Programm des Proseminar über Zahlen

Programm des Proseminar über Zahlen
Prof. Dr. Irene Bouw
Universität Ulm
Institut für Reine Mathematik
WS 2007/2008
irene.bouw at uni-ulm.de
Vortrag 1: Die natürlichen Zahlen
• Eine Einführung in die Geschichte unseres Zahlensystems. Die Einführung
der Null und der negativen Zahlen. (Ebbinghaus, §1.1, MacTutor: “A
history of zero”, “Indian numerals”, “The Arabic numeral system”)
• Die mengentheoretische Definition der natürlichen Zahlen und das Prinzip
der vollständigen Induktion. Die Eindeutigkeit der natürlichen Zahlen.
(Ebbinghaus, §1.2)
Vortrag 2: Die reelle Zahlen
• Erklären Sie die geometrische Sichtweise der Griechen auf die reellen
Zahlen (Ebbinghaus, §2.1.1).
• Dedekindsche Schnitte. (Ebbinghaus, §2.2)
• Die Definition der reellen Zahlen mit Hilfe von Cauchy-Folgen; eine
sehr kurze Wiederholung aus der Analysis. (Ebbinghaus, §2.3).
• Axiomatische Beschreibung der reellen Zahlen und deren Vollständigkeit.
(Ebbinghaus, §2.5.3)
Vortrag 3: Die komplexen Zahlen
• Die Geschichte der komplexen Zahlen und der Fundamentalsatz der Algebra. (Ebbinghaus, §3.1, §4.1, MacTutor: “The fundamental theorem
of algebra” und “Quadratic, cubic, quartic equations” )
• Die Existenz von n-ten Wurzeln und Polarkoordinaten. (Ebbinghaus,
§3.3.5, 3.3.6, §3.6)
• Beweis des Satzes auf Seite 55.
1
Vortrag 4: Der Fundamentalsatz der Algebra
• Erklären Sie die Aussage und den Zusammenhang zwischen folgenden
Sätzen: Der Fundamentalsatz, Abspalten von Faktoren, die komplexen
Zahlen sind algebraisch abgeschlossen. (Ebbinghaus, §4.3)
• Analytischer Beweis des Fundamentalsatzes. (Ebbinghaus, §4.2)
• Die Eindeutigkeit der komplexen Zahlen. (Ebbinghaus, §4.3.6)
Vortrag 5: Dezimalbrüche
• Definieren Sie die b-adische Darstellung von Zahlen (also die Verallgemeinerung der Dezimalbruchentwicklung zu einer beliebigen Zahlenbasis b. Geben Sie auch einige Beispiele an. (Rosen, Chapter 12.1)
• Zeigen Sie, dass jede reelle Zahl eine b-adische Darstellung besitzt.
Charakterisieren Sie die rationalen Zahlen mit Hilfe der b-adischen
Darstellung. (Rosen, Chapter 12.1)
Vortrag 6: Die p-adische Zahlen
• Definieren Sie Zp und Qp (Müller-Stach–Piontkowsky, §13). Zeigen Sie,
dass Zp ein Ring ist der Z enthällt (Seite 107). Geben Sie auch (viele)
konkrete Beispiele, wie auf Seite 105–107.
• Zeigen Sie, dass Qp ein Körper ist.
• Definieren Sie die p-adische Zahlen auch mit Hilfe von Cauchy-Folgen
und zeigen Sie, dass man die gleiche Definition erhält. (Satz 13.10 und
Definitionen 13.6 und 13.8)
Vortrag 7: π
• Die Geschichte von π. Erklären Sie die klassische Abschätzung für π
mit Hilfe von regulären n-Ecken. (Ebbinghaus, §5.1.3, MacTutor: “A
history of Pi”, Arndt–Haenel, §13.)
• Beweisen Sie die Leibnizsche Reihe für π. Beweisen Sie auch die Eulerschen Formeln für π. Sagen Sie auch etwas zur Konvergenz. (Ebbinghaus, §5.4.1, 5.4.3, 5.4.4)
• Beweis der Irrationalität von π. ( Steward, Lemma 24.1 und Theorem
24.2, siehe auch Ebbinghaus, §5.4.6)
2
Vortrag 8: Algebraische und transzendente Zahlen
• Definition von algebraischen und transzendenten Zahlen (Skript Elementare Zahlentheorie, §4.1).√ Geben
√ Sie auch Beispiele von algebraischen Zahlen, zum Beispiel: 2 + 3.
• Definieren Sie abzählbare und überabzählbare Mengen. Beweisen Sie,
dass die reellen Zahlen überabzählbar sind (Cantors Diagonalargument). Schließen Sie, dass transzendente Zahlen existieren. (Rosen,
Corollary 12.5.1. Siehe auch Übungsaufgane 35, Vorlesung Elementare
Zahlentheorie, SS 2006).
• Definieren Sie die Liouvillesche Zahl und zeige Sie, dass diese transzendent ist (Rosen, §12.6)
• Falls Zeit bleibt, könnten Sie etwas zur Transzendenz von e und π sagen
(Ebbinghaus, §4.7).
Vortrag 7: Konstruktion mit Zirkel und Lineal
• Erklären Sie das Problem und geben Sie einige konkrete Beispiele.
(Stewart, Chapter 7 bis Theorem 7.4). Eine alternative Quelle ist das
Skript der Vorlesung Algebra II von der Herr Maier.
• Erklären Sie die Quadratur des Kreises und weitere klassische Probleme. (Stewart Chapter 7, MacTutor: Squaring the circle, doubling
the cube, trisecting the angle)
• Zeigen Sie, dass die Quadratur des Kreises unmöglich ist. (Stewart,
Theorem 7.7)
Vortrag 10: Kettenbrüche I
• Der Euklidische Algorithmus und die Darstellung rationaler Zahlen als
endliche Kettenbrüche (Skript Elementare Zahlentheorie, SS 06, §5.1;
Satz 5.1.1). Beispiele. (Übungsaufgaben.)
• Unendliche Kettenbrüche (Skript, §5.2). Illustrieren Sie dass sich jede
reelle Zahl als unendlicher Kettenbruch darstellen lässt (Skript Satz
5.2.4). Zum Beispiel reicht es wenn Sie den Algorithmus aus dem Beweis√von Satz 5.2.4 in einem Spezialfall ausführen. Ein gutes Beispiel
ist 6 (Rosen, Example 12.10). Siehe auch Exercise 12.3.1. Falls genug
Zeit bleibt erklären Sie auch die Aussage von Satz 5.2.2.
3
• Hier finden Sie eine Taschenrechner für Kettenbrüche :
http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/cfCALC.html
Vortrag 11: Kettenbrüche II: Beispiele
• Beweisen Sie die Kettenbruchdarstellung von e. (Rockett–Szüsz, §I.8)
• Diskutieren Sie verschiedene Kettenbruchdarstellungen von π. Erklären
Sie (ohne Beweis) wie man diese Berechnen kann. (Ebbinghaus, §5.4
und Arndt–Haenel, §2.7, §4.1 und §4.4.)
• Erzählen Sie etwas zur Geschichte von e (MacTutor: “The history of
e”, Artikel in Die Zeit von 07.06.2007.)
Vortrag 12: Die Quaternionen
• Definieren Sie die Quaternionen. Erklären Sie die Rechenregeln. Geben
Sie auch einige konkrete Beispiele. (Ebbinghaus, §7.1)
• Geben Sie die alternative Definition mit Hilfe von Matrizen. Zeigen Sie,
dass die Quaternionen einen Schiefkörper formen (oder was das gleiche
bedeutet: Eine assoziative Divisionsalgebra). (Ebbinghaus, §7.2)
• Erzählen Sie etwas zu Hamilton und der Erfindung der Quaternionen.
(Ebbinghaus §7 Einleitung, MacTutor: W. R. Hamilton)
Literatur:
1. J. Arndt und C. Haenel, π, Algorithmen, Computer, Arithmetik, Springer,
2000.
2. H.-D. Ebbinghaus et. al, Zahlen, 3te Auflage, Springer-Lehrbuch 1992.
3. The MacTutor history of mathematics archive, http://www-groups.dcs.stand.ac.uk/∼ history/Indexes/Hist Topics alph.html
4. H. Maier und D. Haase, Skriptum zur Vorlesung Elementare Zahlentheorie, SS 06, Webseite des Instituts für Zahlentheorie und Wahrscheinlichkeitsrechnung.
5. I. Stewart, Galois theory, Chapman and Hall, 2004.
6. A. Rocket and P. Szüsz, Continued fractions, World Scientific, 1992.
7. K. Rosen, Elementary number theory and its applications, 5th edition,
Addison-Wesley, 2004.
4