passive lineare Netzwerke
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Torsten Leddig Mathias Arbeiter 26.Oktober 2004 Betreuer: Dr.Holzhüter Physikalisches Praktikum 3. Semester - passive lineare Netzwerke - 1 Aufgabe: 1. Lineare Netzwerke bei sinusförmiger Anregung: (a) Messen Sie an einer Reihenschaltung aus R, L und C als Funktion der Frequenz gleichzeitig die Teilspannungen und die Phasenverschiebung zwischen Eingangsspannung und Strom. (b) Stellen Sie die Resultate auf einfachlogarithmischen Papier dar und diskutieren Sie den Verlauf! (c) Ermitteln Sie aus den grafischen Darstellungen die Resonanzfrequenz f0 , die Güte Q, die Bandbreite ∆f und die Phasenwinkel ϕ bei fgu und fgo ! Vergleichen Sie diese Werte mit den aus den Bauelementen gewonnenen. 2. Schaltverhalten der Netzwerke: (a) Die Reihenschaltung aus Aufgabe 1 ist an eine Rechteckspannung mit f << f0 anzuschließen. Für unterschiedliche Dämpfungen sind die Spannungsverläufe an R, L und C zu oszillografieren, darzustellen und zu diskutieren! (b) Für den Schwingfall ist das logarithmische Dekrement experimentell und rechnerisch zu bestimmen! (c) Bauen Sie eine Reihenschaltung aus R und C auf. Oszillografieren Sie die Spannungsverläufe an R und C für τ = R · C <, =, > ti (ti = halbe Schwingungsdauer der angelegten Rechtecksspannung). Diskutieren Sie die experimentellen mit den theoretisch zu erwartenden Kurven (Berechnung aus Bauelementdaten). Berücksichtigen Sie dabei den Innenwiderstand des Generators mit Ri = 50Ω Vorbetrachtung: Widerstände im Wechselstromkreis: U I • Ohmscher Widerstand: R= • Induktiver Widerstand: XL = • Kapazitiver Widerstand: • Blindwiderstand U =ω·L I XC = (bei einer Spule) U 1 = I ω·C 1 ωC p Z = R2 + X 2 X =ω·L− • im Reihenschwingkreis: Begriffe: • Güte Q: • Bandbreite: Differenz zwischen Frequenzwerten , bei denen die mittlere Leistung auf die Hälfte ihres Maximalwertes absinkt • Impulsdauer: Zeitintervall zwischen ansteigender und abfallender Impulsflanke, gemessen an der vertikalen 50% - Marke der Signalamplitude • Tastverhältnisse: Verhältnis Impulsdauer zu Periodendauer 2 1.1. Lineare Netzwerke bei sinusförmiger Anregung: Vorüberlegung: • Eine Maximum bei den Spannungen kommt nicht bei jedem Widerstand zustande • der Grenzwiderstand Rgr ist der Widerstand bei dem gerade noch ein Maximum auftritt • ⇒ unser gewählter Widerstand muss geringer sein, als dieser Grenzwiderstand Rgr = r 2L C C = 10nF L = 33mH r ⇒ Rgr = 2 · 33mH = 2569Ω 10nF ⇒ R < Rgr ⇒ wir wählen R = 1000Ω Versuchsaufbau: Durchführung: • Funktionsgenerator fungiert als Spannungsquelle mit 1V < U < 5V • Schaltung gemäß Versuchsaufbau • Eingangsspannung und Spannung über dem ohmschen Widerstand werden vom Oszillator gemessen 3 • Spannung über Kondensator UC und Spannung über der Induktivität UL werden mit digitalen Vielfachmessern gemessen • ohmsche Widerstand gemäß ⇒ Vorüberlegung einstellen • bei konstanter Eingangsspannung U wird die Frequenz kontinuierlich verändert und die Spannungen gemessen • dabei sollte der Frequenzbereich so groß sein, dass eine Phasenverschiebung von ca. −90◦ - +90◦ auftritt Messwerte: Eingangssspannung U = 2680mV ohmscher Widerstand der Spule RL = 293.2Ω Frequenz f 472 717 858 1001 1162 1325 1497 1690 1921 2286 2661 3099 3342 3885 4277 4706 5000 5437 5883 6200 6605 6866 7022 7278 7462 7768 7868 7924 7987 8170 8237 8303 8403 8591 8635 8788 8937 9158 Spannung UC 2703 2710 2716 2723 2732 2742 2754 2770 2792 2830 2878 2942 2981 3080 3158 3248 3310 3396 3471 3511 3537 3537 3528 3505 3477 3418 3397 3385 3366 3310 3291 3269 3235 3170 3156 3100 3046 2961 Spannung UL 28 45 57 69 85 103 124 150 187 253 335 449 522 713 879 1087 1247 1509 1807 2028 2313 2495 2607 2774 2891 3067 3121 3150 3185 3272 3304 3333 3374 3443 3459 3507 3550 3606 Spannung UR 88 129 155 181 211 242 274 310 356 428 507 603 660 797 894 1017 1103 1234 1375 1460 1570 1633 1670 1714 1750 1770 1785 1785 1790 1800 1802 1800 1800 1803 1800 1800 1790 1775 4 Phasenversch. ϕ -86 -84 -83 -82 -80 -79 -79 -77 -75 -75 -72 -70 -68 -64 -59 -55 -50 -45 -40 -36 -30 -24 -23 -20 -15 -11 -8 -5 -4 -1 -1 0 1 4 5 7 8 14 9424 9785 10020 10.86 11.6 12.27 13.74 14.53 16.79 18.56 22.90 26.34 32.72 37.60 43.10 50.37 62.74 2855 2712 2627 2292 2036 1822 1442 1278 930 743 465 340 209 150 105 60 9 3660 3714 3740 3769 3753 3712 3596 3529 3362 3258 3087 3007 2926 2895 2878 2874 2888 1740 1710 1680 1570 1460 1360 1180 1090 890 770 590 487 370 306 250 195 125 16 18 25 30 37 40 48 53 63 70 75 78 79 81 82 82 82 1.2. Grafische Darstellung: • alle drei Spannungen besitzen ein Maximum • sehr gut erkennbar sind die theoretisch vorausgesagten Verschiebungen der Resonanzfrequenzen für Spule und Kondensator 5 • die Kurve entspricht dem erwartetem Verlauf • der Phasensprung ist deutlich erkennbar 1.3. Kenngrößen der Schwingung: Eigenfrequenz f0 : abgelesener Wert aus Diagramm: f0 = 8300Hz Berechnung: f0 = 2π √ 1 = 8761Hz 33mH 10nF • Die Differenz zwischen errechnetem Wert und dem experimentell errechnetem Wert beträgt 461 Hz • möglicherweise besitzen die Bauelemente nicht die angegebenen Größen • weiterhin liegen Fehler in der Spannungsmessung vor, sowie Ablesefehler im Diagramm Güte der Schwingung: Bandbreite ∆f = fgo − f gu • fgu und fgo sind die Frequenzen bei denen die mittlere Leistung auf die Hälfte des Maximalwertes abgefallen (fgo ) bzw. angstiegen (fgu ) ist ⇒ U → √U2 6 aus dem Diagramm abgelesende Werte: fgu = 5800Hz fgo = 12600Hz ⇒ ∆f = 12600Hz − 5800Hz = 6800Hz Berechnung mit experimentell ermittelten Größen: mit Qexp = f0 ∆f ⇒ Q= 8300Ht 6800Hz ⇒ Qexp = 1.22 Berechnung mit gegebenen und errechneten Größen: mit Qtheo = ω0 ·L R 1 mit ω0 = √ LC ⇒ Qtheo = L √ Rges · L C Rges = 1000Ω + 50Ω + 293.2Ω = 1343.2Ω Qtheo = 33mH √ 1343.2Ω · 33mH · 10nF ⇒ Qtheo = 1.35 • der theoretisch berechnete Wert weicht um 0.13 vom experimentell ermitteltem Wert ab • dies entspricht einer Abweichung von ≈ 10 % • mögliche Fehlerquellen liegen in Ableseungenauigkeiten vom Diagramm begründet, sowie ungenaue Angaben bei den Widerständen der Bauelemente Phasenwinkel: abgelesene Phasenwinkel für f0 , fgu und fgo : φf0 = 0◦ φfgu = −43◦ φfgo = 47◦ 7 2.1. Spannungsverläufe im R-L-C-Schwingkreis: Widerstand Rges = R + RL + Ri = (10 + 293 + 50)Ω = 353Ω Die Frequenz muss niedrig sein, damit Kondensator mit ins spiel kommen kann! Schwingkreis im Schwingfall: Einstellungen: L = 33mH C = 10nF R = 10Ω f = 801Hz Spannung über dem Kondensator: • die Rechteckspannung führt zu konstanter Eingangsspannung während einer halben Periodendauer • dadurch ist der Kondensator auf einen bestimmten, von der Eingangsspannung abhängigen, Wert geladen • durch die Eingangsspannung wird der Kondenator nun weiter aufgeladen (der Stromfluss sinkt), wodurch die Spannung steigt • während des Aufladens, wird in der Spule eine Gegenspannung induziert • hat sich der Kondensator maximal aufgeladen, ist der Stromfluss maximal gehemmt, und in der Spule wird keine Gegenspannung induziert • der Kondensator beginnt sich wieder zu entladen, wodurch die Stromstärke steigt, und in der Spule wieder eine Gegenspannung induziert wird, wodurch der Stromfluss nur langsam zunimmt • ist der Kondensator entladen, so ist der Stromfluss maximal • nach Entladung wird der Stromfluss wieder kleiner, wodurch sich das Magnetfeld in der Spule ändert, sich dadurch ein Gegenfeld bildet, welches dafür sorgt, dass der Strom weiterfließt und den Kondensator wieder auflädt 8 • dieser Schwingvorgang wiederholt sich nun ständig • durch die konstante Eingangsspannung wird der Kondensator natürlich nicht vollständig entladen, sondern seine Spannung sollte um einen Wert schwingen, welcher der Eingangsspannung entspricht • die experimentell ermittelte Kurve entspricht genaue diesen theoretischen Vorbetrachtungen Spannung über der Induktivität: • zu Beginn der Periode, fällt über der Spule fast die komplette Eingangsspannung ab, da der ohmsche Widerstand sehr gering ist und der Kondensator noch nicht geladen ist • lädt sich der Kondensator auf, so wird eine Gegenspannung in der Spule induziert, die UL entgegengesetzt ist • die Spannung UL wird somit geringer und erreicht ein Minimum, wenn der Kondensator vollständig entladen ist • anschließend sinkt der Stromfluss, wodurch abermals eine Gegenspannung induziert wird, die nun jedoch so gerichtet ist, dass sie den Kondensator wieder auflädt • die Spannung an der Spule steigt demzufolge (nur mit umgekehrtem Vorzeichen) • der Kondensator lädt sich abermals auf, die induziert Spannung sinkt und der Schwingvorgang beginnt von neuem • an der experimentell ermittelten Kurve ist diese Schwingung der Spannung an der Spule sehr gut erkennbar 9 Spannung über dem ohmschen Widerstand: • Spannung am ohmschen Widerstand ist mit dem Strom in Phase • anfangs fließt maximal Strom und gemäß U = R · I ist UR maximal • steigt die Spannung über dem Kondensator und der Spule, so verringert sich die Spannung über dem Widerstand • bedingt durch die periodische Schwingung von UC und UL schwingt auch UR (siehe Schwingkreis in der Erklärung von UC und UL ) Schwingkreis im überdämpftem System (Kriechfall): Einstellungen: L = 33mH C = 10nF R = 100000Ω f = 801Hz Spannung über dem ohmschen Widerstand: 10 • am Anfang fließt maximal Strom, so dass gemäß U = R · I die Spannung am Widerstand maximal ist • der Kondensator beginnt sich aufzuladen ⇒ eine Gegenspannung wird im Kondensator aufgebaut ⇒ dadurch sinkt die Spannung am ohmschen Widerstand • da sich der Kondensator exponentielle auf- und entlädt, baut sich die Gegenspannung ebenfalls exp. auf ⇒ UR sinkt exponentiell ab • dadurch das der Widerstand so groß ist, kann sich der Kondensator nur sehr langsam entladen • kippt die Spannung, so beginnt der Vorgang analog nur mit umgekehrten Vorzeichen Spannung über dem Kondensator: • Kondensator lädt sich auf • aufgrund der großen Dämpfung (da großer ohmscher Widerstand) fließt nur ein geringer Strom ⇒ langsame Aufladung (asymptotische Annäherung an den Maximalwert) • durch den sehr geringen Strom, ist der Einfluss, während des Ent- und Aufladens des Kondensators, der Spule auf den Schwingkreis sehr klein • beim Umpolen der Recheckspannung entlädt sich der Kondensator ebenfalls langsam exponentiell und nähert sich dem Minimalwert an 11 Spannung über der Induktivität: • am Anfang ist der Kondensator entladen ⇒ keine Gegenspannung ⇒ der Strom steigt von Null auf den Maximalwert ⇒ eine Gegenspannung wird in der Spule induziert • der Kondensator beginnt sich nur langsam zu entladen ⇒ geringe Änderung des Magnetfelds ⇒ induzierte Gegenspannung sinkt langsam ab • ist der Kondensator auf- bzw. entladen und wird die Recheckspannung umgepolt, dann ändert sich der Strom und damit das Magnetfeld maximal und die induzierte Spannung steigt (für einen kurzen Moment) schnell an, um dann langsam wieder abzufallen 2.2 Logarithmisches Dekrement: Formeln: Theorie: Λtheo = Rges T0 2L (1) 12 Experiment: Λexp = ln µ UR1 UR2 ¶ (2) Durchführung: • Schwingfall für UR einstellen • Schwingungsdauer dieser abklingelnden Schwingung mit dem Oszillograph ermitteln • diesen Wert in (1) einsetzen und ausrechnen • danach zwei hintereinander folgende Amplituden der Spannung messen und damit experimentelle das log. Dek. berechnen (Gleichung (2)) Messwerte: T0 = 132µs UR1 = −41.25mV UR2 = 22.50mV Λtheo = 353Ω · 132µs 2 · 33mH ⇒ Λtheo = 0.71 ¯ ¯ ¯ −41.25 ¯ ¯ Λexp = ln ¯¯ 22.50 ¯ Λexp = 0.61 Auswertung: • die beiden Werte weichen erheblich voneinander ab • die Periodendauer kann hinreichend exakt bestimmt werden und auch die Spannungsamplituden sind gut mit Hilfe des Oszillographen zu ermitteln • ⇒ Ursachen müssen in ungenauen Widerstandswerten liegen 13 2.3. R-C-Schaltkreis: Versuchsanordnung: Durchführung: • die Kapazität wird konstant bei C = 10nF gehalten • der Widerstand R und die Frequenz der Rechteckspannung sind so zu kombinieren, dass τ = R·C < , =, > ti (ti ist • für drei verschieden große Widerständen wurden nun unterschiedliche Frequenzen angelegt und die verschiedenen Fälle untersucht und ausgewertet Vorbetrachtung: • der Kondensator hat genau die halbe Periodendauer der Rechteckspannung Zeit, um sich aufzuladen • die Geschwindigkeit mit der sich der Kondensator auflädt, ist bestimmt durch τ = R · C • umso geringer der Widerstand, desto schneller lädt er sich auf • ist die Frequenz niedrig, hat der Kondensator ausreichend Zeit um sich aufzuladen 14 Widerstand R = 100000Ω geringe Frequenz f = 390Hz • 780−1 s−1 U = 1 − e− 100000Ω·10nF = 72.3% Uges • der Kondensator schafft es also nicht zu knapp drei Viertel aufzuladen • dadurch wird eine nicht zu vernachlässigende Spannung im Kondensator aufgebaut, wodurch die resultierende Spannung am Widerstand R mit steigender Aufladung des Kondensators merklich sinkt • die experimentell ermittelte Kurve bestätigt diese theoretische Vorüberlegung hohe Frequenz f = 10439Hz • 4.78·10−5 s U = 1 − e− 100000Ω·10nF = 4.7% Uges 15 • der Kondensator kann sich nur zu knapp 5 % aufladen • dadurch wird keine nennenswerte Spannung am Kondensator aufgebaut, so dass fast die komplette Recheckspannung über dem ohmschen Widerstand abfällt • in der experimentell ermittelten Kurve wird deutlich, dass die Spannung über dem Kondensator kaum erkennbar ist, und somit die Spannung über dem Widerstand fast identisch mit der Eingangsspannung ist • die Theorie wurde bestätigt! Widerstand R = 500Ω geringe Frequenz f = 390Hz (Übersicht) geringe Frequenz f = 390Hz (detaillierter Ausschnitt) 16 • 1.28·10−3 s U = 1 − e− 500Ω·10nF = 100% Uges • der Kondensator schafft es also sich komplett innerhalb einer halben Periode aufzuladen • da der ohmsche Widerstand sehr gering ist, kann ein großer Strom fließen • nur in der kurzen Phase, während die Rechteckspannung umpolt, fällt über dem Widerstand eine große Spannung ab • da der Kondensator sich schnell auflädt, wird demzufolge schnell eine Spannung im Kondensator aufgebaut, so dass der Strom gehemmt wird, der Widerstand des Kondensators somit erhöht wird und über dem ohmschen Widerstand kaum noch Spannung abfällt • da der Kondensator wesentlich weniger Zeit zum Aufladen benötigt, als die halbe Periodendauer der Rechteckspannung, steigt die Spannung am Kondensator sprunghaft an, um dann konstant über den Rest der halben Periodendauer zu bleiben • dadurch kommt es auch kurz nach dem Umpolen der Rechteckspannung nur zu einer kurzen Spannungsspitze am ohmschen Widerstand • die kurze Spannungsspitze am ohmschen Widerstand ist in der experimentell ermittelten Kurve sehr gut sichtbar • in der detaillierteren Auflösung ist des Weiteren der exponentielle Ent- und Aufladevorgang des Kondensators sehr gut zu sehen hohe Frequenz f = 22750Hz • 2.19·10−5 s U = 1 − e− 500Ω·10nF = 98.7% Uges • der Kondensator schafft es sich nahezu komplett aufzuladen • anders als bei geringer Frequenz, braucht er jedoch fast genau die halbe Periodendauer bis er sich vollständig aufgeladen hat • dadurch erstreckt sich der exponentielle Spannungsverlauf über die gesamte halbe Periodendauer und wird nicht nur als kurze Spannungsspitze sichtbar • der exponentielle Auf- und Entladevorgang sind sehr deutlich an den Kurven zu erkennen 17 Widerstand R = 4520Ω • die Kurven bei diesem Widerstand stellen Zwischenstufen dar, zwischen den Extremsituationen R = 100000Ω und R = 500Ω • die Auswertung erfolgt analog den vorherigen geringe Frequenz f = 398Hz hohe Frequenz f = 22750Hz 18
