Bruchgleichungen

Bruchgleichungen
Gott hat für kleine Mädchen die Barbie­Puppe erfunden und für Realschüler die Bruchgleichungen.
Vielen Dank, lieber Gott.
Bei Bruchgleichungen gibt es drei wichtige Begriffe, die man errechnen muss:
1)
2)
3)
die Definitionsmenge
den Hauptnenner
die Lösungsmenge (=das „x“)
Bevor Ihr aber überhaupt anfangt zu rechnen, kriegt Ihr immer einen ganz heißen Tipp, mit dem sich Definitionsmenge und vor allem Hauptnenner viel einfacher berechnen lassen. Solltet Ihr an einem solchen Tipp nicht interessiert sein, müsst Ihr als allererstes immer Folgendes machen:
Als ersten Schritt, klammert man in der Bruchgleichung aus jedem Nenner Alles was sich irgendwie ausklammern lässt. ( Zahlen oder „x“ oder Beides. )
Als zweites, schaut man immer, ob man im Nenner irgend eine der drei
binomischen Formeln anwenden kann. ( Falls ja, wendet man diese an. )
aus,
Die Definitionsmenge
Da bei Bruchgleichungen im Nenner (=das unterm Bruchstrich) „x“ vorkommt, muss man aufpassen, dass der Nenner niemals Null wird. ( Wenn der Nenner=0 wäre, würde man ja durch Null teilen und wenn man in Mathe jemals durch Null teilt, kann man dafür lebenslänglich ins Gefängnis kommen !! ).
Man nimmt sich also jeden Nenner, der vorkommt, setzt ihn gleich Null und erhält einen Wert für „x“. Nun weiß man, dass für diese Zahl (oder Zahlen die man für „x“ erhalten hat) der Nenner Null werden würde und das ist ja ziemlich schrecklich ( da kommt man ins Gefängnis und so ! ). Erst mal bringen einem diese Zahlen nicht viel. Man schreibt sie auf und lässt sie bis zum Schluss der Rechnung stehen. Erst hier, am Schluss der Rechnung, wird die Definitionsmenge wieder wichtig.
Bsp.1)
Bestimme die Definitionsmenge der Gleichung:
3
2x−1
4x

=
x²−4x x²−8x16
x²−16
Als erstes wenden wir den ganz heissen Tipp an und klammern erst alles aus,
3
2x−1
4x

= 2
x⋅ x−4 x 2−8x16
x −16
dann wenden wir die binomischen Formeln an.
3
2x−1
4x

=
x⋅ x−4  x−42
x−4⋅ x4
Bruchgleichungen­1
Havonix­Skript:
Bruchgleichungen
Nun nehmen wir jeden einzelnen Nenner her und setzen ihn = 0
x∙(x­4) = 0
liefert als Lösung:
(x­4)2 = 0
liefert als Lösung nur x=4,
das hatten wir bereits.
(x­4)∙(x+4)
liefert x=4 und x1=0, x2 = 4
x3 = ­4
Es gibt also drei Werte, die „x“ nicht annehmen darf: x1=0, x2=4 und x3=­4
D = R \ { 0 ; 4 ; ­4 }
Die Definitionsmenge lautet also:
Der Hauptnenner
Um eine Bruchgleichung zu lösen, multipliziert man die ganze Gleichung mit dem Hauptnenner.
Der Hauptnenner ist also ein Zauberterm, der eine Bruchgleichung durch Multiplizieren in eine „normale“ Gleichung, also eine Gleichung ohne Brüche umwandelt.
Um den Hauptnenner zu finden, muss man erst wieder alle Nenner in Faktoren zerlegen (d.h. zuerst alles ausklammern, dann binomische Formeln)
In den Hauptnenner kommen alle verschiedene Faktoren,
(mit der höchsten Potenz, in der sie vorkommen).
Bsp.2) Gib den Hauptnenner an von: 2x−2
x1
3

=
4x−8 3x 2−6x
2x
erst alles ausklammern, was sich im Nenner ausklammern läßt
2x−2
x1
3

=
4⋅ x−2 3x⋅x−2
2x
( binomische Formeln gibt's keine )
erst die Zahlen anschauen: Es kommen die Zahlen 4,3 und 2 vor. Nun braucht man für den Hauptnenner eine Zahl, in die die 4,3 und 2 hineinpassen. Das ist die „12“. MERKEN! Nun die Klammern anschauen: Es kommen zwei Arten von Klammern vor: ( bedenkt, dass ein ausgeklammertes„x“ auch wie eine Klammer behandelt wird ). Im ersten Bruch gibt's nur die Klammer „(x­2)“. Im zweiten Bruch gibt's „x“ und „(x­2)“, was wir allerdings bereits hatten. Im dritten Bruch kommt ausser der Zahl 2 nur „x“ vor. Auch das hatten wir bereits.
Für den Hauptnenner haben wir also:
zahlentechnisch: 12
„x“­technisch:
„x“ und „(x­2)“
Der Hauptnenner lautet also: 12∙x∙(x­2)
Bruchgleichungen­2
Havonix­Skript:
Bruchgleichungen
4x−1
22−2x
Bsp.3) Gib den Hauptnenner an von: x²3x − x²6x9
=
2x
x3
erst im Nenner alles ausklammern.
4x−1
22−2x
2x
−
=
x⋅ x3 x²6x9
x3
im zweiten Bruch gibt's `ne binomische Formel.
4x−1 22−2x
2x
−
=
x⋅ x3  x32
x3
Zahlen gibt's keine,
An Termen gibt's: „x“ sowie „(x+3)“. „(x+3)“ gibt's
jedoch sogar im Quadrat, also lautet der HN:
Hauptnenner: x∙(x+3)2
Jetzt rechnen wir `mal lieber ein paar Beispiel von Bruchgleichungen komplett durch.
Mit Definitionsmenge, Hauptnenner und Lösung für's „x“.
Bsp.4)
x1
x1
2x1
−

4x²12x9 4x6 10x15
=0
x1
x1
2x1
−

4x²12x9 2⋅ 2x3 5⋅ 2x3
x1
x1
2x1
−

2x32 2⋅ 2x3 5⋅ 2x3
Definitionsmenge:
(2x+3)2 = 0 | 
2x+3 = 0
|­3 |:2
x = ­1,5
ausklammern ...
=0
binomische Formeln ...
=0
x=­1,5
D = R \ { ­1,5 }
2x+3 = 0
2x=­3
Hauptnenner:
Im Nenner gibt es die Zahlen „2“ und „5“. Beide Zahlen passen in die Zahl „10“.
An x­Termen gibt s nur die Klammer „(2x+3)“. Zweimal taucht sie ohne Hochzahl auf,
einmal taucht sie „hoch 2“ auf.
Der Hauptnnner lautet also:
HN = 10∙(2x+3)2
Lösung der Gleichung bestimmen:
Um eine Bruchgleichung zu lösen, multipliziert man immer mit dem Hauptnenner!
x1
x1
2x1
−

2x32 2⋅2x3 5⋅2x3
=0
| ∙ 10∙(2x+3)2
Bruchgleichungen­3
Havonix­Skript:
Bruchgleichungen
x1 10⋅ 2x32
x1 10⋅ 2x32
2x1 10⋅2x32
⋅
−
⋅

⋅
1
2⋅ 2x3
1
5⋅ 2x3
1
2x32
x1 10
⋅
1
1
−
x1 5⋅2x3 2x1 2⋅ 2x3
⋅

⋅
1
1
1 ⋅1
1
=0
=0
Gleichung ohne Nenner hinschreiben
(x+1)∙10 ­ (x+1)∙5∙(2x+3) + (2x+1)∙2∙(2x+3) = 0
10x+10 ­ (5x+5)∙(2x+3) + (4x+2)∙(2x+3) = 0
10x+10 ­ (10x²+15x+10x+15) + 8x²+12x+4x+6 = 0
10x+10 ­ 10x²­15x­10x­15 + 8x²+12x+4x+6 = 0
­2x² +1x +1 = 0
­2x²+1x+1 = 0
(p­q­Formel)
kürzen
ausmultiplizieren ans „­“ vor der 2. Klammer denken !
p­q­Formel oder a­b­c­Formel
(a­b­c­Formel)
­2x +x+1=0 |:(­2)
2
x2­0,5x­0,5 = 0
x1,2 = −1± 1²−4⋅−2⋅1
4
x1,2 = 0,25± 0,2520,5
x1 = 1
x2 = ­0,5
Beide x­Werte tauchen nicht in der Definitionsmenge auf (da war nur x=­1,5 drin),
also sind beide x­Werte Lösungen.
L = { ­0,5 ; 1 }
Bsp.5)
x−1
4
−
x²−4x 6x−24
=
x1
3x²−24x48
ausklammern ...
x−1
4
−
x⋅ x−4 6⋅ x−4
=
x1
3⋅ x²−8x16
=
x1
3⋅ x−42
binomische Formeln ...
x−1
4
−
x⋅ x−4 6⋅ x−4
Definitionsmenge:
1.Bruch:
x1=0
oder
x­4=0 |+4
x2=4
2.Bruch:
x­4=0
x=4
3.Bruch:
(x­4)2=0 | 
x­4 = 0
x=4
D = R \ { 0 ; 4 }
Hauptnenner:
Im Nenner gibt es die Zahlen „3“ und „6“. Beide Zahlen passen in die Zahl „6“.
An x­Termen gibt's den Term „x“ und die Klammer „(x­4)“, welche sogar „hoch 2“ auftaucht.
Bruchgleichungen­4
Havonix­Skript:
Bruchgleichungen
HN = 6∙x∙(x­4)2
Damit ist der Hauptnenner:
Lösung der Gleichung bestimmen:
x−1
4
−
x⋅ x−4 6⋅x−4
=
x1
3⋅ x−4 2
| ∙ 6∙x∙(x­4)2
x−1 6x⋅ x−42
4
6x⋅ x−42
⋅
−
⋅
x⋅ x−4
1
6⋅ x−4
1
x−1 6⋅ x−4 4 x⋅ x−4
⋅
− ⋅
1⋅1
1
1⋅1
1
=
=
x1 6x⋅x−42
⋅
1
3⋅x−42
kürzen ...
x1 2x⋅1
⋅
1⋅1 1
Gleichung ohne Nenner hinschreiben
(x­1)∙6∙(x­4) ­ 4∙x∙(x­4) = (x+1)∙2x∙1
ausmultiplizieren
(6x­6)∙(x­4) ­ 4x∙(x­4) = (x+1)∙2x
(Minus vor der Klammer beachten)
6x2­24x­6x+24 ­ 4x2+16x = 2x2+2x
| ­2x²­2x
­16x + 24 = 0
| ­24
|:(­16)
x = 1,5
( 1,5 taucht nicht in D auf, es ist also tatsächlich eine Lösung )
L = { 1,5 }
Bsp.6)
2x
2x3
3x−2


2x²−18 x²6x9 3x9
=1
ausklammern ...
2x
2x3
3x−2


2⋅ x²−9 x²6x9 3⋅x3
=1
2x
2x3
3x−2


2⋅ x−3⋅x3 x32 3⋅x3
bin. Formeln ...
= 1
 hier ist der Nenner faktorisiert
Definitionsmenge:
x­3= 0 x+3 = 0 (x+3)2=0
⇒ x=3 ⇒ x=­3 ⇒ x=­3
D = R \ { ­3 ; 3 }
Hauptnenner:
an der faktorisierten Form des Nenners
erkennt man den Hauptnenner sofort:
HN = 6∙(x­3)∙(x+3)2
Lösungsmenge:
2x
2x3
3x−2


2⋅ x−3⋅ x3 x32 3⋅x3
=1
| ∙ 6(x­3)∙(x+3)2
2x
6⋅ x−3⋅ x32 2x3 6⋅ x−3⋅ x32 3x−2 6⋅x−3⋅ x32
⋅

⋅

⋅
2⋅ x−3⋅ x3
1
1
3⋅ x3
1
 x32
x 6⋅1⋅x3 2x3 6⋅ x−3⋅1 3x−2 2⋅ x−3⋅ x3
⋅

⋅

⋅
1⋅1⋅1
1
1
1
1⋅1
1
= 1⋅6⋅ x−3⋅ x3
1
Bruchgleichungen­5
2
2
= 1⋅6⋅x−3⋅ x3
1
Nenner weglassen
Havonix­Skript:
Bruchgleichungen
x∙6∙(x+3) + (2x+3)∙6∙(x­3) + (3x­2)∙2∙(x­3)∙(x+3) = 6∙(x­3)∙(x+3)2
6x∙(x+3) + (12x+18)∙(x­3) + (6x­4)∙(x2­9) = (6x­18)∙(x²+6x+9)
6x²+18x + 12x²­36x+18x­54 + 6x³­54x­4x²+36 = 6x³+36x²+54x­18x²­108x­162
6x³+14x²­54x­18 = 6x³+18x²­54x­162
|­6x³­18x²+54x+162
­4x²+144 = 0
x² = 36
|­144
⇒
|:(­4)
x = ±6
L = { ­6; +6 }
Aufgaben zum Selberlösen
a)
0,5x
x−2
2x−7
3x5
5x −10
b)
1
x
c)
x²−6
x²−4
−
d)
6x1
2x−4
− 2x−3
=
2x
e)
2
2x−1
8
− 4x² −4x1
1 = 0
f)
2−x
4x−10

4x
16x40
g)
2x−1
x²4x
=
x−9
x²−4x
h)
x2
x
x4
x3
 2x−4 =
2
3
x² x
− 3x3 =
−
1,5x−2
3x6
=
x−3
2x−4
=
2x²4x−3
x²−2x
=
−
−3x
4x²−25
3x−42
3x²−48
x6
x² 3x
i)
x−1
9x²−25
2x1
j)
x−1
x²−4x
k)
x−1
x²x
l)
x−1
16x² −9
m)
1
64x

n)
x−1,5
x−5
x−7
 2x10
=
o)
x−8
12x² −6x
p)
3x3
x²−3x
 9x² 30x25 =
4
6x−24
−

12
3x²−3

x5
3x² −24x 48
=
x1
x²−x
−
3−2x
16x²924x
3x1
4x²12x9

=
4x6
4x²−1
x2
x² 2x
= 0

=
2x−4
34x2
= 0
1−2x
−2x²−3x
x² 3x−2
x²−25
=

1
3x5
2x2
x2x²
x2
x²−x−6
Ergebnisse:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
HN: 10∙(x­2)
HN: 3x∙(x+1)
HN: 6∙(x­2)∙(x+2)
HN: 2x∙(x­2)
HN: (2x­1)2
HN: 8(2x­5)(2x+5)
HN: 3x(x­4)(x+4)
HN: x(x+3)
D = R \ {2}
D = R \ {0;­1}
D = R \ {­2;2}
D = R \ {0;2}
D = R \ {0,5}
D=R\{­2,5;2,5}
D = R\{0;­4;4}
D = R\{0;3}
L = { 5 }
L = {6}
k.Lös. (x=2∉D)
L = D
L ={­1,5;1,5}
L = { }
L={5}(x=4∉D)
L = D
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
HN: (3x­5)(3x+5)2
HN: 6x(x­4)2
HN: 3x(x­1)(x+1)
HN: (4x­3)(4x+3)2
HN: ­2x(2x+3)2
HN: 2(x­5)(x+5)
HN: 6x∙(2x­1)(2x+1)
HN: x(x+2)(x­3)
Bruchgleichungen­6
D=R\{­0,6;0,6}
D = R \ { 0;4 }
D = R \ {­1;0;1}
D = R\{­0,75;0,75}
D = R \ {0;­1,5}
D = R\{­5;5}
D=R\{0;­0,5;0,5}
D = R\{0;­2;3} L = { 3 }
L = { 1 }
L = D
L={0;1,25}
L = { 2 }
L = { 3 ; 8 }
L={­4} (5∉D)
L={6} (2∉D)
Havonix­Skript:
Bruchgleichungen