Wechselstrom, insbesondere
gilt:
Z S = ∑ Z jS
j
wobei

 +1 bei Serienschaltung
S=

−1 bei Parallelschaltung
(4.15)
Bei Zusammenschaltung von Kondensator und Spule, deren Blindwiderstand bekanntlich entgegengesetzt wirkt, ergibt sich die Gesamtimpedanz ebenfalls durch Vektoraddition von Z R , Z C und Z L :
Abbildung 4.10: Vektoraddition der Widerstände in der komplexen Zahlenebene
- 13 -
Versuch 4
Analog zur Berechnung des Phasenwinkels zwischen Strom und Spannung kann auch der Phasenwinkel zwischen Ausgangsspannung UA und Eingangsspannung U E eines Vierpols berechnet werden:
tan ϕ =
Im UUAE
(4.16)
Re UUAE
Beispiel: RC-Tiefpaß (siehe Aufgabe 2 der Vorbereitung)
Z1 = R, Z2 =
1
iωC ,
Z = Z1 + Z2
außerdem: UE = I · Z und UA = I · Z2
=⇒
UA
UE
=
Z2
1
=
Z1 + Z2 1 + ZZ1
2
1
1 − iωRC
=
1 + iωRC 1 + ω 2 R2C2
UA −1/2
=⇒ = 1 + (ωRC)2
UE
Die Grenzfrequenz ist diejenige Frequenz, für die UUAE =
=
νg =
1
2πRC .
- 14 -
√1
2
wird. Man erhält also ωg =
1
RC
bzw.
Wechselstromverhalten des RLC-Kreises
4.4 Anhang: Benutzte Software
Für den vorliegenden Versuch wird das Programm Visual Analyser von sillanumsoft.org verwendet.
Die Software ist kostenlos und frei im Netz erhältlich. Aus- und Eingabe der Signale erfolgen über die
Soundkarte des Rechners. Über zwei Kabeladapter 3,5mm Stereo-Klinke auf 4mm-Bananenstecker
kann so das Experimentierbrett gem. Abb. 4.8 an Generator und Oszilloskop / Spektrumsanalyser
geschaltet werden.
Abbildung 4.11: Software: Visual Analyser mit Funktionsgenerator, Oszilloskop, Spektrumsanalyser
etc.
Die Software umfasst ein Zweikanal-Oszilloskop (1), einen Frequenzanalyzer (2) sowie den zweikanaligen Frequenzgenerator (3). Da in diesem Praktikum nur ein Kanal (links oder rechts) benutzt
wird, sollte der jeweils andere Kanal stumm bzw. ausgeschaltet werden.
Der Spektrums-Analyser zeigt auf, welcher Frequenzbereich mit welcher Intensität vertreten ist. Dazu wird das Signal mittels Fouriertransformation in einem Amplitude-Frequenz-Diagramm angezeigt.
Entsprechend der Empfindlichkeit des Ohres ist die Frequenzachse logarithmisch skaliert.
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