Universität Regensburg Naturwissenschaftliche Fakultät I – Didaktik der Mathematik Dr. Günter Rothmeier WS 2008/09 51 722 Elementarmathematik (LH) 1. Private Vorlesungsaufzeichnungen Kein Anspruch auf Vollständigkeit und Fehlerfreiheit Zahlenbereiche 1.2. Die ganzen Zahlen 1.2.1. Zahlenbereichserweiterung In der Schulmathematik erfolgt eine Zahlenbereichserweiterung dann, wenn bestimmte Rechenoperationen in der bereits bekannten Zahlenmenge nicht durchführbar sind. Man spricht von der so genannten Nichtabgeschlossenheit einer Zahlenmenge hinsichtlich einer bestimmten Rechenoperation. a, b ∈ IN, aber a D b ∉ IN Beispiel: Die Operation 5 – 8 ist in IN nicht abgeschlossen 1.2.2. Der Begriff der Äquivalenzklasse Die ganzen Zahlen werden als Äquivalenzklasse definiert. Man spricht von einer Äquivalenzklasse, wenn folgende drei Eigenschaften innerhalb den Elementen einer Menge gelten: • Reflexivität: a ~ a Jedes Objekt ist zu sich selbst äquivalent. • Symmetrie: a ~ b ⇔ b~a Wenn a zu b äquivalent ist, dann ist auch b äquivalent zu a (und umgekehrt). • Transitivität: a ~ b und b~c ⇒ a~c Wenn a zu b äquivalent und b zu c äquivalent ist, dann ist a äquivalent zu c. Ein Beispiel: Betrachten wir die Menge aller Nutztiere in einem landwirtschaftlichen Betrieb. Wir definieren eine Relation und sagen: Zwei Tiere stehen in Relation zueinander, wenn sie von derselben Art sind. Das Pferd Silli zum Beispiel steht mit dem Pferd Bruno in Relation, aber nicht mit dem Huhn Kleinei. Diese Relation ist eine Äquivalenzrelation: Jedes Tier ist von derselben Art wie es selbst ist (Eigenschaft der Reflexivität). Ist ein Tier von derselben Art wie das andere, dann ist das andere auch von derselben Art wie das eine (Eigenschaft der Symmetrie). Wenn Silli und Karo von derselben Art sind und Silli und Bruno, dann sind auch Silli und Karo von derselben Art (Eigenschaft der Transitivität), also alle drei Lebewesen sind Pferde. Eine Äquivalenzklasse besteht hier also aus den Tieren einer Art. Zum Beispiel bilden auch Hühner eine Äquivalenzklasse oder die Rinder eine andere Äquivalenzklasse. 1.2.3. Definition der ganzen Zahlen a) Während das Teilen im praktischen Rechnen zwangsläufig zu Brüchen führt, die als Gegenstände des Rechnens und damit als „Zahlen“ empfunden werden, gilt dies für ein Ergebnis einer Subtraktion a – b mit a < b nicht. Aus 5 € – 8 € folgt nicht notwendigerweise, dass „3 € Schulden“ gleichzusetzen ist mit der negativen Zahl –3. b) Ist die Menge der natürlichen Zahlen gegeben, dann lassen sich die ganzen Zahlen daraus konstruieren: Wir betrachten die Menge IN × IN aller Paare (a; b) natürlichen Zahlen und definieren folgende Äquivalenzrelation: (a, b) ~ (c, d) falls a + d = c + b mit a, b, c, d ∈ IN (5, 9) ~ (6, 8) da 5 + 9 = 6 + 8 ⇔ 5–8=6–9 Die Zahlenpaare (5, 9) und (6, 8) definieren also die Eigenschaft einer Äquivalenzklasse. Alle Zahlenpaare mit dieser Eigenschaft legen eine Äquivalenzklasse fest, hier die Zahl –3. –3 = {(1; 4); (2; 5); (3; 6); . . .} Auf diese Weise erhalten wir beliebig viele neue Zahlen. Wir bezeichnen sie als negative ganze – Zahlen und schreiben ZZ . Im Bereich der Schulmathematik wird die Notwendigkeit der Zahlenbereichserweiterung meist mit der Nichtabgeschlossenheit der Subtraktion in IN begründet. c) Will man an die Erfahrungswelt der Schüler anknüpfen, so kann man verschiedene Konzepte verwenden. ca) Das Temperaturkonzept cb) Das Schuldenkonzept cc) Das Höhenkonzept cd) Das Schrittkonzept Allen diesen Konzepten gemeinsam ist, dass sie bestimmten in der Natur oder dem Alltag vorkommenden Ereignissen durch ein Minuszeichen eine bestimmte Vereinbarung zuordnen, die zur Unterscheidung einer entgegen gesetzten Vereinbarung dient. Als Vorarbeit (Propädeutik) oder Modell zur Rekonstruktion von Wissensdefiziten beim Rechnen in ZZ erscheinen diese Konzepte geeignet. Universität Regensburg Naturwissenschaftliche Fakultät I – Didaktik der Mathematik Dr. Günter Rothmeier WS 2008/09 Private Vorlesungsaufzeichnungen Kein Anspruch auf Vollständigkeit 51 722 Elementarmathematik (LH) und Fehlerfreiheit 1.2.4. Das Permanenzprinzip Eine neue Zahlenmenge soll möglichst so definiert sein, dass die in den bisher bekannten Zahlenmengen gültigen Definitionen weiterhin Gültigkeit haben. Das Permanenzprinzip ist kein Gesetz im strengen mathematischen Sinn, da es nicht logisch begründet werden kann und auch kein Axiom darstellt. Am Besten versteht man es als zweckmäßige Vereinbarung. 1.2.5. Einordnung der natürlichen Zahlen – Die Elemente der neuen Zahlenmenge ZZ ordnen wir sinnvoller Weise auf der Zahlenhalbgeraden links von der Null an. Die Zahlenhalbgerade wird damit zur Zahlengerade. Wegen des Permanenzprinzips behalten wir die aus der Definition und Anordnung der natürlichen Zahlen bekannten Eigenschaften bei. Das sind 1. die gewählte Skalierung 2. die Kleinerbeziehung –10 –5 0 5 10 Aus dem Permanenzprinzip folgt also beispielsweise, dass –3 < –2. Als Äquivalenzklasse lässt sich beispielsweise auch +3 = {(4; 1); (5; 2); (6; 3); . . .} festlegen. Die + auf diese Weise festgelegte Zahlenmenge ZZ nennen wir positive ganze Zahlen. Ausgehend von – den zugrunde gelegten Definitionen von ZZ und IN ist die mathematische Natur etwa der Zahlen +3 und 3 zu unterscheiden. Da es aber sinnvoll erscheint, die positiven Zahlen entsprechend dem Permanenzprinzip auf der Zahlengeraden wie in der Zahlenmenge IN üblich anzuordnen, wird häu+ fig nicht zwischen den Elementen der Zahlenmenge IN und ZZ unterschieden. + – IN ⊂ ZZ Es gelten folgende Beziehungen: ZZ ∪ ZZ = ZZ 1.2.6. Größenbereich In der Schulmathematik versteht man unter einem Größe z ein positives reelles Vielfaches n (Maßzahl) einer Einheit e. Daraus folgt, dass gilt z = n ⋅ e. Beispiel: n=3 e=1m z=3⋅1m=3m Größen dienen im Bereich der Schulmathematik zur Beschreibung alltagsbezogener Situationen. Negative Zahlen können hierzu nach Definition nicht verwendet werden. 1.2.7. Unterrichtsspezifische Anmerkungen a) Das Pfeilmodell Positive Zahlen werden durch einen Rechtspfeil, negative Zahlen durch einen Linkspfeil dargestellt. Jedem Rechtspfeil entspricht eine Zahl auf der Zahlenhalbgeraden. Ordnen wir auch jedem Linkspfeil eine Zahl zu, so erweitern wir unsere Zahlenhalbgerade nach links zur Zahlengeraden. Linkspfeile –1 Rechtspfeile +1 –2 +2 –3 +3 –4 +4 Bildpunkt –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 Die Zeichen "+" und "–" legen die Richtung der Zahlenpfeile bzw. die Lage der Zahlenbilder bezüglich des Nullpunktes fest. Man nennt sie Vorzeichen der Zahlen. Das Vorzeichen gibt also an, ob die Zahl positiv oder negativ ist. b) Zahl und Gegenzahl Zwei Zahlen, deren Zahlenpfeile sich nur durch die Richtung unterscheiden, nennt man Zahl und Gegenzahl. So ist die Zahl –3 die Gegenzahl zu 3 und umgekehrt ist die Zahl 3 die Gegenzahl zu –3. Zahl Gegenzahl –6 +6 –4 +4 5 –5 +8 –8 Universität Regensburg Naturwissenschaftliche Fakultät I – Didaktik der Mathematik Dr. Günter Rothmeier WS 2008/09 Private Vorlesungsaufzeichnungen Kein Anspruch auf Vollständigkeit 51 722 Elementarmathematik (LH) c) und Fehlerfreiheit Vorzeichenregeln Wir kennzeichnen die Bildung der Gegenzahl durch ein Minuszeichen. Gegenzahl zu –3 ist –(–3) Gegenzahl zu +3 ist –(+3) – (+3) = –3 – (–3) = +3 = 3 Gegenzahl zu –3 ist +3 d) Gegenzahl zu +3 ist –3 Addition (Spitze-Fuß-Verknüpfung) und Subtraktion (Spitze-Spitze-Verknüpfung) in ZZ werden durch das Pfeilmodell veranschaulicht. Wir veranschaulichen die Subtraktion zweier Zahlen am Pfeilmodell. An die Spitze des ersten Pfeils wird die Spitze des zweiten Pfeils angesetzt. Der Ergebnispfeil reicht vom Fuß des Minuenden bis zum Fuß des Subtrahenden. 6 Spitze Minuend 4 6–2=4 3 Spitze Ergebnispfeil 0 e) 1 2 Subtrahend 3 4 5 6 7 8 9 Betrag einer Zahl Die Maßzahl der Länge eines Zahlenpfeils heißt – ungeachtet seiner Richtung – Betrag der Zahl. Wir schreiben | a |. Also gilt: |a| | a | = –a |a|=0 |a|=a wenn a < 0 wenn a = 0 wenn a > 0 1.2.8. Addition von ganzen Zahlen a) Addition bei gleichen Vorzeichen 1. Man addiert die Beträge. 2. Man ordnet der Summe der Beträge das gemeinsame Vorzeichen zu. (+a) + (+b) = +(a + b) (–a) + (–b) = –(a + b) a, b > 0 b) Addition bei verschiedenen Vorzeichen Der Ergebnispfeil ist so lang wie der Unterschied der beiden Pfeile. Er hat auch die gleiche Richtung wie der längere Pfeil. Also gilt: 1. Man subtrahiert den kleineren Betrag vom größeren Betrag. 2. Man ordnet dem Differenzwert das Vorzeichen der Zahl mit dem größeren Betrag zu. (+a) + (–b) = +(a – b) (–a) + (+b) = –(a – b) a, b > 0 Universität Regensburg Naturwissenschaftliche Fakultät I – Didaktik der Mathematik Dr. Günter Rothmeier WS 2008/09 Private Vorlesungsaufzeichnungen Kein Anspruch auf Vollständigkeit 51 722 Elementarmathematik (LH) und Fehlerfreiheit 1.2.9. Subtraktion von ganzen Zahlen Die Subtraktion einer Zahl kann durch die Addition der Gegenzahl ersetzt werden. Wir beachten die bekannten Verknüpfungsregeln und unterscheiden: 1. Fall: Subtrahend positiv 2. Fall: (+4) – (+3) = +1 S-S-Verknüpfung +4 +1 0 1 2 Subtrahend negativ (+4) – (–3) = +7 +4 –3 +3 3 4 5 6 7 0 1 2 +7 3 4 5 6 7 Die Addition der Gegenzahl führt zum gleichen Ergebnis. Vergleiche: (+4) – (+3) = +1 (+4) – (–3) = +7 Addition der Gegenzahl Addition der Gegenzahl (+4) + (–3) = +1 (+4) + (+3) = +7 Subtraktion einer Zahl Addition der Gegenzahl (+4) + (+3) = +7 S-S- (+4) + (–3) = +1 +4 +4 +3 –3 +1 0 a – (+b) = a + (–b) 1 2 3 4 5 6 7 a – (–b) = a + (–b) 0 1 2 a ∈ ZZ +7 3 4 5 6 7 b ∈ IN0 Anmerkungen: Das Ersetzen der Subtraktion einer Zahl durch die Addition einer Gegenzahl ist unabhängig davon, ob der Minuend positiv oder negativ ist. Jede Differenz kann als Summe geschrieben werden. Wir sprechen deshalb auch dann von algebraischen Summen, wenn das Rechenzeichen "minus" auftritt. Vereinfachung der Schreibweise Bei positiven Zahlen dürfen Klammer und Vorzeichen weggelassen werden, das Rechenzeichen muss geschrieben werden. Bei negativen Zahlen fassen wir Vorzeichen und Rechenzeichen zusammen: Sind sie gleich, zu einem Plus-Zeichen, sind sie verschieden, zu einem Minus-Zeichen. (+a) + (+b) = (+a) – (+b) = a+b +a – b (+a) + (–b) = (+a) – (–b) = a–b a+b Ist die erste Zahl negativ, so wird die Klammer weggelassen, das Vorzeichen wird beibehalten. 1.2.10. Multiplikation und Division in ZZ Bei der Multiplikation zweier Zahlen gibt es vier Möglichkeiten, die Vorzeichen zu kombinieren. Die Multiplikation in ZZ können wir als verkürzte Addition gleicher Summanden ansehen. Wir betrachten zuerst die Fälle, bei denen der 1. Faktor eine positive Zahl ist. 1. Fall: also: (+3) ⋅ (+4) 3 ⋅ (+4) (+4) + (+4) +(+4) (+3) ⋅ (+4) = = = +12 = +12 2. Fall: also: (+3) ⋅ (–4) 3 ⋅ (–4) (–4) + (–4) +(–4) (+3) ⋅ (–4) Ist der erste Faktor eine negative Zahl, so kann man nicht wie oben vorgehen. = = = –12 = –12 Universität Regensburg Naturwissenschaftliche Fakultät I – Didaktik der Mathematik Dr. Günter Rothmeier WS 2008/09 Private Vorlesungsaufzeichnungen Kein Anspruch auf Vollständigkeit 51 722 Elementarmathematik (LH) 3. Fall: (–3) ⋅ (+4) = Wir fordern die Gültigkeit des Kommutativgesetzes der Multiplikation (Permanenzprinzip). (–3) ⋅ (+4) = (+4) ⋅ (–3) = –12 also: (–3) ⋅ (+4) = –12 und Fehlerfreiheit 4. Fall: (–3) ⋅ (–4) = Wir fordern die Gültigkeit des Distributivgesetzes und betrachten den Term (–3) ⋅ 0 mit dem Termwert 0. Wir schreiben statt (–3) ⋅ 0: (–3) ⋅ [(–4) + (+4)] =0 (–3) ⋅ (–4) + (–3) ⋅ (+4) = 0 (–3) ⋅ (–4) – 12 =0 +12 – 12 =0 also: (–3) ⋅ (–4) = +12 1.2.11. Fachsprachliche Anmerkungen zu ZZ 1.2.12. Aufbau eines Zahlensystems Je nach Gültigkeit bestimmter Gesetze bzw. Vorhandensein bestimmter Eigenschaften lassen sich besondere Eigenschaften einer Zahlenmenge festlegen. Einfache VerknüpDoppelte Verknüpfung a, b, c, d (1) a°b=c (2) a ° (b ° c) = (a ° b) ° c) (3) a°e=e°a=a (4) a–1 so, dass a–1 ° a = e (5) a°b=b°a Ist die bisherige Verknüpfung additiv, so gilt für eine zweite multiplikative Verknüpfung (2’) a • (b • c) = (a • b) • c (3’) a • e’ = e’ • a = a (6) a • (b ° c) = a • b ° a • c (b ° c) • a = b • a ° c a (5’) a•b=b•a (4’) a–1 so, dass a–1 • a = e Menge Bereich Gruppe Abel-Gruppe Ring Kommutativer Ring Körper 1.2.13. Kulturhistorische Anmerkungen Negative Zahlen als Schulden Schon in einem Rechenbuch von Leonardo von Pisa (1180 – 1250 n. Chr.) findet sich eine Rechenaufgabe über die Aufteilung eines Geldbetrages, die nur lösbar ist, wenn man negative Zahlen, verstanden als Schulden, zulässt. Rechnen mit negative Zahlen Michael Stifel (1487 – 1587) war wohl einer der ersten Mathematiker, der es sinnvoll fand, mit negativen Zahlen zu rechnen. Hierzu stellte er Rechenregeln auf, die auch heute noch Gültigkeit haben. So taucht um 1450 in einem Rechenbuch des Mathematikers Nicolas Chuquet der Begriff "mit plus und minus zusammengesetzte Zahlen" auf, mit denen er rechnet. Seine Aufgabe: "Ich will fünf Zahlen finden, die zusammen ohne die erste 120 ergeben, ohne die zweite 180, ohne die dritte 240, ohne die vierte 300 und ohne die fünfte 360". Seine Lösung: Addition dieser fünf Zahlen 120 + 180 + 240 + 300 + 360 = 1200 Division des Summenwertes durch 4 1200 : 4 = 300 Subtraktion der fünf Zahlen 300 – 120 = 180 300 – 180 = 120 300 – 240 = 60 300 – 300 = 0 300 – 360 = –60 Dagegen konnte sich John Wallis (1616 – 1703) negative Zahlen nur als Schritte in die "Gegenrichtung" zur positiven Richtung vorstellen. Universität Regensburg Naturwissenschaftliche Fakultät I – Didaktik der Mathematik Dr. Günter Rothmeier WS 2008/09 51 722 Elementarmathematik (LH) Private Vorlesungsaufzeichnungen Kein Anspruch auf Vollständigkeit und Fehlerfreiheit Anerkennung der negativen Zahlen Auch wenn man insbesondere in kaufmännischen Fragen ein Vorverständnis negativer Zahlen entwickelte, dauerte es bis in das 17. Jahrhundert, bis man in der Mathematik vom Sinn der neuen Zahlenmenge der negativen Zahlen überzeugt war. Universität Regensburg Naturwissenschaftliche Fakultät I – Didaktik der Mathematik Dr. Günter Rothmeier WS 2008/09 51 722 Elementarmathematik (LH) Private Vorlesungsaufzeichnungen Kein Anspruch auf Vollständigkeit und Fehlerfreiheit 1.2.14. Übungsblatt: Zahlenbereiche – Ganze Zahlen Aufgabe 1 1. Veranschaulichen Sie mit Zahlenpfeilen. Wählen Sie einen geeigneten Maßstab. a) 8 – 3 b) 5 – (+2) c) 9 – 8 d) (–24) – 12 e) (–18) – (–15) f) (–22) + 17 g) –85 + (+45) h) 80 – 25 i) 110 + 75 Aufgabe 2 2. Aufgabe nach Stifel: "Ich will fünf Zahlen finden, die zusammen ohne die erste 120 ergeben, ohne die zweite 180, ohne die dritte 240, ohne die vierte 300 und ohne die fünfte 360". Aufgabe 3 3. Überprüfen Sie an einem Zahlenbeispiel, ob die Menge ZZ ein Körper ist. Aufgabe 4 4.0 4.1 4.2 4.3 Gegeben ist folgendes Schaubild. Welche Zahlen sind dargestellt? Ergänzen Sie die fehenden Zahlenpaare. Begründen Sie, warum die gezeichneten Halbgeraden zu Geraden ergänzt werden können. 4.4 Welche Voraussetzungen sind nötig, damit Punkte auf den Gerden markiert werden können ? (1; 3) (4; 3) (3; 2) (2; 1) Universität Regensburg Naturwissenschaftliche Fakultät I – Didaktik der Mathematik Dr. Günter Rothmeier WS 2008/09 Private Vorlesungsaufzeichnungen Kein Anspruch auf Vollständigkeit 51 722 Elementarmathematik (LH) und Fehlerfreiheit Lösungen zu 1.2.14 Zu Aufgabe 1 a) Es gibt zwei Möglichkeiten: 8 – 3 = (+8) – (+3) = (+8) + (–3) = +8 +5 +3 1. Möglichkeit 5 0 8 +8 +5 –3 1. Möglichkeit 0 5 8 Zu Aufgabe 2 Addition dieser fünf Zahlen 120 + 180 + 240 + 300 + 360 = 1200 Division des Summenwertes durch 4 1200 : 4 = 300 Subtraktion der fünf Zahlen 300 – 120 = 180 300 – 180 = 120 300 – 240 = 60 300 – 300 = 0 300 – 360 = –60 Zu Aufgabe 3 Bedingung für Körper ist die Existenz eines inversen Elements der multiplikativen Verknüpfung. a ⋅ n = 1 mit a ∈ ZZ und n ∉ ZZ Also ist ZZ kein Körper. Zu Aufgabe 4 4.1 4.2 4.3 4.4 Dargestellt sind differenzgleiche Zahlenpaare. vgl. Zeichnung Man verwendet ZZ . Subtraktion in ZZ . (1; 3) (4; 3) (3; 2) (2; 1) (1; 0) (0; –1) (–1; –2) (–2; –3)