Formale Grundlagen der Informatik Formale Grundlagen der Informatik Mengen Eigenschaften ! Definition (Intuitive Mengenlehre) ! Mengenzugehörigkeit Eine Menge ist die Zusammenfassung von Elementen unserer Anschauung zu einem wohldefinierten Ganzen. (Georg Cantor) ! Notation 1. Aufzählung aller Elemente: { 1 , { 2 } , { 3 , 4 } , { 5 } } 1. Beschreibung der Eigenschaften der Elemente: { x | x mod 2 = 0 } Informell wird auch geschrieben: { 2, 4, 6, 8, … } ! (Nicht-) Elemente einer Menge ' x : ( x " { a1, … an } ) x = a1 % … % x = an ) 'x : ( x " { y | P(y) } ) P(x) ) ! Teilmengen Die Menge T heisst eine (unechte) Teilmenge der Menge A, wenn jedes Element, das in der Teilmenge T liegt, auch in der Menge A liegt: T ( A ) ( 'x : x " T * x " A ) Beispiele: {3,4}"{1,{2},{3,4},{5}} {2}({1,2} { 1, 2 } ( { 1 , 2 } Die Menge T heisst eine echte Teilmenge der Menge A, wenn T eine Teilmenge von A, aber nicht gleich A ist: 3!{1,{2},{3,4},{5}} T + A ) ( 'x : x " T * x " A ) # T " A ! Grundprinzipien Beispiel: { 2 } + { 1 , 2 } Axiom der Extensionalität: Zwei Mengen A und B sind genau dann gleich, wenn sie die gleichen Elemente enthalten. A = B ) ( 'x : x " A ) x " B ) Beispiel: { 1 , 2 , 3 } = { n | n " ! # n < 4 } Axiom der Komprehension: Für jede Eigenschaft können wir eine Menge bilden, die genau die Elemente enthält, die diese Eigenschaft haben. Mengen, Relationen, Funktionen 1 Mengen, Relationen, Funktionen 2 Formale Grundlagen der Informatik Formale Grundlagen der Informatik Prominente Mengen Spezielle Mengen (1) ! ! = Menge der natürlichen Zahlen ohne 0 ! Durchschnittsmenge ! = { 1 , 2 , 3 ,…} Der Durchschnitt zweier Mengen A und B ist die Menge aller Elemente, die sowohl in A als auch in B enthalten sind. ! !0 = Menge der natürlichen Zahlen mit 0 A!B={x|x"A#x"B} !0 = { 0, 1 , 2 , 3 ,…} ! Vereinigungsmenge ! " = Menge der ganzen Zahlen " = { 0 , 1 , -1 , 2 , -2 , 3 , -3 ,…} ! # = Menge der rationalen Zahlen Die Vereinigung zweier Mengen A und B ist die Menge aller Elemente, die in A oder in B enthalten sind. A$B={x|x"A%x"B} ! Leere Menge # = { a / b |a " " # b " ! } ! $ = Menge der reellen Zahlen Die leere Menge ist die Menge, die kein Element enthält. Sie wird & oder {} geschrieben: & = { x | x ! x } oder'x : x ! & ! % = Menge der komplexen Zahlen ! Komplementärmenge Ist eine Grundmenge G und eine Menge A mit A ( G gegeben, so ist die Komplementärmenge Ac definiert durch: Ac = { x | x ! A # x " G } Mengen, Relationen, Funktionen 3 Mengen, Relationen, Funktionen 4 Formale Grundlagen der Informatik Formale Grundlagen der Informatik Spezielle Mengen (2) Weitere Eigenschaften ! Potenzmenge ! Kardinalität einer Menge Sei A eine Menge. Die Potenzmenge einer beliebigen Menge A ist die Menge P(A) aller Teilmengen von A. P(A) = { U | U ( A } Beispiel: P ( { 1 , 2 } ) = { & , { 1 } , { 2 } , { 1 , 2 } } ! Differenzmenge Seien A und B beliebige Mengen. Die Differenz A – B, gesprochen A minus B, ist die Menge aller Elemente, die in A aber nicht in B liegen. A-B={x|x"A#x!B} Sei A eine Menge mit endlich vielen Elementen. Die Anzahl | A | nennt man die Mächtigkeit oder Kardinalität der Menge. Zwei endliche Mengen haben dieselbe Kardinalität, wenn die Anzahl Elemente in beiden Mengen gleich ist. Die Kardinalität von unendlichen Mengen wird später definiert. ! Disjunktheit Zwei Mengen A und B heissen disjunkt, wenn ihr Durchschnitt leer ist. A!B=& Beispiel: { 1 , 2 , 3 } - { 3 , 4 } = { 1 , 2 } ! Paarweise Disjunktheit ! Symmetrische Differenzmenge Die symmetrische Differenz zweier Mengen A und B ist die Menge A - B aller Elemente, die genau in einer der beiden Mengen liegen. Eine Menge X von Mengen heisst paarweise disjunkt, wenn der Durchschnitt von jedem Paar von Mengen leer ist. 'A, B " X : A ! B * A ! B = & A-B=(A$B)–(A!B) Beispiel: { 1 , 2 , 3 } - { 3 , 4 } = { 1 , 2 , 4 } Mengen, Relationen, Funktionen 5 Mengen, Relationen, Funktionen 6 Formale Grundlagen der Informatik Formale Grundlagen der Informatik Familien von Mengen Mengengesetze ! Familie von Mengen Menge M von Mengen Ai, die durch eine Indexmenge I indiziert sind: 'i : i " I * .Ai " M Idempotenz Kommutativität Assoziativität Distributivität ! Vereinigung $ M = $ i " I Ai = { x | .i " I : x " Ai} ! Durchschnitt ! M = ! i " I Ai = { x | 'i " I : x " Ai} Absorption Reflexivität Kontraktion Monotonie A!A=A A!B=B!A (A ! B) ! C = A ! (B ! C) A ! (B $ C) = (A ! B) $ (A ! C) A ! (A $ B) = A A(A (A ! B) ( A A(B* A!C(B!C A$A=A A$B=B$A (A $ B) $ C = A $ (B $ C) A $ (B ! C) = (A $ B) ! (A $ C) A $ (A ! B) = A A,A (A $ B) , A A,B* A$C,B$C Existiert eine Grundmenge G mit A,B ( G, so gelten ferner: Neutrale Elemente Invariable Elemente Extremalität De Morgansche Regeln Komplement Mengen, Relationen, Funktionen 7 A!G=A A!&=& &(A (A! B)c = Ac $ Bc A$&=A A$G=G G,A (A$ B)c = Ac! Bc Ac $ A = G Ac! A = & Mengen, Relationen, Funktionen 8 Formale Grundlagen der Informatik Formale Grundlagen der Informatik Beweise in der Mengenlehre Direkter Beweis: & ist Teilmenge jeder Menge ! Venn Diagramme: graphische Veranschaulichung; allenfalls mit Fallunterscheidungen ! Direkter Beweis durch Anwendung von Definitionen, Axiomen und Gesetzen. ! Indirekter Beweis durch Negation der Aussage und Angabe eines Gegenbeispiels. ! Um A = B zu beweisen, beweise man A ( B und B ( A. ! Transfer Methode: Eine mengentheoretische Formel wird in eine äquivalente aussagenlogische Formel umgewandelt, die dann bewiesen wird. Diese Methode beruht auf der Verwandtschaft zwischen Aussagenlogik und Mengenlehre, die damit zu tun hat, dass beide Systeme Boole’sche Algebren sind. ! Gegeben: 1. T ( A ) 'x : x " T * x " A 2. 'x : x ! & ! Zu beweisen: &(A ! Beweis: & ( A ) 'x : x " & * x " A (1) & ( A ) 'x : " * x " A (2) & ( A )/ (3) Aussagenlogik (" ist die immer falsche Aussage, / die immer wahre) $ % ( * (1) Definition von (, (2) Axiom für &, x " & ist für jedes x falsch, (3) " * Q ist für jede Aussage Q wahr Mengenlehre ! # , 0 Mengen, Relationen, Funktionen 9 Mengen, Relationen, Funktionen 10 Formale Grundlagen der Informatik Formale Grundlagen der Informatik Indirekter Beweis: & ist nicht echte Teilmenge jeder Menge Direkter Beweis: (A$B)–(A!B)=(A–B)$(B–A) ! Gegeben: ! Gegeben: Die Definitionen von !, $, –, !, " 1. T # A ) ( 'x : x " T * x " A ) # T " A 2. 'x : x ! & ! Beweis: (A$B)–(B!A)= ! Zu beweisen: ¬(&#A) ! Beweis: Annahme des Gegenteils: & # A {x|x1A%x1B}–{x|x1A#x1B}= (1) {x|(x1A%x1B)#¬(x1A#x1B)}= (2) {x|(x1A%x1B)#(x!A%x!B)}= (3) {x|(x1A#x!A)%(x1A#x!B)% Gegenbeispiel: A = & Einsetzen in der Definition: & # & ) ( 'x : x " & * x " & ) # & " & ( 'x : x " & * x " & ) # & " & ist ein Widerspruch. Mengen, Relationen, Funktionen 11 (x1B#x!A)%(x1B#x!B)}= (4) {x|(x1A#x!B)%(x1B#x!A)}= (5) (A–B)$(B–A) (1) Definitionen !, $, (2) Definition –, (3) Definition ! und 1, de Morgan, (4) Distributivität, (5) Vereinfachung, Definitionen $, –. Mengen, Relationen, Funktionen 12 Formale Grundlagen der Informatik Formale Grundlagen der Informatik Geordnete Paare und n-Tupel Relationen ! Geordnete Paare ! Kartesisches Produkt ( a , b ) heisst das geordnete Paar der Elemente a und b. ! Gleichheit von Paaren Die Paare (a1, b1) und (a2, b2) sind genau dann gleich, wenn a1 = a2 # b1 = b2 Das kartesische Produkt der beiden Mengen A und B ist die Menge A 2 B aller geordneten Paare (a , b) mit a " A, b " B. A2B={(a,b)|a"A#b"B} Man schreibt A2 = A 2 A, A3 = A 2 A 2 A, usw. ! Binäre Relationen ! n-Tupel (a1, …, an) heisst das geordnete n-Tupel der Elemente a1 bis an. ! Gleichheit von n-Tupeln Die n-Tupel ( a1 , …, an ) und ( b1 , … , bn ) sind genau dann gleich, wenn a1 = b1 # … # an = bn. Sei A eine Menge. Eine binäre Relation R auf A ist eine Teilmenge des kartesischen Produkts der Menge A mit sich selbst. R(A2A Seien A1 und A2 Mengen. Eine binäre Relation R auf A1 und A2 ist eine Teilmenge des kartesischen Produkts A1 2 A2. R ( A1 2 A2 Infixnotation: Für (a, b) " R schreibt man auch aRb. ! n-stellige Relationen Seien A1, A2, …, An Mengen. Eine n-stellige Relation R auf A1, A2, …, An ist eine Teilmenge des kartesischen Produkts der Mengen A1, A2, …, An. R ( A1 2 A2 2 … 2 An Mengen, Relationen, Funktionen 13 Mengen, Relationen, Funktionen 14 Formale Grundlagen der Informatik Formale Grundlagen der Informatik Die 16 binären Relationen auf A = {1,2} Spezielle Relationen • Ri ( {1,2} 2 {1,2} ! Umkehrrelation Sei R ( A 2 B eine Relation. Die Umkehrrelation zur Relation R ist die Relation R-1 ( B 2 A mit R1 & R9 {(1,2),(2,1)} R2 {(1,1)} R10 {(1,2),(2,2)} R3 {(1,2)} R11 {(2,1),(2,2)} R4 {(2,1)} R12 {(1,1),(1,2),(2,1)} R5 {(2,2)} R13 {(1,1),(1,2),(2,2)} ' a " A, c " C : R6 {(1,1),(1,2)} R14 {(1,1),(2,1),(2,2)} ( a , c ) " R1 3 R2 ) . b " B : ( a , b ) " R1 # ( b , c ) " R2 R7 {(1,1),(2,1)} R15 {(1,2),(2,1),(2,2)} R8 {(1,1),(2,2)} R16 {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)} Mengen, Relationen, Funktionen 15 R-1 = { ( b , a ) | ( a , b ) " R } ! Komposition von Relationen Seien R1 ( A 2 B und R2 ( B 2 C Relationen. Die Komposition R1 3 R2 ( A 2 C von R1 und R2 wird definiert durch ! Beispiel für Komposition von Relationen Programme können als Relationen ihrer Eingabe- und Ausgabewerte verstanden werden. Die Hintereinanderausführung von zwei Programmen entspricht dann der Komposition der entsprechenden Relationen. Mengen, Relationen, Funktionen 16 Formale Grundlagen der Informatik Formale Grundlagen der Informatik Eigenschaften von Relationen Beispiel: Ein/Ausgabe Relation von Programmen Eine Relation R ( A 2 B ist • Linkstotal: Jedes Element a " A tritt in mindestens einem Paar ( a , b ) " R links auf. 'a " A : . b " B : ( a , b ) " R • Rechtstotal: Jedes Element b " B tritt in mindestens einem Paar ( a , b ) " R rechts auf. 'b"B:.a"A:(a,b)"R • Linkseindeutig: Für ein b " B zu dem es ein a " A gibt mit ( a , b ) " R ist dieses linke a eindeutig. 'a1, a2 " A : ( . b " B : ( a1 , b ) " R # ( a2 , b ) " R ) * INTEGER A READ (A) WHILE (A <> 0) DO { A := A - 2 } WRITE (A) ! Datentyp INTEGER: beliebig grosse ganze Zahlen ! Ein/Ausgabe Relation: R ( " 2 " mit ( x , y ) " R genau dann, wenn das Programm auf die Eingabe von x mit der Ausgabe von y reagiert. Ist das Programm linkstotal, rechtstotal, linkseindeutig, rechtseindeutig? a1 = a2 • Rechtseindeutig: Für ein a " A zu dem es ein b " B gibt mit ( a , b ) " R ist dieses rechte b eindeutig. 'b1, b2 " B : ( . a " A : ( a , b1 ) " R # ( a , b2 ) " R ) * b1 = b2 Mengen, Relationen, Funktionen 17 Mengen, Relationen, Funktionen 18 Formale Grundlagen der Informatik Formale Grundlagen der Informatik Eigenschaften von binären Relationen Äquivalenzrelationen Eine binäre Relation R ( X 2 X heisst ! Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge M ist eine binäre Relation 4( M 2 M die reflexiv, symmetrisch und transitiv ist. • Reflexiv: Jedes Element x steht zu sich selber in Relation. 'x " X : ( x , x ) " R • Irreflexiv: Kein Element steht zu sich selber in Relation. 'x " X : ( x , x ) ! R • Symmetrisch: Zu jedem Paar in der Relation ist auch das gespiegelte Paar in der Relation. ' x, y " X : ( x , y ) " R * ( y , x ) " R • Antisymmetrisch (identitiv): Zu jedem Paar in der Relation ist das gespiegelte Paar nur dann in der Relation, wenn die Elemente gleich sind. ' x, y " X : ( x , y ) " R # ( y , x ) " R * x = y • Asymmetrisch: Zu jedem Paar in der Relation ist das gespiegelte Paar nicht in der Relation. ' x, y " X : ( x , y ) " R * ( y , x ) ! R • Transitiv: ' x, y, z " X : ( x , y ) " R # ( y , z ) " R * ( x , z ) " R Mengen, Relationen, Funktionen 19 ! Gleichheit ("=") ist die prototypische Äquivalenzrelation. ! Partition: Sei M eine Menge. Eine Partition von M ist eine Menge P von Teilmengen von M, also P ( P (M), für die die folgenden Eigenschaften gelten: 1. Keine Teilmenge der Partition ist leer. 2. Die Teilmengen der Partition sind paarweise disjunkt. 3. Die Vereinigung aller Teilmengen der Partition ist die Menge M. ! Äquivalenzklassen: Sei 4 ( M 2 M eine Äquivalenzrelation. Zu jedem Element m " M heisst die Menge (m)4 = { x " M | x 4 m } die von m erzeugte Äquivalenzklasse. ! Für jede Äquivalenzrelation 4 auf einer Menge X bildet die Menge der Äquivalenzklassen von 4 eine Partition P4 von X. Mengen, Relationen, Funktionen 20 Formale Grundlagen der Informatik Formale Grundlagen der Informatik Beispiel einer Äquivalenzrelation Beispiel einer Äquivalenzrelation ! a $ b modulo n – d.h. a " " und b " " geben bei der Division durch n " ! den gleichen Rest r " !0 – definiert eine Äquivalenzrelation 4m auf der Menge " ! Die Menge aller Zahlen a " " , die bei der Division durch n " ! den gleichen Rest r " ! 0 ergeben, bilden eine Äquivalenzklasse (r)4m. Da r = 0, ..., n-1, gibt es n Äquivalenzklassen. a = k1 * n + r b = k2 * n + r (ki " ", r = 0, ..., n-1) a 4m b ) a – b = k * n (0)4m = { a " " | a 4m 0} = { ..., -10, -5, 0, 5, 10, ...} ! Reflexivität 'a " " : a 4m a Für n = 5 erhalten wir (1)4m = { a " " | a 4m 1} = { ..., -9, -4, 1, 6, 11, ...} (a – a = 0 * n) (2)4m = { a " " | a 4m 2} = { ..., -8, -3, 2, 7, 12, ...} ! Symmetrie 'a, b " " : a 4m b * b 4m a (a – b = k * n, b – a = - k * n) (3)4m = { a " " | a 4m 3} = { ..., -7, -2, 3, 8, 13, ...} (4)4m = { a " " | a 4m 4} = { ..., -6, -1, 4, 9, 14, ...} ! Transitivität 'a, b, c " " : a 4m b # b 4m c * a 4m c (a – b = k1 * n, b – c = k2 * n, a - c = (k1 + k2)* n) ! Die Menge der Äquivalenzklassen von 4 m bildet eine Partition von ", denn keine Äquivalenzklasse ist leer die Äquivalenzklassen sind paarweise disjunkt (0)4m $ (1)4m $ (2)4 $ (3)4m $ (4)4m = " Mengen, Relationen, Funktionen 21 Mengen, Relationen, Funktionen 22 Formale Grundlagen der Informatik Formale Grundlagen der Informatik Weitere Beispiele von Äquivalenzrelationen Hüllen Gegeben sei die Menge aller Menschen. Welche der folgenden Relationen sind Äquivalenzrelationen? Sei M eine Menge und R ( M 2 M eine Relation. • x steht zu y in Relation, falls x und y die gleiche Sprache sprechen. • x steht zu y in Relation, falls x älter oder genauso alt wie y ist. • x steht zu y in Relation, falls x und y sich gegenseitig kennen. Wir suchen nun nach der kleinsten Anzahl von geordneten Paaren aus M 2 M, die wir zu R hinzufügen müssen, damit die so erweiterte Relation – Hülle genannt – bestimmte Eigenschaften besitzt. 1. Die transitive Hülle von R ist die Relation <R>t ( M 2 M definiert durch: ( x , y ) " <R>t ) ( x , y ) " R % . n " ! : . t1, t2, …, tn : (x , t1), ( t1 , t2 ), …, ( tn-1 , tn ), ( tn , y ) " <R>t 2. Die symmetrische Hülle von R ist die Relation <R>s ( M 2 M definiert durch: ( x , y ) " <R>s ) (( x , y ) " R % ( y , x ) " R) <R>s = R % R-1 Mengen, Relationen, Funktionen 23 Mengen, Relationen, Funktionen 24 Formale Grundlagen der Informatik Formale Grundlagen der Informatik Hüllen Funktionen 3. Die reflexiv-transitive Hülle von R ist die Relation <R>rt ( M 2 M definiert durch: ! Eine Funktion f ist eine binäre Relation f ( A 2 B, die linkstotal und rechtseindeutig ist: Zu jedem a " A gibt es genau ein b " B mit (a , b) " f. ( x , y ) " <R>rt ) (( x , y ) " <R>t % x = y) ! Bei Funktionen schreibt man f : A 5 B anstatt f ( A 2 B und f(a) = b anstatt (a , b) " f. 4. Die reflexiv-symmetrisch-transitive Hülle von R ist die Relation <R>rst ( M 2 M definiert durch: <R>rst = <<R> s > rt <R>rst ist die „kleinste“ Erweiterung von R zu einer Äquivalenzrelation. ! Terminologie 1. A heisst der Definitionsbereich von f. 2. B heisst der Wertebereich von f. 3. Die Menge f(A) = { f(a) | a " A } heisst das Bild von f. ! Eigenschaften von Funktionen 1. Eine Funktion ist surjektiv, wenn sie rechtstotal ist. 2. Eine Funktion ist injektiv, wenn sie linkseindeutig ist. 3. Eine Funktionen ist bijektiv, wenn sie surjektiv und injektiv ist. ! Sind f : A 5 B und g : B 5 C Funktionen, so bezeichnet g 3 f : A 5 C die Komposition von f und g, die durch (g 3 f)(a) = g(f(a)) definiert ist. Mengen, Relationen, Funktionen 25 Mengen, Relationen, Funktionen 26 Formale Grundlagen der Informatik Formale Grundlagen der Informatik Spezielle Funktionen Kardinalität von Mengen ! Identität ! Anzahl von Elementen (informell) Die Funktion idA : A 5 A, die durch idA(a) = a definiert ist, heisst die Identität. ! Konstante Funktion Eine Funktion c : A 5 B, die für alle Werte des Arguments denselben Wert hat, heisst konstant. ! Umkehrfunktion Eine Funktion g : B 5 A heisst eine Umkehrfunktion einer Funktion f : A 5 B, wenn g 3 f : A 5 A gleich idA ist, und f 3 g : B 5 B gleich idB ist. Eine Funktion hat genau dann eine Umkehrfunktion, wenn sie bijektiv ist. Diese Umkehrfunktion ist eindeutig. Sei A eine Menge mit endlich vielen Elementen. Die Anzahl |A| nennt man die Mächtigkeit oder Kardinalität der Menge. ! Zwei endliche Mengen haben dieselbe Kardinalität, wenn die Anzahl Elemente in beiden Mengen gleich ist. Nimmt man je ein Element aus beiden Mengen heraus, bleiben am Ende zwei leere Mengen. ! Cantor hat diese Idee für unendliche Mengen weiterentwickelt: Zwei unendliche Mengen haben dieselbe Kardinalität, wenn sich die Elemente beider Mengen paaren lassen: 1 6 2 2 6 4 3 6 6 4 6 8 5 6 10 6 6 12 7 6 14 8 6 16 9 6 18 10 6 20 … • Charakteristische Funktion Gegen sei eine Menge A und ein Element a" A. Die Funktion xa: A 5 {0,1} ist definiert als xa(a) = 1 und xa(b) = 0 für b " a und heisst die charakterische Funktion von a.. Mengen, Relationen, Funktionen 27 Mengen, Relationen, Funktionen 28 Formale Grundlagen der Informatik Formale Grundlagen der Informatik Kardinalität von Mengen (2) Cantors Diagonalisierungsargument für |P (! )| > |! | ! Formaler: |X| = |Y| ) es gibt eine Bijektion zwischen X und Y Beweis durch Widerspruch. |X| 8 |Y| ) es gibt eine injektive Funktion von X nach Y Wir nehmen an, dass |P(!)| 8 |!|. D.h., man kann jeder Teilmenge von ! eine Zahl aus ! so zuordnen, dass jede Zahl aus ! höchstens einmal benutzt wird. ! Die Relation 4 definiert durch X 4 Y ) es gibt eine Bijektion zwischen X und Y ist eine Äquivalenzrelation. ! Wir definieren nun |X| als die Äquivalenzklasse (X)4 ! Die Kardinalität von ! ist 70 (Aleph null). 70 ist die kleinste unendliche Kardinalzahl. Mengen mit der Kardinalzahl 70 werden abzählbar unendlich genannt. ! Eine weitere Kardinalzahl ist c. Dies ist die Kardinalität von P(!) und $. Mengen mit der Kardinalzahl c werden überabzählbar genannt. ! Cantors Diagonalisierungsargument beweist c <> 70. Uns interessieren die Paare, bei denen die Teilmenge von ! die Zahl aus ! nicht enthält, mit der sie gepaart wird. Beim Paar (1, {2}) z.B. enthält die Teilmenge die Zahl nicht, jedoch beim Paar (2, {2, 3}) enthält sie sie. Wir definieren eine Teilmenge M ( ! so, dass M die Zahlen enthält, die entweder nicht gepaart sind oder mit einer Teilmenge von ! gepaart sind, die die Zahl nicht enthalten. M ist eine Teilmenge von !. Also muss es ein Paar (z , M) geben. Ist z ein Element von M? Ja: Dann ist z gepaart mit einer Menge, die z enthält. Das ist ein Widerspruch zur Definition von M. Nein: Dann ist z gepaart mit einer Menge aus |P(!)| (nämlich M), die z nicht enthält. Nach der Definition von M muss z dann aber ein Element von M sein. Widerspruch. Also muss |P(!)| > |!| gelten. Mengen, Relationen, Funktionen 29 Mengen, Relationen, Funktionen 30 Formale Grundlagen der Informatik Formale Grundlagen der Informatik Russelsches Paradox in der naiven Mengenlehre Rechnen mit Kardinalitäten Für endliche Mengen gilt: ! Axiom der Komprehension: Für jede Eigenschaft können wir eine Menge bilden, die genau die Elemente enthält, die diese Eigenschaft haben. ! Der Begriff der Eigenschaft muss eingeschränkt werden, sonst entsteht ein Widerspruch. ! Beispiel: Man definiere M als die Mengen aller Mengen, die sich selbst nicht enthalten: M={X|X!X} Frage: Enthält M sich selber? Ja. Wenn M sich selbst enthält, dann darf M sich selbst nicht enthalten Nein. Wenn M sich selbst nicht enthält, dann muss M sich selbst enthalten ! |A$B|=|A|+|B|–|A!B| ! |A$B$C|=|A|+|B|+|C| – | A ! B |– | A ! C |– | B ! C | + | A ! B ! C | ! | A - B | = | A | - | B |, falls B ( A ! |A2B|=|A|•|B| Für abzählbar unendliche Mengen gilt: ! 70 + 70 = 70 ! 70 • 70 = 70 ! Was ist mit 70 - 70 ? Wir wissen aber aus der Logik, dass aus einem Widerspruch alles abgeleitet werden kann. Mengen, Relationen, Funktionen 31 Mengen, Relationen, Funktionen 32